トレース（線形代数）

Sum of elements on the main diagonal

線形代数学において、正方行列Aの軌跡（tr( A ) ^[1]と表記）は、その主対角線上の要素の和である。これは正方行列 ( n × n ) に対してのみ定義される。 ${\displaystyle a_{11}+a_{22}+\dots +a_{nn}}$

行列のトレースはその固有値（重複度を含む）の和である。また、同じ大きさの任意の行列AとBについて、 tr( AB ) = tr( BA )が成り立つ。したがって、相似な行列は同じトレースを持つ。結果として、有限次元ベクトル空間を自身に写す線型作用素のトレースを定義することができる。なぜなら、そのような作用素を基底に関して記述するすべての行列は相似だからである。

このトレースは行列式の導関数と関連しています(ヤコビの公式を参照)。

意味

n × n正方行列Aのトレースは^{[1] [2] [3] : 34}で定義される。ここでa _{ii は}Aのi 行i列 目の要素を表す。A の要素は実数、複素数、あるいはより一般的には体Fの要素である。このトレースは正方行列以外の行列には定義されない。 $${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}=a_{11}+a_{22}+\dots +a_{nn}}$$

例

Aを行列とし、 $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&3\\11&5&2\\6&12&-5\end{pmatrix}}}$$

それから $${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\sum _{i=1}^{3}a_{ii}=a_{11}+a_{22}+a_{33}=1+5+(-5)=1}$$

プロパティ

基本的なプロパティ

トレースは線形写像である。つまり、^{[1] [2]}はすべての正方行列AとB、およびすべてのスカラーcについて成り立つ。^{[3] : 34} $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tr} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )&=\operatorname {tr} (\mathbf {A} )+\operatorname {tr} (\mathbf {B} )\\\operatorname {tr} (c\mathbf {A} )&=c\operatorname {tr} (\mathbf {A} )\end{aligned}}}$$

行列とその転置行列は同じ軌跡を持つ: ^{[1] [2] [3] : 34} $${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\right).}$$

これは、正方行列の転置が主対角線に沿った要素に影響を与えないという事実から直接導かれます。

製品の痕跡

2つの行列の積である正方行列のトレースは、それらの要素の要素ごとの積の和、つまりそれらのアダマール積のすべての要素の和として書き直すことができます。直接的に言えば、 AとBが2つのm × n行列である場合、次のようになります。 $${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\mathbf {B} \right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\mathsf {T}}\right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {B} ^{\mathsf {T}}\mathbf {A} \right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\right)=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{ij}\;.}$$

任意の実数m × n行列を長さmnのベクトルとして見れば（ベクトル化と呼ばれる演算）、AとBに対する上記の演算は標準的なドット積と一致する。上記の式によれば、tr( A ^⊤ A )は平方和であるため非負であり、Aがゼロの場合にのみゼロに等しい。^{[4] : 7}さらに、上記の式で述べたように、tr( A ^⊤ B ) = tr( B ^⊤ A )である。これらは、内積に必要な正定値性と対称性を示している。一般的に、tr( A ^⊤ B )をAとBのフロベニウス内積と呼ぶ。これは、固定次元のすべての実数行列のベクトル空間上の自然な内積である。この内積から導かれるノルムはフロベニウス・ノルムと呼ばれ、コーシー・シュワルツの不等式によって証明されるように、乗法性を満たします。すなわち、AとBが実行列で、A Bが正方行列であるときです。フロベニウスの内積とノルムは、行列計算と統計学において頻繁に登場します。 $${\displaystyle 0\leq \left[\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} )\right]^{2}\leq \operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\mathbf {A} \right)\operatorname {tr} \left(\mathbf {B} ^{\mathsf {T}}\mathbf {B} \right),}$$

フロベニウスの内積は、B をその複素共役に置き換えることによって、固定サイズのすべての複素行列の複素ベクトル空間上のエルミート内積に拡張できます。

フロベニウス内積の対称性は、より直接的に次のように表現できる。積のトレース内の行列を入れ替えても結果は変わらない。AとBがそれぞれm × nとn × mの実数または複素行列である場合、^{[1] [2] [3] : 34  [注1]}

