外部弾道

自由飛行する弾丸のこのシュリーレン画像は、弾丸の周囲の空気圧の力学を示しています。

外部弾道学（ external ballistics）は、飛行中の発射体の挙動を扱う弾道学の一分野です。発射体は、動力付きま​​たは無動力、誘導付きまたは無誘導、スピン安定またはフィン安定のいずれかであり、大気圏中または宇宙空間を飛行しますが、重力場の影響下で飛行することはほぼ確実です。[1]

銃発射弾は無動力の場合もあり、その速度はすべて推進剤の点火から砲身を出るまでの時間によって決まる。[2]しかし、外部弾道解析は、ロケット支援を受けた銃発射弾や銃発射ロケット、そしてロケットモーターまたは空気吸入式エンジンのいずれかに搭載された推進システムの内部弾道からすべての速度を得るロケットの軌道も扱う。これらのロケットは、ブースト段階中およびモーターのバーンアウト後の両方でその軌道が変化する。外部弾道解析は、ボールや矢などの他の発射体の自由飛行にも関係する。

発射体に作用する力

飛行中、発射体に作用する主な力は、重力、抗力、風力（存在する場合）です。動力飛行の場合は推力、誘導飛行の場合は操縦翼面によって与えられる力です。

小火器の外部弾道解析において、重力は弾丸に下向きの加速を与え、視線から外れさせます。空気抵抗である抗力は、速度の2乗に比例する力で弾丸を減速させます。風は弾丸を軌道から外します。飛行中、重力、抗力、風は弾丸の軌道に大きな影響を与えるため、弾丸の飛行経路を予測する際にはこれらを考慮する必要があります。

中距離から長距離、そして飛行時間に関しては、重力、空気抵抗、風に加えて、外部要因の段落で述べたいくつかの中間変数、つまりメソ変数を小火器において考慮する必要があります。メソ変数は、斜めからの射撃や長距離射撃に対応する必要がある銃器使用者にとっては重要となる可能性がありますが、一般的な狩猟や標的射撃の距離ではほとんど関係ありません。

小火器の標的距離が長距離から超長距離に及ぶ場合、長距離要因の段落で述べたような小さな効果や力が重要となり、考慮に入れる必要があります。これらの小さな変数の実際的な影響は、ほとんどの銃器使用者にとって一般的に無関係です。なぜなら、短距離および中距離における通常の散布が、これらの効果が弾道に及ぼす影響よりも優先されるからです。

超長距離では、砲兵は発射弾をほぼ直線ではなく、放物線に近い軌道に沿って発射しなければなりませんが、空気抵抗の影響を受けます。超長距離の砲弾は、状況によっては目標に向かう線から大きく逸れてしまうため、照準を定める際には、あらゆる外的要因と長距離要因を考慮する必要があります。パリ砲のような超大口径砲の場合、この記事では取り上げていない非常に微妙な影響によって、照準ソリューションがさらに洗練される可能性があります。

弾道ミサイルの場合、高度も大きな影響を及ぼします。飛行の一部は自転する地球の遥か上空のほぼ真空状態で行われるため、標的は発射時の位置から着実に移動していきます。

飛行中の非球形発射体の安定化

飛行中の非球形発射体を安定させるには、次の 2 つの方法があります。

  • 矢のような弾頭、あるいはM829徹甲・フィン安定・投射型サボ（APFSDS）のような矢のようなサボは、尾翼によって圧力中心（CP）を質量中心（CM）の後方に配置することで安定性を実現します。圧力中心が質量中心の後方にあることで、弾頭は安定した飛行が可能になり、大気圏内を飛行中に空気力によって転覆することはありません。
  • 小火器の弾丸や砲弾などの弾丸は、主砲が主砲の前方に位置するため、飛行中に不安定になるという問題に対処しなければなりません。このような弾丸を安定させるため、弾丸は長手方向（後端方向）の軸を中心に回転します。回転する質量によってジャイロ力が生じ、主砲が主砲の前方に位置することで生じる不安定な転倒トルクに対して、弾丸の長手方向の軸が抵抗力を保ちます。

外部弾道における主な影響

弾丸の落下と弾道

同一のM855カートリッジと同一の弾頭を使用したM4カービンとM16A2ライフルの典型的な弾道グラフ。どちらの弾道もニアゼロ（零点）は25mで一致しているものの、弾頭の銃口速度の差により、弾道とファーゼロに徐々に大きな差が生じます。0インチ軸は視線または水平照準面を表します。

飛行中の弾丸に対する重力の影響は、しばしば弾丸落下または弾丸落下と呼ばれます。銃の照準部品をゼロインする際には、重力の影響を理解することが重要です。弾丸落下を計画し、適切に補正するには、放物線状の弾道を理解する必要があります。

発射物/弾丸の落下

発射体が遠方の標的に命中するには、砲身を標的に対して正の仰角に傾ける必要があります。これは、発射体が銃身の機械的拘束から解放された瞬間から重力の影響を受け始めるためです。銃身の中心軸から無限遠まで伸びる仮想的な線は「発射線」と呼ばれ、発射体が銃身から飛び出す線です。重力の影響により、発射体は発射線よりも高い標的に命中することはありません。正に傾いた発射体が射程距離を進む際、重力によって最初の軌道から逸れ、発射線よりも下方に弧を描きます。弾丸の落下距離は、銃身から発射線よりも下方にある発射体の垂直距離として定義されます。発射線が上向きまたは下向きに傾いている場合でも、弾丸の落下距離は、弾道上の任意の点における弾丸と発射線との間の距離として定義されます。弾丸の落下距離は、発射体の実際の軌道を表すものではありません。ただし、発射体の落下に関する知識は、速度や抗力挙動などの変数の影響を比較しながら、2 つの異なる発射体の軌道の形状を直接比較する場合に役立ちます。

弾道

遠距離の標的を命中させるには、適切な正の仰角が必要です。これは、射手の目から照準器の中心線を通る視線を、発射線に向かって下向きに傾けることで実現されます。これは、照準器を機械的に下方に調整するだけで実現できます。あるいは、照準器全体を既知の下向きの傾斜を持つ傾斜台に固定するだけで実現できます。あるいは、その両方を組み合わせることで実現できます。この手順は、照準器を標的に合わせるために銃身を上げなければならない際に、銃口を高くする効果があります。所定の仰角で銃口から発射された弾丸は、銃口速度、重力、空気抵抗など、様々な要因によって特性が変化する弾道軌道を描きます。この弾道軌道は弾道と呼ばれます。弾丸がスピン安定化されている場合、ライフリングが「右ねじれ」であれば、空気力によって弾道はわずかに右に弧を描くことも予測できます。一部の銃身は左ねじれにカットされており、その結果、弾丸は左に弧を描きます。したがって、この軌道のずれを補正するために、照準器もそれぞれ左右に調整する必要があります。一定の風も弾道に影響を与え、風向に応じて弾道はわずかに左右に、そして上下にわずかに押しやられます。これらのずれの大きさは、弾道が軌道の上り坂か下り坂かによっても影響を受けます。これは「ヨー・オブ・リポーズ」と呼ばれる現象によるもので、回転する弾道は質量点軌道から中心からわずかにずれた軌道を安定的に、そして予測通りに描く傾向があります。しかしながら、詳細な解析モデルと試験場における測定を組み合わせることで、弾丸の空力係数が確立されれば、これらの軌道の変動はそれぞれ予測可能です。

弾丸／弾道解析は射撃手にとって非常に有用です。なぜなら、様々な既知の距離における射撃において、照準線にどの程度の垂直仰角補正と水平偏向補正を適用する必要があるかを予測する弾道表を作成できるからです。最も詳細な弾道表は長距離砲用に開発されており、6自由度の弾道解析に基づいています。この解析は、3つの軸方向（仰角、距離、偏向）と3つの回転方向（ピッチ、ヨー、スピン）に沿った空気力学的挙動を考慮しています。小火器への応用においては、弾道モデリングは多くの場合、これらの自由度のうち4つのみを考慮した計算に簡略化され、ピッチ、ヨー、スピンの影響を静止ヨーの影響にまとめて弾道偏向を考慮に入れます。詳細な距離表が作成されると、射撃手は目標までの距離、風、気温と湿度、地形の高低差などのその他の幾何学的要因に基づいて、比較的迅速に照準を調整できます。

発射体の軌道値は、照準高、つまり砲身の中心線からの視線の距離と、照準がゼロになる距離 (照準がゼロになる) の両方によって決まり、これによって仰角が決まります。弾道軌道をたどる発射体には、前進運動と垂直運動の両方があります。前進運動は空気抵抗によって減速され、質点モデル化では、垂直運動は仰角と重力の組み合わせによって決まります。最初、発射体は視線または水平照準面に対して上昇しています。発射体は最終的に頂点 (弾道放物線の最高点) に達し、そこで垂直速度成分が重力の影響でゼロに減少した後、下降を開始し、最終的に地面に衝突します。目的のターゲットまでの距離が遠いほど、仰角が大きくなり、頂点は高くなります。

発射体の軌道は、水平照準面を 2 回横切ります。銃に最も近づく点は、弾丸が視線を上昇しているときに発生し、近ゼロと呼ばれます。2 番目の点は、発射体が視線を下降しているときに発生します。これは遠ゼロと呼ばれ、銃の現在の視距離を定義します。発射体の軌道は、弾道に沿ったさまざまなポイントでの水平照準面の上または下の距離として数値で表されます。これは、仰角に関係なく、発射ラインを含む平面を基準とする発射体の落下とは対照的です。これら 2 つのパラメーターはそれぞれ異なる参照データを使用するため、発射体が発射ラインよりかなり下を進んでいる場合でも、平坦な地形で水平またはほぼ水平に射撃された場合、視線と地表に対して実際のかなりの高さを獲得している可能性があるため、大きな混乱が生じる可能性があります。

