線形マップ

Mathematical function, in linear algebra

数学、特に線型代数において、線型写像（せんどうしゃ、英: linear map ）とは、ベクトル空間間の特別な種類の関数であり、ベクトルの加算とスカラー乗算という基本的な演算を遵守する。線型写像の標準的な例としては、ベクトルの加算やベクトルとスカラーの乗算と互換性のある方法で、次元ベクトルを次元ベクトルに変換する行列が挙げられる。 ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$

線型写像はベクトル空間の準同型である。^[1]したがって、線型写像は を満たし、ここで、およびはスカラー、およびはベクトル（ベクトル空間 の要素）である。線型写像は常に の原点を の原点に、の線型部分空間をの線型部分空間（より低い次元の可能性もある）に写像する。 ^[2]たとえば、の原点を通る平面を の原点を通る平面、の原点を通る直線、または の原点のみに写像する。線型写像は多くの場合行列として表すことができ、簡単な例としては回転や反射の線型変換がある。 ${\displaystyle T:V\to W}$ ${\displaystyle T(ax+by)=aTx+bTy}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W}$

定義と最初の結果

とを、実数や複素数などの同じ体上のベクトル空間とします。関数が線型写像であるとは、任意の2つのベクトルと任意のスカラーに対して、以下の2つの条件が満たされる場合をいいます。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f:V\to W}$ ${\textstyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V}$ ${\displaystyle c\in K}$

• 加法性/ 加算の演算 $${\displaystyle f(\mathbf {u} +\mathbf {v} )=f(\mathbf {u} )+f(\mathbf {v} )}$$
• 1次の同次性/ スカラー乗算の演算 $${\displaystyle f(c\mathbf {u} )=cf(\mathbf {u} )}$$

したがって、線形写像は演算保存性があると言われます。言い換えれば、線形写像が加算とスカラー乗算の演算の前（上記の例の右側）に適用されるか後（上記の例の左側）に適用されるかは関係ありません。

+で表される加算演算の結合法則により、任意のベクトルとスカラーに対して次の等式が成り立ちます。^{[3] [4]} したがって、線型写像は線型結合を保存する写像です。 ${\textstyle \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{n}\in V}$ ${\textstyle c_{1},\ldots ,c_{n}\in K,}$ $${\displaystyle f(c_{1}\mathbf {u} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {u} _{n})=c_{1}f(\mathbf {u} _{1})+\cdots +c_{n}f(\mathbf {u} _{n}).}$$

ベクトル空間の零元をそれぞれ、とで表すと、次数1の同次性に関する方程式のととは次のようになります。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\textstyle \mathbf {0} _{V}}$ ${\textstyle \mathbf {0} _{W}}$ ${\textstyle f(\mathbf {0} _{V})=\mathbf {0} _{W}.}$ ${\displaystyle c=0}$ ${\textstyle \mathbf {v} \in V}$ $${\displaystyle f(\mathbf {0} _{V})=f(0\mathbf {v} )=0f(\mathbf {v} )=\mathbf {0} _{W}.}$$

をそれ自身の1次元ベクトル空間として見た線型写像は線型汎関数と呼ばれる。^[5] ${\displaystyle V\to K}$ ${\displaystyle K}$

これらのステートメントは、変更なしでリング上の任意の左モジュールに一般化され、スカラー乗算を逆にすると任意の右モジュールに一般化されます。 ${\textstyle {}_{R}M}$ ${\displaystyle R}$

