トラッキングエラー

金融において、トラッキングエラーまたはアクティブリスクとは、ポートフォリオ・マネージャーによるアクティブな運用判断に起因する投資ポートフォリオのリスクを測る指標であり、ポートフォリオがベンチマークとする指数にどれだけ忠実に従っているかを示す。最も適切な指標は、ポートフォリオと指数のリターンの差の標準偏差である。

多くのポートフォリオは、典型的にはインデックスをベンチマークとして運用されています。一部のポートフォリオ、特にインデックスファンドは、取引やその他のコストを差し引く前の段階で、インデックスのリターンを正確に再現することが期待されています。一方、アクティブリターンを生み出すためにインデックスから乖離したポートフォリオを「アクティブ運用」するポートフォリオもあります。トラッキングエラーは、ベンチマークからの乖離度合いを測るものです。インデックスファンドのトラッキングエラーはほぼゼロですが、アクティブ運用のポートフォリオは通常、トラッキングエラーが大きくなります。したがって、トラッキングエラーには、市場の動きにのみ依存するリスク（リターン）は含まれません。特定の銘柄選択や業種、要因の「ベータ」によるリスク（リターン）に加えて、市場のタイミング判断によるリスク（リターン）も含まれる場合があります。

ポートフォリオのアクティブリターンをポートフォリオトラッキングエラーで割ると、リスク調整後のパフォーマンス指標である情報比率が得られます。

意味

トラッキングエラーが過去の実績に基づいて測定される場合、それは「実現」または「事後」トラッキングエラーと呼ばれます。モデルを用いてトラッキングエラーを予測する場合、それは「事前」トラッキングエラーと呼ばれます。事後トラッキングエラーはパフォーマンス報告に有用であるのに対し、事前トラッキングエラーは一般的にポートフォリオマネージャーがリスク管理に使用します。事前トラッキングエラーモデルには、ベータを主要な決定要因とする単純な株式モデルから、より複雑なマルチファクター債券モデルまで、様々な種類があります。ポートフォリオのファクターモデルにおいて、非体系的リスク（すなわち、残差の標準偏差）は、投資分野では「トラッキングエラー」と呼ばれます。後者のトラッキングエラー計算方法は、以下の式を補完しますが、結果は変動する可能性があります（場合によっては2倍）。

数式

事後トラッキングエラーの式は、アクティブリターンの標準偏差であり、次のように表されます。

TE=\omega ={\sqrt {\operatorname {Var} (r_{p}-r_{b})}}={\sqrt {{E}[(r_{p}-r_{b})^{2}]-({E}[r_{p}-r_{b}])^{2}}}={\sqrt {(w_{p}-w_{b})^{T}\Sigma (w_{p}-w_{b})}}

ここで、はアクティブリターン、すなわちポートフォリオリターンとベンチマークリターンの差^[1]であり、はベンチマークに対するアクティブポートフォリオのウェイトのベクトルである。トラッキングエラーと線形制約の下で、リターンを最大化する最適化問題は、 2次円錐計画法を用いて解くことができる。 $r_{p}-r_{b}$ $(w_{p}-w_{b})$ ${\underset {w}{\operatorname {argmax} }}\;\mu^{T}(w-w_{b}),\quad {\text{st}}\;(w-w_{b})^{T}\Sigma (w-w_{b})\leq \omega^{2},\;Ax\leq b,\;Cx=d$

解釈

リターンの正規性の仮定の下では、アクティブリスクが x パーセントの場合、ポートフォリオのアクティブリターン (平均からの 1 標準偏差) の約 2/3 が平均超過リターンの +x パーセントから -x パーセントの間に収まることが予想され、ポートフォリオのアクティブリターン (平均からの 2 標準偏差) の約 95% が平均超過リターンの +2x パーセントから -2x パーセントの間に収まることが予想されます。

例

インデックスファンドではトラッキングエラーが最小限に抑えられると予想されます。
インバース型上場投資信託は、インデックスやその他のベンチマークの逆のパフォーマンスを実現するように設計されており、そのため、基礎となるインデックスまたはベンチマークのショートポジションに対するトラッキングエラーを反映します。

インデックスファンドの作成

インデックスファンドは、複製しようとしているインデックスに対するトラッキングエラーを最小化することが期待されており、この問題は標準的な最適化手法を用いて解くことができます。まず、を次のように定義します。ここで、はベンチマークインデックスに対する各資産のアクティブウェイトのベクトルであり、はインデックスに含まれる資産の共分散行列です。インデックスファンドを作成する際には、インデックスに含まれるすべての投資可能資産を保有することが必要になる場合もありますが、資産のサブセットのみに投資する方がよい場合もあります。これらの考慮事項から、次の混合整数二次計画法（MIQP）問題が導き出されます。ここで、は資産がインデックスファンドに含まれるかどうかの論理条件であり、は次のように定義されます。 $\omega^{2}$ $\omega ^{2}=(w-w_{b})^{T}\Sigma (w-w_{b})$ $w-w_{b}$ $\Sigma$ $N$ $K$ ${\begin{aligned}{\underset {w}{\operatorname {argmin} }}&\quad \omega ^{2}\\{\text{st}}&\quad w_{j}\leq y_{j},\quad \sum _{j=1}^{N}y_{j}\leq K\\&\quad \ell _{j}y_{j}\leq w_{j}\leq u_{j}y_{j},\quad y_{j}\in \{0,1\},\quad \ell _{j},\;u_{j}\geq 0\end{aligned}}$ $y_{j}$ $y_{j}={\begin{cases}1,\quad &w_{j}>0\\0,\quad &{\text{otherwise}}\end{cases}}$

参考文献

^ コルヌエジョルス、ジェラール、トゥトゥンク、レハ (2007).ファイナンスにおける最適化手法. 数学、ファイナンス、リスク. ケンブリッジ大学出版局. pp. 178– 180. ISBN 978-0521861700。

外部リンク

トラッキングエラー - YouTube
トラッキングエラー：パッシブ投資の隠れたコスト
トラッキングエラー
トラッキングエラーとは何ですか?

[1] コルヌエジョルス、ジェラール、トゥトゥンク、レハ (2007).ファイナンスにおける最適化手法. 数学、ファイナンス、リスク. ケンブリッジ大学出版局. pp. 178– 180. ISBN 978-0521861700。