Linear mathematical operator which translates a function
数学 、特に 関数解析 において、 シフト演算子（ シフトかくはんかく、英: shift operator ）は、 関数 x ↦ f ( x ) を その 変換 x ↦ f ( x + a ) に変換する 演算子 である 。 [1] 時系列解析 では 、シフト演算子は ラグ演算子 と呼ばれる。
シフト演算子は線型演算子 の例であり 、その単純さと自然発生性から重要である。 実変数関数に対するシフト演算子の作用は 調和解析 において重要な役割を果たし 、例えば、 概周期関数 、 正定値関数 、 微分 、 畳み込み の定義に現れる。 [2]シーケンス（ 整数 変数関数）のシフトは、 ハーディ空間、 アーベル多様体 理論、 記号力学 理論 など、さまざまな分野に現れ、 ベーカー写像は それらの明示的な表現である。 三角圏 の概念は、 シフト演算子の カテゴリ化された 類似物である。
意味
実変数の関数 シフト演算子 T t (ただし )は、 t ∈ R {\displaystyle t\in \mathbb {R} } 上の 関数 f をその変換 f t に取ります。 R {\displaystyle \mathbb {R} }
T t f ( x ) = f t ( x ) = f ( x + t ) . {\displaystyle T^{t}f(x)=f_{t}(x)=f(x+t)~.} 線形演算子 T t の平導関数 を用いた実用的な 演算表現は、 ラグランジュ によって導入された 。 d d x {\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}}
T t = e t d d x , {\displaystyle T^{t}=e^{t{\frac {d}{dx}}}~,}
これはt における形式的な テイラー展開 を通して操作的に解釈することができ 、その単項式 x n への作用は二項定理 によって明らかであり 、したがって x のすべての級数 、したがってすべての関数 f ( x ) に対して上記と同様に作用する。 [3] つまり、これはヘヴィサイドの計算におけるテイラー展開の形式的なコード化である。
この演算子は、アーベル群に対するリーの有名な 移流流 のプロトタイプ [4] を提供する。
exp ( t β ( x ) d d x ) f ( x ) = exp ( t d d h ) F ( h ) = F ( h + t ) = f ( h − 1 ( h ( x ) + t ) ) , {\displaystyle \exp \left(t\beta (x){\frac {d}{dx}}\right)f(x)=\exp \left(t{\frac {d}{dh}}\right)F(h)=F(h+t)=f\left(h^{-1}(h(x)+t)\right),} ここで、標準座標 h （ アーベル関数 ）は次のように定義される。
h ′ ( x ) ≡ 1 β ( x ) , f ( x ) ≡ F ( h ( x ) ) . {\displaystyle h'(x)\equiv {\frac {1}{\beta (x)}}~,\qquad f(x)\equiv F(h(x)).} 例えば、 収量はスケーリングすることが容易に分かる。 β ( x ) = x {\displaystyle \beta (x)=x}
exp ( t x d d x ) f ( x ) = f ( e t x ) , {\displaystyle \exp \left(tx{\frac {d}{dx}}\right)f(x)=f(e^{t}x),} したがって （パリティ）；同様に、 [5] が得られる。 exp ( i π x d d x ) f ( x ) = f ( − x ) {\displaystyle \exp \left(i\pi x{\tfrac {d}{dx}}\right)f(x)=f(-x)} β ( x ) = x 2 {\displaystyle \beta (x)=x^{2}}
exp ( t x 2 d d x ) f ( x ) = f ( x 1 − t x ) , {\displaystyle \exp \left(tx^{2}{\frac {d}{dx}}\right)f(x)=f\left({\frac {x}{1-tx}}\right),} β ( x ) = 1 x {\displaystyle \beta (x)={\tfrac {1}{x}}} 利回り
exp ( t x d d x ) f ( x ) = f ( x 2 + 2 t ) , {\displaystyle \exp \left({\frac {t}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)f(x)=f\left({\sqrt {x^{2}+2t}}\right),} β ( x ) = e x {\displaystyle \beta (x)=e^{x}} 利回り
exp ( t e x d d x ) f ( x ) = f ( ln ( 1 e − x − t ) ) , {\displaystyle \exp \left(te^{x}{\frac {d}{dx}}\right)f(x)=f\left(\ln \left({\frac {1}{e^{-x}-t}}\right)\right),} 等
流れの初期条件と群の性質はリー流全体を決定し、並進関数方程式[6]の解 を 与える 。
f t ( f τ ( x ) ) = f t + τ ( x ) . {\displaystyle f_{t}(f_{\tau }(x))=f_{t+\tau }(x).}
シーケンス 左 シフト 演算子は、片側 無限数列 に対して次のよう
に作用する。
S ∗ : ( a 1 , a 2 , a 3 , … ) ↦ ( a 2 , a 3 , a 4 , … ) {\displaystyle S^{*}:(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )\mapsto (a_{2},a_{3},a_{4},\ldots )} そして、両側無限列では
T : ( a k ) k = − ∞ ∞ ↦ ( a k + 1 ) k = − ∞ ∞ . {\displaystyle T:(a_{k})_{k\,=\,-\infty }^{\infty }\mapsto (a_{k+1})_{k\,=\,-\infty }^{\infty }.} 右 シフト 演算子は片側 無限 数列に対して次のよう
に作用する。