最大至近距離と戦闘ゼロ

弾丸の落下と軌道に関する知識は、たとえそれが弾丸の実際の軌道を記述するものでなくても、射撃手にとって実用的な用途を持つ。例えば、ある射程距離における弾丸の垂直位置が、射撃手が命中させたい標的エリアの垂直高度の範囲内にある場合、その射程距離にわたって照準点を必ずしも調整する必要はない。弾丸はその特定の標的に対して十分に平坦な至近距離における軌道を持つとみなされるからである。[3]「バトル・ゼロ」とも呼ばれる最大至近距離は、軍隊にとっても重要である。兵士は、この距離内のあらゆる標的に対し、武器の照準を敵標的の重心に合わせるだけで射撃するように指示される。射程距離の推定におけるいかなる誤差も戦術的に無意味である。なぜなら、正確に照準された射撃は敵兵士の胴体に命中するからである。アサルトライフルにおける照準器の高架化と弾速の高速化の現在の傾向は、最大至近距離を延長し、ライフルの使い勝手を向上させたいという願望によるところが大きい。[4] [5] [6]

抗力抵抗

シュリーレン写真/超音速飛行中の弾丸の周りの分離衝撃波または弓状衝撃波の影絵。 1888年にエルンスト・マッハによって発表された。

数値流体力学などの数学モデルは、抗力や空気抵抗の影響を計算するために使用されます。これらのモデルは非常に複雑で、まだ完全に信頼できるものではありませんが、研究が進められています。[7]したがって、飛行軌道を適切に記述するために必要な発射体の空力特性を確立する最も信頼性の高い方法は、経験的な測定です。

標準形状の発射体用に生成された抗力曲線モデルを修正しました。

G1形状の標準弾頭。すべての測定値は口径/直径で表記されています。

1881年に導入されたメイエフスキー/シアッチ法とG1抗力モデルに基づく弾道表または弾道ソフトウェアの使用は、外部弾道を扱う際に最も一般的に用いられる方法です。弾道係数（BC）は、弾丸の形状による空気抵抗（抗力係数）と断面密度（質量と弾丸の直径の関数）を組み合わせたものです。

質量m、速度v、直径dの弾丸が受ける抗力による減速は、1/BC、1/ m、v²、d²に比例します。BCは、標準G1弾丸と比較した弾道効率の比を示します。標準G1弾丸は、平底、長さ3.28口径/直径、先端の接線半径が2口径/直径の架空の弾丸です。G1標準弾丸は、1881年にドイツの鉄鋼・弾薬・兵器メーカーであるクルップ社によって定義された「C」標準参照弾丸に由来しています。G1標準弾丸のBCは1です。[8]フランスのガヴル委員会はこの弾丸を最初の標準弾丸として使用することを決定し、G1と名付けました。[9] [10]

口径が0.177インチから0.50インチ（4.50mmから12.7mm ）のスポーツ用弾丸は、G1弾頭の抗力 係数（BC）が0.12から1.00をわずかに上回る範囲にあり、1.00が最も空気抵抗に優れ、0.12が最も空気抵抗に優れる。BCが1.10以上の超低抵抗弾頭は、 CNC精密旋盤でモノメタルロッドから設計・製造できるが、特殊な銃身を備えた特注のフルボアライフルで発射する必要があることが多い。[11]

断面密度は、発射体または弾丸にとって非常に重要な要素であり、弾丸のような円形の発射体の場合、前面面積（弾丸の直径の2乗の半分に円周率を掛けたもの）と弾丸の質量の比です。特定の弾丸形状において、前面面積は口径の2乗に比例して増加し、質量は直径の3乗に比例して増加するため、断面密度は銃口径に比例して増加します。弾丸の弾丸密度は形状と断面密度を合わせた値であるため、G1弾丸の1/2スケールモデルでは弾丸の弾丸密度は0.5、1/4スケールモデルでは弾丸の弾丸密度は0.25となります。

発射体の形状が異なれば速度の変化に対する反応も異なるため（特に超音速と亜音速の間）、弾丸メーカーが提供する BC はその弾丸の一般的な速度範囲を表す平均 BC となります。ライフルの弾丸の場合、これはおそらく超音速であり、ピストルの弾丸の場合は亜音速でしょう。超音速、遷音速、亜音速の飛行領域を飛行する発射体の場合、BC は単一の定数でうまく近似できませんが、マッハ数Mの関数 BC(M)であると考えられます。ここで、M は発射体の速度を音速で割った値に等しくなります。発射体の飛行中、M は減少するため、（ほとんどの場合）BC も減少します。

ほとんどの弾道表やソフトウェアは、特定の抗力関数が抗力、ひいては弾道係数に関連する弾丸の飛行特性を正しく記述することを前提としています。これらのモデルは、ワッドカッター、フラットベース、スピッツァー、ボートテール、超低抗力など、弾丸の種類や形状を区別しません。公表されている弾道係数（BC）が示すように、1つの不変の抗力関数を仮定しています。

しかしながら、いくつかの標準的な発射体形状に最適化された抗力曲線モデルが複数存在します。これらの標準的な発射体形状や種類に対して最適化された固定抗力曲線モデルは、以下のように呼ばれます。

G7形状の標準弾頭。すべての測定値は口径/直径で表記されています。
  • G1 またはインガルス (2 口径 (鈍い) ノーズ オジーブを備えたフラットベース - 最も人気がある)
  • G2（アバディーンJ弾）
  • G5（短い7.5°のボートテール、6.19口径の長い接線オイブ）
  • G6 (フラットベース、6 口径ロングセカントオジブ)
  • G7（長い7.5°のボートテール、10口径の接線オイブ、一部のメーカーが非常に低抵抗の弾丸に好んで使用しています[12]）
  • G8（平底、10口径長のセカントオジーブ）
  • GL（鈍いリードノーズ）

異なる速度状況が.338口径ライフルの弾丸にどう影響するかについては、ドップラーレーダーで確立されたG1 BCデータについて記載されている.338ラプア・マグナムの製品パンフレットで見ることができます。[13] [14]このパンフレットのようなデータを公開する理由は、Siacci/Mayevski G1モデルでは、使用されている基準発射体の形状から大幅に形状が外れている特定の発射体の抗力挙動に合わせて調整できないためです。弾道ソフトウェア設計者の中には、Siacci/Mayevski G1モデルに基づいてプログラムを作成する場合、異なる速度状況に対して複数の異なるG1 BC定数を入力できるようにして、1つのBC定数のみを使用する計算と比較して、長距離での弾丸の飛行挙動により一致する弾道予測を計算する機能を提供している人もいます。

上記の例は、固定抗力曲線モデルが抱える中心的な問題を示しています。これらのモデルは、対象とする発射体が基準となる発射体と同じ形状、または基準となる発射体に酷似した形状である場合にのみ、十分に正確な予測を生成できます。基準となる発射体の形状から少しでも逸脱すると、予測の精度が低下します。[15] [16]発射体が適用した基準となる発射体からどれだけ逸脱しているかは、数学的には形状係数 ( i ) で表されます。[17]形状係数は、対象とする発射体が受ける抗力と、採用した基準となる発射体が所定の速度 (距離) で受ける抗力を比較するために使用できます。発射体の実際の抗力曲線が、採用した基準となる発射体の固定抗力曲線から大きく逸脱する可能性があるという問題は、従来の抗力抵抗モデリング手法を体系的に制限しています。しかし、比較的単純なため、一般の射撃愛好家にも説明して理解しやすく、そのため、製品を市場に投入したい弾道ソフトウェア予測開発者や弾丸メーカーの間でも人気があります。

より高度なドラッグモデル

ペイサモデル

弾道計算機を構築するもう一つの試みは、アーサー・J・ペイサ博士が1980年に発表したモデルである。[18]ペイサ博士は自身のウェブサイトで、彼の方法は理論上、914メートル（1,000ヤード）までの（超音速）ライフル弾の軌道を2.5ミリメートル（0.1インチ）以内、弾丸速度を0.3メートル/秒（1フィート/秒）以内で一貫して予測することができると主張している。[19]ペイサモデルは閉じた形式の解である。

Pejsa モデルは、2 回の速度測定、それらの速度測定間の距離、および傾きまたは減速定数係数のみを使用して、特定の飛行モード (たとえば超音速飛行モード) での発射体を予測できます。[20]このモデルでは、抗力曲線の傾き (真/較正) または曲率が 3 つの異なるポイントで変化します。 [21]ダウンレンジ速度測定データは、重要な変曲点の周辺で提供できるため、マッハ対 CD 表に非常によく似た、発射体の減速率をより正確に計算できます。Pejsa モデルでは、異なる弾丸の形状とサイズによる減速率の微妙な違いを考慮して傾き係数を調整できます。傾き係数の範囲は、0.1 (先端が平らな弾丸) から 0.9 (抗力が非常に低い弾丸) です。この傾きまたは減速定数係数が不明な場合は、デフォルト値の 0.5 が使用されます。テスト射撃測定の助けを借りて、特定の弾丸、ライフル システム、および射手の組み合わせに対する傾き定数を決定できます。これらの試験射撃は、対象とする弾丸の超音速射程の60%で実施するのが理想的であり、超長距離弾道予測の場合は、不安定な遷音速効果を避け、80%から90%の速度でも実施する必要があります。これにより、Pejsaモデルの調整が容易になります。Pejsaモデルの実際的な欠点は、これらのより良い予測を提供するための正確な弾丸ごとの遠距離速度測定が、ほとんどの射撃愛好家にとって容易ではないことです。

