2ポートネットワーク

電子工学において、2ポートネットワーク（ 4端子ネットワークまたは四極子ネットワークの一種）は、外部回路に接続するための2対の端子を備えた電気ネットワーク（すなわち回路）またはデバイスである。2つの端子は、それらに適用される電流がポート条件と呼ばれる必須要件を満たす場合、ポートを構成する。ポート条件とは、一方の端子に流入する電流が、同じポートのもう一方の端子から流出する電流と等しくなければならない条件である。^[1]^[2] ポートは、ネットワークが他のネットワークに接続するインターフェース、つまり信号が適用されるか出力が取得されるポイントを構成する。2ポートネットワークでは、ポート1が入力ポート、ポート2が出力ポートと見なされることが多い。

数学的な回路解析でよく使用されます。

応用

2ポートネットワークモデルは、数学的な回路解析技術において、大規模回路の一部を分離するために使用されます。2ポートネットワークは、数値行列によって特性が規定される「ブラックボックス」とみなされます。これにより、ネットワーク内のすべての内部電圧と電流を解くことなく、ポートに印加された信号に対するネットワークの応答を容易に計算できます。また、類似の回路やデバイスを容易に比較することもできます。例えば、トランジスタは多くの場合2ポートネットワークとみなされ、メーカーが示す $hパラメータ（下記参照）によって特徴付けられます。4つの端子を持つ$ 線形回路は、独立したソースを含まず、ポート条件を満たす限り、2ポートネットワークとみなすことができます。

2ポート回路として解析される回路の例としては、フィルタ、整合回路、伝送線路、変圧器、トランジスタの小信号モデル（ハイブリッドπモデルなど）などが挙げられます。受動2ポート回路の解析は、ローレンツによって初めて導かれた相反定理から発展したものです。^[3]

2ポート数学モデルでは、ネットワークは2行2列の複素数正方行列で記述されます。一般的に使用されるモデルは、 $z$ パラメータ、 $y$ パラメータ、 $h$ パラメータ、 $g$ パラメータ、 $ABCD$ パラメータと呼ばれ、それぞれについて以下で個別に説明します。これらのモデルはすべて線形ネットワークに限定されます。これは、導出の根底にある仮定が、任意の回路状態が様々な短絡状態と開回路状態の線形重ね合わせであるというものであるためです。これらのモデルは通常、行列表記で表現され、変数間の関係を確立します。

V 1

、ポート1の電圧

I 1

、ポート1への電流

V 2

、ポート2の電圧

I 2

、ポート2への電流

これらは図1に示されています。各種モデルの違いは、これらの変数のうちどれが独立変数とみなされるかにあります。これらの電流変数と電圧変数は、低周波数から中周波数で最も有用です。高周波数（例えば、マイクロ波周波数）では、電力変数とエネルギー変数の使用がより適切であり、2ポート電流-電圧アプローチは散乱パラメータに基づくアプローチに置き換えられます。

一般的な特性

2ポート回路には、実際のネットワークで頻繁に発生する特定の特性があり、これらを利用することで解析を大幅に簡素化できます。具体的には、以下の特性が挙げられます。

相互ネットワーク: ポート1に電流を流したときにポート2に現れる電圧が、同じ電流をポート2に流したときにポート1に現れる電圧と同じである場合、ネットワークは可逆的であると言われます。電圧と電流の交換は、等価的な可逆性の定義となります。線形受動部品（抵抗器、コンデンサ、インダクタ）のみで構成されるネットワークは通常可逆的ですが、磁性材料を含む受動サーキュレータやアイソレータは例外です。一般に、発電機やトランジスタなどの能動部品を含むネットワークは可逆的ではありません。 ^[4]
対称ネットワーク: ネットワークは、入力インピーダンスが出力インピーダンスと等しい場合、対称的である。多くの場合、対称ネットワークは物理的にも対称的であるが、必ずしもそうである必要はない。また、時には反対称ネットワークも注目される。これは、入力インピーダンスと出力インピーダンスが互いに双対であるネットワークである。 ^[5]
ロスレスネットワーク: ロスレスネットワークとは、抵抗器やその他の損失要素を含まないネットワークのことである。^[6]

インピーダンスパラメータ（z-パラメータ)

{\begin{bmatrix}V_{1}\\V_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}z_{11}&z_{12}\\z_{21}&z_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{bmatrix}}

どこ

{\begin{aligned}z_{11}&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \left.{\frac {V_{1}}{I_{1}}}\right|_{I_{2}=0}&z_{12}&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \left.{\frac {V_{1}}{I_{2}}}\right|_{I_{1}=0}\\z_{21}&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \left.{\frac {V_{2}}{I_{1}}}\right|_{I_{2}=0}&z_{22}&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \left.{\frac {V_{2}}{I_{2}}}\right|_{I_{1}=0}\end{aligned}}

すべての $z$ パラメータの次元はオームです。

相互ネットワークの場合 $、z 12 = z 21$ 。対称ネットワークの場合 $、z 11 = z 22$ 。相互ロスレスネットワークの場合、すべての $z mn$ は純虚数である。^[7]

例: エミッタ縮退を伴うバイポーラカレントミラー

図3は、出力抵抗を増加させるためにエミッタ抵抗を備えたバイポーラカレントミラーを示しています。^[注1]トランジスタ $Q 1$ はダイオード接続されており、コレクタ-ベース間電圧はゼロです。図4は、図3に相当する小信号回路を示しています。トランジスタ $Q 1は、エミッタ抵抗$ $r E$ によって次のように表されます。

r_{\mathrm {E} }\approx {\frac {{\text{thermal voltage, }}V_{\mathrm {T} }}{{\text{emitter current, }}I_{E}}},