${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} )=\operatorname {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} )}$

これは、 AB がBAと通常は等しくないこと、そしてどちらのトレースもtr( A )tr( B )と通常は等しくないことの両方において注目に値する。^{[注 2]}トレースの相似不変性、すなわち任意の正方行列Aと同じ次元の任意の可逆行列Pに対してtr( A ) = tr( P ⁻¹ AP )が成立することは、基本的な帰結である。これは次のように証明される。 相似不変性は、以下のように線形変換のトレースを議論する上で、トレースの重要な性質である。 $${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\mathbf {P} ^{-1}(\mathbf {A} \mathbf {P} )\right)=\operatorname {tr} \left((\mathbf {A} \mathbf {P} )\mathbf {P} ^{-1}\right)=\operatorname {tr} (\mathbf {A} ).}$$

さらに、実列ベクトルおよびの場合、外積のトレースは内積と等価です。 ${\displaystyle \mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\mathbf {b} \mathbf {a} ^{\textsf {T}}\right)=\mathbf {a} ^{\textsf {T}}\mathbf {b} }$

循環性

より一般的には、トレースは円シフトに対して不変である。つまり、

${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} \mathbf {C} \mathbf {D} )=\operatorname {tr} (\mathbf {B} \mathbf {C} \mathbf {D} \mathbf {A} )=\operatorname {tr} (\mathbf {C} \mathbf {D} \mathbf {A} \mathbf {B} )=\operatorname {tr} (\mathbf {D} \mathbf {A} \mathbf {B} \mathbf {C} ).}$

これは巡回特性として知られています。

任意の順列は許可されません。一般的に、 $${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} \mathbf {C} \mathbf {D} )\neq \operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {C} \mathbf {B} \mathbf {D} )~.}$$

しかし、3つの 対称行列の積を考える場合、任意の順列が許容されます。なぜなら、最初の等式は、行列のトレースとその転置のトレースが等しいからです。ただし、これは一般には3つ以上の因子に対しては成り立たないことに注意してください。 $${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} \mathbf {C} )=\operatorname {tr} \left(\left(\mathbf {A} \mathbf {B} \mathbf {C} \right)^{\mathsf {T}}\right)=\operatorname {tr} (\mathbf {C} \mathbf {B} \mathbf {A} )=\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {C} \mathbf {B} ),}$$

クロネッカー積のトレース

2つの行列のクロネッカー積のトレースはそのトレースの積です。 $${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )=\operatorname {tr} (\mathbf {A} )\operatorname {tr} (\mathbf {B} ).}$$

トレースの特性評価

次の3つの性質は、 スカラー倍数までのトレースを次の意味で特徴付ける。が正方行列の空間上の線形関数であり、がを満たす場合、とが比例する。^{[注 3]} $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tr} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )&=\operatorname {tr} (\mathbf {A} )+\operatorname {tr} (\mathbf {B} ),\\\operatorname {tr} (c\mathbf {A} )&=c\operatorname {tr} (\mathbf {A} ),\\\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} )&=\operatorname {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} ),\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(xy)=f(yx),}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} }$

行列の場合、正規化を適用するとトレースと等しくなります。 ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle f(\mathbf {I} )=n}$ ${\displaystyle f}$

固有値の和としてトレースする

任意のn × n行列Aに対して、

${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}}$

ここで、λ ₁ , ..., λ _nは重複度を数えたAの固有値である。これは、 Aが実行列で、固有値の一部（またはすべて）が複素数であっても成り立つ。これは、ジョルダン標準形の存在と、上で述べたトレースの相似不変性の帰結と見なすことができる。

整流子の痕跡

AとBがともにn × n行列の場合、 AとBの（環論的）交換子のトレースはtr([ A , B ]) = 0となり、tr( AB ) = tr( BA )であり、 tr は線形であるため、消滅する。スカラーの交換子は自明である（アーベルリー代数である）ため、これは「トレースはリー代数gl _n → kの演算子からスカラーへの写像である」と表現できる。特に、相似不変性を用いると、単位行列は任意の行列ペアの交換子と決して相似にならないことがわかる。