速度データ ポイントがわかっており、かつ、その速度測定間の距離がわかっている場合、平均遅延係数は任意の傾斜定数係数に対して計算できます。明らかに、これは同じ飛行レジーム内でのみ当てはまります。速度はベクトル量であり、速度は速度ベクトルの大きさであるため、速度とは実際の速度を意味します。べき関数は一定曲率を持たず、単純な弦平均は使用できません。 Pejsa モデルは、0.25 の範囲で重み付けされた加重平均遅延係数を使用します。速度が近いほど重み付けが大きくなります。遅延係数はフィートで測定されますが、距離はヤードで測定されるため、0.25 × 3.0 = 0.75 となり、場所によっては 0.75 ではなく 0.8 が使用されます。0.8 は、電卓に簡単に入力できるようにするために四捨五入された値です。 Pejsa モデルは単純な弦加重平均を使用しないため、2 つの速度測定ポイント間の中間距離にある弦平均遅延係数を見つけるために 2 つの速度測定が使用され、短距離精度に制限されます。初期遅延係数を求めるために、ペイサ博士は 2 冊の本の中で 2 つの別々の方程式を提供しています。最初の方程式はべき関数に関するものです。[22] 2 番目の方程式は、R / 4 での加重平均を求めるために使用される方程式と同じです。つまり、N × (R/2) を加算します。ここで、R は中間距離での弦平均遅延係数までのフィート単位の距離であり、N は傾斜定数係数です。[23]初期遅延係数が求められた後、R / 4 での加重平均を求めるために逆の手順が使用されます。つまり、初期遅延係数から N × (R/4) を引いたものです。言い換えると、N は弦線の傾斜として使用されます。ペイサ博士は、R / 4 での加重平均遅延係数が適切な近似値であることを証明するために、低下式をべき級数で展開したと述べています。このため、ペイサ博士は、彼の低下式のべき級数展開を他の名前のない低下式のべき展開と比較して、結論に達しました。ペイサの滴定式において、0.25付近の遅延係数を用いた場合、両方のべき級数の第4項は一致した。また、第4項はNを用いた最初の項でもあった。Nを含む高次の項は重要ではなく、N = 0.36で消えたが、ペイサ博士によれば、これは幸運な偶然であり、特にNが0.36付近の場合には非常に正確な線形近似が得られるという。遅延係数関数を用いれば、任意のNについて正確な平均値を得ることができる。なぜなら、微積分学から、任意の積分可能関数の平均を求めることは自明だからである。[24]ペイサ博士は、遅延係数はC × V Nでモデル化できると述べている。ここでCは滴定式の導出中に消えるフィッティング係数であり、Nは傾き定数係数である。[25]

遅延係数は、速度の二乗を遅延率 A で割った値に等しくなります。平均遅延係数を使用すると、Pejsa モデルを特定の飛行領域内で閉じた形式の表現にすることができます。

アメリカ軍の装填に使用された5つの弾丸（左から右へ）：M1903弾、M1906弾、M1弾、ペジャ博士が2番目の基準抗力曲線に使用したM2弾、M2徹甲弾（AP弾）

速度データではなくG1弾道係数を使用できるようにするために、Pejsa博士は2つの参照抗力曲線を提供しました。最初の参照抗力曲線は、純粋にSiacci/Mayevskiの減速率関数に基づいています。2つ目の参照抗力曲線は、超音速飛行状態において、傾斜定数または減速定数係数が0.5である.30-06スプリングフィールドカートリッジ、ボール、口径.30 M2、152グレイン（9.8 g）のライフルスピッツァー弾頭を使用して、2600 fps（792.5 m/s）の発射速度でSiacci/Mayevskiの減速率関数と等しくなるように調整されています。その他の飛行状態においては、2つ目のPejsa参照抗力曲線モデルは、傾斜定数係数として0.0または-4.0を使用します。これらの減速定数係数は、Pejsa の式を逆算することで検証できます (抗力曲線セグメントは V (2 - N) / C の形式に適合し、遅延係数曲線セグメントは V 2 / (V (2 - N) / C) = C × V Nの形式に適合します。ここで、C は適合係数です)。Pejsa が、選択した参照抗力曲線の正確な形状と、特定のマッハ数で遅延係数を返す定義済みの数学関数を決定するために使用した実験的テスト データは、米国軍によってカートリッジ、ボール、口径 .30 M2 弾丸用に提供されたものです。遅延係数関数の計算には空気密度も関係しますが、Pejsa はこれについて明示的に言及していません。Siacci/Mayevski G1 モデルでは、次の減速パラメータ化を使用します (60 °F、30 inHg、湿度 67%、空気密度ρ = 1.2209 kg/m 3 )。[26]ペイサ博士は、シアッチ/マエフスキーG1抗力曲線が現代のスピッツァー弾には適合しないため、第2抗力曲線の使用を提案している。[27]長距離モデル化の最適化に必要な遅延係数を得るために、ペイサ博士は、平均遅延係数を導出した参照抗力曲線を使用するのではなく、特定の発射体の正確な発射体固有の距離速度測定データを使用して平均遅延係数を経験的に導出することを提案した。さらに、彼は、低速度での実際の発射体の飛行挙動を経験的にテストするために、推進剤の量を減らした弾薬を使用することを提案した。推進剤の量を減らして作業する場合、銃器で実験用の弾薬を発射したときに発生する可能性のある危険な状態や壊滅的な状態（爆発）を回避するために最大限の注意を払う必要がある。[21]

マンジスモデル

ペイサモデルほど知られていないものの、1989年5月9日から11日にかけてベルギーのブリュッセルにあるブリュッセル会議センターで開催されたアメリカ国防準備（ADPA）第11回国際弾道シンポジウムにおいて、ダフ・マンジス大佐（アメリカ陸軍退役）によって代替弾道モデルが発表された。「直射兵器システムの閉形式弾道解」と題された論文が、議事録第1巻「推進力力学、発射力学、飛行力学」の665～674ページに掲載されている。この新しい抗力係数式は、もともと120mm戦車砲弾の弾道抵抗をモデル化するために考案されたもので、その後、センターファイア式ライフル弾の弾道抵抗に適用され、ペイサモデルで主張されているものと同等の結果が得られた。

Mangesモデルは、標準的なG1曲線やその他の相似曲線に基づく「G」曲線や「弾道係数」を用いない、第一原理理論的アプローチを採用しています。この理論的記述は主に3つの部分から成ります。第1の目的は、軌道微分運動方程式の閉形式解を許容する一連の求積法を数学的に定義することにより、質点弾の平面軌道を支配する2次元微分運動方程式の定式化と解を求めることです。これにより、観測された実際の抗力データに急速に収束する一連の逐次近似抗力係数関数が生成されます。真空軌道モデル、簡略化空気力学モデル、ダントニオモデル、およびオイラー抗力法則モデルは特殊なケースです。したがって、Manges抗力法則は、質点運動方程式の2次元閉形式解を得るために用いられた従来のモデルに対して統一的な影響を与えます。本論文の3つ目の目的は、観測された実験データから新しい抗力関数を得るための最小二乗法フィッティング手順を説明することです。著者は、この結果は、現代の戦車弾薬に関する 6 自由度の数値計算や、さまざまな形状やサイズを持つセンターファイアライフル弾薬に関する公開済みの射撃表と優れた一致を示していると主張しています。

風洞実験で得られた表形式の抗力係数を最小二乗近似するMicrosoft Excelアプリケーションが作成されました。また、メーカー提供の弾道軌道データ、あるいはドップラー法で得られた速度データを用いてモデルを較正することも可能です。Excelアプリケーションは、カスタムマクロ命令を用いて、対象となる軌道変数を計算します。この計算には、修正4次ルンゲ・クッタ積分アルゴリズムが用いられています。ペイサ氏と同様に、マンジス大佐もセンターファイアライフルの精度は、弾丸の位置については10分の1インチ単位、弾丸の速度については毎秒フィート単位に近いと主張しています。

第 11 回国際弾道シンポジウムの議事録は、国防産業協会 (NDIA) の Web サイト http://www.ndia.org/Resources/Pages/Publication_Catalog.aspx から入手できます。Wayback Machineに 2012 年 1 月 26 日にアーカイブされています。

6自由度モデル

PRODASのような高度な専門的弾道モデルも利用可能である。これらは6自由度（6DoF）計算に基づく。6DoFモデリングは、空間におけるx、y、z位置に加えて、発射体のピッチ、ヨー、ロール速度を考慮する。6DoFモデリングには、非常に複雑なデータ入力、使用する発射体に関する知識、高価なデータ収集および検証方法が必要であるため、専門でない弾道学者には非現実的であるが[28]、好奇心旺盛でコンピュータに精通し、数学的志向を持つ人にとっては不可能ではない。半経験的空気力学予測モデルが開発されており、これは、さまざまな発射体形状に関する広範な試験範囲データを削減し、入力寸法形状を口径に正規化し、先端部の長さと半径、本体の長さ、ボートテールのサイズを考慮し、6自由度の空気力学係数の完全なセットを推定できるようにしている。スピン安定化空気力学予測ソフトウェアに関する初期の研究は、SPINNERコンピュータプログラムにつながった。[29] FINNER航空予測コードは、フィン安定型の発射体の6自由度入力を計算します。[30] 安定性解析に必要な発射体の質量、重心、軸方向および横方向のモーメントのパラメータを決定するソリッドモデリングソフトウェアもすぐに利用可能であり、コンピュータプログラムも簡単です。[31] 最後に、4次ルンゲ・クッタに適した6自由度の数値積分アルゴリズムもすぐに利用できます。[32]アマチュア弾道学者が弾丸の章動および歳差運動の挙動とともに、発射体の軌道のより細かい解析詳細を調べるために必要なのは、コンピュータプログラミングの決定だけです。 しかし、小火器愛好家にとっては、学術的な好奇心は別として、6自由度の精度で軌道を予測できることは、公表されている弾丸の弾道係数に基づく、より単純化された質点軌道と比較して、おそらく実用的な重要性はないことを知るでしょう。 6自由度は、航空宇宙・防衛産業や軍事組織において、限られた数の（意図された）軍用発射体の弾道挙動を研究する際に一般的に用いられます。計算された6自由度の傾向は、より一般的な弾道ソフトウェアアプリケーションの補正表として組み込むことができます。

