Numerical integration method
関数 f ( x ) (青色) は線形関数 (赤色) によって近似されます。 微積分学 において 、 台形則 （非公式には 台形則、 イギリス英語 では トラペジウム則 ） [a]は 数値積分 、すなわち 定積分の 近似値を求める手法である 。 ∫ a b f ( x ) d x . {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx.}
台形則とは何か、そしてステップサイズが小さくなるにつれて近似誤差がどのように減少するかを示すアニメーション 台形則は、関数のグラフの下の領域を 台形 として近似し 、その 面積を 計算することによって機能します。この領域の面積は、幅と高さの長方形 と、幅 と高さの三角形 で構成されていることに注意すれば、簡単に計算できます 。 f ( x ) {\displaystyle f(x)} ( b − a ) {\displaystyle (b-a)} f ( a ) {\displaystyle f(a)} ( b − a ) {\displaystyle (b-a)} f ( b ) − f ( a ) {\displaystyle f(b)-f(a)}
長方形の面積と 三角形の面積
を表す とすると、 A r {\displaystyle A_{r}} A t {\displaystyle A_{\text{t}}} A r = ( b − a ) ⋅ f ( a ) , A t = 1 2 ( b − a ) ⋅ [ f ( b ) − f ( a ) ] . {\displaystyle A_{\text{r}}=(b-a)\cdot f(a),\quad A_{\text{t}}={\tfrac {1}{2}}(b-a)\cdot [f(b)-f(a)].}
したがって、 ∫ a b f ( x ) d x ≈ A r + A t = ( b − a ) ⋅ f ( a ) + 1 2 ( b − a ) ⋅ [ f ( b ) − f ( a ) ] = ( b − a ) ⋅ ( f ( a ) + 1 2 f ( b ) − 1 2 f ( a ) ) = ( b − a ) ⋅ ( 1 2 f ( a ) + 1 2 f ( b ) ) = ( b − a ) ⋅ 1 2 [ f ( a ) + f ( b ) ] . {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)\,dx&\approx A_{\text{r}}+A_{\text{t}}\\&=(b-a)\cdot f(a)+{\tfrac {1}{2}}(b-a)\cdot [f(b)-f(a)]\\&=(b-a)\cdot \left(f(a)+{\tfrac {1}{2}}f(b)-{\tfrac {1}{2}}f(a)\right)\\&=(b-a)\cdot \left({\tfrac {1}{2}}f(a)+{\tfrac {1}{2}}f(b)\right)\\&=(b-a)\cdot {\tfrac {1}{2}}[f(a)+f(b)].\end{aligned}}}
この規則は、積分関数を点と を結ぶ直線の方程式に置き換えることによっても導出できる 。 直線の方程式の 2点形式を用いると、 ( a , f ( a ) ) {\displaystyle {\big (}a,f(a){\big )}} ( b , f ( b ) ) {\displaystyle {\big (}b,f(b){\big )}} y = ( x − a ) f ( b ) − f ( a ) b − a + f ( a ) . {\displaystyle y=(x-a)\,{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}+f(a).}
したがって、 以前と同じです。 ∫ a b f ( x ) d x ≈ ∫ a b ( x − a ) f ( b ) − f ( a ) b − a + f ( a ) d x = [ 1 2 ( x − a ) 2 f ( b ) − f ( a ) b − a + x f ( a ) ] x = a x = b = [ 1 2 ( b − a ) 2 f ( b ) − f ( a ) b − a + b f ( a ) ] − a f ( a ) = 1 2 ( b − a ) [ f ( b ) − f ( a ) ] + ( b − a ) f ( a ) = 1 2 ( b − a ) [ f ( a ) + f ( b ) ] , {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)\,dx&\approx \int _{a}^{b}(x-a)\,{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}+f(a)\,dx\\&=\left[{\frac {1}{2}}(x-a)^{2}\,{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}+xf(a)\right]_{x=a}^{x=b}\\&=\left[{\frac {1}{2}}(b-a)^{2}\,{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}+bf(a)\right]-af(a)\\&={\frac {1}{2}}(b-a)[f(b)-f(a)]+(b-a)f(a)\\&={\frac {1}{2}}(b-a)[f(a)+f(b)],\end{aligned}}}
