伝達関数

Function specifying the behavior of a component in an electronic or control system

工学において、システム、サブシステム、またはコンポーネントの伝達関数（システム関数^[1]またはネットワーク関数とも呼ばれる）は、システムの出力をそれぞれの可能な入力に対してモデル化する数学関数です。 ^{[2] [3] [4]}回路シミュレータや制御システムなどの電子工学ツールで広く使用されています。単純なケースでは、この関数は独立したスカラー入力と従属するスカラー出力の2次元グラフ（伝達曲線または特性曲線として知られる）として表すことができます。コンポーネントの伝達関数は、電子工学および制御理論において、特にブロック線図手法を用いて、コンポーネントから組み立てられたシステムを設計および解析するために使用されます

伝達関数の次元と単位は、デバイスの出力応答を、可能な入力範囲に対してモデル化します。増幅器などの2ポート電子回路の伝達関数は、入力に印加されるスカラー電圧の関数としての出力におけるスカラー電圧の2次元グラフである可能性があります。電気機械アクチュエータの伝達関数は、デバイスに印加される電流の関数としての可動アームの機械的変位である可能性があります。光検出器の伝達関数は、与えられた波長の入射光の光度の関数としての出力電圧である可能性があります。

伝達関数という用語は、ラプラス変換などの変換法を用いたシステムの周波数領域解析でも使用されます。これは、入力信号の周波数の関数としての出力の振幅です。電子フィルタの伝達関数は、入力に印加される一定振幅の正弦波の周波数の関数としての出力の振幅です。光イメージングデバイスの場合、光伝達関数は点像分布関数（空間周波数の関数）のフーリエ変換です

線形時不変システム

伝達関数は、信号処理、通信理論、制御理論における単入力単出力 フィルタなどのシステムの解析で一般的に使用されます。この用語は、多くの場合、線形時不変（LTI）システムを指すためにのみ使用されます。ほとんどの実際のシステムは非線形の入出力特性を持ちますが、公称パラメータ内で（過剰駆動されていない状態で）動作する多くのシステムは、線形に十分近い動作を示すため、LTIシステム理論はそれらの入出力動作の許容可能な表現です。

連続時間

記述は複素変数,を用いて行われます。多くの用途では、 （したがって）と設定するだけで十分であり、これにより複素引数を持つラプラス変換が実引数 ω を持つフーリエ変換に簡約されます。これは、LTIシステムの定常応答（信号処理や通信理論でよく見られる）に主に関心のある用途で一般的であり、一時的なターンオンおよびターンオフの過渡応答や安定性の問題には関心がありません。 ${\displaystyle s=\sigma +j\cdot \omega }$ ${\displaystyle \sigma =0}$ ${\displaystyle s=j\cdot \omega }$

連続時間入力信号と出力の場合、出力 のラプラス変換 を入力 のラプラス変換 で割ると、システムの伝達関数 が得られます。 ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle Y(s)={\mathcal {L}}\left\{y(t)\right\}}$ ${\displaystyle X(s)={\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}}$ ${\displaystyle H(s)}$

${\displaystyle H(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}={\frac {{\mathcal {L}}\left\{y(t)\right\}}{{\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}}}}$

これは次のように整理できます。

${\displaystyle Y(s)=H(s)\;X(s)\,.}$

離散時間

離散時間信号は、整数 でインデックス付けされた配列として表記される場合があります（例：入力は 、出力は ）。連続時間信号にはラプラス変換の方が適していますが、離散時間信号はz変換（ やのように対応する大文字で表記）を使用して処理されるため、離散時間システムの伝達関数は次のように表すことができます。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x[n]}$ ${\displaystyle y[n]}$ ${\displaystyle X(z)}$ ${\displaystyle Y(z)}$

$${\displaystyle H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {{\mathcal {Z}}\{y[n]\}}{{\mathcal {Z}}\{x[n]\}}}.}$$

微分方程式からの直接導出

定数係数の線型微分方程式

${\displaystyle L[u]={\frac {d^{n}u}{dt^{n}}}+a_{1}{\frac {d^{n-1}u}{dt^{n-1}}}+\dotsb +a_{n-1}{\frac {du}{dt}}+a_{n}u=r(t)}$

ここで、uとrはtの適切に滑らかな関数であり、Lは関連する関数空間上で定義され、uをrに変換する演算子です。この種の方程式は、出力関数uを強制関数rに関して制約するために使用できます。伝達関数は、 Lの右逆として機能する演算子を定義するために使用できます。つまり、となります 。 ${\displaystyle F[r]=u}$ ${\displaystyle L[F[r]]=r}$

同次定数係数微分方程式 の解は、を試して求めることができます。この置換により、特性多項式が得られます。 ${\displaystyle L[u]=0}$ ${\displaystyle u=e^{\lambda t}}$

${\displaystyle p_{L}(\lambda )=\lambda ^{n}+a_{1}\lambda ^{n-1}+\dotsb +a_{n-1}\lambda +a_{n}\,}$

