遷移カーネル

確率数学において、遷移カーネルまたはカーネルは様々な応用を持つ数学関数です。カーネルは、例えばランダムな尺度や確率過程を定義するために用いられます。カーネルの最も重要な例はマルコフカーネルです。

意味

を2つの測定可能な空間とする。関数 ${\displaystyle (S,{\mathcal {S}})}$ ${\displaystyle (T,{\mathcal {T}})}$

${\displaystyle \kappa \colon S\times {\mathcal {T}}\to [0,+\infty ]}$

は、次の2つの条件が満たされる場合、からへの（遷移）カーネルと呼ばれます。 ^[1] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$

• 任意の固定された に対して、写像 ${\displaystyle B\in {\mathcal {T}}}$

${\displaystyle s\mapsto \kappa (s,B)}$

測定可能です。 ${\displaystyle {\mathcal {S}}/{\mathcal {B}}([0,+\infty ])}$

• 固定されたすべての に対して、マッピング ${\displaystyle s\in S}$

${\displaystyle B\mapsto \kappa (s,B)}$

は上の尺度です。 ${\displaystyle (T,{\mathcal {T}})}$

遷移カーネルの分類

遷移カーネルは通常、定義する尺度によって分類されます。これらの尺度は以下のように定義されます。

${\displaystyle \kappa _{s}\colon {\mathcal {T}}\to [0,+\infty ]}$

と

${\displaystyle \kappa _{s}(B)=\kappa (s,B)}$

すべてとすべてに対して。この表記法では、カーネルは^{[1] [2]}と呼ばれます。 ${\displaystyle B\in {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle \kappa }$

• すべてがサブ確率測度である場合、サブ確率カーネル、サブ確率カーネル、またはサブマルコフカーネル ${\displaystyle \kappa _{s}}$
• マルコフカーネル、確率カーネル、または確率測度が全てである場合の確率カーネル ${\displaystyle \kappa _{s}}$
• すべてが有限測度である場合の有限核 ${\displaystyle \kappa _{s}}$
• すべてが有限測度である場合、有限カーネル ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \kappa _{s}}$ ${\displaystyle \sigma }$
• が有限カーネルの可算和として表すことができる場合、有限カーネルとなります（したがって、特に、すべてが有限測度となります）。 ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa _{s}}$ ${\displaystyle s}$
• すべてのおよびすべてのに対しての測定可能な集合が最大で可算個しかないとき、一様有限核と ${\displaystyle \sigma }$なります。 ${\displaystyle B_{1},B_{2},\dots }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \kappa _{s}(B_{i})<\infty }$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$

オペレーション

この節では、、 を可測空間とし 、との積σ-代数をとで表す。 ${\displaystyle (S,{\mathcal {S}})}$ ${\displaystyle (T,{\mathcal {T}})}$ ${\displaystyle (U,{\mathcal {U}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}\otimes {\mathcal {T}}}$

カーネルの積

意味

を からまでの s-有限カーネルとし、をからまでの s-有限カーネルとする。このとき、 2つのカーネルの積は^{[3] [4]で定義される。} ${\displaystyle \kappa ^{1}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \kappa ^{2}}$ ${\displaystyle S\times T}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \kappa ^{1}\otimes \kappa ^{2}}$

${\displaystyle \kappa ^{1}\otimes \kappa ^{2}\colon S\times ({\mathcal {T}}\otimes {\mathcal {U}})\to [0,\infty ]}$

${\displaystyle \kappa ^{1}\otimes \kappa ^{2}(s,A)=\int _{T}\kappa ^{1}(s,\mathrm {d} t)\int _{U}\kappa ^{2}((s,t),\mathrm {d} u)\mathbf {1} _{A}(t,u)}$

