トレース演算子

一般化関数の境界条件

四角形上に定義された関数 (上の図、赤) とそのトレース (下の図、赤)。

数学解析において、トレース演算子は、関数の定義域の境界への関数の制限の概念を、ソボレフ空間における「一般化された」関数へと拡張する。これは、境界条件が与えられた偏微分方程式（境界値問題）の研究において特に重要である。これらの方程式では、弱解が関数の古典的な意味での境界条件を満たすほど十分に正則ではない場合がある。

モチベーション

有界で滑らかな領域において、非同次 ディリクレ境界条件を持つポアソン方程式を解く問題を考えます。 ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}-\Delta u&=f&\quad &{\text{in }}\Omega ,\\u&=g&&{\text{on }}\partial \Omega \end{alignedat}}}$

与えられた関数と、以下の応用セクションで議論される正則性を持つ。この方程式の弱解は、 ${\textstyle f}$ ${\textstyle g}$ ${\textstyle u\in H^{1}(\Omega )}$

${\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla \varphi \,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }f\varphi \,\mathrm {d} x}$すべてのために。 ${\textstyle \varphi \in H_{0}^{1}(\Omega )}$

の -正則性は、この積分方程式の well-defined 性を満たすのに十分である。しかし、 の境界条件をどの意味で満たすことができるかは明らかではない。定義により、は n 次元ルベーグ測度に関して空集合であるため、上で任意の値を取り得る関数の同値類である。 ${\textstyle H^{1}(\Omega )}$ ${\textstyle u}$ ${\textstyle u}$ ${\textstyle u=g}$ ${\textstyle \partial \Omega }$ ${\textstyle u\in H^{1}(\Omega )\subset L^{2}(\Omega )}$ ${\textstyle \partial \Omega }$

ソボレフの埋め込み定理により が成り立つ場合、 は古典的な意味での境界条件を満たすことができます。つまり、 を に制限すると、関数 と一致できます（より正確には、この特性を持つ の代表が 内に存在する）。 の場合、そのような埋め込みは存在せず、に意味を与えるには、ここで提示したトレース演算子を使用する必要があります。すると、は、上記の積分方程式が満たされる場合、境界値問題の弱解と呼ばれます。トレース演算子の定義が妥当であるためには、 が十分に正則な に対して成り立つ必要があります。 ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{1}}$ ${\textstyle H^{1}(\Omega )\hookrightarrow C^{0}({\bar {\Omega }})}$ ${\textstyle u}$ ${\textstyle u}$ ${\textstyle \partial \Omega }$ ${\textstyle g}$ ${\textstyle u}$ ${\textstyle C({\bar {\Omega }})}$ ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\textstyle n>1}$ ${\textstyle T}$ ${\textstyle u|_{\partial \Omega }}$ ${\textstyle u\in H^{1}(\Omega )}$ ${\textstyle Tu=g}$ ${\textstyle Tu=u|_{\partial \Omega }}$ ${\textstyle u}$

トレース定理

トレース作用素は、 のソボレフ空間 内の関数に対して定義できる。トレースの他の空間への拡張については、以下のセクションを参照のこと。をリプシッツ境界を持つ有界領域とする。すると、^{[1]により有界線型}トレース作用素が存在する。 ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$ ${\textstyle 1\leq p<\infty }$ ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\textstyle n\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle T\colon W^{1,p}(\Omega )\to L^{p}(\partial \Omega )}$

古典的なトレースを拡張する、すなわち ${\textstyle T}$

${\displaystyle Tu=u|_{\partial \Omega }}$すべてのために。 ${\textstyle u\in W^{1,p}(\Omega )\cap C({\bar {\Omega }})}$

の連続性は、 ${\textstyle T}$

${\displaystyle \|Tu\|_{L^{p}(\partial \Omega )}\leq C\|u\|_{W^{1,p}(\Omega )}}$すべての人のために ${\textstyle u\in W^{1,p}(\Omega )}$