入力関数rもの形であれば、非同次ケースは簡単に解くことができます。を代入することにより、定義すると ${\displaystyle r(t)=e^{st}}$ ${\displaystyle u=H(s)e^{st}}$ ${\displaystyle L[H(s)e^{st}]=e^{st}}$

${\displaystyle H(s)={\frac {1}{p_{L}(s)}}\qquad {\text{wherever }}\quad p_{L}(s)\neq 0.}$

伝達関数の他の定義も使用されます。例えば、^[5] ${\displaystyle 1/p_{L}(ik).}$

ゲイン、過渡挙動、および安定性

周波数のシステムへの一般的な正弦波入力はと表記されます。時刻 から始まる正弦波入力に対するシステムの応答は、定常応答と過渡応答の和で構成されます。定常応答は無限時間の極限におけるシステムの出力であり、過渡応答は応答と定常応答の差です。これは微分方程式 の同次解に対応します。LTIシステムの伝達関数は、次の積として表すことができます。 ${\displaystyle \omega _{0}/(2\pi )}$ ${\displaystyle \exp(j\omega _{0}t)}$ ${\displaystyle t=0}$

${\displaystyle H(s)=\prod _{i=1}^{N}{\frac {1}{s-s_{P_{i}}}}}$

ここで、s _{P i は}特性多項式のN個の根であり、 は伝達関数の極となります。 の単極を持つ伝達関数では、単位振幅の一般的な正弦波のラプラス変換は となります。出力のラプラス変換は となり、時間出力はその関数の逆ラプラス変換となります ${\displaystyle H(s)={\frac {1}{s-s_{P}}}}$ ${\displaystyle s_{P}=\sigma _{P}+j\omega _{P}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{s-j\omega _{0}}}}$ ${\displaystyle {\frac {H(s)}{s-j\omega _{0}}}}$

${\displaystyle g(t)={\frac {e^{j\,\omega _{0}\,t}-e^{(\sigma _{P}+j\,\omega _{P})t}}{-\sigma _{P}+j(\omega _{0}-\omega _{P})}}}$

分子の2番目の項は過渡応答であり、 σ _Pが正の場合、無限時間という極限において無限大に発散します。システムが安定であるためには、その伝達関数には実部が正である極が存在しない必要があります。伝達関数が厳密に安定している場合、すべての極の実部は負になり、過渡挙動は無限時間という極限においてゼロに近づきます。定常状態の出力は次のようになります。

${\displaystyle g(\infty )={\frac {e^{j\,\omega _{0}\,t}}{-\sigma _{P}+j(\omega _{0}-\omega _{P})}}}$

システムの周波数応答（または「ゲイン」）Gは、出力振幅と定常入力振幅の比の絶対値として定義されます。

${\displaystyle G(\omega _{i})=\left|{\frac {1}{-\sigma _{P}+j(\omega _{0}-\omega _{P})}}\right|={\frac {1}{\sqrt {\sigma _{P}^{2}+(\omega _{P}-\omega _{0})^{2}}}},}$

これは、で評価された伝達関数の絶対値です。この結果は、伝達関数の極の数に関係なく有効です。 ${\displaystyle H(s)}$ ${\displaystyle j\omega _{i}}$

正弦波励起の定常状態挙動

線形システムの定常状態挙動は、

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}y^{(i)}+\sum _{j=0}^{m}b_{j}u^{(j)}=0}$

正弦波励起の場合、その伝達関数で表すことができます。 ${\displaystyle u(t)=\sin(\omega t)}$

${\displaystyle g(s)={\frac {b_{m}s^{m}+...+b_{0}}{a_{n}s^{n}+...+a_{0}}},}$

で評価され、つまり実部が であるとき、 ${\displaystyle s=j\omega }$ ${\displaystyle \sigma =0}$

${\displaystyle y(t)=|g(j\omega )|\sin(\omega t+\arg(g(j\omega ))).}$

これを示すには、仮関数を使用します。

${\displaystyle y(t)=ce^{j\omega t},}$

これを上記の微分方程式に代入し、 を解き、 であることに注意してください。 ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c=g(j\omega )}$

複素恒等式 から、議論が導き出されます。 ${\displaystyle z=|z|e^{j\arg(z)}}$

信号処理

が一般的な線形時不変システムへの入力、 が出力であり、 との双方向ラプラス変換がで ある場合、 ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle y(t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}X(s)&={\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-st}\,dt,\\Y(s)&={\mathcal {L}}\left\{y(t)\right\}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }y(t)e^{-st}\,dt.\end{aligned}}}$

出力は、伝達関数によって入力と次のように関連付けられます。 ${\displaystyle H(s)}$

${\displaystyle Y(s)=H(s)X(s)}$

伝達関数自体は です。

${\displaystyle H(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}.}$

振幅、角周波数、位相の正弦波成分を持つ複素高調 波 信号の場合、arg は引数です。 ${\displaystyle |X|}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \arg(X)}$