S : ( a 1 , a 2 , a 3 , … ) ↦ ( 0 , a 1 , a 2 , … ) {\displaystyle S:(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )\mapsto (0,a_{1},a_{2},\ldots )} そして、両側無限列では
T − 1 : ( a k ) k = − ∞ ∞ ↦ ( a k − 1 ) k = − ∞ ∞ . {\displaystyle T^{-1}:(a_{k})_{k\,=\,-\infty }^{\infty }\mapsto (a_{k-1})_{k\,=\,-\infty }^{\infty }.} 両側無限シーケンスに作用する右シフト演算子と左シフト演算子は、 双方向 シフトと呼ばれます。
アーベル群 一般に、上に示したように、 Fが アーベル群 G 上の関数であり 、 hが G の元である場合 、シフト演算子 T gは F を[6] [7] に 写像する。
F g ( h ) = F ( h + g ) . {\displaystyle F_{g}(h)=F(h+g).}
シフト演算子の特性 実数値または複素数値の関数または列に作用するシフト演算子は、 関数解析に現れる標準的な ノルムのほとんどを保存する線型演算子である。したがって、通常はノルム1を持つ 連続演算子 である。
ヒルベルト空間上の作用 両側シーケンスに作用するシフト演算子は、 上の ユニタリ演算子 です。実変数の関数に作用するシフト演算子は、 上のユニタリ演算子です。 ℓ 2 ( Z ) . {\displaystyle \ell _{2}(\mathbb {Z} ).} L 2 ( R ) . {\displaystyle L_{2}(\mathbb {R} ).}
どちらの場合も、（左）シフト演算子はフーリエ変換と以下の交換関係を満たす： ここで、 M t はexp( itx ) による 乗算演算子 である。したがって、 T t のスペクトルは 単位円 となる 。 F T t = M t F , {\displaystyle {\mathcal {F}}T^{t}=M^{t}{\mathcal {F}},}
に作用する 片側シフト S は 、第1 座標 で零となるすべての ベクトルに等しい 値域 を持つ、 真等長 変換 である。演算子 Sは、 T −1 の 圧縮 であり 、 yは のベクトル で あり、 i ≥ 0 の場合は y i = x i 、 i < 0 の場合は y i = 0となる。この観察は、等長変換の多くの ユニタリ拡大 を構成する上で中心的な役割を果たしている 。 ℓ 2 ( N ) {\displaystyle \ell _{2}(\mathbb {N} )} T − 1 y = S x for each x ∈ ℓ 2 ( N ) , {\displaystyle T^{-1}y=Sx{\text{ for each }}x\in \ell ^{2}(\mathbb {N} ),} ℓ 2 ( Z ) {\displaystyle \ell _{2}(\mathbb {Z} )}
S の スペクトル は 単位円板 である 。シフト Sは フレドホルム作用素 の一例であり 、フレドホルム指数は -1 である。
一般化 ジャン・デルサルトは 一般化シフト演算子 （ 一般化変位演算子 とも呼ばれる）の概念を導入し、それは ボリス・レヴィタン によってさらに発展させられました 。 [2] [8] [9]
集合 Xから への関数の 空間 Φに作用する 演算 { L x } x ∈ X {\displaystyle \{L^{x}\}_{x\in X}} 子の族は、 次 の特性が成り立つ場合、一般化シフト演算子の族と呼ばれます。 C {\displaystyle \mathbb {C} }
結合性 ：let Then ( R y f ) ( x ) = ( L x f ) ( y ) . {\displaystyle (R^{y}f)(x)=(L^{x}f)(y).} L x R y = R y L x . {\displaystyle L^{x}R^{y}=R^{y}L^{x}.} X には e が存在し 、 L e は恒等演算子 です 。 この場合、集合 Xは 超群 と呼ばれます 。
参照
注記 ^ Weisstein, Eric W. 「シフト演算子」 。MathWorld 。 ^ ab Marchenko, VA (2006). 「一般化シフト、変換演算子、そして逆問題」. 20世紀の数学的出来事 . ベルリン: Springer. pp. 145– 162. doi :10.1007/3-540-29462-7_8. ISBN 978-3-540-23235-3 . MR 2182783。 ^ ジョーダン、チャールズ（1939/1965） 『有限差分法 』（AMS Chelsea Publishing） ISBN 978-0828400336 。 ^ M Hamermesh (1989)、 「群論と物理的問題へのその応用
(Dover Books on Physics)」、Hamermesh ISBM 978-0486661810、Ch 8-6、pp 294-5、オンライン。 ^ Georg Scheffers (1891) の p 75: Sophus Lie、Vorlesungen Moeber Differentialgleichungen Mit Bekannten Infinitesimalen Transformationen 、Teubner、ライプツィヒ、 1891。ISBN 978-3743343078 オンライン ^ ab Aczel, J (2006), Lectures on Function Equations and Their Applications (Dover Books on Mathematics, 2006), Ch. 6, ISBN 978-0486445236 。 ^ 「1パラメータ連続群は並進群と同等である」M Hamermesh、 同上 。 ^ Levitan, BM ; Litvinov, GL (2001) [1994], 「一般化変位演算子」, Encyclopedia of Mathematics , EMS Press ^ Bredikhina, EA (2001) [1994]、「ほぼ周期関数」、 数学百科事典 、 EMSプレス
参考文献 パーティントン、ジョナサン・R.（2004年3月15日） 『線形作用素と線形システム 』ケンブリッジ大学出版局. doi :10.1017/cbo9780511616693. ISBN 978-0-521-83734-7 。 マーヴィン・ローゼンブラム、ジェームズ・ロヴニャック著『 ハーディクラスと演算子理論』 （1985年）オックスフォード大学出版局。 