例

• 線型写像の名前の由来となった典型的な例は、グラフが原点を通る線である関数である。^[6] ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :x\mapsto cx}$
• より一般的には、ベクトル空間の原点を中心とする任意の相似性は線型写像です (ここで cはスカラー)。 ${\textstyle \mathbf {v} \mapsto c\mathbf {v} }$
• 2 つのベクトル空間 (同じ体上)間の零写像は線形です。 ${\textstyle \mathbf {x} \mapsto \mathbf {0} }$
• 任意のモジュール上の恒等写像は線形演算子です。
• 実数の場合、マップは線形ではありません。 ${\textstyle x\mapsto x^{2}}$
• 実数の場合、マップは線形ではありません（ただし、アフィン変換です）。 ${\textstyle x\mapsto x+1}$
• が実行列の場合、列ベクトル を列ベクトル に写像することで、からへの線型写像を定義します。逆に、有限次元ベクトル空間間の任意の線型写像もこの方法で表すことができます。以下の「行列」の項を参照してください。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle A\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{m}}$
• が実ノルム空間間の等長写像であり、その場合は線型写像となる。この結果は複素ノルム空間では必ずしも成り立たない。^[7] ${\textstyle f:V\to W}$ ${\textstyle f(0)=0}$ ${\displaystyle f}$
• 微分は、すべての微分可能関数の空間からすべての関数の空間への線型写像を定義します。また、すべての滑らかな関数の空間上の線型作用素も定義します（線型作用素 とは、同じ定義域と余定義域を持つ線型写像、つまり線型自己準同型です）。実際、 $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(af(x)+bg(x)\right)=a{\frac {df(x)}{dx}}+b{\frac {dg(x)}{dx}}.}$$
• ある区間I上の定積分は、 I上のすべての実数値積分可能関数の空間から への線型写像である。実際、 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \int _{u}^{v}\left(af(x)+bg(x)\right)dx=a\int _{u}^{v}f(x)dx+b\int _{u}^{v}g(x)dx.}$$
• 固定された積分開始点を持つ不定積分（または反微分）は、 上のすべての実数値積分可能関数の空間から 上のすべての実数値微分可能関数の空間への線型写像を定義します。固定された開始点がない場合、反微分は、微分可能関数の商空間を定数関数の線型空間で写像します。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• およびがそれぞれ次元mとnの体F上の有限次元ベクトル空間である場合、§ 行列 (下記) で説明されている方法で線型写像をn × m行列に写像する関数は線型写像であり、さらには線型同型でもあります。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\textstyle f:V\to W}$
• 確率変数の期待値は確率変数の線形関数です。つまり、確率変数と の場合、ととなります。条件付き期待値も同様です。しかし、確率変数の分散は線形ではありません。例えば です。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle E[X+Y]=E[X]+E[Y]}$ ${\displaystyle E[aX]=aE[X]}$ ${\displaystyle {\text{Var}}(aX)=a^{2}{\text{Var}}(X)}$

• 
  関数は線形写像です。この関数はベクトルの成分を係数 で拡大・縮小します。 ${\textstyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$ ${\textstyle f(x,y)=(2x,y)}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle 2}$
• 
  この関数は加算的です。ベクトルを最初に加算してからマッピングするか、マッピングしてから最後に加算するかは関係ありません。 ${\textstyle f(x,y)=(2x,y)}$ ${\textstyle f(\mathbf {a} +\mathbf {b} )=f(\mathbf {a} )+f(\mathbf {b} )}$
• 
  この関数は同次です。ベクトルを最初にスケーリングしてからマッピングするか、最初にマッピングしてからスケーリングするかは関係ありません。 ${\textstyle f(x,y)=(2x,y)}$ ${\textstyle f(\lambda \mathbf {a} )=\lambda f(\mathbf {a} )}$

線型準同型と線型同型

線型写像が全単射である場合、それは線型同型写像。 の場合、線型写像は線型自己準同型写像。 ${\displaystyle V=W}$線形演算子はこの場合を指します^[8]、「線形演算子」という用語は、異なる規則によって異なる意味を持つ場合があります。

線形拡張

多くの場合、線形写像はベクトル空間の部分集合上に定義し、定義域の線型範囲まで線型性によって拡張される。とがベクトル空間であり、が何らかの部分集合上で定義された関数であるとする 。すると、 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:S\to Y}$ ${\displaystyle S\subseteq X.}$から への線型拡大が ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X,}$存在する場合、は 上で定義される線型写像であり、^{[注 1]}（つまり、のすべての に対してを拡張し、その値を の共域から取る。^[9] 部分集合がのベクトル部分空間である、 のすべての へ（-値）線型拡大が存在することが保証される。これは、 が線型写像である場合に限る。^[9]特に、が への線型拡大を持つ、 のすべての への線型拡大が存在する。 ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F(s)=f(s)}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:S\to Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {span} S,}$ ${\displaystyle X.}$