${\displaystyle x(t)=Xe^{j\omega t}=|X|e^{j(\omega t+\arg(X))}}$

ここで ${\displaystyle X=|X|e^{j\arg(X)}}$

線形時不変システムに入力されると、出力の対応する成分は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}y(t)&=Ye^{j\omega t}=|Y|e^{j(\omega t+\arg(Y))},\\Y&=|Y|e^{j\arg(Y)}.\end{aligned}}}$

線形時不変システムでは、入力周波数は変化せず、正弦波の振幅と位相角のみがシステムによって変化します。周波数応答は、すべての周波数におけるこの変化をゲインで表します。 ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle H(j\omega )}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle G(\omega )={\frac {|Y|}{|X|}}=|H(j\omega )|}$

と位相シフト

${\displaystyle \phi (\omega )=\arg(Y)-\arg(X)=\arg(H(j\omega )).}$

位相遅延（伝達関数によって正弦波に導入される周波数依存の遅延量）は

${\displaystyle \tau _{\phi }(\omega )=-{\frac {\phi (\omega )}{\omega }}.}$

群遅延（伝達関数によって正弦波の包絡線に導入される周波数依存の遅延量）は、位相シフトの角周波数に対する微分を計算することで求められます。 ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \tau _{g}(\omega )=-{\frac {d\phi (\omega )}{d\omega }}.}$

伝達関数は、双対ラプラス変換の特殊なケースであるフーリエ変換を用いて示すこともできます ${\displaystyle s=j\omega }$

一般的な伝達関数族

あらゆるLTIシステムは何らかの伝達関数で記述できますが、特殊な伝達関数の「族」が一般的に使用されます。

• バターワースフィルタ - 指定された次数において、通過帯域と阻止帯域で最大平坦
• チェビシェフフィルタ（タイプI）  - 阻止帯域で最大平坦、同じ次数のバターワースフィルタよりも鋭いカットオフ
• チェビシェフフィルタ（タイプII） - 通過帯域で最大平坦、同次数のバターワースフィルタよりも遮断周波数が急峻
• ベッセルフィルタ-与えられた次数で群遅延が 最大限に一定
• 楕円フィルタ - 与えられた次数で最も遮断周波数が急峻（通過帯域と阻止帯域間の遷移が最も狭い）
• 最適「L」フィルタ
• ガウスフィルタ - 群遅延が最小。ステップ関数にオーバーシュートを与えない
• レイズドコサインフィルタ

制御工学

制御工学と制御理論において、伝達関数はラプラス変換によって導出されます。伝達関数は、古典的な制御工学で使用される主要なツールでした。伝達行列は、任意の線形システムのダイナミクスやその他の特性を分析するために取得できます。伝達行列の各要素は、特定の入力変数と出力変数を関連付ける伝達関数です。状態空間法と伝達関数法を橋渡しする表現は、ハワード・H・ローゼンブロックによって提案され、ローゼンブロックシステム行列として知られています。

イメージング

イメージングにおいて、伝達関数は、シーン光、画像信号、および表示光の関係を記述するために使用されます。

非線形システム

緩和発振器などの多くの非線形システムには伝達関数は存在しません。^[6]ただし、記述関数は、このような非線形時間不変システムを近似するために使用される場合があります。

参照

• アナログコンピュータ
• ブラックボックス
• ボード線図
• 畳み込み
• デュアメルの原理
• 周波数応答
• インパルス応答
• ラプラス変換
• LTIシステム理論
• ナイキスト線図
• オペアンプ
• 光伝達関数
• 固有伝達関数
• ローゼンブロックシステム行列
• 片対数プロット
• シグナルフローグラフ
• 信号伝達関数

参考文献

1. Bernd Girod、Rudolf Rabenstein、Alexander Stenger、『Signals and systems』、第2版、Wiley、2001年、ISBN 0-471-98800-650ページ
2. MA Laughton; DF Warne (2002年9月27日).電気技術者のための参考書（第16版）. Newness. pp. 14/9–14/10. ISBN 978-0-08-052354-5。
3. EA Parr (1993).ロジック設計者ハンドブック：回路とシステム（第2版）. Newness. pp.  65– 66. ISBN 978-1-4832-9280-9。
4. Ian Sinclair; John Dunton (2007).電子および電気サービス：民生用および商用電子機器. Routledge. 172ページ. ISBN 978-0-7506-6988-7。
5. バーコフ、ギャレット、ロータ、ジャン＝カルロ (1978). 『常微分方程式』. ニューヨーク：ジョン・ワイリー・アンド・サンズ. ISBN 978-0-471-05224-1。^{[必要ページ]}
6. ヴァレンティン・デ・スメット、ジョルジュ・ギーレン、ウィム・デハーネ (2015). 『無線センサーネットワークのための温度および電源電圧に依存しない時間基準』 . シュプリンガー. 47ページ. ISBN 978-3-319-09003-0。

外部リンク

• ECE 209: LTIシステムとしての回路のレビュー — (電気) LTIシステムの数学的解析に関する短い入門書

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