逆に、トレースがゼロの正方行列は、行列のペアの交換子の線形結合です。^{[注 4]}さらに、トレースがゼロの正方行列は、対角線がすべてゼロの正方行列とユニタリー的に等価です。

特殊な種類のマトリックスの痕跡

• n × n 単位行列のトレースはその空間の次元、つまりnです。

  $${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\mathbf {I} _{n}\right)=n}$$

  これにより、トレースを使用した次元の一般化が可能になります。
• 対角要素が実数であるため、エルミート行列のトレースは実数です。
• 順列行列のトレースは、対応する順列の固定点の数です。これは、対角項a _iiは、 i番目の点が固定されている場合は 1 になり、それ以外の場合は 0 になるためです。
• 射影行列のトレースは、対象空間の次元です。行列P _Xは冪等です。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} _{\mathbf {X} }&=\mathbf {X} \left(\mathbf {X} ^{\mathsf {T}}\mathbf {X} \right)^{-1}\mathbf {X} ^{\mathsf {T}}\\[3pt]\Longrightarrow \operatorname {tr} \left(\mathbf {P} _{\mathbf {X} }\right)&=\operatorname {rank} (\mathbf {X} ).\end{aligned}}}$$
• より一般的には、任意のべき等行列、つまりA ² = Aとなる行列のトレースはその行列自身の階数に等しくなります。
• べき零行列のトレースはゼロです。

  基本体の特性がゼロのとき、逆も成り立ちます。つまり、すべてのkに対してtr( A ^k ) = 0であれば、Aはべき零です。

  特性n > 0が正の場合、 n次元の恒等式は反例となりますが、恒等式はべき等ではありません。 ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\mathbf {I} _{n}^{k}\right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {I} _{n}\right)=n\equiv 0}$

特性多項式との関係

行列のトレースとは、特性多項式の係数であり、特性多項式の定義の慣例に従って、符号が変更されることもあります。 ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle t^{n-1}}$

固有値との関係

Aが実数または複素数の正方行列で表される線形演算子であり、λ ₁ , ..., λ _{n が}Aの固有値（代数的重複度に従ってリストされている）である場合、

${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\sum _{i}\lambda _{i}}$

これは、 Aが常にそのジョルダン形式、すなわち主対角線上にλ _​​1 , ..., λ _nを持つ上三角行列に相似であるという事実から導かれる。対照的に、 Aの行列式はその固有値の積、すなわち $${\displaystyle \det(\mathbf {A} )=\prod _{i}\lambda _{i}.}$$

このセクションの内容はすべて、代数的に閉じた体 の係数を持つ任意の正方行列にも適用されます。

派生的な関係

が小さな要素を持つ正方行列で、Iが単位行列を表す場合、近似的に

$${\displaystyle \det(\mathbf {I} +\mathbf {a} )\approx 1+\operatorname {tr} (\mathbf {a} ).}$$

これは正確には、トレースが単位行列における行列式関数の微分であることを意味します。ヤコビの公式

$${\displaystyle d\det(\mathbf {A} )=\operatorname {tr} {\big (}\operatorname {adj} (\mathbf {A} )\cdot d\mathbf {A} {\big )}}$$

はより一般的なもので、任意の正方行列における行列式の微分を、行列のトレースと共役を用いて記述します。

このことから（またはトレースと固有値の関係から）、トレース関数、行列指数関数、および行列式の関係を導き出すことができます。 $${\displaystyle \det(\exp(\mathbf {A} ))=\exp(\operatorname {tr} (\mathbf {A} )).}$$

軌跡の関連する特徴付けは、線形ベクトル場にも適用されます。行列Aが与えられたとき、 R ⁿ上のベクトル場F をF ( x ) = Axによって定義します。このベクトル場の成分は線形関数（ Aの行で与えられます）です。その発散div Fは定数関数であり、その値はtr( A )に等しくなります。

発散定理により、これを流れの観点から解釈することができます。F ( x ) が位置xにおける流体の速度を表し、 UがR ⁿ内の領域である場合、Uからの流体の正味流量はtr( A ) · vol( U )で与えられます。ここで、vol( U )はUの体積です。