写像を線型写像に拡張できるのは、が整数、がスカラー、がベクトルで、そのときに必ず^[10]となるときのみである。[10] の線型拡張が存在する場合、その線型拡張は一意であり、 上記のようにすべておよびに対して成立する。^[10]が線型独立である 場合、任意のベクトル空間へのすべての関数は（線型）写像への線型拡張を持つ（逆もまた真である）。 ${\displaystyle f:S\to Y}$ ${\displaystyle F:\operatorname {span} S\to Y}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{n}}$ ${\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{n}\in S}$ ${\displaystyle 0=c_{1}s_{1}+\cdots +c_{n}s_{n},}$ ${\displaystyle 0=c_{1}f\left(s_{1}\right)+\cdots +c_{n}f\left(s_{n}\right).}$ ${\displaystyle f:S\to Y}$ ${\displaystyle F:\operatorname {span} S\to Y}$ $${\displaystyle F\left(c_{1}s_{1}+\cdots c_{n}s_{n}\right)=c_{1}f\left(s_{1}\right)+\cdots +c_{n}f\left(s_{n}\right)}$$ ${\displaystyle n,c_{1},\ldots ,c_{n},}$ ${\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{n}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f:S\to Y}$ ${\displaystyle \;\operatorname {span} S\to Y}$

例えば、との割り当ては、線形独立なベクトル集合から上の線形写像に線形拡張できる。この唯一の線形拡張は、を に送る写像である。 ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle Y=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle (1,0)\to -1}$ ${\displaystyle (0,1)\to 2}$ ${\displaystyle S:=\{(1,0),(0,1)\}}$ ${\displaystyle \operatorname {span} \{(1,0),(0,1)\}=\mathbb {R} ^{2}.}$ ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (x,y)=x(1,0)+y(0,1)\in \mathbb {R} ^{2}}$ $${\displaystyle F(x,y)=x(-1)+y(2)=-x+2y.}$$

実ベクトル空間または複素ベクトル空間のベクトル部分空間上で定義されたすべての（スカラー値）線型関数 は、 の全体への線型拡張を持つ。 実際、ハーン・バナッハの支配拡張定理は、この線型関数が何らかの与えられた半ノルムによって支配されるとき（つまりの領域内のすべての に対して が成り立つ）、 への線型拡張が存在し、これも によって支配されることを保証する。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle |f(m)|\leq p(m)}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p.}$

行列

とが有限次元ベクトル空間であり、各ベクトル空間に対して基底が定義されている場合、からへのすべての線型写像は行列で表すことができます。^[11]これは具体的な計算が可能になるため便利です。行列は線型写像の例となります。 が実数行列である場合、 は線型写像を表します（ユークリッド空間 を参照）。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle f(\mathbf {x} )=A\mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$

を の基底とする。すると、すべてのベクトルはの係数によって一意に決定される。 ${\displaystyle \{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}\}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbf {v} \in V}$ ${\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \mathbf {v} =c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n}.}$$

が線形写像である場合、 ${\textstyle f:V\to W}$ $${\displaystyle f(\mathbf {v} )=f(c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n})=c_{1}f(\mathbf {v} _{1})+\cdots +c_{n}f\left(\mathbf {v} _{n}\right),}$$

これは関数fがベクトルによって完全に決定されることを意味する。ここで、をベクトルの基底としよう。すると、各ベクトルは次のように表せる。 ${\displaystyle f(\mathbf {v} _{1}),\ldots ,f(\mathbf {v} _{n})}$ ${\displaystyle \{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{m}\}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle f(\mathbf {v} _{j})}$ $${\displaystyle f\left(\mathbf {v} _{j}\right)=a_{1j}\mathbf {w} _{1}+\cdots +a_{mj}\mathbf {w} _{m}.}$$

したがって、関数 はの値によって完全に決定されます。これらの値を行列に入れると、内の任意のベクトルについてのベクトル出力を計算するのに便利です。 を取得するには、のすべての列が、上で定義された に対応するベクトルになります。より明確に定義するには、マッピング に対応するある列について、 となります。ここで、 は の行列です。言い換えると、すべての列には、列 の要素を座標とするベクトルが対応します。単一の線形写像は、多くの行列で表現できます。これは、行列の要素の値が、選択した基底に依存するためです。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a_{ij}}$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{1j}\\\vdots \\a_{mj}\end{pmatrix}}}$$ ${\displaystyle f(\mathbf {v} _{j})}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle f(\mathbf {v} _{j})}$ $${\displaystyle \mathbf {M} ={\begin{pmatrix}\ \cdots &a_{1j}&\cdots \ \\&\vdots &\\&a_{mj}&\end{pmatrix}}}$$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle j=1,\ldots ,n}$ ${\displaystyle f(\mathbf {v} _{j})}$ ${\displaystyle a_{1j},\cdots ,a_{mj}}$ ${\displaystyle j}$