6 DoFモデリングとソフトウェアアプリケーションは、何十年にもわたり専門的設備の整った組織で使用されてきましたが、（耐久性の高い）パーソナルデジタルアシスタント、タブレットコンピュータ、スマートフォンなどのモバイルコンピューティングデバイスのコンピューティングパワーの制限により、計算が一般にオンザフライで実行されなければならないため、現場での使用が妨げられてきました。 2016年にスカンジナビアの弾薬メーカーNammo Lapua Oyは、 Lapua Ballisticsという6 DoF計算モデルベースの弾道無料ソフトウェアをリリースしました。 このソフトウェアはモバイルアプリとしてのみ配布されており、AndroidおよびiOSデバイスで利用できます。[33]ただし、6 DoFソルバーには弾丸固有の抗力係数（Cd）/ドップラーレーダーデータと対象の発射体の幾何学的寸法が必要なため、採用されている6 DoFモデルはラプア弾に限定されています。他の弾丸の場合、ラプア弾道ソルバーは、G1またはG7弾道係数とMayevski/Siacci法に限定され、それらに基づいています。

砲兵ソフトウェアスイート

軍事組織は、 NATO陸軍装備グループ（NAAG）のSG2 Shareable (Fire Control) Software Suite (S4)のような砲兵の射撃管制システム向けに、NATO装備弾道カーネル（NABK）のような弾道モデルを開発してきた。NATO装備弾道カーネルは4自由度の修正質点モデルである。これは、単純な質点モデルと計算集約的な6自由度モデルの妥協案である。[34] NATO作業部会では、6自由度および7自由度の標準であるBALCOも開発されている。BALCOは、NATO標準化勧告4618で定義された数学モデルに基づく軌道シミュレーションプログラムである。BALCOの主な目的は、制御面を備えた従来の軸対称発射体と精密誘導発射体の両方について、高精度の軌道を計算することである。BALCO軌道モデルは、次の機能を実装したFORTRAN 2003プログラムである。

  • 6/7自由度の運動方程式
  • 7次ルンゲ・クッタ・フェールベルグ積分
  • 地球モデル
  • 大気モデル
  • 空気力学モデル
  • 推力およびベースバーンモデル
  • アクチュエータモデル[35]

これらのモデルから得られる予測は比較研究の対象となります。[36]

ドップラーレーダー測定

発射体に対する抗力や空気抵抗の影響を正確に把握するには、ドップラーレーダー測定が必要です。Weibel 1000eまたはInfinition BR-1001ドップラーレーダーは、政府、専門の弾道学者、国防軍、そして一部の弾薬メーカーによって、対象となる発射体の飛行挙動に関する実世界データを取得するために使用されています。最先端のドップラーレーダー測定を正しく確立することで、空気銃の弾丸ほどの小さな発射体の飛行挙動を3次元空間で数ミリメートルの精度で測定できます。収集された発射体の減速に関するデータは、弾道係数（BC）や抗力係数（C d）など、いくつかの方法で導出および表現できます。回転する発射体は飛行中に重心の周りで歳差運動と章動運動の両方を経験するため、測定値を 6 自由度の軌道解析に完全に適用できるようにするには、ドップラー レーダー測定値のデータをさらに削減して、ヨー誘導抗力係数と揚力係数をゼロ ヨー抗力係数から分離する必要があります。

旋盤加工されたモノリシックソリッド .50 BMG超低抵抗弾(Lost River J40 .510-773 グレイン モノリシックソリッド弾 / ねじれ率 1:15 インチ) のドップラーレーダー測定結果は次のようになります。

範囲（メートル）50060070080090010001100120013001400150016001700180019002000
弾道係数1.0401.0511.0571.0631.0641.0671.0681.0681.0681.0661.0641.0601.0561.0501.0421.032

BC値の初期上昇は、弾頭が銃身から発射する際に常にヨーイングと歳差運動を起こすことに起因します。試験結果は単発射撃ではなく、複数回の射撃から得られました。この弾丸のBC値は、製造元であるロストリバーバリスティックテクノロジーズ社によって1.062と割り当てられました。

Lapua GB528 Scenar 19.44 g (300 gr) 8.59 mm (0.338 in) 口径の超低抵抗弾のドップラーレーダー測定結果は次のようになります。

マッハ数0.0000.4000.5000.6000.7000.8000.8250.8500.8750.9000.9250.9500.9751.0001.0251.0501.0751.1001.1501.2001.3001.4001.5001.6001.8002.0002.2002.400
抗力係数0.2300.2290.2000.1710.1640.1440.1410.1370.1370.1420.1540.1770.2360.3060.3340.3410.3450.3470.3480.3480.3430.3360.3280.3210.3040.2920.2820.270

このテストされた弾丸は、マッハ 1,200 付近の遷音速飛行領域に入るときに最大の抗力係数を経験します。

ラプア GB528 Scenar 19.44 g (300 gr) 8.59 mm (0.338 in) 弾丸のドップラーレーダー測定による抗力係数のグラフ

ドップラーレーダー測定の助けを借りれば、弾丸特有の抗力モデルを確立することができます。これは、弾丸の速度が音速に近い遷音速領域まで低下する長距離射撃において最も有用です。この領域では、数学モデルによって予測される弾丸の抗力は、実際の弾丸が受ける抗力とは大きく異なる可能性があります。さらにドップラーレーダー測定は、様々な弾丸構造の飛行中の微妙な影響を研究するために用いられます。[37]

政府、専門の弾道学者、防衛軍、弾薬製造業者は、より大きな発射体に取り付けられた遠隔測定プローブによって収集された測定値でドップラー レーダー測定値を補うことができます。

左はドイツの7.9mm sS（FMJ）弾、右はSmE弾。その横には溝のあるボートテールの弾丸が置かれている。

一般的に、先端が尖った弾丸は先端が丸い弾丸よりも抗力係数（C d）または弾道係数（BC）が高く、先端が丸い弾丸は先端が平らな弾丸よりもC dまたはBCが高くなります。曲率半径が大きいため先端角が浅く、特に超音速域では抗力が低くなります。中空点弾は、先端径が同じ平らな弾丸とほぼ同じように振舞います。超音速での使用を想定して設計された弾丸は、後方がわずかに先細りになったボートテールと呼ばれる形状をしていることが多く、飛行中の空気抵抗を低減します。[38]長距離射撃における「テーパード・リア」の有用性は1870年代初頭に既に確立されていましたが、[39]技術的な困難さから、20世紀に入っても広く採用されることはありませんでした。弾丸をケースにしっかりと固定するために弾丸の周囲に設けた凹状のリングである溝は、抗力を増加させます。

弾道研究所（のちに陸軍研究所と改称）では解析ソフトウェアが開発され、実際の試験範囲のデータをパラメトリックな関係に変換して、発射体の抗力係数を予測した。[40] 大口径砲では流線型の形状に加えて抗力低減機構も採用されている。ロケットアシスト式の発射体は、銃口から出ると点火して空気抵抗を克服するための追加推力を提供する小型ロケットモーターを使用する。ロケットアシストは亜音速砲弾で最も効果的である。ベース抗力が支配的な超音速長距離砲では、ベースブリードが採用される。ベースブリードはガス発生器の一種で、大きな推力は出さないが、発射体の後ろの低圧領域をガスで満たし、ベース抗力および全体的な発射体の抗力係数を効果的に低減する。

遷音速問題

超音速の銃口速度で発射された発射体は、ある時点で減速し、音速に近づきます。遷音速領域（マッハ約1.2～0.8）では、ほとんどの非球形の発射体の圧力中心（CP）は、発射体が減速するにつれて前方に移動します。このCPの移動は、発射体の（動的）安定性に影響を与えます。発射体が十分に安定していないと、遷音速領域で前方を向いたままでいることができません（発射体はリミットサイクルヨーと呼ばれる望ましくない歳差運動または円錐運動を示し始め、これを抑制しないと、最終的に長さ軸に沿った制御不能な回転に至ります）。ただし、発射体が遷音速領域を飛行して前方を向いたままでいられるだけの十分な安定性（静的および動的）を備えている場合でも、影響を受けます。不規則かつ突然のCPシフトと（一時的な）動的安定性の低下は、たとえ発射体が亜音速領域に入った際に飛行挙動が再び安定していたとしても、大きな分散（ひいては精度の大幅な低下）を引き起こす可能性があります。そのため、遷音速領域における発射体の弾道挙動を正確に予測することは非常に困難です。

このため、射手は通常、弾丸が超音速状態を維持できるほど至近距離の標的にのみ攻撃を限定する。[注 1] 2015年、アメリカの弾道学者ブライアン・リッツは、超音速で発射された（ライフル）弾が遷音速領域に入る距離におけるライフル射撃を定義する「拡張長距離」概念を提唱した。リッツによれば、「拡張長距離は、弾丸が遷音速域まで減速した時点から始まる。弾丸がマッハ1に近づくにつれて、遷音速効果に遭遇し始める。この効果は、弾丸が比較的安定している超音速域と比較して、より複雑で説明が困難である。」[41]

周囲の空気密度は遷音速遷移中の動的安定性に大きな影響を与える。周囲の空気密度は変化する環境要因だが、密度の高い空気中を飛行するよりも密度の低い空気中を飛行する発射体の方が遷音速遷移の悪影響をよりよく打ち消すことができる。発射体または弾丸の長さもリミットサイクルヨーに影響を与える。同じ直径の長い発射体は、より短い発射体よりもリミットサイクルヨーが大きくなります。望ましくないリミットサイクルヨー運動に影響を与えることが確認されている発射体設計のもう1つの特徴は、発射体の底部の面取りです。発射体または弾丸の底部またはかかと部分には、0.25～0.50 mm (0.01～0.02 インチ) の面取り、つまり半径があります。この半径があることで、発射体はより大きなリミットサイクルヨー角で飛行することになります。[42]ライフル加工もリミットサイクルヨーに微妙な影響を与えることがあります。[43]一般的に、回転速度の速い発射体ほどリミットサイクルヨーは小さくなります。