不規則な間隔の分割に用いられる「連鎖台形法則」の図 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 積分は、 積分区間 を分割し 、各部分区間に台形則を適用して結果を合計することで、さらに良く近似できます。実際には、この「連鎖型」（または「合成型」）台形則は、通常、「台形則を用いた積分」を意味します。 を の分割として 、 を- 番目の部分区間 の長さ （つまり ）とすると、 となります。
台形則は、 左右のリーマン和を 平均化することで得られる結果と見なすことができ 、このように定義されることもあります。 { x k } {\displaystyle \{x_{k}\}} [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} a = x 0 < x 1 < ⋯ < x N − 1 < x N = b , {\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{N-1}<x_{N}=b,} Δ x k {\displaystyle \Delta x_{k}} k {\displaystyle k} Δ x k = x k − x k − 1 {\displaystyle \Delta x_{k}=x_{k}-x_{k-1}} ∫ a b f ( x ) d x ≈ ∑ k = 1 N f ( x k − 1 ) + f ( x k ) 2 Δ x k . {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{k=1}^{N}{\frac {f(x_{k-1})+f(x_{k})}{2}}\Delta x_{k}.}
パーティションの解像度が高くなるにつれて、近似値はより正確になります (つまり、 が大きいほど 、すべて 減少します)。 N {\displaystyle N} Δ x k {\displaystyle \Delta x_{k}}
よくあることですが、パーティションの間隔が一定である場合、つまり、すべての が 同じ値である場合 、計算効率を上げるために、式を因数分解して簡略化することができます 。 Δ x k {\displaystyle \Delta x_{k}} Δ x , {\displaystyle \Delta x,} Δ x {\displaystyle \Delta x} ∫ a b f ( x ) d x ≈ Δ x ( f ( x 0 ) + f ( x N ) 2 + ∑ k = 1 N − 1 f ( x k ) ) . {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \Delta x\left({\frac {f(x_{0})+f(x_{N})}{2}}+\sum _{k=1}^{N-1}f(x_{k})\right).}
以下で説明するように、台形則を使用して推定された定積分の値の精度に誤差境界を設けることも可能です。
歴史 2016年の サイエンス 誌の論文によると、紀元前50年以前のバビロニアでは、 黄道 に沿った 木星 の速度を積分するために 台形則が使用されていたことが報告されています 。 [1] [2]
数値実装
グリッド間隔が均一でない場合は、 という式 、またはより計算効率の高い式
を使用できます。 は 、対応する 前方差分、後方差分、および中心差分 です。 ∫ a b f ( x ) d x ≈ ∑ k = 1 N f ( x k − 1 ) + f ( x k ) 2 Δ x k , {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{k=1}^{N}{\frac {f(x_{k-1})+f(x_{k})}{2}}\Delta x_{k},} Δ x k = x k − x k − 1 , {\displaystyle \Delta x_{k}=x_{k}-x_{k-1},} ∫ a b f ( x ) d x ≈ 1 2 ( f ( x 0 ) Δ + 1 x 0 + f ( x N ) Δ − 1 x N + ∑ k = 1 N − 1 f ( x k ) Δ ± 1 x k ) , {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {1}{2}}{\biggl (}f(x_{0})\Delta _{+1}x_{0}+f(x_{N})\Delta _{-1}x_{N}+\sum _{k=1}^{N-1}f(x_{k})\Delta _{\pm 1}x_{k}{\biggr )},} Δ + 1 x 0 = x 1 − x 0 , {\displaystyle \Delta _{+1}x_{0}=x_{1}-x_{0},} Δ − 1 x N = x N − x N − 1 , {\displaystyle \Delta _{-1}x_{N}=x_{N}-x_{N-1},} Δ ± 1 x k = x k + 1 − x k − 1 {\displaystyle \Delta _{\pm 1}x_{k}=x_{k+1}-x_{k-1}}