トレースは線形演算子なので、導関数と交換可能です。 $${\displaystyle d\operatorname {tr} (\mathbf {X} )=\operatorname {tr} (d\mathbf {X} ).}$$

線形演算子のトレース

一般に、ある線型写像f  : V → V（ただしVは有限次元 ベクトル空間）が与えられたとき、この写像のトレースはfの行列表現のトレースを考慮することによって定義できる。つまり、Vの基底を選択し、この基底に対する相対的な行列としてf を記述し、この正方行列のトレースをとる。結果は選択した基底に依存しない。なぜなら、異なる基底は類似した行列を生成するからであり、線型写像のトレースを基底に依存しない形で定義できる可能性があるからである。

このような定義は、V上の線型写像の空間End( V )とV ⊗ V *の間の標準同型性を使用して与えることができます。ここで、V *はVの双対空間です。vをVに、g をV *に含めます。すると、分解不可能な元v ⊗ gのトレースはg ( v )と定義されます。一般の元のトレースは線型性によって定義されます。すると、線型写像f  : V → Vのトレースは、上記の標準同型性の下でfに対応するV ⊗ V *の元の、上記の意味でのトレースとして定義できます。 Vの明示的な基底と、対応するV *の双対基底を使用すると、これが上記と同じトレースの定義を与えることが示されます。

数値アルゴリズム

確率的推定量

この痕跡は「ハッチンソンのトリック」によって偏りなく推定できる。^[5]

任意の行列と、 の任意の乱数が与えられると、 が得られます。 ${\displaystyle {\boldsymbol {W}}\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {E} [{\boldsymbol {u}}{\boldsymbol {u}}^{\intercal }]=\mathbf {I} }$ ${\displaystyle \mathbb {E} [{\boldsymbol {u}}^{\intercal }{\boldsymbol {W}}{\boldsymbol {u}}]=\operatorname {tr} {\boldsymbol {W}}}$

証明のために、期待値を直接拡張します。

通常、ランダムベクトルは(正規分布) または(ラデマッハ分布) からサンプリングされます。 ${\displaystyle \operatorname {N} (\mathbf {0} ,\mathbf {I} )}$ ${\displaystyle \{\pm n^{-1/2}\}^{n}}$

より洗練されたトレースの確率的推定器が開発されている。^[6]

アプリケーション

2 x 2 の実数行列のトレースが 0 の場合、その平方は対角行列です。

2 × 2複素行列のトレースは、メビウス変換の分類に用いられます。まず、行列の行列式が1になるように正規化されます。次に、トレースの平方が4の場合、対応する変換は放物型です。平方が区間[0,4)内にある場合、変換は楕円型です。最後に、平方が4より大きい場合、変換は斜航型です。メビウス変換の分類を参照してください。

トレースは群表現の指標を定義するために用いられる。群Gの2つの表現A , B  : G → GL ( V )は、任意のg ∈ Gに対してtr( A ( g )) = tr( B ( g ))が成立する場合（ Vの基底変換を除いて）同値である。

トレースは二次形式の分布においても中心的な役割を果たします。

リー代数

トレースとは、n次元空間（の要素を持つn × n行列）上の線型作用素のリー代数からスカラーのリー代数Kへのリー代数の写像である。Kはアーベル的（リー括弧が消える）なので、これがリー代数の写像であるという事実は、括弧のトレースが消えるという主張と全く同じである。 ${\displaystyle \operatorname {tr} :{\mathfrak {gl}}_{n}\to K}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}$ ${\displaystyle K}$ $${\displaystyle \operatorname {tr} ([\mathbf {A} ,\mathbf {B} ])=0{\text{ for each }}\mathbf {A} ,\mathbf {B} \in {\mathfrak {gl}}_{n}.}$$

この写像の核、つまりトレースがゼロの行列は、しばしば次のように言われる。痕跡がない、またはトレースフリーであり、これらの行列は単純リー代数 。これは、特殊線型行列群のリー代数。特殊線型群は体積が変化しない行列で構成されますが、特殊線型リー代数は無限小の体積を変えない行列です。 ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}}$