$この簡略化は、 Q$ $1$ のハイブリッドπモデルにおける従属電流源が、 $r$ $π$ に接続された抵抗器 $1 /$ $g$ $m$ と同じ電流を流すため可能となる。2番目のトランジスタ $Q$ $2$ は、ハイブリッドπモデルで表される。下の表1は、図2のZ等価回路を図4の小信号回路と電気的に等価にするZパラメータの式を示している。

表1
	表現	近似
$R_{21}=\left.{\frac {V_{2}}{I_{1}}}\right\|_{I_{2}=0}$	$-(\beta r_{\mathrm {O} }-R_{\mathrm {E} }){\frac {r_{\mathrm {E} }+R_{\mathrm {E} }}{r_{\pi }+r_{\mathrm {E} }+2R_{\mathrm {E} }}}$	$-\beta r_{\mathrm {o} }{\frac {r_{\mathrm {E} }+R_{\mathrm {E} }}{r_{\pi }+2R_{\mathrm {E} }}}$
$R_{11}=\left.{\frac {V_{1}}{I_{1}}}\right\|_{I_{2}=0}$	$(r_{\mathrm {E} }+R_{\mathrm {E} })\mathbin {\\|} (r_{\pi }+R_{\mathrm {E} })$ ^{[注 2]}
$R_{22}=\left.{\frac {V_{2}}{I_{2}}}\right\|_{I_{1}=0}$	$\left(1+\beta {\frac {R_{\mathrm {E} }}{r_{\pi }+r_{\mathrm {E} }+2R_{\mathrm {E} }}}\right)r_{\mathrm {O} }+{\frac {r_{\pi }+r_{\mathrm {E} }+R_{\mathrm {E} }}{r_{\pi }+r_{\mathrm {E} }+2R_{\mathrm {E} }}}R_{\mathrm {E} }$	$\left(1+\beta {\frac {R_{\mathrm {E} }}{r_{\pi }+2R_{\mathrm {E} }}}\right)r_{\mathrm {O} }$
$R_{12}=\left.{\frac {V_{1}}{I_{2}}}\right\|_{I_{1}=0}$	$R_{\mathrm {E} }{\frac {r_{\mathrm {E} }+R_{\mathrm {E} }}{r_{\pi }+r_{\mathrm {E} }+2R_{\mathrm {E} }}}$	$R_{\mathrm {E} }{\frac {r_{\mathrm {E} }+R_{\mathrm {E} }}{r_{\pi }+2R_{\mathrm {E} }}}$

$抵抗R E$ によって導入される負帰還はこれらのパラメータに現れている。例えば、差動増幅器の能動負荷として使用する場合、 $I 1 \approx - I 2$ となり、ミラーの出力インピーダンスはおよそ

R_{22}-R_{21}\approx {\frac {2\beta r_{\mathrm {O} }R_{\mathrm {E} }}{r_{\pi }+2R_{\mathrm {E} }}}

$フィードバックなしのr O$ のみ（つまり $R E$ = 0Ω ）と比較すると、ミラーの参照側のインピーダンスはおよそ

R_{11}-R_{12}\approx {\frac {r_{\pi }}{r_{\pi }+2R_{\mathrm {E} }}}(r_{\mathrm {E} }+R_{\mathrm {E} }),

わずかな値ではありますが、帰還なしの $r E$ よりも大きい値です。差動増幅器のアプリケーションでは、出力抵抗が大きいほど差動モードゲインが増加し、これは好ましいことです。一方、ミラー効果を回避するためには、ミラー入力抵抗を小さくすることが望ましいです。

アドミタンスパラメータ（y-パラメータ)

{\begin{bmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}y_{11}&y_{12}\\y_{21}&y_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}V_{1}\\V_{2}\end{bmatrix}}

どこ

{\begin{aligned}y_{11}&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \left.{\frac {I_{1}}{V_{1}}}\right|_{V_{2}=0}&y_{12}&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \left.{\frac {I_{1}}{V_{2}}}\right|_{V_{1}=0}\\y_{21}&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \left.{\frac {I_{2}}{V_{1}}}\right|_{V_{2}=0}&y_{22}&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \left.{\frac {I_{2}}{V_{2}}}\right|_{V_{1}=0}\end{aligned}}

すべてのYパラメータの次元はジーメンスです。

相互ネットワークでは $y 12 = y 21$ 。対称ネットワークでは $y 11 = y 22$ 。相互ロスレスネットワークではすべての $y mn$ は純虚数である。^[7]

ハイブリッドパラメータ（h-パラメータ)

{\begin{bmatrix}V_{1}\\I_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}h_{11}&h_{12}\\h_{21}&h_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{1}\\V_{2}\end{bmatrix}}

どこ

{\begin{aligned}h_{11}&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \left.{\frac {V_{1}}{I_{1}}}\right|_{V_{2}=0}&h_{12}&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \left.{\frac {V_{1}}{V_{2}}}\right|_{I_{1}=0}\\h_{21}&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \left.{\frac {I_{2}}{I_{1}}}\right|_{V_{2}=0}&h_{22}&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \left.{\frac {I_{2}}{V_{2}}}\right|_{I_{1}=0}\end{aligned}}

この回路は、出力に電流増幅器が必要な場合によく選択されます。図に示されている抵抗は、一般的なインピーダンスでも構いません。

対角要素以外の $h$ パラメータは無次元ですが、対角要素は互いの逆数の次元を持ちます。

相互ネットワークの場合 $、h 12 = - h 21$ 。対称ネットワークの場合 $、h 11 h 22 - h 12 h 21 = 1$ 。相互ロスレスネットワークの場合、 $h 12$ と $h 21$ は実数、 $h 11$ と $h 22$ は虚数。