等間隔の点 で分割された領域の場合、大幅な単純化が行われる可能性があります。 N {\displaystyle N}
とする と 、 積分の近似値は次のようになる。 Δ x = b − a N {\displaystyle \Delta x={\frac {b-a}{N}}} x k = a + k Δ x {\displaystyle x_{k}=a+k\Delta x} k = 0 , 1 , … , N . {\displaystyle k=0,1,\ldots ,N.} ∫ a b f ( x ) d x ≈ Δ x 2 ∑ k = 1 N [ f ( x k − 1 ) + f ( x k ) ] = Δ x ( 1 2 f ( x 0 ) + 1 2 f ( x N ) + ∑ k = 1 N − 1 f ( x k ) ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)\,dx&\approx {\frac {\Delta x}{2}}\sum _{k=1}^{N}[f(x_{k-1})+f(x_{k})]\\&=\Delta x{\biggl (}{\tfrac {1}{2}}f(x_{0})+{\tfrac {1}{2}}f(x_{N})+\sum _{k=1}^{N-1}f(x_{k}){\biggr )}.\end{aligned}}}
この表現は次のように書かれることもある。 Δ x ∑ ) ′ k = 0 N f ( x k ) , {\displaystyle \Delta x\!\!\mathop {\ \sum {\vphantom {\big )}}'} _{k=0}^{N}f(x_{k}),}
ここで、記号 ∑ ′ {\displaystyle \textstyle \sum ~\!\!'} は、最初の項と最後の項が半分になることを示します。
エラー分析 および の区間において、ストリップ数を増やすことで台形則近似がどのように改善されるかを示すアニメーション 。区間数が 増えるにつれて、結果の精度も向上します。 a = 2 {\displaystyle a=2} b = 8 {\displaystyle b=8} N {\displaystyle N} 合成台形則の誤差は、積分値と数値結果の差です。 E = ∫ a b f ( x ) d x − b − a N [ f ( a ) + f ( b ) 2 + ∑ k = 1 N − 1 f ( a + k b − a N ) ] {\displaystyle {\text{E}}=\int _{a}^{b}f(x)\,dx-{\frac {b-a}{N}}\left[{f(a)+f(b) \over 2}+\sum _{k=1}^{N-1}f\left(a+k{\frac {b-a}{N}}\right)\right]}
a と b の間には ξ という数が存在し 、 E = − ( b − a ) 3 12 N 2 f ″ ( ξ ) {\displaystyle {\text{E}}=-{\frac {(b-a)^{3}}{12N^{2}}}f''(\xi )}
したがって、積分関数が 上に凹んで いる場合（つまり、正の2次導関数を持つ場合）、誤差は負となり、台形則は真の値を過大評価します。これは幾何学的な図からも明らかです。台形は曲線の下の面積をすべて含み、曲線の上にも広がります。同様に、 下に凹んでいる 関数は、曲線の下の面積は考慮されず、上方の面積は考慮されないため、過小評価となります。近似される積分の区間に 変曲点 が含まれる場合、誤差の符号を識別することはより困難になります。
N → ∞ の漸近誤差推定は次のように与えられます 。この誤差推定のその他の項は、オイラー・マクローリンの和の公式によって与えられます。 E = − ( b − a ) 2 12 N 2 [ f ′ ( b ) − f ′ ( a ) ] + O ( N − 3 ) . {\displaystyle {\text{E}}=-{\frac {(b-a)^{2}}{12N^{2}}}{\big [}f'(b)-f'(a){\big ]}+O(N^{-3}).}
エラーを分析するためには、次のようないくつかの手法が使用できる。
フーリエ級数 残渣計算 オイラー・マクローリンの和公式 多項式補間 台形則の収束速度は関数の滑らかさのクラスの定義を反映しており、その定義として使用できると主張されている。