はと にのみ依存する定数です。この関数はのトレースと呼ばれ、単に と表記されることが多いです。 の他の一般的な記号にはや などがあります。 ${\textstyle p}$ ${\textstyle \Omega }$ ${\textstyle Tu}$ ${\textstyle u}$ ${\textstyle u|_{\partial \Omega }}$ ${\textstyle T}$ ${\textstyle tr}$ ${\textstyle \gamma }$

工事

この段落は、より詳細な説明が可能なEvans ^[2]に従い、 が-境界^[a]を持つと仮定する。Lipschitz領域におけるトレース定理の証明（より強いバージョン）はGagliardo ^[1]に記載されている。 -領域では、トレース演算子は演算子の連続線型拡張として定義できる。 ${\textstyle \Omega }$ ${\textstyle C^{1}}$ ${\textstyle C^{1}}$

${\displaystyle T:C^{\infty }({\bar {\Omega }})\to L^{p}(\partial \Omega )}$

空間 への拡張。の密度により、 が -ノルムに関して連続であれば、そのような拡張は可能である。この証明、すなわち（および に依存して）が 存在し、 ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$ ${\textstyle C^{\infty }({\bar {\Omega }})}$ ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$ ${\textstyle T}$ ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$ ${\textstyle C>0}$ ${\textstyle \Omega }$ ${\textstyle p}$

${\displaystyle \|Tu\|_{L^{p}(\partial \Omega )}\leq C\|u\|_{W^{1,p}(\Omega )}}$すべてのために、 ${\displaystyle u\in C^{\infty }({\bar {\Omega }})}$

はトレース作用素の構成における中心的な要素である。-関数に対するこの推定値の局所的変種は、発散定理を用いて局所的に平坦な境界に対して初めて証明される。変換によって、一般的な-境界を局所的に直線化してこのケースに帰着させることができる。この場合、変換の-正則性により、-関数に対して局所的推定値が成り立つことが求められる。 ${\textstyle C^{1}({\bar {\Omega }})}$ ${\textstyle C^{1}}$ ${\textstyle C^{1}}$ ${\textstyle C^{1}({\bar {\Omega }})}$

拡張におけるトレース演算子の連続性により、抽象的な議論によって が存在し、は次のように特徴付けられます。 を密度で近似する列とします。におけるの証明された連続性により、列はにおけるコーシー列であり、における極限が であることがわかります。 ${\textstyle C^{\infty }({\bar {\Omega }})}$ ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$ ${\textstyle Tu}$ ${\textstyle u\in W^{1,p}(\Omega )}$ ${\textstyle u_{k}\in C^{\infty }({\bar {\Omega }})}$ ${\textstyle u\in W^{1,p}(\Omega )}$ ${\textstyle T}$ ${\textstyle C^{\infty }({\bar {\Omega }})}$ ${\textstyle u_{k}|_{\partial \Omega }}$ ${\textstyle L^{p}(\partial \Omega )}$ ${\textstyle Tu=\lim _{k\to \infty }u_{k}|_{\partial \Omega }}$ ${\textstyle L^{p}(\partial \Omega )}$

拡張特性は構成によりに対して成り立ちますが、任意の に対してに一様収束するシーケンスが存在し、より大きな集合 に対する拡張特性が検証されます。 ${\textstyle Tu=u|_{\partial \Omega }}$ ${\textstyle u\in C^{\infty }({\bar {\Omega }})}$ ${\textstyle u\in W^{1,p}(\Omega )\cap C({\bar {\Omega }})}$ ${\textstyle u_{k}\in C^{\infty }({\bar {\Omega }})}$ ${\textstyle {\bar {\Omega }}}$ ${\textstyle u}$ ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )\cap C({\bar {\Omega }})}$

