転送行列

応用数学において、伝達行列は、 2スケール方程式のブロック・テプリッツ行列を用いて定式化され、精緻化可能な関数を特徴づける。精緻化可能な関数は、ウェーブレット理論や有限要素理論において重要な役割を果たす。

から までの要素インデックスを持つベクトルであるマスク に対して、の転送行列（ここでは と呼ぶ）は次のように定義される。 ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle T_{h}}$

${\displaystyle (T_{h})_{j,k}=h_{2\cdot j-k}.}$

もっと詳しく言うと

${\displaystyle T_{h}={\begin{pmatrix}h_{a}&&&&&\\h_{a+2}&h_{a+1}&h_{a}&&&\\h_{a+4}&h_{a+3}&h_{a+2}&h_{a+1}&h_{a}&\\\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots \\&h_{b}&h_{b-1}&h_{b-2}&h_{b-3}&h_{b-4}\\&&&h_{b}&h_{b-1}&h_{b-2}\\&&&&&h_{b}\end{pmatrix}}.}$

の効果は、ダウンサンプリング演算子「 」で表現できます。 ${\displaystyle T_{h}}$ ${\displaystyle \downarrow }$

${\displaystyle T_{h}\cdot x=(h*x)\downarrow 2.}$

プロパティ

• ${\displaystyle T_{h}\cdot x=T_{x}\cdot h}$。
• 最初の列と最後の列を削除し、奇数インデックスの列を左に、偶数インデックスの列を右に移動すると、転置されたシルベスター行列が得られます。
• 転送行列の行列式は本質的に結果行列です。

  より正確には：

  を（）の偶数指数係数とし、を（ ）の奇数指数係数とします。 ${\displaystyle h_{\mathrm {e} }}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle (h_{\mathrm {e} })_{k}=h_{2k}}$ ${\displaystyle h_{\mathrm {o} }}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle (h_{\mathrm {o} })_{k}=h_{2k+1}}$

  すると、結果のはどこにありますか。 ${\displaystyle \det T_{h}=(-1)^{\lfloor {\frac {b-a+1}{4}}\rfloor }\cdot h_{a}\cdot h_{b}\cdot \mathrm {res} (h_{\mathrm {e} },h_{\mathrm {o} })}$ ${\displaystyle \mathrm {res} }$

  この接続により、ユークリッドのアルゴリズムを使用した高速計算が可能になります。
• 畳み込みマスクの転送行列のトレースは
  ${\displaystyle \mathrm {tr} ~T_{g*h}=\mathrm {tr} ~T_{g}\cdot \mathrm {tr} ~T_{h}}$
• 畳み込みマスクの転送行列の行列式は

  ${\displaystyle \det T_{g*h}=\det T_{g}\cdot \det T_{h}\cdot \mathrm {res} (g_{-},h)}$

  ここで、 は交互の符号を持つマスクを表します。 ${\displaystyle g_{-}}$ ${\displaystyle (g_{-})_{k}=(-1)^{k}\cdot g_{k}}$
• もし なら、。 ${\displaystyle T_{h}\cdot x=0}$ ${\displaystyle T_{g*h}\cdot (g_{-}*x)=0}$
  これは上記の行列式の性質を具体化したものです。行列式の性質から、 が特異であるときはいつでもが特異であることがわかります。この性質はまた、 の零空間からのベクトルを の零空間ベクトルにどのように変換できるかについても示しています。 ${\displaystyle T_{g*h}}$ ${\displaystyle T_{h}}$ ${\displaystyle T_{h}}$ ${\displaystyle T_{g*h}}$
• が固有値に関するの固有ベクトルである場合、すなわち ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle T_{h}}$ ${\displaystyle \lambda }$

  ${\displaystyle T_{h}\cdot x=\lambda \cdot x}$、

  は、同じ固有値に関するの固有ベクトル、すなわち ${\displaystyle x*(1,-1)}$ ${\displaystyle T_{h*(1,1)}}$

  ${\displaystyle T_{h*(1,1)}\cdot (x*(1,-1))=\lambda \cdot (x*(1,-1))}$。
• を の固有値とすると、となり、より一般的にはとなる。この和はのスペクトル半径を推定するのに有用である。固有値のべき乗の和を計算する別の方法があり、 が小さい場合にはより高速である。 ${\displaystyle \lambda _{a},\dots ,\lambda _{b}}$ ${\displaystyle T_{h}}$ ${\displaystyle \lambda _{a}+\dots +\lambda _{b}=\mathrm {tr} ~T_{h}}$ ${\displaystyle \lambda _{a}^{n}+\dots +\lambda _{b}^{n}=\mathrm {tr} (T_{h}^{n})}$ ${\displaystyle T_{h}}$ ${\displaystyle n}$

  を周期 に関する周期化とします。つまり、 は循環フィルタであり、成分のインデックスは法 に関する留数クラスであることを意味します。そして、アップサンプリング演算子を用いる と、 ${\displaystyle C_{k}h}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle 2^{k}-1}$ ${\displaystyle C_{k}h}$ ${\displaystyle 2^{k}-1}$ ${\displaystyle \uparrow }$

  ${\displaystyle \mathrm {tr} (T_{h}^{n})=\left(C_{k}h*(C_{k}h\uparrow 2)*(C_{k}h\uparrow 2^{2})*\cdots *(C_{k}h\uparrow 2^{n-1})\right)_{[0]_{2^{n}-1}}}$

  実際には、効率的な累乗計算戦略を適用する場合、畳み込みは必要なく、1回だけで済みます。このアプローチは、高速フーリエ変換を用いることでさらに高速化できます。 ${\displaystyle n-2}$ ${\displaystyle 2\cdot \log _{2}n}$
• 前の記述から、 のスペクトル半径の推定値を得ることができる。 ${\displaystyle \varrho (T_{h})}$

  ${\displaystyle \varrho (T_{h})\geq {\frac {a}{\sqrt {\#h}}}\geq {\frac {1}{\sqrt {3\cdot \#h}}}}$

  ここでフィルタのサイズであり、すべての固有値が実数であれば、次も真である。 ${\displaystyle \#h}$

  ${\displaystyle \varrho (T_{h})\leq a}$、

  どこ。 ${\displaystyle a=\Vert C_{2}h\Vert _{2}}$

参照

• ハーウィッツ行列式

参考文献

• ストラング、ギルバート(1996). 「カスケードアルゴリズムの固有値と収束」. IEEE Transactions on Signal Processing . 44 : 233– 238. doi :10.1109/78.485920. ${\displaystyle (\downarrow 2){H}}$
• Thielemann, Henning (2006). 最適マッチングウェーブレット (博士論文).（上記特性の証明を含む）

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