線形変換の行列は視覚的に表現できます。

1. に対する相対的な行列: ${\textstyle T}$ ${\textstyle B}$ ${\textstyle A}$
2. に対する相対的な行列: ${\textstyle T}$ ${\textstyle B'}$ ${\textstyle A'}$
3. からへの遷移行列: ${\textstyle B'}$ ${\textstyle B}$ ${\textstyle P}$
4. からへの遷移行列: ${\textstyle B}$ ${\textstyle B'}$ ${\textstyle P^{-1}}$

線形変換における行列間の関係

左下隅から始めて右下隅を探して、 を左掛けする、つまり となります。これと同等の方法は、同じ点から時計回りに進む「より長い」方法で、 を、またはで左掛けすることになります。 ${\textstyle \left[\mathbf {v} \right]_{B'}}$ ${\textstyle \left[T\left(\mathbf {v} \right)\right]_{B'}}$ ${\textstyle A'\left[\mathbf {v} \right]_{B'}=\left[T\left(\mathbf {v} \right)\right]_{B'}}$ ${\textstyle \left[\mathbf {v} \right]_{B'}}$ ${\textstyle P^{-1}AP}$ ${\textstyle P^{-1}AP\left[\mathbf {v} \right]_{B'}=\left[T\left(\mathbf {v} \right)\right]_{B'}}$

2次元の例

2次元空間R ²では、線形写像は2 × 2行列で記述されます。以下に例を示します。

• 回転
  • 反時計回りに90度： $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}}$$
  • 反時計回りに角度θだけ： $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}}$$
• 反射
  • x軸を通る： $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$$
  • y軸に沿って： $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}}$$
  • 原点と角度θをなす直線を通る： $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}\cos 2\theta &\sin 2\theta \\\sin 2\theta &-\cos 2\theta \end{pmatrix}}}$$
• 全方向に2倍にスケーリング: $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}}=2\mathbf {I} }$$
• 水平せん断マッピング： $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&m\\0&1\end{pmatrix}}}$$
• y軸を角度θだけ傾ける： $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&-\sin \theta \\0&\cos \theta \end{pmatrix}}}$$
• スクイーズマッピング： $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}k&0\\0&{\frac {1}{k}}\end{pmatrix}}}$$
• y軸への投影: $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}.}$$

線形マップが回転、反射、および/または均一なスケーリングのみで構成されている場合、線形マップは等角線形変換です。

線型写像のベクトル空間

線型写像の合成は線型である。すなわち、 とが線型ならば、それらの合成も線型である。このことから、与えられた体K上のすべてのベクトル空間の類と、射としてのK -線型写像は、カテゴリを形成することがわかる。 ${\displaystyle f:V\to W}$ ${\textstyle g:W\to Z}$ ${\textstyle g\circ f:V\to Z}$

線形マップの逆を定義すると、これも線形マップになります。

およびが線形の場合、それらの点ごとの和 も線形であり、によって定義されます。 ${\textstyle f_{1}:V\to W}$ ${\textstyle f_{2}:V\to W}$ ${\displaystyle f_{1}+f_{2}}$ ${\displaystyle (f_{1}+f_{2})(\mathbf {x} )=f_{1}(\mathbf {x} )+f_{2}(\mathbf {x} )}$

が線形で、が基底体 の要素である場合、によって定義されるマップも線形です。 ${\textstyle f:V\to W}$ ${\textstyle \alpha }$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle \alpha f}$ ${\textstyle (\alpha f)(\mathbf {x} )=\alpha (f(\mathbf {x} ))}$

したがって、から への線型写像の集合はそれ自身 上のベクトル空間を形成し、^[12]は と表記されることもある。^[13]さらに、 の場合、このベクトル空間（ と表記）は の合成に関して結合的代数となる。これは、2つの線型写像の合成もまた線型写像であり、写像の合成は常に結合的であるためである。この場合については、以下でより詳細に議論する。 ${\textstyle {\mathcal {L}}(V,W)}$ ${\textstyle V}$ ${\textstyle W}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle \operatorname {Hom} (V,W)}$ ${\textstyle V=W}$ ${\textstyle \operatorname {End} (V)}$

有限次元の場合を再度考えてみると、基底が選択されていれば、線型写像の合成は行列の乗算に対応し、線型写像の加算は行列の加算に対応し、線型写像とスカラーの乗算は行列とスカラーの乗算に対応します。