実際、演算子/行列は、トレースレス演算子/行列とスカラー演算子/行列へと内部的に直和分解されます。スカラー演算子への射影写像は、トレースを用いて具体的に次のように表すことができます。 ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}={\mathfrak {sl}}_{n}\oplus K}$ $${\displaystyle \mathbf {A} \mapsto {\frac {1}{n}}\operatorname {tr} (\mathbf {A} )\mathbf {I} .}$$

形式的には、トレース（余単位写像）を「スカラーの包含」の単位写像と合成することで、スカラーへの写像を得ることができ、これをn倍する。nで割ると射影となり、上記の式が得られる。 ${\displaystyle K\to {\mathfrak {gl}}_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}\to {\mathfrak {gl}}_{n}}$

短完全列に関して、 はリー群の (ただし)と類似しています。しかし、トレースは自然に（スカラーの積を介して）分割されるため となりますが、行列式の分割はn乗根のスカラーの積として行われ、これは一般に関数を定義しないため、行列式は分割されず、一般線型群は分解されません。 $${\displaystyle 0\to {\mathfrak {sl}}_{n}\to {\mathfrak {gl}}_{n}{\overset {\operatorname {tr} }{\to }}K\to 0}$$ $${\displaystyle 1\to \operatorname {SL} _{n}\to \operatorname {GL} _{n}{\overset {\det }{\to }}K^{*}\to 1}$$ ${\displaystyle K^{*}=K\setminus \{0\}}$ ${\displaystyle 1/n}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}={\mathfrak {sl}}_{n}\oplus K}$ $${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}\neq \operatorname {SL} _{n}\times K^{*}.}$$

双線型形式

双線形形式（X、Yは正方行列） $${\displaystyle B(\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )=\operatorname {tr} (\operatorname {ad} (\mathbf {X} )\operatorname {ad} (\mathbf {Y} ))}$$

どこ ${\displaystyle \operatorname {ad} (\mathbf {X} )\mathbf {Y} =[\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]=\mathbf {X} \mathbf {Y} -\mathbf {Y} \mathbf {X} }$

そして、オリエンテーションについては、 ${\displaystyle \operatorname {det} \mathbf {Y} \neq 0}$

それから ${\displaystyle \operatorname {ad} (\mathbf {X} )=\mathbf {X} -\mathbf {Y} \mathbf {X} \mathbf {Y} ^{-1}~.}$

${\displaystyle B(\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )}$はキリング形式と呼ばれ、リー代数を分類するために使用されます。

トレースは双線形形式を定義します。 $${\displaystyle (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )\mapsto \operatorname {tr} (\mathbf {X} \mathbf {Y} )~.}$$

この形式は対称的、非退化的^{[注 5]}であり、次の意味で結合的である: $${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {X} [\mathbf {Y} ,\mathbf {Z} ])=\operatorname {tr} ([\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]\mathbf {Z} ).}$$

_{複雑な単純リー代数（ n}など）の場合、そのような双線形形式はすべて互いに比例します。特に、キリング形式^{[引用が必要]}に比例します。 ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}}$

2つの行列XとYがトレース直交であるとは、 $${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {X} \mathbf {Y} )=0.}$$

リー代数 の一般表現への一般化があり、 はリー代数の準同型となる。上のトレース形式は上記のように定義される。双線型形式は対称であり、巡回性により不変である。 ${\displaystyle (\rho ,{\mathfrak {g}},V)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho :{\mathfrak {g}}\rightarrow {\text{End}}(V).}$ ${\displaystyle {\text{tr}}_{V}}$ ${\displaystyle {\text{End}}(V)}$ $${\displaystyle \phi (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )={\text{tr}}_{V}(\rho (\mathbf {X} )\rho (\mathbf {Y} ))}$$

一般化

行列のトレースの概念は、ヒルベルト空間上のコンパクト演算子のトレースのクラスに一般化され、フロベニウス ノルムの類似物はヒルベルト-シュミットノルムと呼ばれます。

