移動物体の軌跡

その他の用法については、「軌道 (曖昧さ回避)」を参照してください。

「Flightpath」はこの項目にリダイレクトされます。その他の用法については、「Flightpath (曖昧さ回避)」を参照してください。

上り坂の標的に発射された弾丸の方向軌道を示すイラスト

軌道または飛行経路とは、質量を持つ物体が運動する際に、時間の関数として空間を辿る経路のことである。古典力学では、軌道は正準座標系を介してハミルトン力学によって定義される。したがって、完全な軌道は位置と運動量によって同時に定義される。

質量は発射体または衛星である可能性があります。^{[ 1 ]}たとえば、惑星、小惑星、彗星が中心質量の周りを回る軌道である可能性があります。

制御理論において、軌道とは、力学系における時間順に並べられた状態の集合（例えば、ポアンカレ写像を参照）である。離散数学において、軌道とは、その発生源の要素への写像を反復的に適用することで計算される値の列である。 ${\displaystyle (f^{k}(x))_{k\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$

軌道の物理学

[編集]

軌道の身近な例としては、投げられたボールや石などの発射物の軌道が挙げられます。非常に単純化されたモデルでは、物体は均一な重力場の影響のみを受けて運動します。これは、例えば月面のように短距離に投げられた石の場合、良い近似値となります。この単純な近似では、軌道は放物線状になります。一般的に、軌道を決定する際には、不均一な重力や空気抵抗（抗力と空気力学）を考慮する必要がある場合があります。これが弾道学の焦点です。

ニュートン力学の注目すべき成果の一つは、ケプラーの惑星運動の法則を導出したことである。質点または球対称の拡張質量（太陽など）の重力場において、運動する物体の軌道は円錐曲線、通常は楕円または双曲線となる。^{[ a ]}これは、観測された惑星、彗星、人工宇宙船の軌道とかなり良い近似で一致するが、彗星が太陽の近くを通過する場合は、太陽風や放射圧などの他の力の影響も受け、軌道が変わり、彗星が宇宙に物質を放出する原因となる。

ニュートンの理論は後に、古典力学として知られる理論物理学の一分野へと発展しました。この分野は、微分積分学（これもニュートンが若き日に創始した数学です）を採用しています。何世紀にもわたり、数え切れないほどの科学者がこの二つの分野の発展に貢献してきました。古典力学は、科学技術において合理的思考、すなわち理性の力を最も顕著に示すものとなりました。これは、軌道など、実に様々な現象を理解し予測するのに役立ちます。

ポテンシャル場の中を運動する質量 の粒子を考えてみましょう。物理的に言えば、質量 は慣性 を表し、ポテンシャル場 は「保存力」と呼ばれる特定の種類の外力を表します。関連するすべての位置において が与えられれば、例えば重力などから、その位置に作用する関連する力を推測する方法があります。しかし、すべての力がこのように表現できるわけではありません。 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

粒子の運動は2階微分方程式で記述される。

${\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} ^{2}{\vec {x}}(t)}{\mathrm {d} t^{2}}}=-\nabla V({\vec {x}}(t)){\text{ with }}{\vec {x}}=(x,y,z).}$

右辺では、力は軌道上の位置におけるポテンシャルの勾配によって与えられます。これはニュートンの運動の第二法則の数学的表現です。つまり、このような状況では、力は質量×加速度に等しいということです。 ${\displaystyle \nabla V}$

例

[編集]

均一な重力、抗力も風もない

[編集]

70°の角度で投げられた質量の軌道：
 抵抗なし
 ストークス抗力
 ニュートン抵抗

他の力（空気抵抗など）がない場合の均一な重力場における発射体の理想的な運動は、ガリレオ・ガリレイによって初めて研究されました。軌道を形成する上で大気の作用を無視することは、中世ヨーロッパを通じて実践的な研究者からは無益な仮説とみなされていました。しかしながら、後に協力者のエヴァンジェリスタ・トリチェリ^{[要出典]によって}地球上で実証される真空の存在を予期することにより、ガリレオは将来の力学の科学を切り開くことができました^[要出典]。例えば月面で判明したように、真空に近い状態では、彼の単純化された放物線の軌道は基本的に正しいことが証明されています。