1. 境界:各点に対して、必要に応じて座標軸のラベル付けと方向付けを変更すると、次の式が得られる 関数が存在する場合、境界は次のように表現されます。 $C^{k}$ $\partial U$ $C^{k}$ $x^{0}\in \partial U$ $r>0$ $C^{k}$ $\gamma \colon \mathbb {R} ^{n-1}\rightarrow \mathbb {R}$ $U\cap B(x^{0},r)=\{x\in B(x^{0},r)|x_{n}>\gamma (x_{1},\dots ,x_{n-1})\}$

p = ∞の場合

が有界で -境界を持つ場合、モーリーの不等式により連続埋め込み が存在する。ここで はリプシッツ連続関数の空間を表す。特に、任意の関数は古典的トレースを持ち、が成り立つ 。 ${\textstyle \Omega }$ ${\textstyle C^{1}}$ ${\textstyle W^{1,\infty }(\Omega )\hookrightarrow C^{0,1}(\Omega )}$ ${\textstyle C^{0,1}(\Omega )}$ ${\textstyle u\in W^{1,\infty }(\Omega )}$ ${\textstyle u|_{\partial \Omega }\in C(\partial \Omega )}$

${\displaystyle \|u|_{\partial \Omega }\|_{C(\partial \Omega )}\leq \|u\|_{C^{0,1}(\Omega )}\leq C\|u\|_{W^{1,\infty }(\Omega )}.}$

トレースゼロを持つ関数

のソボレフ空間は、 -ノルムに関するコンパクトに支えられたテスト関数の集合の閉包として定義される。以下の別の特徴付けが成り立つ。 ${\textstyle W_{0}^{1,p}(\Omega )}$ ${\textstyle 1\leq p<\infty }$ ${\textstyle C_{c}^{\infty }(\Omega )}$ ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$

${\displaystyle W_{0}^{1,p}(\Omega )=\{u\in W^{1,p}(\Omega )\mid Tu=0\}=\ker(T\colon W^{1,p}(\Omega )\to L^{p}(\partial \Omega )),}$

ここではの核、つまり はトレースがゼロである 内の関数の部分空間です。 ${\textstyle \ker(T)}$ ${\textstyle T}$ ${\textstyle W_{0}^{1,p}(\Omega )}$ ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$

トレース演算子の画像

p > 1の場合

トレース演算子はの場合にはに射影的ではない。つまり、 のすべての関数が の関数のトレースとなるわけではない。以下で詳述するように、この図は-バージョンのヘルダー連続性 を満たす関数から構成される。 ${\textstyle L^{p}(\partial \Omega )}$ ${\textstyle p>1}$ ${\textstyle L^{p}(\partial \Omega )}$ ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$ ${\textstyle L^{p}}$

抽象的な特徴づけ

の像の抽象的な特徴づけは以下のように導出できる。同型定理により、 ${\textstyle T}$

${\displaystyle T(W^{1,p}(\Omega ))\cong W^{1,p}(\Omega )/\ker(T\colon W^{1,p}(\Omega )\to L^{p}(\partial \Omega ))=W^{1,p}(\Omega )/W_{0}^{1,p}(\Omega )}$

ここで、はバナッハ空間の部分空間による商空間を表し、最後の恒等式は上記の の特徴付けから導かれる。商空間に、 ${\textstyle X/N}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle N\subset X}$ ${\textstyle W_{0}^{1,p}(\Omega )}$

${\displaystyle \|u\|_{W^{1,p}(\Omega )/W_{0}^{1,p}(\Omega )}=\inf _{u_{0}\in W_{0}^{1,p}(\Omega )}\|u-u_{0}\|_{W^{1,p}(\Omega )}}$

トレース演算子は射影的かつ有界な線型演算子である ${\textstyle T}$

${\displaystyle T\colon W^{1,p}(\Omega )\to W^{1,p}(\Omega )/W_{0}^{1,p}(\Omega )}$。