例: ベース共通増幅器

注：表2の表式により、図6のトランジスタの $h$ 等価回路は、図7の小信号低周波ハイブリッドπモデルと一致する。表記： $r π$ はトランジスタのベース抵抗、 $r O$ は出力抵抗、 $g m$ は相互トランスコンダクタンスである。h $21 の$ 負の符号は、 $I 1 、 I 2 が$ 2ポートに入力される場合は正となるという慣例を反映している。h $12$ $の値が0以外の場合$ $、$ 出力電圧が入力電圧に影響を与えることを意味し、つまりこのアンプはバイラテラルである。h $12 = 0$ の場合、アンプはユニラテラルである。

表2
	表現	近似
$h_{21}=\left.{\frac {I_{2}}{I_{1}}}\right\|_{V_{2}=0}$	$-{\frac {{\frac {\beta }{\beta +1}}r_{\mathrm {O} }+r_{\pi }}{r_{\mathrm {O} }+r_{\pi }}}$	$-{\frac {\beta }{\beta +1}}$
$h_{11}=\left.{\frac {V_{1}}{I_{1}}}\right\|_{V_{2}=0}$	$r_{\pi }\mathbin {\\|} r_{\mathrm {O} }$	$r_{\pi }$
$h_{22}=\left.{\frac {I_{2}}{V_{2}}}\right\|_{I_{1}=0}$	${\frac {1}{(\beta +1)(r_{\mathrm {O} }+r_{\pi })}}$	${\frac {1}{(\beta +1)r_{\mathrm {O} }}}$
$h_{12}=\left.{\frac {V_{1}}{V_{2}}}\right\|_{I_{1}=0}$	${\frac {r_{\pi }}{r_{\mathrm {O} }+r_{\pi }}}$	${\frac {r_{\pi }}{r_{\mathrm {O} }}}\ll 1$

歴史

$h$ パラメータは当初、直並列パラメータと呼ばれていました。これらのパラメータを表す「ハイブリッド」という用語は、1953年にDAアルスバーグが「トランジスタ計測学」の中で提唱しました。[ ^{8] 1954年、}IREとAIEE の合同委員会は $h$ パラメータという用語を採用し、「トランジスタの物理的特性に特に適している」ことから、トランジスタの試験および特性評価の標準的な方法とすることを推奨しました。^{[9] 1956年、この勧告は規格として発行され、56 IRE 28.S2となりました。これら2つの組織が}IEEE として合併した後、この規格はStd 218-1956となり、1980年に再承認されましたが、現在は撤回されています。^[10]

逆ハイブリッドパラメータ（gパラメータ）

{\begin{bmatrix}I_{1}\\V_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}g_{11}&g_{12}\\g_{21}&g_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}V_{1}\\I_{2}\end{bmatrix}}

どこ

{\begin{aligned}g_{11}&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \left.{\frac {I_{1}}{V_{1}}}\right|_{I_{2}=0}&g_{12}&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \left.{\frac {I_{1}}{I_{2}}}\right|_{V_{1}=0}\\g_{21}&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \left.{\frac {V_{2}}{V_{1}}}\right|_{I_{2}=0}&g_{22}&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \left.{\frac {V_{2}}{I_{2}}}\right|_{V_{1}=0}\end{aligned}}

この回路は、出力に電圧増幅器が必要な場合によく選択されます。非対角成分のgパラメータは無次元ですが、対角成分は互いに逆数の次元を持ちます。図に示されている抵抗は、一般的なインピーダンスでも可能です。

例: ベース共通増幅器

注：表3の表式により、図8のトランジスタの $g等価回路は、図9の小信号低周波$ ハイブリッドπモデルと一致する。表記： $r π$ はトランジスタのベース抵抗、 $r O$ は出力抵抗、 $g mは相互トランスコンダクタンスである。g$ $12 の$ 負の符号は、 $I 1 、 I 2 が$ 2ポートに入力される際に正となるという慣例を反映している。g $12$ $の値が0以外の場合$ $、$ 出力電流が入力電流に影響を与えることを意味し、つまりこのアンプは双方向性である。g $12 = 0$ の場合、アンプは片方向性である。

表3
	表現	近似
$g_{21}=\left.{\frac {V_{2}}{V_{1}}}\right\|_{I_{2}=0}$	${\frac {r_{\mathrm {o} }}{r_{\pi }}}+g_{\mathrm {m} }r_{\mathrm {O} }+1$	$g_{\mathrm {m} }r_{\mathrm {O} }$
$g_{11}=\left.{\frac {I_{1}}{V_{1}}}\right\|_{I_{2}=0}$	${\frac {1}{r_{\pi }}}$	${\frac {1}{r_{\pi }}}$
$g_{22}=\left.{\frac {V_{2}}{I_{2}}}\right\|_{V_{1}=0}$	$r_{\mathrm {O} }$	$r_{\mathrm {O} }$
$g_{12}=\left.{\frac {I_{1}}{I_{2}}}\right\|_{V_{1}=0}$	$-{\frac {\beta +1}{\beta }}$	$-1$

ABCD-パラメータ

ABCDパラメータ $は、チェーンパラメータ、カスケードパラメータ、伝達パラメータなど様々な名称で知られています。ABCD$ $パラメータ$ には様々な定義がありますが、最も一般的なものは次のとおりです。^[11]^[12]

{\begin{bmatrix}V_{1}\\I_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}V_{2}\\-I_{2}\end{bmatrix}}