がトレースクラス演算子である場合、任意の直交基底に対して、トレースは で与えられ、有限であり直交基底に依存しない。^[7] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \{e_{n}\}_{n=1}}$ $${\displaystyle \operatorname {tr} (K)=\sum _{n}\left\langle e_{n},Ke_{n}\right\rangle ,}$$

部分トレースは、作用素値トレースのもう一つの一般化である。積空間上に存在する線型作用素のトレースは、および上の部分トレースに等しい。 ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle A\otimes B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ $${\displaystyle \operatorname {tr} (Z)=\operatorname {tr} _{A}\left(\operatorname {tr} _{B}(Z)\right)=\operatorname {tr} _{B}\left(\operatorname {tr} _{A}(Z)\right).}$$

部分トレースのさらなる特性と一般化については、トレースされたモノイドカテゴリを参照してください。

が体 上の一般結合代数である場合、 上のトレースは、交換子上で消える任意の汎関数として定義されることが多い。任意の に対して。このようなトレースは一意に定義されるわけではないが、少なくとも非ゼロのスカラーを乗算することで常に修正可能である。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} :A\to k}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} ([a,b])=0}$ ${\displaystyle a,b\in A}$

スーパートレースとは、トレースをスーパー代数の設定に一般化したものです。

テンソル収縮の操作により、トレースが任意のテンソルに一般化されます。

GommeとKlein（2011）は、ブロック行列上で動作する行列トレース演算子を定義し、それを使用して、テンソル表記を必要とせずに動的経済モデルの2次摂動解を計算しました。^[8] ${\displaystyle \operatorname {trm} }$

テンソル積の言語における痕跡

ベクトル空間Vが与えられたとき、( v , φ)をスカラーφ( v )に写すことにより、自然な双線型写像V × V ^∗ → Fが与えられる。テンソル積V ⊗ V ^∗の普遍性から、この双線型写像はV ⊗ V ^∗上の線型汎関数によって誘導されることが自動的に示される。^[9]

同様に、自然な双線型写像V × V ^∗ → Hom( V , V )は、( v , φ) を線型写像w ↦ φ( w ) vに写すことで得られます。 前に使用したテンソル積の普遍性から、この双線型写像は線型写像V ⊗ V ^∗ → Hom( V , V )によって誘導されることがわかります。Vが有限次元の場合、この線型写像は線型同型です。^{[9]この基本的な事実は、} Vの (有限の) 基底の存在から直接導かれる結果であり、任意の線型写像V → V は(有限個の) ランク 1 線型写像の和として表すことができるとも言えます。 同型の逆を上で得られた線型汎関数と合成すると、 Hom( V , V )上の線型汎関数になります。この線型汎関数はトレースとまったく同じです。

トレースの定義を対角要素の和とすれば、行列式tr( AB ) = tr( BA )は簡単に証明でき、これは上で示した通りである。本稿では線型写像SとTを考え、それらを階数1の写像の和とみなす。つまり、線型汎関数φ _iとψ _j、および非零ベクトルv _iとw _jが存在し、 V内の任意のuに対してS ( u ) = Σ φ _i ( u ) v _iかつT ( u ) = Σ ψ _j ( u ) w _jが成立する。すると

${\displaystyle (S\circ T)(u)=\sum _{i}\varphi _{i}\left(\sum _{j}\psi _{j}(u)w_{j}\right)v_{i}=\sum _{i}\sum _{j}\psi _{j}(u)\varphi _{i}(w_{j})v_{i}}$

Vの任意のuに対して、階数 1 の線型写像u ↦ ψ _j ( u ) φ _i ( w _j ) v _{i は}トレースψ _j ( v _i ) φ _i ( w _j )を持ち、したがって

${\displaystyle \operatorname {tr} (S\circ T)=\sum _{i}\sum _{j}\psi _{j}(v_{i})\varphi _{i}(w_{j})=\sum _{j}\sum _{i}\varphi _{i}(w_{j})\psi _{j}(v_{i}).}$