ソボレフ・スロボデツキ空間を用いた特徴づけ

の像をより具体的に表現するには、ヘルダー連続関数の概念を -設定に一般化したソボレフ・スロボデツキ空間を用いる。は(n-1) -次元リプシッツ多様体であり、これらの空間の明示的な特徴付けは技術的に複雑である。簡単のため、まず平面領域 を考える。 に対して、（おそらく無限の）ノルムを定義する。 ${\textstyle T}$ ${\textstyle L^{p}}$ ${\textstyle \partial \Omega }$ ${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\textstyle \Omega '\subset \mathbb {R} ^{n-1}}$ ${\textstyle v\in L^{p}(\Omega ')}$

${\displaystyle \|v\|_{W^{1-1/p,p}(\Omega ')}=\left(\|v\|_{L^{p}(\Omega ')}^{p}+\int _{\Omega '\times \Omega '}{\frac {|v(x)-v(y)|^{p}}{|x-y|^{(1-1/p)p+(n-1)}}}\,\mathrm {d} (x,y)\right)^{1/p}}$

これはヘルダー条件を一般化する。そして ${\textstyle |v(x)-v(y)|\leq C|x-y|^{1-1/p}}$

${\displaystyle W^{1-1/p,p}(\Omega ')=\left\{v\in L^{p}(\Omega ')\;\mid \;\|v\|_{W^{1-1/p,p}(\Omega ')}<\infty \right\}}$

前述のノルムを備えた はバナッハ空間である（非整数に対するの一般的な定義はソボレフ・スロボデツキ空間に関する記事を参照のこと）。(n-1)次元リプシッツ多様体に対しては、を局所的に直線化して の定義と同様に進めることで定義される。 ${\textstyle W^{s,p}(\Omega ')}$ ${\textstyle s>0}$ ${\textstyle \partial \Omega }$ ${\textstyle W^{1-1/p,p}(\partial \Omega )}$ ${\textstyle \partial \Omega }$ ${\textstyle W^{1-1/p,p}(\Omega ')}$

この空間はトレース演算子の像として識別され、^[1]が 成り立つ。 ${\textstyle W^{1-1/p,p}(\partial \Omega )}$

${\displaystyle T\colon W^{1,p}(\Omega )\to W^{1-1/p,p}(\partial \Omega )}$

は、射影的かつ有界な線形演算子です。

p = 1の場合

トレース演算子の像はであり、次の式が成り立つ^[1]。 ${\textstyle p=1}$ ${\textstyle L^{1}(\partial \Omega )}$

${\displaystyle T\colon W^{1,1}(\Omega )\to L^{1}(\partial \Omega )}$

は、射影的かつ有界な線形演算子です。

右逆: トレース拡張演算子

トレース演算子は単射ではない。なぜなら、 の複数の関数が同じトレース（あるいは同値な）を持つ可能性があるからだ。しかし、トレース演算子には、境界上で定義された関数を領域全体に拡張する、振る舞いの良い右逆演算子が存在する。具体的には、 に対して、有界な線形トレース拡張演算子^[3]が存在する。 ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$ ${\textstyle W_{0}^{1,p}(\Omega )\neq 0}$ ${\textstyle 1<p<\infty }$

${\displaystyle E\colon W^{1-1/p,p}(\partial \Omega )\to W^{1,p}(\Omega )}$、

前節のトレース演算子の像のソボレフ・スロボデツキ特性化を用いると、

${\displaystyle T(Ev)=v}$すべての人のために ${\textstyle v\in W^{1-1/p,p}(\partial \Omega )}$

そして、連続性によって、 ${\textstyle C>0}$

${\displaystyle \|Ev\|_{W^{1,p}(\Omega )}\leq C\|v\|_{W^{1-1/p,p}(\partial \Omega )}}$。

注目すべきは、右逆元の存在そのものよりも、その線型性と連続性である。このトレース拡大作用素は、ソボレフ空間理論において基本的な役割を果たす全空間拡大作用素と混同してはならない。 ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )\to W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n})}$