_{注: 一部の著者は、 I 2}の示された方向を反転し、 I ₂の負の符号を抑制することを選択しました。

どこ

{\begin{aligned}A&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \left.{\frac {V_{1}}{V_{2}}}\right|_{I_{2}=0}&B&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \left.-{\frac {V_{1}}{I_{2}}}\right|_{V_{2}=0}\\C&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \left.{\frac {I_{1}}{V_{2}}}\right|_{I_{2}=0}&D&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \left.-{\frac {I_{1}}{I_{2}}}\right|_{V_{2}=0}\end{aligned}}

相互ネットワークの場合、 $AD - BC = 1$ 。対称ネットワークの場合、 $A = D$ 。相互かつロスレスなネットワークの場合、 $A$ と $D$ は純粋に実数であり、 $B$ と $C$ は純粋に虚数である。^[6]

この表現法が好まれるのは、パラメータを用いて2ポートのカスケードを表現する場合、行列はネットワーク図と同じ順序、つまり左から右に記述されるからである。しかし、別の定義も用いられている。^[13]

{\begin{bmatrix}V_{2}\\-I_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A'&B'\\C'&D'\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}V_{1}\\I_{1}\end{bmatrix}}

どこ

{\begin{aligned}A'&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \left.{\frac {V_{2}}{V_{1}}}\right|_{I_{1}=0}&B'&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \left.{\frac {V_{2}}{I_{1}}}\right|_{V_{1}=0}\\C'&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \left.-{\frac {I_{2}}{V_{1}}}\right|_{I_{1}=0}&D'&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \left.-{\frac {I_{2}}{I_{1}}}\right|_{V_{1}=0}\end{aligned}}

$- I 2$ の負の符号は、カスケード接続された1段の出力電流（行列に現れる）を次の段の入力電流と等しくするために生じます。負の符号がなければ、2つの電流の向きは逆になります。これは、慣例により、電流の正方向はポートに流入する電流とみなされるためです。したがって、入力電圧／電流行列ベクトルは、前のカスケード接続段の行列方程式に直接置き換えることができ、 $A'B'C'D'$ 行列を形成できます。

一部の著者^{[14]が採用しているように、} $ABCDパラメータを$ $a 11$ などで示される要素の行列として表す用語と、逆 $A'B'C'D'パラメータを$ $b$ $11$ などで示される要素の行列として表す用語は、ここでは簡潔さと回路要素との混同を避けるために使用されています。

{\begin{aligned}\left[\mathbf {a} \right]&={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}\\\left[\mathbf {b} \right]&={\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A'&B'\\C'&D'\end{bmatrix}}\end{aligned}}

伝送パラメータ表

以下の表は、いくつかの単純なネットワーク要素の $ABCD$ パラメータと逆 $ABCDパラメータを示しています。$

要素	$[a]$ マトリックス	$[b]$ マトリックス	備考
直列インピーダンス	${\begin{bmatrix}1&Z\\0&1\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}1&-Z\\0&1\end{bmatrix}}$	$Z$ 、インピーダンス
シャントアドミッション	${\begin{bmatrix}1&0\\Y&1\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}1&0\\-Y&1\end{bmatrix}}$	$Y$ 、アドミタンス
直列インダクタ	${\begin{bmatrix}1&sL\\0&1\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}1&-sL\\0&1\end{bmatrix}}$	$L$ 、インダクタンス $s$ 、複素角周波数
シャントインダクタ	${\begin{bmatrix}1&0\\{1 \over sL}&1\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}1&0\\-{\frac {1}{sL}}&1\end{bmatrix}}$	$L$ 、インダクタンス $s$ 、複素角周波数
直列コンデンサ	${\begin{bmatrix}1&{1 \over sC}\\0&1\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}1&-{\frac {1}{sC}}\\0&1\end{bmatrix}}$	$C$ 、静電容量 $s$ 、複素角周波数
シャントコンデンサ	${\begin{bmatrix}1&0\\sC&1\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}1&0\\-sC&1\end{bmatrix}}$	$C$ 、静電容量 $s$ 、複素角周波数
送電線	${\begin{bmatrix}\cosh(\gamma l)&Z_{0}\sinh(\gamma l)\\{\frac {1}{Z_{0}}}\sinh(\gamma l)&\cosh(\gamma l)\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}\cosh(\gamma l)&-Z_{0}\sinh(\gamma l)\\-{\frac {1}{Z_{0}}}\sinh \left(\gamma l\right)&\cosh(\gamma l)\end{bmatrix}}$ ^[15]	$Z 0$ 、特性インピーダンス $γ$ 、伝搬定数（） $l$ 、伝送線路の長さ（ $m$ ） $\gamma =\alpha +i\beta$
インピーダンス整合ネットワーク $\{Z_{S}\xrightarrow {\varphi } Z_{L}\}$ ^[16]	${\frac {1}{\sqrt {R_{S}R_{L}}}}{\begin{bmatrix}\Re ({\bar {Z_{S}}}e^{j\varphi })&j\Im ({\bar {Z_{S}}}{\bar {Z_{L}}}e^{j\varphi })\\j\Im (e^{j\varphi })&\Re ({\bar {Z_{L}}}e^{j\varphi })\end{bmatrix}}$	${\frac {1}{\sqrt {R_{S}R_{L}}}}{\begin{bmatrix}\Re ({\bar {Z_{L}}}e^{j\varphi })&-j\Im ({\bar {Z_{S}}}{\bar {Z_{L}}}e^{j\varphi })\\-j\Im (e^{j\varphi })&\Re ({\bar {Z_{S}}}e^{j\varphi })\end{bmatrix}}$	$Z_{S}=R_{S}+jX_{S}$ 、ソースインピーダンス $Z_{L}=R_{L}+jX_{L}$ 、負荷インピーダンス、位相シフト $\varphi$ $\Re (Z)$ 、実部、虚部 $Z$ $\Im (Z)$ $Z$