誘導弾の研究

スピン安定化された発射体が遭遇する遷音速問題を回避するため、理論的には飛行中に発射体を誘導することができる。サンディア国立研究所は2012年1月、1マイル（約1,610メートルまたは1760ヤード）以上離れた場所にあるレーザー標的に命中可能な、小口径滑腔銃器用の4インチ（102 mm）長のダーツのような自己誘導弾のプロトタイプを研究し、試験発射したと発表した。これらの発射体はスピン安定化されておらず、飛行経路は電磁アクチュエーターで毎秒30回、制限内で操縦できる。研究者らはまた、弾丸が銃身から出るときに大きくピッチングし、射程内に収まるビデオを持っていると主張している。これは長距離銃器の専門家が「スリープ状態になる」と呼ぶ、議論の余地のある現象である。サンディアの研究者であるレッド・ジョーンズは、弾丸の動きは飛行時間が長くなるほど安定するため、長距離での精度が向上すると述べた。 「誰も見たことがありませんでしたが、高速ビデオ撮影でそれが事実であることがわかりました」と彼は述べた。[44]最近の試験では、初期運用能力に近づいているか、すでに達成している可能性があることが示唆されている。[45]

ソフトウェアの予測特性のテスト

飛行におけるあらゆる変数を事前に把握し、補正することは現実的に不可能であるため、どんなに高度なソフトウェアシミュレーションであっても、現実世界の軌道と常に完全に一致する予測を得ることはできません。しかしながら、実際の飛行挙動に非常に近い予測を得ることは可能です。

経験的測定法

（超）長距離を対象とする弾道予測コンピュータプログラムは、超音速から亜音速への遷移範囲（ライフル、カートリッジ、弾丸の組み合わせによる超音速範囲の最後の 10 ～ 20%）でフィールドテストを実施することで評価できます。たとえば、一般的な .338 ラプアマグナムライフルで、標準的な 16.2 グラム (250 gr) ラプア Scenar GB488 弾丸を銃口初速 905 m/s (2969 ft/s) で発射する場合、ソフトウェアのフィールドテストは、国際標準大気の海面条件（空気密度ρ = 1.225 kg/m³）下で ≈ 1200 ～ 1300 メートル (1312 ～ 1422 yd) で行う必要があります。短距離から中距離での弾道予測の精度を確認するには、超音速範囲の 20、40、60% でフィールドテストを実施する必要があります。短距離から中距離では遷音速問題、ひいては弾丸の飛行挙動の乱れは発生しないはずであり、BCが過渡的になる可能性は低くなります。（極めて）長距離におけるソフトウェアの予測性能のテストは、弾薬を消費するため費用がかかります。統計的に信頼できる結果を得るには、発射された全弾の実際の銃口速度を測定する必要があります。24発未満のサンプルグループでは、期待される統計的に有意な信頼区間が得られない可能性があります。

ドップラーレーダー測定法

政府、プロの弾道学者、国防軍、そして一部の弾薬メーカーは、大型の発射体にドップラーレーダーやテレメトリープローブを取り付けて、対象となる特定の発射体の飛行挙動に関する正確な実世界データを取得し、収集した実世界データを弾道コンピュータプログラムによって計算された予測と比較しています。しかし、一般的な射撃愛好家や航空力学愛好家は、そのような高価な専門計測機器にアクセスすることができません。当局や発射体メーカーは、ドップラーレーダーテストの結果や、テストから得られた発射体の抗力係数（C d）を一般の人々と共有することに一般的に消極的です。2020年頃、より手頃な価格だが性能の低い（アマチュア）ドップラーレーダー機器が、自由飛行抗力係数を測定するために一般に利用可能になりました。[46]

2009年1月、スカンジナビアの弾薬メーカーNammo/Lapuaは、ほとんどのライフル弾のドップラーレーダーテストから得られた抗力係数データを公開しました。[47] [48] 2015年に米国の弾薬メーカーBerger Bulletsは、軌道ソリューションを生成するためにPRODAS 6 DoFソフトウェアとドップラーレーダーを併用することを発表しました。[49] 2016年に米国の弾薬メーカーHornadyは、軌道ソリューションを生成するために修正された質点モデルを利用するソフトウェアでドップラーレーダー由来の抗力データを使用することを発表しました。[50] [51] [52] [53]測定から得られたC dデータを使用して、エンジニアは既知の数学的弾道モデルとテスト固有の表形式データの両方を併用するアルゴリズムを作成できます。QuickTARGET Unlimited、Lapua Edition、[54] 、 Lapua Ballistics [55] 、Hornady 4DOFなどの予測ソフトウェアで使用する場合、ドップラーレーダーテストから得られた抗力係数データは、より正確な外部弾道予測に使用できます。

ラプアが提供した抗力係数データの一部は、マッハ1付近またはそれ以下の飛行速度域で測定された抗力が急激に増加することを示しています。この挙動は、測定された小口径弾のほとんどで観察されましたが、大口径弾ではそれほど顕著ではありませんでした。これは、一部の（主に小口径の）ライフル弾が遷音速/亜音速飛行速度域でより大きなリミットサイクルヨー（コーニングおよび/またはタンブリング）を示したことを示唆しています。試験された一部の弾丸における、遷音速/亜音速飛行挙動が不利であったという情報は重要です。リミットサイクルヨーの影響は容易に予測できず、最良の弾道予測モデルやソフトウェアであっても壊滅的な影響を与える可能性があるため、これは長距離射撃での使用を制限する要因となります。

提示されたC dデータは、ラプア試験機が試験射撃に使用した銃身、回転速度（スピン速度）、弾薬ロットに基づいて測定されたため、あらゆる銃と弾薬の組み合わせに単純に適用できるわけではありません。ライフリング（溝の数、深さ、幅、その他の寸法特性）、ねじれ率、銃口速度といった変数の違いは、弾丸の回転速度（スピン速度）やライフリング痕に変化をもたらします。こうした変数の変化や弾丸の製造ロットの違いは、弾丸が通過する空気との射程距離内での相互作用に変化をもたらし、飛行挙動に（わずかな）変化をもたらす可能性があります。この外部弾道学の分野は、現在（2009年）は精緻に研究されておらず、十分に理解されていません。[56]

いくつかの抗力モデル化と測定方法の予測

外部弾道挙動をモデル化・予測するために用いられる手法は、射程距離と飛行時間の増加に伴い、異なる結果をもたらす可能性がある。例えば、国際標準大気海面条件（空気密度ρ = 1.225 kg/m³）、マッハ1 = 340.3 m/s、マッハ1.2 = 408.4 m/s）において、メーカー公表のG1弾道係数（BC）0.785を有する、19.44 g（300 gr）、8.59 mm（0.338 in）口径の超低抵抗ライフル弾であるLapua Scenar GB528弾を、銃口速度830 m/s（ 2723 ft/s）で発射した場合の、0～3,000 m（0～3,281 yd）における弾丸速度と飛行時間について、いくつかの外部弾道挙動予測手法を用いて以下の予測を行った。[注 2]

範囲（メートル）03006009001,2001,5001,8002,1002,4002,7003,000
レーダー試験による抗力係数法V（m/s）830711604507422349311288267247227
飛行時間（秒）0.00000.39180.85071.39372.04352.82763.74804.75225.83547.00958.2909
総落差（m）0.0000.7153.2038.14616.57130.03550.71580.529121.023173.998241.735
6自由度モデリング法 V (m/s)
830711604506420347310287266244222
飛行時間（秒）0.00000.39190.85111.39492.04672.83433.75754.76415.85087.03328.3346
総落差（m）0.0000.7143.1958.13216.56130.06050.83680.794121.498174.796243.191
G1抗力モデル法 V (m/s)
830718615522440374328299278261248
飛行時間（秒）0.00000.38970.84231.37322.00092.74273.60294.56425.60866.72767.9183
総落差（m）0.0000.7103.1577.97116.07328.77947.81075.205112.136160.739222.430
Pejsa抗力モデル法 V (m/s)
830712603504413339297270247227208
飛行時間（秒）0.00000.39020.84791.39212.05012.85563.80574.86826.02947.29588.6769
総落差（m）0.0000.7193.1988.12916.58030.27151.58282.873126.870185.318260.968
G7抗力モデル法 V (m/s)
830713606508418339303283265249235
飛行時間（秒）0.00000.39120.84871.39012.04152.84043.78504.81105.90997.08388.3369
総落差（m）0.0000.7143.1918.10916.50330.03951.16581.863123.639178.082246.968

この表は、ドップラーレーダー試験から得られた抗力係数（C d）予測方法と、2017 Lapua Ballistics 6 DoF Appによる予測結果が類似していることを示しています。6 DoFモデリングでは、この弾丸について、2,400 m（2,625 yd）を超える距離で過剰安定化傾向を示す弾丸の安定性（（S d）および（S g））を推定しています。2,400 m（2,625 yd）では、総落下予測値は緯度50°で47.5 cm（19.7 in）または0.20 mil（0.68 moa）の偏差を示しますが、2,700 m（2,953 yd）まででは、総落下予測値は緯度50°で0.30 mil（1 moa）以内です。 2016 年の Lapua Ballistics 6 DoF アプリ バージョンの予測は、ドップラー レーダー テストの予測にさらに近づきました。

従来のSiacci/Mayevski G1抗力曲線モデル予測法は、現代のドップラーレーダー実験に基づく抗力係数（C d）予測法と比較して、一般的により楽観的な結果をもたらします。[注 3] 300m（328ヤード）の距離では差はほとんど目立ちませんが、600m（656ヤード）以上になると、弾速が10m/s（32.8フィート/s）を超えると差は大きくなり、徐々に顕著になります。1,500m（1,640ヤード）の距離では、弾速予測は25m/s（82.0フィート/s）の偏差を示し、これは緯度50度で125.6cm（49.4インチ）、または0.83ミル（2.87モア）の降下量差に相当します。

Pejsa抗力モデルによる閉形式解予測法は、傾き定数係数の微調整を行わない場合、超音速飛行領域において、ドップラーレーダー試験による抗力係数（C d）予測法と非常に類似した結果をもたらします。1,500 m（1,640 yd）の距離では、弾丸速度予測値は10 m/s（32.8 ft/s）の誤差が生じます。これは、緯度50°における総落下差が23.6 cm（9.3 in）、または0.16 mil（0.54 moa）と予測されることを意味します。