準同型と自己同型

線型変換はの自己準同型である。このような自己準同型全体の集合は、 上で定義した加法、合成、スカラー乗法とともに、体（特に環）上の単位元を持つ結合代数を形成する。この代数の乗法単位元は恒等写像である。 ${\textstyle f:V\to V}$ ${\textstyle V}$ ${\textstyle \operatorname {End} (V)}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle \operatorname {id} :V\to V}$

の自己準同型で同型でもあるものは、の自己同型と呼ばれる。2つの自己同型の合成もまた自己同型であり、 のすべての自己同型の集合は群を形成し、その自己同型群はまたは で表される。自己同型は、まさに合成に関して逆写像を持つ自己準同型であるため、 は環 の単位群である。 ${\textstyle V}$ ${\textstyle V}$ ${\textstyle V}$ ${\textstyle V}$ ${\textstyle \operatorname {Aut} (V)}$ ${\textstyle \operatorname {GL} (V)}$ ${\textstyle \operatorname {Aut} (V)}$ ${\textstyle \operatorname {End} (V)}$

が有限次元 を持つ場合、 は を要素とするすべての行列の結合代数と同型です。 の自己同型群は、を要素とするすべての可逆行列の一般線型群と 同型です。 ${\textstyle V}$ ${\textstyle n}$ ${\textstyle \operatorname {End} (V)}$ ${\textstyle n\times n}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle V}$ ${\textstyle \operatorname {GL} (n,K)}$ ${\textstyle n\times n}$ ${\textstyle K}$

カーネル、イメージ、ランク・ヌル定理

が線形の場合、カーネルと画像または範囲を次のように 定義します。 ${\textstyle f:V\to W}$ ${\textstyle f}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\ker(f)&=\{\,\mathbf {x} \in V:f(\mathbf {x} )=\mathbf {0} \,\}\\\operatorname {im} (f)&=\{\,\mathbf {w} \in W:\mathbf {w} =f(\mathbf {x} ),\mathbf {x} \in V\,\}\end{aligned}}}$$

${\textstyle \ker(f)}$はの部分空間でありは の部分空間である。次の次元公式は階数-零定理として知られている：^[14] ${\textstyle V}$ ${\textstyle \operatorname {im} (f)}$ ${\textstyle W}$ $${\displaystyle \dim(\ker(f))+\dim(\operatorname {im} (f))=\dim(V).}$$

数はの階数とも呼ばれ、 または と表記される。^{[15] [16]}数はの零次元性と呼ばれ、またはと表記される。^{[15] [16]}およびが有限次元で、基数が選ばれ、 が行列 で表されている場合、 の階数と零次元性は、それぞれ行列 の階数と零次元性に等しい。 ${\textstyle \dim(\operatorname {im} (f))}$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle \operatorname {rank} (f)}$ ${\textstyle \rho (f)}$ ${\textstyle \dim(\ker(f))}$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle \operatorname {null} (f)}$ ${\textstyle \nu (f)}$ ${\textstyle V}$ ${\textstyle W}$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle A}$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle A}$

コカーネル

線形変換のより微妙な不変量はコカーネルであり、次のように定義される。 ${\textstyle f:V\to W}$ $${\displaystyle \operatorname {coker} (f):=W/f(V)=W/\operatorname {im} (f).}$$

これは核の双対概念である。核が定義域の部分空間であるのと同様に、余核は対象の商空間である。形式的には、以下の正確な列が成り立つ。 $${\displaystyle 0\to \ker(f)\to V\to W\to \operatorname {coker} (f)\to 0.}$$

これらは次のように解釈できる。線形方程式f ( v ) = wを解くと、

• 核は同次方程式f ( v ) = 0の解の空間であり、その次元は空でない場合、解の空間内の自由度の数です。
• コカーネルはソリューションが満たさなければならない制約の空間であり、その次元は独立した制約の最大数です。

余核の次元と像の次元（ランク）を足すと、対象空間の次元になります。有限次元の場合、これは商空間W / f ( V ) の次元が対象空間の次元から像の次元を引いたものになることを意味します。

簡単な例として、 f ( x , y ) = (0, y )で与えられる写像f : R ² → R ²を考えてみましょう。方程式f ( x , y ) = ( a , b ) が解を持つためには、a = 0（制約条件 1 つ）がなければなりません。この場合、解空間は ( x , b ) 、または同等に (0, b ) + ( x , 0)（自由度 1）となります。カーネルは部分空間 ( x , 0) < Vとして表現できます。つまり、 xの値は解における自由度です。一方、コカーネルは写像W → Rで表現できます。つまり、ベクトル ( a , b ) が与えられた場合、 aの値は解の存在に対する障害となります。 ${\textstyle (a,b)\mapsto (a)}$