散乱パラメータ（Sパラメータ）

$これまでのパラメータはすべて、$ ポートにおける電圧と電流で定義されています。S $パラメータ$ は異なり、ポートにおける入射波と反射波で定義されます。Sパラメータは主にUHF帯やマイクロ波帯で用いられ、電圧や電流を直接測定することが困難になります。一方、入射電力と反射電力は方向性結合器を用いることで容易に測定できます。定義は以下のとおりです。^[17]

{\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}S_{11}&S_{12}\\S_{21}&S_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}

ここで、 $a k は入射波、b k はポート k における反射波である。a k$ $と b$ k $は電力$ $の$ 平方根 $で$ 定義 $するの$ が慣例である。したがって、波の電圧と関係がある（詳細は本文を参照）。^[18]

相互ネットワークの場合 $S 12 = S 21$ 。対称ネットワークの場合 $S 11 = S 22$ 。反対称ネットワークの場合 $S 11 = - S 22$ 。^[19] ロスレス相互ネットワークの場合[ ^20] $|S_{11}|=|S_{22}|$ $|S_{11}|^{2}+|S_{12}|^{2}=1.$

散乱伝達パラメータ（T-パラメータ)

散乱伝達パラメータは、散乱パラメータと同様に、入射波と反射波に基づいて定義されます。Tパラメータは $ポート$ 1の波とポート2の波を関連付けるのに対し、 $S$ パラメータは反射波と入射波を関連付けるという違いがあります。この点で、 $Tパラメータは$ $ABCD$ パラメータと同じ役割を果たし、カスケード接続されたネットワークの $T$ パラメータを、構成ネットワークの行列乗算によって計算することを可能にします。T パラメータはABCDパラメータと同様に $、$ $透過$ パラメータとも呼ばれます。定義は以下のとおりです。^[17]^[21]

{\begin{bmatrix}a_{1}\\b_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}T_{11}&T_{12}\\T_{21}&T_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{2}\\a_{2}\end{bmatrix}}

$Tパラメータは$ $S$ パラメータほど直接測定が容易ではありません。しかし、 $Sパラメータは$ $T$ パラメータに簡単に変換できます。詳細は本文をご覧ください。^[22]

2ポートネットワークの組み合わせ

2つ以上の2ポートネットワークを接続する場合、結合されたネットワークの2ポートパラメータは、各2ポートのパラメータ行列に対して行列代数を実行することで求めることができます。2ポートの接続形式に合わせて2ポートパラメータを適切に選択することで、行列演算を特に簡単に行うことができます。例えば、直列接続されたポートには $z$ パラメータが最適です。

組み合わせルールは慎重に適用する必要があります。異なる電位を接続する場合など、一部の接続ではポート条件が無効になり、組み合わせルールが適用されなくなります。組み合わせの許容性を確認するには、ブルーヌテストを使用できます。この問題は、問題となる2ポートの出力に1:1の理想変圧器を配置することで克服できます。これにより2ポートのパラメータは変化しませんが、相互接続時にポート条件が満たされ続けることが保証されます。この問題の例は、以下の図11と図12の直列接続で示されています。^[23]

直列接続

図10に示すように2ポートが直列接続されている場合、2ポートパラメータとして最適なのは $Z$ パラメータです。合成ネットワークの $Z$ パラメータは、2つの個々の $Zパラメータ行列の$ 加算によって求められます。^[24]^[25]

[\mathbf {z} ]=[\mathbf {z} ]_{1}+[\mathbf {z} ]_{2}

前述のように、この解析に直接適用できないネットワークもいくつかあります。^[23]簡単な例として、抵抗 $R$ $1$ と $R$ $2$ $からなるL$ 回路網からなる2ポート回路網が挙げられます。この回路網の $zパラメータは以下のとおりです。$

[\mathbf {z} ]_{1}={\begin{bmatrix}R_{1}+R_{2}&R_{2}\\R_{2}&R_{2}\end{bmatrix}}

図11は、直列に接続された2つの同一のネットワークを示しています。行列の加算によって予測される合計 $Zパラメータは以下のとおりです。$

[\mathbf {z} ]=[\mathbf {z} ]_{1}+[\mathbf {z} ]_{2}=2[\mathbf {z} ]_{1}={\begin{bmatrix}2R_{1}+2R_{2}&2R_{2}\\2R_{2}&2R_{2}\end{bmatrix}}

しかし、複合回路を直接分析すると、

[\mathbf {z} ]={\begin{bmatrix}R_{1}+2R_{2}&2R_{2}\\2R_{2}&2R_{2}\end{bmatrix}}

この矛盾は、下側の2ポート回路の $R 1$ が出力ポートの2つの端子間の短絡によってバイパスされていることで説明できます。この結果、2つの個別回路網の各入力ポートにおいて、一方の端子に電流が流れなくなります。したがって、元の回路網の両方の入力ポートにおいて、もう一方の端子に電流が流れ込むため、ポート条件は破られます。この問題は、少なくとも一方の2ポート回路網の出力ポートに理想変圧器を挿入することで解決できます。これは2ポート回路網の理論を説明する際によく用いられる教科書的な手法ですが、変圧器の使用が実用的かどうかは個々の設計ごとに判断する必要があります。

並列接続

図13に示すように2ポートが並列接続されている場合、2ポートパラメータとして最適なのは $y$ パラメータです。結合されたネットワークの $yパラメータは、2つの個々の$ $y$ パラメータ行列の加算によって求められます。^[26]

[\mathbf {y} ]=[\mathbf {y} ]_{1}+[\mathbf {y} ]_{2}

直並列接続

図14に示すように2ポートが直並列接続されている場合、2ポートパラメータとして最適なのは $h$ パラメータです。結合されたネットワークの $hパラメータは、2つの個々の$ $h$ パラメータ行列の加算によって求められます。^[27]