すべてのために。 ${\displaystyle A\in {\mathcal {T}}\otimes {\mathcal {U}}}$

プロパティとコメント

2つの核の積は からへの核である。これもまたs有限核であり、 と が -有限核であるならば -有限核である。核の積は結合的であり、つまり次式を満たす 。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T\times U}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \kappa ^{1}}$ ${\displaystyle \kappa ^{2}}$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle (\kappa ^{1}\otimes \kappa ^{2})\otimes \kappa ^{3}=\kappa ^{1}\otimes (\kappa ^{2}\otimes \kappa ^{3})}$

任意の3つの適切なs有限カーネルに対して。 ${\displaystyle \kappa ^{1},\kappa ^{2},\kappa ^{3}}$

積は が からへの核である場合にも定義される。この場合、 は からへ の核として扱われ、 とは独立である。これは、 を設定することと同等である。 ${\displaystyle \kappa ^{2}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle S\times T}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \kappa ((s,t),A):=\kappa (t,A)}$

すべての人のために。^{[4] [3]} ${\displaystyle A\in {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle s\in S}$

カーネルの構成

意味

から までの s-有限カーネルとからまでの s-有限カーネルとする。この2つのカーネルの合成は^{[5] [3]}のように定義される。 ${\displaystyle \kappa ^{1}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \kappa ^{2}}$ ${\displaystyle S\times T}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \kappa ^{1}\cdot \kappa ^{2}}$

${\displaystyle \kappa ^{1}\cdot \kappa ^{2}\colon S\times {\mathcal {U}}\to [0,\infty ]}$

${\displaystyle (s,B)\mapsto \int _{T}\kappa ^{1}(s,\mathrm {d} t)\int _{U}\kappa ^{2}((s,t),\mathrm {d} u)\mathbf {1} _{B}(u)}$

すべての人のために。 ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {U}}}$

プロパティとコメント

合成は からへの核であり、これもまた s-有限である。核の合成は結合的であり、つまり を満たす。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle (\kappa ^{1}\cdot \kappa ^{2})\cdot \kappa ^{3}=\kappa ^{1}\cdot (\kappa ^{2}\cdot \kappa ^{3})}$

任意の3つの適切なs有限核 に対して成り立ちます。核の積と同様に、がから までの核である場合も、合成は明確に定義されます。 ${\displaystyle \kappa ^{1},\kappa ^{2},\kappa ^{3}}$ ${\displaystyle \kappa ^{2}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle U}$

代替表記法は^{[3]である。} ${\displaystyle \kappa ^{1}\kappa ^{2}}$

演算子としてのカーネル

を 上の正の測定可能な関数の集合とします。 ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{+},{\mathcal {S}}^{+}}$ ${\displaystyle (S,{\mathcal {S}}),(T,{\mathcal {T}})}$

からまでのすべての核は線形演算子と関連付けられる。 ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle A_{\kappa }\colon {\mathcal {T}}^{+}\to {\mathcal {S}}^{+}}$

^[6]によって与えられた

${\displaystyle (A_{\kappa }f)(s)=\int _{T}\kappa (s,\mathrm {d} t)\;f(t).}$

これらの演算子の合成はカーネルの合成と互換性があり、^[3]

${\displaystyle A_{\kappa ^{1}}A_{\kappa ^{2}}=A_{\kappa ^{1}\cdot \kappa ^{2}}}$

参考文献

1. Klenke, Achim (2008).確率論. ベルリン: Springer. p. 180. doi :10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN  978-1-84800-047-6。
2. カレンベルグ、オラフ(2017).ランダム測定、理論と応用. スイス: シュプリンガー. p. 30. doi :10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN  978-3-319-41596-3。
3. Kallenberg, Olav (2017).ランダム測定、理論と応用. スイス: Springer. p. 33. doi :10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN  978-3-319-41596-3。
4. Klenke, Achim (2008).確率論. ベルリン: Springer. p. 279. doi :10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN  978-1-84800-047-6。
5. クレンケ、アヒム (2008).確率論. ベルリン: シュプリンガー. p. 281. doi :10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN  978-1-84800-047-6。
6. カレンベルグ、オラフ(2017).ランダム測定、理論と応用. スイス: シュプリンガー. pp.  29– 30. doi :10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN  978-3-319-41596-3。

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