無限次元の場合の例は、写像f : R ^∞ → R ^∞（n > 0に対してb ₁ = 0かつb _{n + 1} = a _{n ）}で与えられます。その像は最初の要素が 0 であるすべてのシーケンスで構成され、したがってそのコカーネルは最初の要素が同一のシーケンスのクラスで構成されます。したがって、そのカーネルは次元 0 ですが（ゼロシーケンスのみをゼロシーケンスに写像します）、そのコカーネルは次元 1 です。ドメインとターゲット空間は同じであるため、カーネルのランクと次元の合計はコカーネルのランクと次元と同じになります ( )。しかし、無限次元の場合、自己準同型のカーネルとコカーネルが同じ次元（0 ≠ 1）を持つと推論することはできません。逆の状況は、写像h : R ^∞ → R ^{∞ （} c _n = a _{n + 1 ）}に対して得られます。そのイメージはターゲット空間全体であるため、そのコカーネルは次元 0 を持ちますが、最初の要素のみがゼロでないすべてのシーケンスをゼロ シーケンスにマッピングするため、そのカーネルは次元 1 を持ちます。 ${\textstyle \left\{a_{n}\right\}\mapsto \left\{b_{n}\right\}}$ ${\textstyle \aleph _{0}+0=\aleph _{0}+1}$ ${\textstyle \left\{a_{n}\right\}\mapsto \left\{c_{n}\right\}}$

索引

有限次元カーネルとコカーネルを持つ線形演算子の場合、インデックスは次のように定義できます。つまり、自由度から制約の数を引いたものになります。 $${\displaystyle \operatorname {ind} (f):=\dim(\ker(f))-\dim(\operatorname {coker} (f)),}$$

有限次元ベクトル空間間の変換の場合、これは階数零による dim( V ) − dim( W ) の差に等しい。これは、解の数、あるいは制約の数を示す。より大きな空間からより小さな空間への写像の場合、写像は全射となる可能性があり、したがって制約がなくても自由度を持つ。逆に、より小さな空間からより大きな空間への写像の場合、写像は全射とはならない可能性があり、したがって自由度がなくても制約を持つ。

演算子の指数は、まさに2項複素数0 → V → W → 0のオイラー特性である。演算子理論では、フレドホルム演算子の指数は研究対象であり、その主要な成果としてアティヤ・シンガーの指数定理があげられる。^[17]

線形変換の代数的分類

線型写像の分類は網羅的ではありません。以下の不完全なリストは、ベクトル空間に追加の構造を必要としない重要な分類をいくつか列挙したものです。

VとWを体F上のベクトル空間とし、T : V → Wを線型写像とする。

単相性

次の同等の条件のいずれかが真である場合、 T は単射または単射であると言われます。

1. Tは集合の写像として1 対 1です。
2. ker T = {0 _V }
3. dim(ker T ) = 0
4. Tはモニックまたは左キャンセル可能であり、つまり、任意のベクトル空間Uと任意の線型写像R : U → VおよびS : U → Vのペアに対して、方程式TR = TSはR = Sを意味します。
5. Tは左可逆であり、つまり、STがV上の恒等写像となるような線型写像S : W → Vが存在する。

上形性

次の同等の条件のいずれかが真である場合、 Tは射影的または同型であると言われます。

1. Tは集合の写像として全射である。
2. コーカー T = {0 _W }
3. Tはエピックまたは右キャンセル可能であり、つまり、任意のベクトル空間Uと任意の線形写像のペアR : W → UおよびS : W → Uに対して、方程式RT = STはR = Sを意味します。
4. Tは右逆写像である、つまりTSがW上の恒等写像となるような線型写像S : W → Vが存在する。

同型性

Tが左可逆かつ右可逆である場合、同型写像であるといいます。これは、 T が一対一かつ全単射（集合の単射）であること、あるいはT がエピックかつモニックであり、したがって双射写像であることと同値です。

T : V → Vが準同型ならば、次のようになる。

• ある正の整数nに対して、Tのn番目の反復であるT ⁿが常にゼロである場合、T はべき零であると言われます。
• T ² = Tの場合、Tはべき等であると言われる。
• T = kI （ kはスカラー）の場​​合、 Tはスケーリング変換またはスカラー乗算マップと呼ばれます。スカラー行列を参照してください。