[\mathbf {h} ]=[\mathbf {h} ]_{1}+[\mathbf {h} ]_{2}

並列直列接続

図15に示すように、2ポートが並列直列構成で接続されている場合、2ポートパラメータとして最適なのは $g$ パラメータです。結合されたネットワークの $gパラメータは、2つの個々の$ $g$ パラメータ行列の加算によって求められます。

[\mathbf {g} ]=[\mathbf {g} ]_{1}+[\mathbf {g} ]_{2}

カスケード接続

図16に示すように、2ポート回路が1ポート目の出力ポートと2ポート目の入力ポート（カスケード接続）で接続されている場合、最適な2ポートパラメータは $ABCD$ パラメータです。結合されたネットワークの $aパラメータは、2つの個々の$ $a$ パラメータ行列の行列積によって求められます。^[28]

[\mathbf {a} ]=[\mathbf {a} ]_{1}\cdot [\mathbf {a} ]_{2}

$n$ 個の2ポートの連鎖は、 $n個$ の行列の行列乗算によって結合できます。b $パラメータ$ 行列のカスケードを結合するには、それらを再度乗算しますが、乗算は逆の順序で行う必要があります。

[\mathbf {b} ]=[\mathbf {b} ]_{2}\cdot [\mathbf {b} ]_{1}

例

$直列抵抗R$ とシャントコンデンサ $C$ からなる2ポートネットワークがあるとします。このネットワーク全体を、2つのより単純なネットワークのカスケード接続としてモデル化できます。

{\begin{aligned}[][\mathbf {b} ]_{1}&={\begin{bmatrix}1&-R\\0&1\end{bmatrix}}\\\lbrack \mathbf {b} \rbrack _{2}&={\begin{bmatrix}1&0\\-sC&1\end{bmatrix}}\end{aligned}}

ネットワーク全体の伝送行列 $[b]$ は、2つのネットワーク要素の伝送行列の単純な行列乗算です。

{\begin{aligned}[]\lbrack \mathbf {b} \rbrack &=\lbrack \mathbf {b} \rbrack _{2}\cdot \lbrack \mathbf {b} \rbrack _{1}\\&={\begin{bmatrix}1&0\\-sC&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&-R\\0&1\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}1&-R\\-sC&1+sCR\end{bmatrix}}\end{aligned}}

したがって：

{\begin{bmatrix}V_{2}\\-I_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&-R\\-sC&1+sCR\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}V_{1}\\I_{1}\end{bmatrix}}

パラメータの相互関係

	$[z]$	$[y]$	$[h]$	$[グラム]$	$[あ]$	$[b]$
$[z]$	${\begin{bmatrix}z_{11}&z_{12}\\z_{21}&z_{22}\end{bmatrix}}$	${\frac {1}{\Delta \mathbf {[y]} }}{\begin{bmatrix}y_{22}&-y_{12}\\-y_{21}&y_{11}\end{bmatrix}}$	${\frac {1}{h_{22}}}{\begin{bmatrix}\Delta \mathbf {[h]} &h_{12}\\-h_{21}&1\end{bmatrix}}$	${\frac {1}{g_{11}}}{\begin{bmatrix}1&-g_{12}\\g_{21}&\Delta \mathbf {[g]} \end{bmatrix}}$	${\frac {1}{a_{21}}}{\begin{bmatrix}a_{11}&\Delta \mathbf {[a]} \\1&a_{22}\end{bmatrix}}$	${\frac {1}{b_{21}}}{\begin{bmatrix}-b_{22}&-1\\-\Delta \mathbf {[b]} &-b_{11}\end{bmatrix}}$
$[y]$	${\frac {1}{\Delta \mathbf {[z]} }}{\begin{bmatrix}z_{22}&-z_{12}\\-z_{21}&z_{11}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}y_{11}&y_{12}\\y_{21}&y_{22}\end{bmatrix}}$	${\frac {1}{h_{11}}}{\begin{bmatrix}1&-h_{12}\\h_{21}&\Delta \mathbf {[h]} \end{bmatrix}}$	${\frac {1}{g_{22}}}{\begin{bmatrix}\Delta \mathbf {[g]} &g_{12}\\-g_{21}&1\end{bmatrix}}$	${\frac {1}{a_{12}}}{\begin{bmatrix}a_{22}&-\Delta \mathbf {[a]} \\-1&a_{11}\end{bmatrix}}$	${\frac {1}{b_{12}}}{\begin{bmatrix}-b_{11}&1\\\Delta \mathbf {[b]} &-b_{22}\end{bmatrix}}$
$[h]$	${\frac {1}{z_{22}}}{\begin{bmatrix}\Delta \mathbf {[z]} &z_{12}\\-z_{21}&1\end{bmatrix}}$	${\frac {1}{y_{11}}}{\begin{bmatrix}1&-y_{12}\\y_{21}&\Delta \mathbf {[y]} \end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}h_{11}&h_{12}\\h_{21}&h_{22}\end{bmatrix}}$	${\frac {1}{\Delta \mathbf {[g]} }}{\begin{bmatrix}g_{22}&-g_{12}\\-g_{21}&g_{11}\end{bmatrix}}$	${\frac {1}{a_{22}}}{\begin{bmatrix}a_{12}&\Delta \mathbf {[a]} \\-1&a_{21}\end{bmatrix}}$	${\frac {1}{b_{11}}}{\begin{bmatrix}-b_{12}&1\\-\Delta \mathbf {[b]} &-b_{21}\end{bmatrix}}$
$[グラム]$	${\frac {1}{z_{11}}}{\begin{bmatrix}1&-z_{12}\\z_{21}&\Delta \mathbf {[z]} \end{bmatrix}}$	${\frac {1}{y_{22}}}{\begin{bmatrix}\Delta \mathbf {[y]} &y_{12}\\-y_{21}&1\end{bmatrix}}$	${\frac {1}{\Delta \mathbf {[h]} }}{\begin{bmatrix}h_{22}&-h_{12}\\-h_{21}&h_{11}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}g_{11}&g_{12}\\g_{21}&g_{22}\end{bmatrix}}$	${\frac {1}{a_{11}}}{\begin{bmatrix}a_{21}&-\Delta \mathbf {[a]} \\1&a_{12}\end{bmatrix}}$	${\frac {1}{b_{22}}}{\begin{bmatrix}-b_{21}&-1\\\Delta \mathbf {[b]} &-b_{12}\end{bmatrix}}$
$[あ]$	${\frac {1}{z_{21}}}{\begin{bmatrix}z_{11}&\Delta \mathbf {[z]} \\1&z_{22}\end{bmatrix}}$	${\frac {1}{y_{21}}}{\begin{bmatrix}-y_{22}&-1\\-\Delta \mathbf {[y]} &-y_{11}\end{bmatrix}}$	${\frac {1}{h_{21}}}{\begin{bmatrix}-\Delta \mathbf {[h]} &-h_{11}\\-h_{22}&-1\end{bmatrix}}$	${\frac {1}{g_{21}}}{\begin{bmatrix}1&g_{22}\\g_{11}&\Delta \mathbf {[g]} \end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}}$	${\frac {1}{\Delta \mathbf {[b]} }}{\begin{bmatrix}b_{22}&-b_{12}\\-b_{21}&b_{11}\end{bmatrix}}$
$[b]$	${\frac {1}{z_{12}}}{\begin{bmatrix}z_{22}&-\Delta \mathbf {[z]} \\-1&z_{11}\end{bmatrix}}$	${\frac {1}{y_{12}}}{\begin{bmatrix}-y_{11}&1\\\Delta \mathbf {[y]} &-y_{22}\end{bmatrix}}$	${\frac {1}{h_{12}}}{\begin{bmatrix}1&-h_{11}\\-h_{22}&\Delta \mathbf {[h]} \end{bmatrix}}$	${\frac {1}{g_{12}}}{\begin{bmatrix}-\Delta \mathbf {[g]} &g_{22}\\g_{11}&-1\end{bmatrix}}$	${\frac {1}{\Delta \mathbf {[a]} }}{\begin{bmatrix}a_{22}&-a_{12}\\-a_{21}&a_{11}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{bmatrix}}$

