代数要素

数学において、 $Aが$ $K$ 上の結合的代数であるとき、 $A$ の元 $aは$ $K$ 上の代数的元である。あるいは、 $K$ に係数を持つ非零多項式が存在し、 $g$ $($ $a$ $)=0$ となるとき、単に $K$ 上代数的元である。^[1] $K$ 上で代数的ではない $A$ の元は、 $K$ 上で超越的である。K上の結合的代数の特別なケースは、の拡大体である。 $g(x)\in K[x]$ $K$ $L$ $K$

これらの概念は、代数的数と超越数を一般化します（体の拡張は $C / Q$ で、 $C$ は複素数体、 $Q$ は有理数体です）。

例

2 の平方根は、係数が有理数である多項式 $g$ $($ $x$ $) =$ $x$ $2$ $- 2$ の根であるため、 $Q$ 上で代数的です。
Piは $Q$ 上では超越数ですが、実数体 $R$ 上では代数数です。つまり、係数 (1 と − $π ) が両方とも実数である$ $g (x) = x - π$ の根ですが、有理数係数のみを持つ多項式の根ではありません。(超越数という用語の定義では、 $C$ $/$ $R$ ではなく $C$ $/$ $Q$ が使用されます。)

プロパティ

次の条件は、の拡張体の要素に対して同等です。 $a$ $L$ $K$

$a$ は上代数的であり、 $K$
体の拡大は代数的である、すなわちのすべての元は（ここではとを含むの最小の部分体を表す）、 $K(a)/K$ $K(a)$ $K$ $K(a)$ $L$ $K$ $a$
体の拡大は有限次、すなわちベクトル空間としての体の次元は有限である。 $K(a)/K$ $K(a)$ $K$
$K[a]=K(a)$ 、ここではのすべての要素の集合であり、の係数を持つ多項式を使用しての形式で表すことができます。 $K[a]$ $L$ $g(a)$ $g$ $K$

これをより明確にするために、多項式の評価を考えてみましょう。これは準同型であり、その核はです。が代数的である場合、このイデアルには非ゼロの多項式が含まれますが、がユークリッド領域であるように、には最小次数と主係数を持つ一意の多項式が含まれます。この多項式もイデアルを生成し、は既約でなければなりません。この多項式はの最小多項式と呼ばれ、の多くの重要な特性をエンコードします。したがって、準同型定理によって得られる環同型は体の同型であり、ここでであることが分かります。そうでない場合、は単射であるため、体同型が得られます。ここではの分数体、つまり上の有理関数の体です。これは分数体の普遍的性質によります。いずれの場合でも、同型またはが見つかると言えます。この構成を調べると、目的の結果が得られます。 $\varepsilon _{a}:K[X]\rightarrow K(a),\,P\mapsto P(a)$ $\{P\in K[X]\mid P(a)=0\}$ $a$ $K[X]$ $p$ $1$ $p$ $a$ $a$ $K[X]/(p)\rightarrow \mathrm {im} (\varepsilon _{a})$ $\mathrm {im} (\varepsilon _{a})=K(a)$ $\varepsilon _{a}$ $K(X)\rightarrow K(a)$ $K(X)$ $K[X]$ $K$ $K(a)\cong K[X]/(p)$ $K(a)\cong K(X)$

この特徴付けは、上の代数的元の和、差、積、商が上でも代数的であることを示すために用いることができます。とが両方とも代数的である場合、は有限体です。はとの前述の組み合わせを含むため、それらのいずれかをに付加すると有限拡大も得られ、したがってこれらの元も代数的になります。したがって、上で代数的であるのすべての元の集合は、との間に位置する体です。 $K$ $K$ $a$ $b$ $(K(a))(b)$ $a$ $b$ $K$ $L$ $K$ $L$ $K$

体の上に代数的元（自身の元を除く）を許さない体は、代数的に閉じていると呼ばれます。複素数体はその一例です。が代数的に閉じている場合、上の代数的元の体も代数的に閉じており、これもまた、上記の単純な代数的拡大の特徴付けを用いて直接示すことができます。この例として、代数的数体が挙げられます。 $L$ $L$ $K$

参照

代数的独立性

参考文献

^ ローマン、スティーブン (2008). "18".上級線形代数. 大学院数学テキスト. ニューヨーク: Springer New York Springer e-books. pp. 458– 459. ISBN 978-0-387-72831-5。

さらに読む

ラング、セルジュ（2002）、代数学、大学院数学テキスト、第211巻（改訂第3版）、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-95385-4、MR 1878556、Zbl 0984.00001

[1] ローマン、スティーブン (2008). "18".上級線形代数. 大学院数学テキスト. ニューヨーク: Springer New York Springer e-books. pp. 458– 459. ISBN 978-0-387-72831-5。