以下に続く解析では、地面に対して静止している慣性系から測定した発射体の運動方程式を導出します。この系には、発射体の発射地点を原点とする右手座標系が関連付けられています。-軸は地面に接し、軸は地面に垂直です（重力場の線に平行です）。を重力加速度とします。平坦な地形に対する初期の水平速度を、初期の垂直速度を とします。また、範囲が、最大高度が であることも示します。与えられた初期速度での最大範囲は、つまり初期角度が 45 のときに得られます。この範囲は、最大範囲での最大高度は です。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle v_{h}=v\cos(\theta )}$ ${\displaystyle v_{v}=v\sin(\theta )}$ ${\displaystyle 2v_{h}v_{v}/g}$ ${\displaystyle v_{v}^{2}/2g}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v_{h}=v_{v}}$ ${\displaystyle ^{\circ }}$ ${\displaystyle v^{2}/g}$ ${\displaystyle v^{2}/(4g)}$

運動方程式の導出

[編集]

発射体の運動が、t  = 0において( x , y ) = (0,0) にある自由落下系から測定されていると仮定します。この系における発射体の運動方程式は（等価性原理により） となります。この自由落下系における座標は、慣性系を基準とすると となります。つまり、となります。 ${\displaystyle y=x\tan(\theta )}$ ${\displaystyle y=-gt^{2}/2}$ ${\displaystyle y=-g(x/v_{h})^{2}/2}$

これを慣性系に戻すと、発射体の座標は次のようになります。 ${\displaystyle y=x\tan(\theta )-g(x/v_{h})^{2}/2}$

${\displaystyle y=-{g\sec ^{2}\theta \over 2v_{0}^{2}}x^{2}+x\tan \theta ,}$

(ここで、v ₀は初期速度、は仰角、g は重力加速度です)。 ${\displaystyle \theta }$

範囲と高さ

[編集]

真空中、かつ10 m/s 2 の均一な下向きの重力場において、異なる仰角で発射されたが速度は10 m/s ²で同じであった発射体の軌跡。点は0.05秒間隔で、尾の長さは速度に比例する。t =発射からの時間、T = 飛行時間、R = 距離、H = 軌道の最高点（矢印で示す）。

距離Rは、物体がIセクター内をx軸に沿って移動する最大距離です。初速度v _iは、物体が原点から発射される速度です。初期角度θ i_は、物体が放出される角度です。g は、ヌル媒質内における物体に働く重力です。

${\displaystyle R={v_{i}^{2}\sin 2\theta _{i} \over g}}$

高さhは、その物体がその軌道内で到達する最大の放物線の高さである。

${\displaystyle h={v_{i}^{2}\sin ^{2}\theta _{i} \over 2g}}$

仰角

[編集]

弾道を計算する方法を示す例

仰角と初速度に関して： ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle v_{h}=v\cos \theta ,\quad v_{v}=v\sin \theta \;}$

範囲は次のように表される。

${\displaystyle R=2v^{2}\cos(\theta )\sin(\theta )/g=v^{2}\sin(2\theta )/g\,.}$

この式を変形して、必要な範囲の角度を求めることができる。

${\displaystyle \theta ={\frac {1}{2}}\sin ^{-1}\left({\frac {gR}{v^{2}}}\right)}$（式II：発射体の発射角度）

正弦関数は、与えられた範囲 に対しての解が2つ存在することに注意してください。最大範囲を与える角度は、 またはを について導関数として扱い、それを0とすることで求められます。 ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle d_{h}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\mathrm {d} R \over \mathrm {d} \theta }={2v^{2} \over g}\cos(2\theta )=0}$