ここで $Δ[x]は$ $[$ $x$ $]$ の行列式です。

特定の行列のペアは、特に単純な関係を持ちます。アドミタンスパラメータはインピーダンスパラメータの逆行列であり、逆ハイブリッドパラメータはハイブリッドパラメータの逆行列であり、 $ABCD$ パラメータの $[b]形式は$ $[$ $a$ $]$ 形式の逆行列です。つまり、

{\begin{aligned}\left[\mathbf {y} \right]&=[\mathbf {z} ]^{-1}\\\left[\mathbf {g} \right]&=[\mathbf {h} ]^{-1}\\\left[\mathbf {b} \right]&=[\mathbf {a} ]^{-1}\end{aligned}}

2つ以上のポートを持つネットワーク

2ポートのネットワーク（例えば、アンプやフィルタ）は非常に一般的ですが、方向性結合器やサーキュレータなどの他の電気ネットワークは2ポート以上を持ちます。以下の表現は、任意の数のポートを持つネットワークにも適用できます。

たとえば、3 ポートのインピーダンスパラメータは次の関係になります。

{\begin{bmatrix}V_{1}\\V_{2}\\V_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}Z_{11}&Z_{12}&Z_{13}\\Z_{21}&Z_{22}&Z_{23}\\Z_{31}&Z_{32}&Z_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{1}\\I_{2}\\I_{3}\end{bmatrix}}

ただし、次の表現は必然的に 2 ポートデバイスに限定されます。

ハイブリッド（ $h$ ）パラメータ
逆ハイブリッド（ $g$ ）パラメータ
伝送（ $ABCD$ ）パラメータ
散乱伝達（ $T$ ）パラメータ

2ポートを1ポートに縮小

2ポート回路網には4つの変数があり、そのうち2つは独立しています。ポートの1つが独立した電源を持たない負荷で終端されている場合、その負荷は当該ポートの電圧と電流の間に一定の関係を強制します。自由度が1つ失われ、回路には独立したパラメータが1つだけ残ります。2ポートは、残りの独立変数に対して1ポートインピーダンスとなります。

例えば、インピーダンスパラメータを考えてみましょう

{\begin{bmatrix}V_{1}\\V_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}z_{11}&z_{12}\\z_{21}&z_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{bmatrix}}

負荷 $Z Lを$ ポート2に接続すると、実質的に制約が追加されます。

V_{2}=-Z_{\mathrm {L} }I_{2}\,

$負の符号は、 I 2$ の正方向が負荷ではなく2ポートに向いているためです。拡張された方程式は、

{\begin{aligned}V_{1}&=Z_{11}I_{1}+Z_{12}I_{2}\\-Z_{\mathrm {L} }I_{2}&=Z_{21}I_{1}+Z_{22}I_{2}\end{aligned}}

2番目の方程式は $I 2を$ $I 1$ の関数として簡単に解くことができ、その式は最初の方程式の $I 2を置き換えることができ、$ $V 1$ （および $V 2$ と $I 2 ）は$ $I$ $1$ の関数として残ります。