他のスペースへの拡張

高階微分

これまでの結果の多くは、領域が十分に正則であれば、より高次の微分可能性を持つに拡張できます。上の外単位法線場を とします。 は接線方向の微分可能性のみを符号化できるため、 のトレース理論においては、法線微分がさらに重要になります。 の高階微分についても同様の議論が当てはまります。 ${\textstyle W^{m,p}(\Omega )}$ ${\textstyle m=2,3,\ldots }$ ${\textstyle N}$ ${\textstyle \partial \Omega }$ ${\textstyle u|_{\partial \Omega }}$ ${\textstyle \partial _{N}u|_{\partial \Omega }}$ ${\textstyle m=2}$ ${\textstyle m>2}$

とを-境界を持つ有界領域とする。すると^{[3] 、射影的で有界な線型}高階トレース作用素が存在する。 ${\textstyle 1<p<\infty }$ ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\textstyle C^{m,1}}$

${\displaystyle T_{m}\colon W^{m,p}(\Omega )\to \prod _{l=0}^{m-1}W^{m-l-1/p,p}(\partial \Omega )}$

非整数 に対するソボレフ・スロボデツキ空間はに対して平面の場合に変換することで定義され、その定義はソボレフ・スロボデツキ空間の記事で詳しく説明されている。この作用素は古典的な正規軌跡を次の意味で拡張する。 ${\textstyle W^{s,p}(\partial \Omega )}$ ${\textstyle s>0}$ ${\textstyle \partial \Omega }$ ${\textstyle W^{s,p}(\Omega ')}$ ${\textstyle \Omega '\subset \mathbb {R} ^{n-1}}$ ${\textstyle T_{m}}$

${\displaystyle T_{m}u=\left(u|_{\partial \Omega },\partial _{N}u|_{\partial \Omega },\ldots ,\partial _{N}^{m-1}u|_{\partial \Omega }\right)}$すべての人のために ${\textstyle u\in W^{m,p}(\Omega )\cap C^{m-1}({\bar {\Omega }}).}$

さらに、の有界な線形右逆、高階トレース拡張演算子が存在する^[3] ${\textstyle T_{m}}$

${\displaystyle E_{m}\colon \prod _{l=0}^{m-1}W^{m-l-1/p,p}(\partial \Omega )\to W^{m,p}(\Omega )}$。

最後に、空間、つまり-ノルムにおけるの完備化は の核として特徴付けられる。[ ^3]すなわち、 ${\textstyle W_{0}^{m,p}(\Omega )}$ ${\textstyle C_{c}^{\infty }(\Omega )}$ ${\textstyle W^{m,p}(\Omega )}$ ${\textstyle T_{m}}$

${\displaystyle W_{0}^{m,p}(\Omega )=\{u\in W^{m,p}(\Omega )\mid T_{m}u=0\}}$。

あまり規則的ではない空間

痕跡なしL ^p

古典的なトレースを拡張する任意の有界線形演算子は、 の稠密な部分集合であるテスト関数の空間上でゼロになる必要があるため、に対するトレースの概念の適切な拡張は存在しません。つまり、そのような演算子はどこでもゼロになるということです。 ${\textstyle L^{p}(\Omega )}$ ${\textstyle 1\leq p<\infty }$ ${\textstyle C_{c}^{\infty }(\Omega )}$ ${\textstyle L^{p}(\Omega )}$

一般化正規トレース

ベクトル場の分布発散をと表す。と有界リプシッツ領域に対して、定義される。 ${\textstyle \operatorname {div} v}$ ${\textstyle v}$ ${\textstyle 1<p<\infty }$ ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle E_{p}(\Omega )=\{v\in (L^{p}(\Omega ))^{n}\mid \operatorname {div} v\in L^{p}(\Omega )\}}$

これはノルム

${\displaystyle \|v\|_{E_{p}(\Omega )}=\left(\|v\|_{L^{p}(\Omega )}^{p}+\|\operatorname {div} v\|_{L^{p}(\Omega )}^{p}\right)^{1/p}}$。