G7 抗力曲線モデル予測方法（一部の製造業者が超低抗力形状のライフル弾用に推奨）では、G7 弾道係数（BC）0.377 を使用した場合、超音速飛行状態では、ドップラー レーダー テストから得られる抗力係数（C d）予測方法と非常によく似た結果が得られます。1,500 m（1,640 ヤード）の距離では、発射体速度予測の最大偏差は 10 m/s（32.8 ft/s）です。1,500 m（1,640 ヤード）での予測総落下差は、緯度 50 度で 0.4 cm（0.16 インチ）です。1,800 m（1,969 ヤード）での予測総落下差は 45.0 cm（17.7 インチ）で、これは 0.25 ミル（0.86 moa）に相当します。

優れた予測モデルは、超音速飛行領域でも同様の結果が得られると期待されます。高度1,200 m（1,312 yd）までの5つのモデル例はすべて、マッハ1.2以上の超音速弾道速度と、51 cm（20.1インチ）の帯域幅内での総降下量差を予測しています。高度1,500 m（1,640 yd）の遷音速飛行領域では、モデルはマッハ1.0からマッハ1.1程度の弾道速度と、はるかに広い150 cm（59インチ）の帯域幅内での総降下量差を予測しています。

外部要因

風

風は様々な影響を及ぼしますが、まず第一に、弾丸を横に逸らす（水平偏向）影響があります。科学的な観点から見ると、「風が弾丸の側面を押す」ことが水平方向の風偏向を引き起こすわけではありません。風偏向を引き起こすのは抗力です。抗力は、風見鶏のように弾丸を風上に向けて旋回させ、空気の圧力中心を弾丸の先端に保ちます。射手の視点から見ると、これは弾丸の先端が風上を向き、尾部が風上から離れる方向を向くことを意味します。この旋回効果の結果、抗力によって弾丸は先端から尾部に向かって風下へと押し出されます。

風は、横風による偏向の垂直成分である空力ジャンプも引き起こします。これは、弾丸の自由飛行中または銃口もしくはそのすぐ近くで発生する横方向（風）の衝撃によって引き起こされ、動的不均衡を引き起こします。[57]空力ジャンプの量は、横風速、銃口における弾丸のジャイロスコープ安定性、そして銃身のねじれが時計回りか反時計回りかに依存します。風向が逆転するのと同様に、ねじれの方向が逆転すると、空力ジャンプの方向も逆転します。

向かい風や追い風は、やや目立たない影響をもたらします。向かい風は弾丸の相対速度をわずかに増加させ、抗力とそれに伴う落下距離を増加させます。追い風は抗力と弾丸の落下距離を減少させます。現実世界では、風の強さと方向が一定でないことが少なく、通常は吹き渡る地形と相互作用するため、純粋な向かい風や追い風は稀です。そのため、向かい風や追い風の条件下での超長距離射撃は困難になることがよくあります。

垂直角度

射撃の垂直角（仰角）も弾道に影響を与えます。小口径弾（ピストルやライフルから発射される）の弾道表は、射手と標的の視線が水平で、重力が地面に対して垂直に作用することを前提としています。したがって、射手と標的の角度が上向きまたは下向きの場合（重力成分の方向は斜面の方向によって変化しません）、重力による弾道の曲線加速度は、傾斜角の余弦に比例して実際には小さくなります。その結果、いわゆる「スラントレンジ」において、上向きまたは下向きに発射された弾丸は、平地では同じ目標距離をオーバーシュートします。この影響は非常に大きく、山岳地帯ではハンターはターゲットのホールドオフをそれに応じて調整する必要があります。スラントレンジを水平距離のホールドオフに調整するためのよく知られた公式は、ライフルマンの法則として知られています。ライフルマン則と、それよりやや複雑であまり知られていない改良型ライフルマン則モデルは、多くの小火器用途において十分に正確な予測を生成する。しかし単純な予測モデルでは、上り坂や下り坂での射撃時の小さな重力の影響が無視される。これを補正する唯一の実際的な方法は、弾道コンピュータプログラムを使用することである。長距離にわたる非常に急角度の重力の影響に加え、飛行中に発射体が遭遇する空気密度の変化の影響も問題となる。[58]傾斜射撃シナリオに利用可能な数学的予測モデルは、傾斜角と距離の大きさと方向（上り坂または下り坂）に応じて、さまざまな精度の期待レベルを生み出す。[59]あまり高度でない弾道コンピュータプログラムでは、同じ垂直角と距離では、上り坂と下り坂の射撃で同じ弾道が予測される。より高度なプログラムでは、上り坂と下り坂の射撃に対する重力の小さな影響が考慮されるため、同じ垂直角と距離でも弾道がわずかに異なる。現在 (2017 年)、公開されている弾道コンピューター プログラムでは、飛行中に発射体が遭遇する空気の密度の違いによる複雑な現象を考慮できません。

周囲の空気密度

気圧、気温、湿度の変化が周囲の空気密度を構成します。湿度は直感に反する影響を与えます。水蒸気の密度は1リットルあたり0.8グラムであるのに対し、乾燥空気の平均密度は約1リットルあたり1.225グラムであるため、湿度が高いと空気密度は低下し、結果として抗力も低下します。

降水量

降雨は、弾丸が雨滴と衝突した際に、大きなヨー角とそれに伴う偏向を引き起こす可能性があります。このような偶然の衝突が射程距離が長いほど、標的への偏向は小さくなります。雨滴と弾丸の重量も、衝突時に発生するヨー角の大きさに影響します。大きく重い雨滴と軽い弾丸が衝突した場合、ヨー角は最大になります。重い弾丸が同等の雨滴と衝突した場合、ヨー角の影響は大幅に小さくなります。[60]

長期的な要因

ジャイロドリフト（スピンドリフト）

ジャイロドリフトとは、弾丸の質量と空気力学、そして弾丸が飛行する大気との相互作用です。横方向の空気の流れが全くない、完全に静穏な空気中であっても、スピン安定化された弾丸は、「安息ヨー」と呼ばれるジャイロ現象により、スピン誘起による横方向の成分を生じます。右回り（時計回り）の回転方向では、この成分は常に右側になります。左回り（反時計回り）の回転方向では、この成分は常に左側になります。これは、弾丸の長手方向軸（回転軸）と重心（CG）の速度ベクトルの方向がわずかな角度だけずれているためで、この角度は平衡ヨーまたは安息ヨーと呼ばれます。安息ヨー角の大きさは、通常0.5度未満です。[61]回転する物体は、加えられたトルクベクトルから90度の角速度ベクトルで反応するため、弾丸の対称軸は垂直面内の成分と水平面内の成分を持って移動する。右回り（時計回り）回転する弾丸の場合、弾丸が弾道弧に沿って移動するにつれて、弾丸の対称軸は速度ベクトルの方向に対して右に、そしてわずかに上方に偏向する。このわずかな傾斜の結果、弾丸を右に偏向させる傾向のある空気の流れが継続的に発生する。このように、静止ヨーの発生が、弾丸が右（右回転の場合）または左（左回転の場合）にドリフトする原因となる。これは、弾丸が常に横方向に「滑っている」ことを意味し、横方向の成分が発生している。[62] [63]

以下の変数はジャイロドリフトの大きさに影響します。

  • 発射体または弾丸の長さ: 発射体が長くなると、一定のヨー角に対して横方向の「揚力」が大きくなるため、ジャイロドリフトが大きくなります。
  • スピン レート: スピン レートが速いほど、機首がさらに横を向くため、ジャイロ ドリフトが大きくなります。
  • 範囲、飛行時間、軌道の高さ: ジャイロドリフトはこれらすべての変数とともに増加します。
  • 大気の密度: 空気の密度が高くなると、ジャイロドリフトが増加します。

米軍の超低抗力弾およびその他のいくつかの弾丸の 1,000 ヤード (914.4 メートル) におけるジャイロ ドリフトのドップラー レーダー測定結果は次のようになります。

弾丸の種類米軍M193弾（5.56×45mm NATO弾）米軍M118特殊弾（7.62×51mm NATO弾）パルマ・シエラ・マッチキングLRBT J40 マッチシエラマッチキングシエラマッチキングLRBT J40 マッチLRBT J40 マッチ
発射体の質量（グレインおよびg）55粒（3.56g）173グレイン（11.21グラム）155グレイン（10.04グラム）190グレイン（12.31グラム）220グレイン（14.26グラム）300グレイン（19.44グラム）350グレイン（22.68グラム）419グレイン（27.15グラム）
発射体の直径（インチおよびmm）0.224インチ（5.69 mm）0.308インチ（7.82 mm）0.308インチ（7.82 mm）0.308インチ（7.82 mm）0.308インチ（7.82 mm）0.338インチ（8.59 mm）0.375インチ（9.53 mm）0.408インチ（10.36 mm）
ジャイロドリフト（インチおよびmm）23.00インチ（584.20 mm）11.50インチ（292.10 mm）12.75インチ（323.85 mm）3.00インチ（76.20 mm）7.75インチ（196.85 mm）6.50インチ（165.10 mm）0.87インチ（22.10 mm）1.90インチ（48.26 mm）

表は、ジャイロドリフトを重量と直径だけで予測することはできないことを示しています。ジャイロドリフトを正確に予測するには、外部弾道と内部弾道の両方に関するいくつかの詳細を考慮する必要があります。銃身のねじれ率、銃口から発射される弾丸の速度、銃身の高調波、大気条件といった要因はすべて、弾丸の軌道に影響を与えます。

マグナス効果

マグナス効果

スピン安定化された発射体はマグヌス効果の影響を受け、弾丸の回転によって風の横方向のベクトルに対して垂直な上向きまたは下向きの力が生じます。水平風と右回り（時計回り）の回転という単純なケースでは、マグヌス効果によって弾丸の周囲に生じる圧力差により、発射点から見て下向き（右からの風）または上向き（左からの風）の力が発射体に作用し、着弾点に影響を及ぼします。[64]垂直方向の偏向値は水平風による偏向成分に比べて小さい傾向がありますが、それでも風速4m/秒（14.4km/hまたは9mph）を超える場合は重要になることがあります。