{\begin{aligned}I_{2}&=-{\frac {Z_{21}}{Z_{\mathrm {L} }+Z_{22}}}I_{1}\\[3pt]V_{1}&=Z_{11}I_{1}-{\frac {Z_{12}Z_{21}}{Z_{\mathrm {L} }+Z_{22}}}I_{1}\\[2pt]&=\left(Z_{11}-{\frac {Z_{12}Z_{21}}{Z_{\mathrm {L} }+Z_{22}}}\right)I_{1}=Z_{\text{in}}I_{1}\end{aligned}}

したがって、実際には、 $I 1 は$ 入力インピーダンス $Z in を$ 認識し、入力回路に対する 2 ポートの影響は実質的に 1 ポート、つまり単純な 2 端子インピーダンスに縮小されます。

参照

アドミタンスパラメータ
インピーダンスパラメータ
散乱パラメータ
透明層における光波の反射/透過計算のための転送行列法（光学）
光線の近軸伝播を計算するための光線転送行列

注記

^ エミッタレッグ抵抗はトランジスタ $V BE$ を低下させることで電流の増加を打ち消します。つまり、抵抗 $R E$ は電流の変化を抑制する負帰還を引き起こします。特に、出力電圧の変化は、この帰還がない場合よりも電流の変化が少なくなるため、ミラーの出力抵抗が増加したことを意味します。
^ 二重の縦棒は抵抗器の並列接続を表します。 $R_{1}\mathbin {\|} R_{2}=1/(1/R_{1}+1/R_{2})$

参考文献

^ グレイ、§3.2、p.172
^ イェーガー、§10.5 §13.5 §13.8
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^ IEEE規格218-1956
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参考文献

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ウィリアム・F・イーガン著『実践RFシステム設計』Wiley-IEEE、2003年ISBN 0-471-20023-9。
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Gray, PR; Hurst, PJ; Lewis, SH; Meyer, RG (2001). 『アナログ集積回路の解析と設計』（第4版）. ニューヨーク: Wiley. ISBN 0-471-32168-0。
ゴーシュ、スマラジット『ネットワーク理論：分析と統合』、プレンティス・ホール・オブ・インディアISBN 81-203-2638-5。
イェーガー, RC; ブラロック, TN (2006). 『マイクロエレクトロニクス回路設計（第3版）』ボストン: マグロウヒル. ISBN 978-0-07-319163-8。
Matthaei、Young、Jones、「マイクロ波フィルタ、インピーダンス整合ネットワーク、および結合構造」、McGraw-Hill、1964 年。
マフムード・ナヴィ、ジョセフ・エドミニスター著『シャウムの電気回路理論と問題の概要』、マグロウヒル・プロフェッショナル、2002年ISBN 0-07-139307-2。
ドラギカ・ヴァシレスカ、スティーブン・マーシャル・グッドニック著『計算エレクトロニクス』、Morgan & Claypool Publishers、2006年ISBN 1-59829-056-8。
クレイトン・R・ポール著『多導体伝送線路の解析』、ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、2008年ISBN 0470131543、9780470131541。

hパラメータの履歴

DA Alsberg、「トランジスタ計測学」、IRE コンベンションレコード、パート 9、pp. 39–44、1953 年。
- 「トランジスタ計測学」としても出版されている。IREプロフェッショナルグループ電子デバイス取引、第ED-1巻、第3号、12～17ページ、1954年8月。
AIEE-IRE 合同委員会、「トランジスタのテスト方法の提案」、米国電気学会論文集: 通信およびエレクトロニクス、pp. 725–740、1955 年 1 月。
「IRE固体素子規格：トランジスタ試験方法、1956年」、IRE議事録、第44巻、第11号、1542～1561頁、1956年11月。
IEEE 標準トランジスタ試験方法、IEEE Std 218-1956。

[8] エミッタレッグ抵抗はトランジスタ $V BE$ を低下させることで電流の増加を打ち消します。つまり、抵抗 $R E$ は電流の変化を抑制する負帰還を引き起こします。特に、出力電圧の変化は、この帰還がない場合よりも電流の変化が少なくなるため、ミラーの出力抵抗が増加したことを意味します。

[9] 二重の縦棒は抵抗器の並列接続を表します。 $R_{1}\mathbin {\|} R_{2}=1/(1/R_{1}+1/R_{2})$

[Gray-1] グレイ、§3.2、p.172

[Jaeger-2] イェーガー、§10.5 §13.5 §13.8

[3] Jasper J. Goedbloed. 「相互性とEMC測定」（PDF） . EMCS . 2014年4月28日閲覧。

[4] ナヴィ、311ページ。

[5] Mathaei 他、70–72 ページ。

[Matt27-6] Matthaeiら、27ページ。

[Matt29-7] Matthaei et al、29ページ。

[10] 56 IRE 28.S2、1543ページ

[11] AIEE-IRE委員会報告書、p. 725

[12] IEEE規格218-1956

[13] Matthaei et al、26ページ。

[14] ゴーシュ、353ページ。

[15] A. チャクラバルティ、p. 581、 ISBN 81-7700-000-4、Dhanpat Rai & Co pvt. ltd.

[16] ファラゴ、102ページ。

[17] クレイトン、271ページ。

[18] Sinha, Rakesh (2022年12月). 「所望の位相シフトを備えたマルチセクション整合ネットワークのコンピュータ支援設計」 . IEEE Transactions on Circuits and Systems II: Express Briefs . 69 (12): 5074– 5078. doi :10.1109/TCSII.2022.3201114. ISSN 1558-3791.

[Vas137-19] Vasileska & Goodnick、p. 137

[20] イーガン、11～12ページ

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[Farago1227-25] ファラゴ著、122～127ページ。

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