基準の変更

行列Aを自己準同型とする線型写像が与えられたとき、空間の基底Bにおいて、ベクトル座標 [u] は [v] = A [u] と変換されます。ベクトルはBの逆元とともに変化するため（ベクトル座標は反変）、その逆変換は [v] = B [v'] です。

これを最初の式に代入すると $${\displaystyle B\left[v'\right]=AB\left[u'\right]}$$ $${\displaystyle \left[v'\right]=B^{-1}AB\left[u'\right]=A'\left[u'\right].}$$

したがって、新しい基底の行列はA′ = B ⁻¹ ABであり、Bは与えられた基底の行列です。

したがって、線形写像は1-co-1-contra- variantオブジェクト、または(1, 1)型テンソルであると言われます。

連続

位相ベクトル空間（例えばノルム空間）間の線型変換は連続となる場合がある。その定義域と余定義域が同一であれば、それは連続線型作用素となる。ノルム線型空間上の線型作用素が連続となるのは、例えば定義域が有限次元である場合など、それが有界である場合に限る。 ^[18]無限次元の定義域には不連続線型作用素が存在する場合がある。

有界でない、したがって不連続な線型変換の例としては、上限ノルム（小さな値を持つ関数は大きな値の導関数を持つことができるが、0の導関数は0である）を備えた滑らかな関数の空間における微分が挙げられる。具体的な例として、sin( nx )/ nは0に収束するが、その導関数cos( nx )は0に収束しないため、微分は0において連続ではない（そして、この議論のバリエーションによれば、微分はどこでも連続ではない）。

アプリケーション

線形写像の具体的な応用例としては、コンピュータグラフィックスなどで行われる幾何学的変換が挙げられます。この変換では、2Dまたは3Dオブジェクトの移動、回転、拡大縮小が変換行列を用いて行われます。線形写像は変化を記述するメカニズムとしても用いられます。例えば、微積分学では微分に相当し、相対性理論では参照フレームの局所的な変換を追跡するための手段として用いられます。

これらの変換のもう 1 つの応用は、ネストされたループ コードのコンパイラ最適化と、コンパイラ技術の並列化です。

参照

• 加法写像 – Z加群準同型
• 反線型写像 – 共役同次加法写像
• Bent関数 – 特殊なブール関数
• 有界演算子 – 線形変換の一種
• コーシーの関数方程式 – 関数方程式
• 連続線型作用素 – 位相ベクトル空間間の関数
• 線型関数 – ベクトル空間からそのスカラー体への線型写像Pages displaying short descriptions of redirect targets
• 線形等長変換 – 距離を保存する数学的変換Pages displaying short descriptions of redirect targets
• 行列のカテゴリ
• 準線形化