マグナス効果と弾丸の安定性

マグヌス効果は弾丸の安定性に重要な役割を果たします。マグヌス力は弾丸の重心ではなく、弾丸のヨー角に影響を与える圧力中心に作用するからです。マグヌス効果は、重心より前方に圧力中心を持つ弾丸に対しては不安定化力として作用し、逆に、重心より後方に圧力中心を持つ弾丸に対しては安定力として作用します。圧力中心の位置は流れ場の構造、つまり弾丸が超音速、遷音速、亜音速のいずれの飛行状態にあるかによって異なります。これが実際に何を意味するかは弾丸の形状やその他の特性によって異なりますが、いずれにせよマグヌス力は弾丸を飛行経路に沿って「ねじる」ように作用するため、安定性に大きな影響を与えます。[65] [66]

逆説的ですが、超低抵抗弾は、その長さゆえに、通過する空気に対してより大きな表面積を呈するため、マグナス不安定化誤差が大きくなり、空力効率が低下する傾向があります。この微妙な影響は、形状と断面密度に基づいて計算されたC dまたはBCの有用性が限られる理由の一つです。

ポアソン効果

ドリフトのもう一つの小さな原因は、発射体の先端が軌道より上にあることに依存するポアソン効果です。これは、もし発生するとしても、ジャイロ効果によるドリフトと同じ方向に作用し、マグナス効果よりもさらに重要性は低くなります。これは、発射体の先端が上向きに傾くことで、その下に空気クッションが形成されることを想定しています。さらに、このクッションと発射体の間の摩擦が増大し、発射体が回転することでクッションから転がり落ち、横方向に移動する傾向があることを想定しています。

この単純な説明は非常に一般的です。しかし、圧力の増加が摩擦の増加を意味するという証拠はなく、そうでない限り、影響は生じません。たとえ影響があったとしても、ジャイロ効果やコリオリ効果に比べれば、その影響はごくわずかでしょう。

ポアソン効果とマグナス効果はどちらも、機首が軌道より下になると、ドリフトの方向を反転させます。機首が片側にずれている場合（平衡ヨーの場合など）、これらの効果によって航続距離にわずかな変化が生じます。

コリオリのドリフト

コリオリの力は、地球の軸に垂直な方向にコリオリの偏向を引き起こします。地球上のほとんどの場所と発射方向において、この偏向には水平成分と垂直成分が含まれます。偏向は、北半球では軌道の右側、南半球では左側、東向きの発射では上向き、西向きの発射では下向きになります。垂直方向のコリオリの偏向は、エトヴェシュ効果とも呼ばれます。コリオリの偏向は空気力学的な効果ではなく、地球の自転の結果です。

コリオリ効果の大きさは小さい。小火器の場合、コリオリ効果の大きさは一般的に重要ではない（1,000 m（1,094 yd）で約10 cm（3.9インチ）程度の高出力ライフルの場合）。しかし、超長距離ライフル弾、大砲、大陸間弾道ミサイルのようなロケット弾など、飛行時間が長い弾道弾の場合、弾道計算において重要な要素となる。偏向の大きさは、発射と目標の位置、発射方位、弾丸の速度、飛行時間によって異なる。

水平効果

回転しない基準系（つまり地球と共に回転しない基準系）から見て、重力と空気抵抗を無視すると、発射体は直線的に進みます。地球を基準として固定された基準系から見ると、その直線軌道は横に曲がって見えます。この水平方向の曲率の方向は、北半球では右向き、南半球では左向きであり、発射の方位角に依存しません。水平方向の曲率は極で最大になり、赤道でゼロになります。[67]

垂直（エトヴェシュ）効果

エトヴェシュ効果は、運動の方向と速度と地球の自転方向との関係に基づいて、運動する物体にかかる重力の知覚を変化させます。[68] [69]

エトヴェシュ効果は赤道上で最大となり、極ではゼロに減少します。この効果により、東向きの発射体は上向きに、西向きの発射体は下向きに偏向します。この効果は他の方向への軌道ではそれほど顕著ではなく、真北または真南を向く軌道ではゼロです。宇宙船が地球周回軌道に打ち上げられるなど、運動量が大きく変化する場合には、この効果は顕著になります。この効果は、赤道から真東向きに曲がって打ち上げられる、最も速く、最も燃料効率の良い軌道への経路の形成に貢献します。

設備要因

弾道に作用する力ではないものの、弾道に影響を与える装備関連の要因がいくつかあります。これらの要因は、他の要因では説明できない外部弾道飛行挙動を引き起こす可能性があるため、簡単に説明する必要があります。

横方向のジャンプ

横方向ジャンプは、射撃瞬間に砲身がわずかに横方向および回転方向に動くことで発生します。これは、方位誤差の影響を及ぼします。この影響は小さく、弾丸ごとに異なるため、無視されます。

横方向のスローオフ

横方向スローオフは、スピン安定化装置を装着した弾丸の質量不均衡、または弾丸が砲身から軸を外して離脱する際の過渡飛行段階における圧力不均衡によって引き起こされ、静的不均衡が生じます。横方向スローオフが発生すると、分散が生じます。この影響は一般的に小さく、弾丸、弾丸、砲身によって異なるため、予測は困難です。

最大有効小火器射程

あらゆる小火器、特に高出力狙撃銃の最大実用射程距離[注4]は、主に回転安定化弾の空力効率または弾道効率に依存します。長距離射撃手は、点目標への初撃を成功させるために、仰角と風向の補正を計算するための関連情報を収集する必要があります。これらの射撃管制補正を計算するためのデータには、以下を含む多くの変数が含まれます。[70]

  • 弾道係数または試験から得られた抗力係数（Cd）/使用された弾丸の挙動
  • ライフル銃身軸からの照準部品の高さ
  • 照準部品とライフルの組み合わせが照準されたゼロ距離
  • 弾丸の質量
  • 実際の銃口速度（火薬の温度は銃口速度に影響し、プライマーの点火も温度に依存する）
  • ターゲットまでの範囲
  • 使用された銃、カートリッジ、弾丸の組み合わせの超音速範囲
  • 上り坂/下り坂での射撃の場合の傾斜角度
  • 目標速度と方向
  • 風速と風向（水平方向の弾丸偏向の主な原因であり、一般的に正しく測定して判断するのが最も難しい弾道変数です。風の影響により垂直方向の偏向も発生することがあります。）
  • 気圧、気温、高度、湿度の変化（これらが周囲の空気密度を構成します）
  • 地球の重力（緯度と高度によってわずかに変化します）
  • ジャイロドリフト（水平面および垂直面のジャイロ効果、スピンドリフトとも呼ばれ、バレルのねじれ方向とねじれ速度によって引き起こされる）
  • コリオリ効果によるドリフト（緯度、火災の方向、北半球または南半球のデータによってこの効果が決定されます）
  • エトヴェシュ効果（コリオリ効果と相関関係があり、緯度と火の方向がこの効果を決定します）
  • 空気力学的ジャンプ（自由飛行中または銃口またはそのすぐ近くで発生する横方向の（風の）衝撃によって引き起こされる横風の偏向の垂直成分で、動的不均衡につながる）[57]
  • 横方向のスローオフ（適用される発射体の質量の不均衡によって引き起こされる分散、または銃身の軸から外れて静的不均衡につながる）
  • 照準部品の固有の潜在的な精度と調整範囲
  • ライフルの本来の潜在的な精度
  • 弾薬の本来の潜在的な精度
  • 弾道を計算するために使用されるコンピュータプログラムおよびその他の発射制御コンポーネントの固有の潜在的な精度

周囲の空気密度は北極海面付近で最大になります。また、低温の火薬は高温の火薬よりも圧力が低く、銃口速度も低くなります。つまり、ライフルの実用最大射程距離は北極海面付近で最も短くなります。

遠距離から点標的を射抜く能力は、環境や気象要因への対応能力、そして外部弾道と装備の限界に関する深い理解に大きく依存します。弾道解析の決定を補助する（コンピュータによる）支援や高精度レーザー測距装置、気象測定機器がなければ、1000メートル（1100ヤード）を超える距離の長距離射撃は、たとえ最も熟練した長距離射撃手であっても、距離が不明な場合の推測に過ぎません。[注 5]

さらに興味深い参考文献: 射撃術に関するウィキブック

弾道データの使用

これは、BC 0.480の.30口径Speer 169グレイン（11g）の尖端ボートテールマッチ弾の弾道表の例です。照準器は銃身線から1.5インチ（38mm）上に設置され、照準点と着弾点がそれぞれ200ヤード（183m）と300ヤード（274m）に一致するように調整されています。

範囲0100ヤード
91メートル		200ヤード
183メートル		300ヤード
274メートル		400ヤード
366メートル		500ヤード
457メートル
速度(フィート/秒)2,7002,5122,3312,1581,9921,834
（MS）823766710658607559
200ヤード/184メートルにゼロイン
身長（で）−1.52.00−8.4−24.3−49.0
（ミリメートル）−38510−213−617−1245
300ヤード/274メートルにゼロイン
身長（で）−1.54.85.60−13.1−35.0
（ミリメートル）−381221420−333−889

この表は、たとえ空気力学的にかなり優れた弾丸を高速で発射したとしても、「弾道降下」、つまり着弾点の変化が顕著であることを示しています。この着弾点の変化には、2つの重要な意味合いがあります。第一に、長距離射撃では標的までの距離を推定することが非常に重要です。400ヤード（460メートル）と500ヤード（460メートル）の着弾点の差は、ゼロ点に依存せず25～32インチ（635～813ミリメートル）です。つまり、射手が標的までの距離を400ヤードと推定したにもかかわらず、実際には500ヤード離れている場合、弾丸は狙った位置から25～32インチ（635～813ミリメートル）下方に着弾し、標的を完全に外してしまう可能性があります。第二に、ライフルのゼロ点は、標的の典型的な射程距離に適した距離に設定する必要があります。なぜなら、射手は大きな弾道降下を補正するために標的よりはるかに上を狙わなければならない場合があり、標的を完全に見失ってしまう可能性があるからです（例えば、望遠照準器の視野外になるなど）。 200 ヤード (180 メートル) にゼロインされたライフルの例では、射手は 500 ヤードの標的を狙う場合、着弾点から 49 インチまたは 4 フィート (1.2 メートル) 以上上を狙う必要があります。