SとT を逆にして同じ手順に従うと、まったく同じ式が得られ、tr( S ∘ T )はtr( T ∘ S )に等しいことが証明されます。

End( V )とV ⊗ V ^∗の基本的な恒等式が、任意の線型写像を階数 1 の線型写像の和として表現できることと等価であることを考えると、上記の証明はテンソル積に基づいているとみなすことができます。このように、証明はテンソル積の表記法で書くことができます。次に、 ( v , φ , w , ψ )をφ ( w ) v ⊗ ψに 代入して得られる多重線型写像V × V ^∗ × V × V ^∗ → V ⊗ V ^{∗ を}考えます。さらにトレース写像と合成するとφ ( w ) ψ ( v )となり、これは( w , ψ , v , φ )から始めても変わりません。また、 ( f , g )を合成f ∘ gに代入することで得られる双線型写像End( V ) × End( V ) → End( V )を考えることもできる。これは線型写像End( V ) ⊗ End( V ) → End( V )によって誘導される。これは線型写像V ⊗ V ^∗ ⊗ V ⊗ V ^∗ → V ⊗ V ^∗と一致することがわかる。トレース写像との合成によって確立された対称性は、2つのトレースの等式を確立する。^[9]

任意の有限次元ベクトル空間Vに対して、自然な線型写像F → V ⊗ V 'が存在する。線型写像の言語では、これはスカラーcに線型写像c ⋅id _Vを割り当てる。これは共評価写像と呼ばれることもあり、トレースV ⊗ V ' → Fは評価写像と呼ばれる。^{[9]これらの構造は、}圏論の抽象的な設定におけるカテゴリカルなトレースを定義するために公理化することができる。

参照

• 計量テンソルに対するテンソルの軌跡
• 特性関数
• フィールドトレース
• ゴールデン・トンプソン不等式
• 特異な痕跡
• スペヒトの定理
• トレースクラス
• トレースID
• トレース不等式
• フォン・ノイマンの軌跡の不等式

注記

1. これは行列積の定義から直接導かれます。 $${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} )=\sum _{i=1}^{m}\left(\mathbf {A} \mathbf {B} \right)_{ii}=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{ji}=\sum _{j=1}^{n}\sum _{i=1}^{m}b_{ji}a_{ij}=\sum _{j=1}^{n}\left(\mathbf {B} \mathbf {A} \right)_{jj}=\operatorname {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} ).}$$
2. たとえば、の場合、積は となり、トレースはtr( AB ) = 1 ≠ 0 ⋅ 0 = tr( A )tr( B )となります。 $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\quad \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}},}$$ $${\displaystyle \mathbf {AB} ={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}},}$$
3. 証明:を標準基底とし、 および の場合に、 となることに注意してください。より抽象 的に、これは の分解に対応します(同様に、) は、スカラー行列の補数を持つトレースを定義し、1 つの自由度を残します。このようなマップはどれも、スカラー上の値によって決定されます。これは 1 つのスカラー パラメーターであるため、すべてはトレースの倍数であり、このようなマップはゼロではありません。 ${\displaystyle e_{ij}}$ ${\displaystyle f\left(e_{ij}\right)=f\left(e_{i}e_{j}^{\top }\right)=f\left(e_{i}e_{1}^{\top }e_{1}e_{j}^{\top }\right)=f\left(e_{1}e_{j}^{\top }e_{i}e_{1}^{\top }\right)=f\left(0\right)=0}$ ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle f\left(e_{jj}\right)=f\left(e_{11}\right)}$ $${\displaystyle f(\mathbf {A} )=\sum _{i,j}[\mathbf {A} ]_{ij}f\left(e_{ij}\right)=\sum _{i}[\mathbf {A} ]_{ii}f\left(e_{11}\right)=f\left(e_{11}\right)\operatorname {tr} (\mathbf {A} ).}$$ $${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}={\mathfrak {sl}}_{n}\oplus k,}$$ ${\displaystyle \operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA)}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} ([A,B])=0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n},}$
4. 証明:は半単純リー代数であり、したがってその中のすべての要素はいくつかの要素のペアの交換子の線形結合です。そうでない場合、導出された代数は適切なイデアルになります。 ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}}$
5. A = 0の場合にのみtr( A * A ) = 0 となるという事実から導かれます。

参考文献

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外部リンク

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