上の外単位法線場をと表記する。すると^[4]、有界線型作用素が存在する。 ${\textstyle N}$ ${\textstyle \partial \Omega }$

${\displaystyle T_{N}\colon E_{p}(\Omega )\to (W^{1-1/q,q}(\partial \Omega ))'}$、

ここでは の共役指数であり、 はバナッハ空間 への連続双対空間を表し、 は の正規分布を次の意味で拡張する。 ${\textstyle q=p/(p-1)}$ ${\textstyle p}$ ${\textstyle X'}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle T_{N}}$ ${\textstyle (v\cdot N)|_{\partial \Omega }}$ ${\textstyle v\in (C^{\infty }({\bar {\Omega }}))^{n}}$

${\displaystyle T_{N}v={\bigl \{}\varphi \in W^{1-1/q,q}(\partial \Omega )\mapsto \int _{\partial \Omega }\varphi v\cdot N\,\mathrm {d} S{\bigr \}}}$。

に対する通常のトレース演算子の値は、発散定理をベクトル場 (ここでは上からのトレース拡張演算子) に適用することによって定義されます。 ${\textstyle (T_{N}v)(\varphi )}$ ${\textstyle \varphi \in W^{1-1/q,q}(\partial \Omega )}$ ${\textstyle w=E\varphi \,v}$ ${\textstyle E}$

応用：有界リプシッツ領域におけるの任意の弱解はの意味で正規微分を持つ。これはとより成り立つ。この結果は、一般にリプシッツ領域において が成り立つため、 がトレース演算子 の領域に含まれない可能性があるため、注目に値する。 ${\textstyle u\in H^{1}(\Omega )}$ ${\textstyle -\Delta u=f\in L^{2}(\Omega )}$ ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\textstyle T_{N}\nabla u\in (W^{1/2,2}(\partial \Omega ))^{*}}$ ${\textstyle \nabla u\in E_{2}(\Omega )}$ ${\textstyle \nabla u\in L^{2}(\Omega )}$ ${\textstyle \operatorname {div} (\nabla u)=\Delta u=-f\in L^{2}(\Omega )}$ ${\textstyle u\not \in H^{2}(\Omega )}$ ${\textstyle \nabla u}$ ${\textstyle T}$

応用

上で示した定理により、境界値問題のより詳細な調査が可能となる。

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}-\Delta u&=f&\quad &{\text{in }}\Omega ,\\u&=g&&{\text{on }}\partial \Omega \end{alignedat}}}$

動機から、リプシッツ領域上の が成り立つ。ここではヒルベルト空間の場合のみを扱うため、 という表記法を用いて等式を表す。動機で述べたように、この方程式の弱解はと を満たさなければならない。 ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\textstyle p=2}$ ${\textstyle H^{1}(\Omega )}$ ${\textstyle W^{1,2}(\Omega )}$ ${\textstyle u\in H^{1}(\Omega )}$ ${\textstyle Tu=g}$

${\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla \varphi \,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }f\varphi \,\mathrm {d} x}$すべてのために、 ${\textstyle \varphi \in H_{0}^{1}(\Omega )}$

ここで、右辺は、値 を持つ双対積として解釈する必要があります。 ${\textstyle f\in H^{-1}(\Omega )=(H_{0}^{1}(\Omega ))'}$ ${\textstyle f(\varphi )}$

弱解の存在と一意性

の範囲の特徴付けは、 が正則性を保つために必要であることを意味する。この正則性は、次のようにして見ることができる弱解の存在にも十分である。トレース拡張定理により、となるような が存在する。を で定義すると が得られ、したがって を の特徴付けによりトレース零の空間として得られる。すると、関数は次の積分方程式を満たす。 ${\textstyle T}$ ${\textstyle Tu=g}$ ${\textstyle g\in H^{1/2}(\partial \Omega )}$ ${\textstyle Eg\in H^{1}(\Omega )}$ ${\textstyle T(Eg)=g}$ ${\textstyle u_{0}}$ ${\textstyle u_{0}=u-Eg}$ ${\textstyle Tu_{0}=Tu-T(Eg)=0}$ ${\textstyle u_{0}\in H_{0}^{1}(\Omega )}$ ${\textstyle H_{0}^{1}(\Omega )}$ ${\textstyle u_{0}\in H_{0}^{1}(\Omega )}$