参照

注記

  1. ^ 動的安定性の欠如に悩まされるスピン安定化発射体のほとんどは、空気力とモーメントが大きく変化する音速付近で問題を抱えています。弾丸が超音速で著しく動的安定性を欠くことはあまり一般的ではありませんが、可能性はあります。動的安定性は主に遷音速の空気力学によって決まるため、発射体がいつ十分な動的安定性を持つようになるかを予測することは非常に困難です（これらは、予測が最も難しい速度領域（遷音速）で正確に計算するのが最も難しい空力係数です）。動的安定性を支配する空力係数は、ピッチングモーメント、マグナスモーメント、およびピッチと迎え角の動的モーメント係数の合計（予測が非常に難しい量です）。結局のところ、モデル化とシミュレーションでは、弾丸が射程内で持つ動的安定性のレベルを正確に予測することはほとんどできません。発射体の動的安定性のレベルが非常に高いか低い場合、モデル化によって正しい答えが得られる可能性があります。しかし、状況が境界値（動的安定性が0または2に近い）の場合、モデル化によって正しい答えが得られるとは限らない。これは、現場でテストし、綿密に文書化する必要がある事項の一つである。
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  3. ^ C dデータは、エンジニアが既知の数学的弾道モデルとテスト固有の表形式データの両方を組み合わせて実際の飛行挙動に非常に近い予測を得るアルゴリズムを作成するために使用されます。
  4. ^ Wayback Machineのウェブサイト「The snipershide Archived 2007-11-07」では、有効射程を次のように定義しています。「熟練した訓練を受けた銃器使用者が、標的を60～80%の確率で命中させることができる射程距離」。実際には、ほとんどの銃器の真の射程距離はこれよりもはるかに長いですが、有効射程距離を超えると標的に命中する可能性は低くなります。様々な銃器の有効射程距離を予測する良い公式は存在しないようです。
  5. ^ 長距離射撃手が正しい弾道解を計算するためにどれほど正確に照準パラメータを確立しなければならないかの例は、これらのテスト射撃結果によって説明される。 300 メートルに照準を合わせた .338 ラプア・マグナム・ライフルから、250グレイン(16.2 g) のラプア・セナー弾が、計測された銃口初速 905 m/s で発射された。テスト射撃中の空気の密度ρ は 1.2588 kg/m³であった。テストライフルは、 1400 メートルにある人間の胴体サイズの標的の中心に命中するために、緯度61 度で 300 メートルのゼロ距離から13.2ミル (45.38 MOA ) の仰角補正を必要とした(重力は緯度によってわずかに変化する)。弾道曲線のプロットは、1392 メートルから 1408 メートルの間では、弾丸が高さ 60 cm (2 フィート) の標的に命中することを示した。これは、わずか0.6%の測距誤差があったとしても、1400mの距離にある高さ60cmの標的は完全に見落とされていたことを意味します。同じ標的を、それほど難しくない1000mの距離に設置した場合、987mから1013mの間で命中する可能性があります。つまり、1.3%の測距誤差は、.338ラプア・マグナム狙撃弾で高さ2MOAの標的を命中させるのにちょうど許容範囲内であるということです。このことから、距離が長くなるにつれて、一見些細な測定誤差や判断誤差が大きな問題となることが明らかです。

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  60. ^ Beckstrand, Tom (2020年2月6日). 「雨が弾丸の軌道に与える影響」. Guns and Ammo . 2022年12月24日閲覧。
  61. ^ Nenstiel 32°で発射されたM80弾（7.62 x 51 NATO）のヨー角
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  64. ^ ネンスティール マグナス効果
  65. ^ ネンスティール マグナスの力
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  69. ^ ローリー、ウィリアム (1997). 『地球物理学の基礎』（イラスト入り）ケンブリッジ大学出版局. p. 45. ISBN 0-521-46728-4。45ページの抜粋
  70. ^ 米陸軍研究所は1999年に、いくつかの狙撃兵装システムと様々な射撃管制方法の実際的な限界に関する研究を行った。狙撃兵装の射撃管制誤差分析 - レイモンド・フォン・ヴァールデ、デニス・メッツ、1999年8月

一般的な外部弾道

  • Tan, A.; Frick, CH & Castillo, O. (1987). 「フライボールの軌道：従来のアプローチの再考」. American Journal of Physics . 55 (1): 37. Bibcode :1987AmJPh..55...37T. doi :10.1119/1.14968.（速度の2乗に比例する抗力を受ける発射体の運動の簡略化された計算）
  • 「完璧なバスケットボールショット」（PDF）。（PDF） 。 2006年3月5日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。 2005年9月26日閲覧。- バスケットボールの弾道学。

小火器の外部弾道

  • ボールの弾道を計算するソフトウェア
  • 弾丸はどうやって飛ぶの？ルプレヒト・ネンシュティール著、ヴィースバーデン、ドイツ
  • Exterior Ballistics.comの記事は2013年3月6日にWayback Machineにアーカイブされています
  • 外部弾道学短期講座
  • ブライアン・リッツによる長距離射撃に関する記事
  • 確率的武器使用ゾーン（WEZ）分析概念概要 ブライアン・リッツ著 2015年9月23日アーカイブウェイバックマシン
  • Weite Schüsse - パート 4、Pejsa モデルの基本説明、Lutz Möller (ドイツ語)
  • パタゴニア弾道学弾道数学ソフトウェアエンジン
  • JBM小火器弾道学オンライン弾道計算機
  • Bison Ballistics Point Mass Online Ballistics Calculator 2011-05-15 にアーカイブされたWayback Machine
  • 小口径弾薬の空力特性評価のための仮想風洞実験 - ポール・ワイナハト 米国陸軍研究所 アバディーン試験場（メリーランド州）

砲兵の外部弾道

  • イギリスの砲兵射撃管制 - 弾道学とデータ
  • 野戦砲兵、第6巻、弾道学と弾薬
  • 大砲射撃表の製作、BRL報告書第1371号、エリザベス・R・ディキンソン著、アメリカ陸軍資材司令部弾道研究所、1967年11月
  • NABK（NATO Armament Ballistic Kernel）ベースの次世代弾道表ツールキット、第23回国際弾道シンポジウム、スペイン、タラゴナ、2007年4月16日～20日
  • 発射表から抗力関数を推測できるC++の軌道計算機

フリーウェアの小火器外部弾道ソフトウェア

  • Ballistic_XLR (MS Excel スプレッドシート)] - Pejsa スプレッドシート (下記) を大幅に強化および変更したものです。
  • GNU Exterior Ballistics Computer (GEBC) - Windows、Linux、Mac用のオープンソース3DOF弾道コンピュータ - G1、G2、G5、G6、G7、G8抗力モデルをサポート。Derek Yatesによって開発・保守されています。
  • 6mmbr.com の弾道セクションには、4 つのフリーウェアの外部弾道コンピュータ プログラムへのリンクとホストがあります。
  • PointBlank Ballistics (zip ファイル) - Siacci/Mayevski G1 ドラッグ モデル。
  • Remington Shoot! Remington 社製弾薬用の弾道計算機 (Pinsoft 社の Shoot! ソフトウェアに基づく) - Siacci/Mayevski G1 ドラッグ モデル。
  • JBMの小火器弾道計算機オンライン弾道計算機 - G1、G2、G5、G6、G7（一部の発射体については実験的に測定されたG7弾道係数）、G8、GI、GLをサポートし、一部の発射体についてはドップラーレーダーテストから得られた（C d）抗力モデルもサポートしています。[1]
  • Pejsa 弾道学 (MS Excel スプレッドシート) - Pejsa モデル。
  • Sharpshooter Friend (Palm PDA ソフトウェア) - Pejsa モデル。
  • Quick Target Unlimited、Lapua 版 - QuickTARGET Unlimited弾道ソフトウェアのバージョン(ダウンロードするには無料登録が必要です) - G1、G2、G5、G6、G7、G8、GL、GS Spherical 9/16"SAAMI、GS Spherical Don Miller、RA4、Soviet 1943、British 1909 Hatches Notebook をサポートし、一部の Lapua 発射体についてはドップラー レーダー テスト由来の (Cd) 抗力モデルをサポートします。
  • Lapua Ballistics JavaまたはAndroidスマートフォン向けの外装弾道ソフトウェア。ドップラーレーダー試験に基づく（Cd）抗力モデルに基づき、Lapuaの弾丸および薬莢を弾道解析します。
  • Lapua Ballistics アプリ 6 DoF モデルは Android および iOS 用の Lapua 弾に限定されています。
  • BfX - Excel用弾道学 MS Excelアドイン関数セット - G1、G2、G5、G6、G7、G8、RA4、Pejsaの抗力モデルに加え、空気銃の弾丸モデルもサポートしています。ラプア弾やドップラーレーダー実験由来（Cd）モデルなど、ユーザー定義のモデルも処理可能です。
  • BallisticSimulator 「Ballistic Simulator」は、Windows 用の無料の弾道シミュレーター プログラムです。
  • 5H0T データのエクスポート機能とチャート作成機能を備えた、無料のオンライン Web ベースの弾道計算機。
  • SAKO Ballistics は、Wayback Machineで2016年3月15日にアーカイブされています。SAKOによる無料オンライン弾道計算機です。Androidアプリ（iOS版もあるかもしれませんが、分かりません）も「SAKO Ballistics」という名前で提供されています。
  • py-ballisticcalc 点質量弾道計算用の LGPL Python ライブラリ。
  1. ^ “JBM Bullet Library”. 2010年5月3日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年12月24日閲覧。
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