注記

1. 圏論の言語において、線型写像はベクトル空間の射である。有限次元ベクトル空間の圏に限定すると、線型写像は行列の圏と同値な圏を形成する。
2. Rudin 1991, p. 14
   線型写像のいくつかの性質は証明が非常に簡単なので省略する。 および であると仮定する。 ${\textstyle \Lambda :X\to Y}$ ${\textstyle A\subset X}$ ${\textstyle B\subset Y}$
   1. ${\textstyle \Lambda 0=0.}$
   2. Aが部分空間（または凸集合、または平衡集合）である場合も同様である。 ${\textstyle \Lambda (A)}$
   3. Bが部分空間（または凸集合、または平衡集合）である場合も同様である。 ${\textstyle \Lambda ^{-1}(B)}$
   4. 特に、集合:はXのサブスペースであり、のヌル空間と呼ばれます。 $${\displaystyle \Lambda ^{-1}(\{0\})=\{\mathbf {x} \in X:\Lambda \mathbf {x} =0\}={N}(\Lambda )}$$ ${\textstyle \Lambda }$
3. Rudin 1991, p. 14. ここで、XとY が同じスカラー体 上のベクトル空間であると仮定する。すべての に対して、すべてのスカラーと が成り立つとき、写像は線型であると言われる。 が線型の場合、 ではなく と書くことが多いことに注意されたい。 ${\textstyle \Lambda :X\to Y}$ ${\textstyle \Lambda (\alpha \mathbf {x} +\beta \mathbf {y} )=\alpha \Lambda \mathbf {x} +\beta \Lambda \mathbf {y} }$ ${\textstyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in X}$ ${\textstyle \alpha }$ ${\textstyle \beta }$ ${\textstyle \Lambda \mathbf {x} }$ ${\textstyle \Lambda (\mathbf {x} )}$ ${\textstyle \Lambda }$
4. Rudin 1976, p. 206.ベクトル空間Xからベクトル空間Yへの写像Aが線型変換であるとは、すべてのスカラーcに対して成り立つ場合を言う。Aが線型の場合、 ではなく と書くことが多いことに注意。 ${\textstyle A\left(\mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2}\right)=A\mathbf {x} _{1}+A\mathbf {x} _{2},\ A(c\mathbf {x} )=cA\mathbf {x} }$ ${\textstyle \mathbf {x} ,\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2}\in X}$ ${\textstyle A\mathbf {x} }$ ${\textstyle A(\mathbf {x} )}$
5. Rudin 1991, p. 14. Xのスカラー体への線形写像は線形関数と呼ばれる。
6. 「用語 - 線形代数における『線形』とはどういう意味ですか？」Mathematics Stack Exchange . 2021年2月17日閲覧。
7. ウィランスキー 2013、21～26頁。
8. VからVへの線型変換は、しばしばV上の線型作用素と呼ばれる。」Rudin 1976, p. 207
9. Kubrusly 2001、57ページより。
10. シェクター、1996 年、277–280 ページ。
11. Rudin 1976, p. 210 とがそれぞれベクトル空間XとYの基底であるとする。すると、すべての がとなる数の集合を決定する。これらの数をm行n列 の長方形配列、つまりm行n列の行列で表すと便利である。ベクトルの座標(基底 に対する)が のj^番目の列に現れることに注目する。したがって、これらのベクトルは の列ベクトルと呼ばれることもある。この用語を用いると、Aの値域は の列ベクトルによって張られることになる。 ${\textstyle \left\{\mathbf {x} _{1},\ldots ,\mathbf {x} _{n}\right\}}$ ${\textstyle \left\{\mathbf {y} _{1},\ldots ,\mathbf {y} _{m}\right\}}$ ${\textstyle A\in L(X,Y)}$ ${\textstyle a_{i,j}}$ $${\displaystyle A\mathbf {x} _{j}=\sum _{i=1}^{m}a_{i,j}\mathbf {y} _{i}\quad (1\leq j\leq n).}$$ $${\displaystyle [A]={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\ldots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\ldots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,1}&a_{m,2}&\ldots &a_{m,n}\end{bmatrix}}}$$ ${\textstyle a_{i,j}}$ ${\textstyle A\mathbf {x} _{j}}$ ${\textstyle \{\mathbf {y} _{1},\ldots ,\mathbf {y} _{m}\}}$ ${\textstyle [A]}$ ${\textstyle A\mathbf {x} _{j}}$ ${\textstyle [A]}$ ${\textstyle [A]}$
12. アクラー（2015）52頁、§3.3
13. Tu (2011)、19ページ、§3.1
14. Horn & Johnson 2013, 0.2.3 行列または線形変換に関連付けられたベクトル空間、p. 6
15. カッツネルソン & カッツネルソン (2008) p. 52、§2.5.1
16. ハルモス (1974) p. 90、§50
17. Nistor, Victor (2001) [1994]、「指数理論」、数学百科事典、EMSプレス: 「指数理論における主要な問題は、フレドホルム作用素のクラスに対する指数式を提供することである...指数理論は、MFアティヤとI.シンガーが指数定理を発表して以来、独自の分野となった。」
18. Rudin 1991, p. 15 1.18 定理 位相 ベクトル空間X上の線型汎関数をとする。ある に対してとする。すると、以下の4つの性質はそれぞれ他の3つの性質を導く。 ${\textstyle \Lambda }$ ${\textstyle \Lambda \mathbf {x} \neq 0}$ ${\textstyle \mathbf {x} \in X}$
    1. ${\textstyle \Lambda }$連続している
    2. ヌル空間は閉じられています。 ${\textstyle N(\Lambda )}$
    3. ${\textstyle N(\Lambda )}$Xにおいて稠密ではない。
    4. ${\textstyle \Lambda }$0 の近傍Vで制限されます。

1. ある点で が定義されているとき、もまたであり、 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F(s)=f(s).}$

参考文献

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• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013). Matrix Analysis (Second ed.). Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-83940-2。
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• Tu, Loring W. (2011). 『多様体入門』（第2版）. Springer . ISBN 978-0-8218-4419-9。
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