${\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u_{0}\cdot \nabla \varphi \,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }\nabla (u-Eg)\cdot \nabla \varphi \,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }f\varphi \,\mathrm {d} x-\int _{\Omega }\nabla Eg\cdot \nabla \varphi \,\mathrm {d} x}$すべてのために。 ${\textstyle \varphi \in H_{0}^{1}(\Omega )}$

このように、 の不同次境界値問題は、の同次境界値問題に帰着することができ、この手法は任意の線形微分方程式に適用できる。リースの表現定理により、この問題には唯一の解が存在する。 の分解が唯一であることから、これは不同次境界値問題に唯一の弱解が存在することと等価である。 ${\textstyle u}$ ${\textstyle u_{0}}$ ${\textstyle u_{0}}$ ${\textstyle u=u_{0}+Eg}$ ${\textstyle u}$

データへの継続的な依存

残るは、と への依存性を調べることである。は とに依存しない定数を表す。が積分方程式の右辺に連続的に依存することから、 ${\textstyle u}$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle g}$ ${\textstyle c_{1},c_{2},\ldots >0}$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle g}$ ${\textstyle u_{0}}$

${\displaystyle \|u_{0}\|_{H_{0}^{1}(\Omega )}\leq c_{1}\left(\|f\|_{H^{-1}(\Omega )}+\|Eg\|_{H^{1}(\Omega )}\right)}$

そして、それとトレース拡張演算子の連続性により、次の式が成り立ちます。 ${\textstyle \|u_{0}\|_{H^{1}(\Omega )}\leq c_{2}\|u_{0}\|_{H_{0}^{1}(\Omega )}}$ ${\textstyle \|Eg\|_{H^{1}(\Omega )}\leq c_{3}\|g\|_{H^{1/2}(\Omega )}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\|u\|_{H^{1}(\Omega )}&\leq \|u_{0}\|_{H^{1}(\Omega )}+\|Eg\|_{H^{1}(\Omega )}\leq c_{1}c_{2}\|f\|_{H^{-1}(\Omega )}+(c_{3}+c_{1}c_{2})\|Eg\|_{H^{1}(\Omega )}\\&\leq c_{4}\left(\|f\|_{H^{-1}(\Omega )}+\|g\|_{H^{1/2}(\partial \Omega )}\right)\end{aligned}}}$

そしてソリューションマップ

${\displaystyle H^{-1}(\Omega )\times H^{1/2}(\partial \Omega )\ni (f,g)\mapsto u\in H^{1}(\Omega )}$

したがって連続です。

参照

• バナッハ空間間の核作用素

参考文献

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3. ネチャス、ジンドジッチ (1967)。Les methodes directes en théorie des équations elliptiques。パリ: Masson et Cie、Éditeurs、プラハ: Academia、Éditeurs。90–104ページ 。
4. ヘルマン・ソーア (2001)。ナビエ・ストークス方程式: 基本的な関数分析アプローチ。 Birkhäuser Advanced Texts Basler Lehrbücher。バーゼル：ビルクホイザー。 pp.  50–51 .土井:10.1007/978-3-0348-8255-2。ISBN 978-3-0348-9493-7。{{cite book}}: CS1 maint: publisher location (link)

• レオニ、ジョヴァンニ (2017). 『ソボレフ空間入門：第2版』 .数学大学院研究科. 181.アメリカ数学会. pp. 734. ISBN 978-1-4704-2921-8

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