これは、 、またはで非自明な解を持ちます。この場合、最大範囲は です。この角度ではなので、得られる最大の高さは です。 ${\displaystyle 2\theta =\pi /2=90^{\circ }}$ ${\displaystyle \theta =45^{\circ }}$ ${\displaystyle R_{\max }=v^{2}/g\,}$ ${\displaystyle \sin(\pi /2)=1}$ ${\displaystyle {v^{2} \over 4g}}$

与えられた速度で最大高度を与える角度を求めるには、最大高度のに関する微分を計算します。つまり、のときは 0 になります。つまり、最大高度は、発射体が真上に発射されたときに得られます。 ${\displaystyle H=v^{2}\sin ^{2}(\theta )/(2g)}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\mathrm {d} H \over \mathrm {d} \theta }=v^{2}2\cos(\theta )\sin(\theta )/(2g)}$ ${\displaystyle \theta =\pi /2=90^{\circ }}$ ${\displaystyle H_{\mathrm {max} }={v^{2} \over 2g}}$

軌道を回る物体

[編集]

一様な下向きの重力の代わりに、相互重力を伴いながら周回する二つの物体を想定すると、ケプラーの惑星運動の法則が得られます。この法則の導出はアイザック・ニュートンの主要な業績の一つ​​であり、微分積分学の発展の大きな動機となりました。

ボールをキャッチする

[編集]

野球ボールやクリケットボールなどの投射物が、空気抵抗がほとんどない放物線を描いて飛行する場合、プレーヤーが下降するボールをキャッチする位置にいると、飛行中ずっとボールの仰角が連続的に増加していくのが見えます。仰角の正接は、ボールが（通常はバットで打たれて）空中に放り出されてからの時間に比例します。ボールが実際には下降しているときでも、飛行の終わり近くでは、プレーヤーが見ているボールの仰角は増加し続けます。そのため、プレーヤーはボールが一定速度で垂直に上昇しているのを見るのです。ボールが着実に上昇しているように見える場所を見つけることは、プレーヤーがキャッチするために正しい位置につくのに役立ちます。プレーヤーがボールを打った打者に近すぎると、ボールは加速度的に上昇しているように見えます。プレーヤーが打者から遠すぎると、ボールは急激に減速してから下降しているように見えます。

上記の記述の証明については、「発射体の軌道 § ボールのキャッチ」を参照してください。

注記

[編集]

1. 軌道が放射状の直線、円、または放物線になることは理論的には可能です。これらは現実には起こり得ない極限的なケースです。

参照

[編集]

• 後方横断軌道
• 変位（形状）
• ガリレイ不変性
• 軌道（ダイナミクス）
• 軌道（群論）
• 軌道軌道
• フゴイド
• 惑星の軌道
• ポークチョッププロット
• 発射体の運動
• 発射体の射程
• 剛体
• 世界線

参考文献

[編集]

1. Metha, Rohit. "11". 『物理学の原理』 378ページ。

外部リンク

[編集]

• 発射体モーション フラッシュ アプレットは、 2008 年 9 月 14 日に Wayback Machineにアーカイブされています:)
• 軌道計算機
• 発射体の運動に関するインタラクティブなシミュレーション
• Projectile Lab、JavaScript軌道シミュレータ
• 放物線状の発射運動: 落ちてくるサルに無害な麻酔ダーツを発射するby Roberto Castilla-Melendez、Roxana Ramírez-Herrera、José Luis Gómez-Muñoz、Wolfram デモンストレーション プロジェクト。
• 軌道、ScienceWorld。
• Javaによる一次空気抵抗を考慮した投射物運動シミュレーション。 2012年7月3日 Wayback Machineにアーカイブ。
• Java の発射体動作シミュレーション、ターゲット ソリューション、安全性の放物線。

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Trajectory&oldid=1289036617"