証拠 まず、 と を仮定する 。 を 、 の区間のいずれかにおける台形則の誤差となる ような関数とする 。すると、 と h = b − a N {\displaystyle h={\frac {b-a}{N}}} a k = a + ( k − 1 ) h {\displaystyle a_{k}=a+(k-1)h} g k ( t ) = 1 2 t [ f ( a k ) + f ( a k + t ) ] − ∫ a k a k + t f ( x ) d x {\displaystyle g_{k}(t)={\frac {1}{2}}t[f(a_{k})+f(a_{k}+t)]-\int _{a_{k}}^{a_{k}+t}f(x)\,dx} | g k ( h ) | {\displaystyle |g_{k}(h)|} [ a k , a k + h ] {\displaystyle [a_{k},a_{k}+h]} d g k d t = 1 2 [ f ( a k ) + f ( a k + t ) ] + 1 2 t ⋅ f ′ ( a k + t ) − f ( a k + t ) , {\displaystyle {dg_{k} \over dt}={1 \over 2}[f(a_{k})+f(a_{k}+t)]+{1 \over 2}t\cdot f'(a_{k}+t)-f(a_{k}+t),} d 2 g k d t 2 = 1 2 t ⋅ f ″ ( a k + t ) . {\displaystyle {d^{2}g_{k} \over dt^{2}}={1 \over 2}t\cdot f''(a_{k}+t).}
ここで、 が十分に滑らかな場合、 が成り立つ と仮定する 。すると 、 と 同値
となる。 | f ″ ( x ) | ≤ | f ″ ( ξ ) | , {\displaystyle \left|f''(x)\right|\leq \left|f''(\xi )\right|,} f {\displaystyle f} | f ″ ( a k + t ) | ≤ f ″ ( ξ ) {\displaystyle \left|f''(a_{k}+t)\right|\leq f''(\xi )} − f ″ ( ξ ) ≤ f ″ ( a k + t ) ≤ f ″ ( ξ ) {\displaystyle -f''(\xi )\leq f''(a_{k}+t)\leq f''(\xi )} − f ″ ( ξ ) t 2 ≤ g k ″ ( t ) ≤ f ″ ( ξ ) t 2 . {\displaystyle -{\frac {f''(\xi )t}{2}}\leq g_{k}''(t)\leq {\frac {f''(\xi )t}{2}}.}
および 、 および g k ′ ( 0 ) = 0 {\displaystyle g_{k}'(0)=0} g k ( 0 ) = 0 {\displaystyle g_{k}(0)=0} ∫ 0 t g k ″ ( x ) d x = g k ′ ( t ) {\displaystyle \int _{0}^{t}g_{k}''(x)dx=g_{k}'(t)} ∫ 0 t g k ′ ( x ) d x = g k ( t ) . {\displaystyle \int _{0}^{t}g_{k}'(x)dx=g_{k}(t).}
これらの結果を用いて 、 − f ″ ( ξ ) t 2 4 ≤ g k ′ ( t ) ≤ f ″ ( ξ ) t 2 4 {\displaystyle -{\frac {f''(\xi )t^{2}}{4}}\leq g_{k}'(t)\leq {\frac {f''(\xi )t^{2}}{4}}} − f ″ ( ξ ) t 3 12 ≤ g k ( t ) ≤ f ″ ( ξ ) t 3 12 {\displaystyle -{\frac {f''(\xi )t^{3}}{12}}\leq g_{k}(t)\leq {\frac {f''(\xi )t^{3}}{12}}}
見つけ られるように t = h {\displaystyle t=h} − f ″ ( ξ ) h 3 12 ≤ g k ( h ) ≤ f ″ ( ξ ) h 3 12 . {\displaystyle -{\frac {f''(\xi )h^{3}}{12}}\leq g_{k}(h)\leq {\frac {f''(\xi )h^{3}}{12}}.}
全ての局所誤差項を合計すると、 ∑ k = 1 N g k ( h ) = b − a N [ f ( a ) + f ( b ) 2 + ∑ k = 1 N − 1 f ( a + k b − a N ) ] − ∫ a b f ( x ) d x . {\displaystyle \sum _{k=1}^{N}g_{k}(h)={\frac {b-a}{N}}\left[{f(a)+f(b) \over 2}+\sum _{k=1}^{N-1}f\left(a+k{\frac {b-a}{N}}\right)\right]-\int _{a}^{b}f(x)dx.}
しかし、私たちはまた 、 − ∑ k = 1 N f ″ ( ξ ) h 3 12 ≤ ∑ k = 1 N g k ( h ) ≤ ∑ k = 1 N f ″ ( ξ ) h 3 12 {\displaystyle -\sum _{k=1}^{N}{\frac {f''(\xi )h^{3}}{12}}\leq \sum _{k=1}^{N}g_{k}(h)\leq \sum _{k=1}^{N}{\frac {f''(\xi )h^{3}}{12}}} ∑ k = 1 N f ″ ( ξ ) h 3 12 = f ″ ( ξ ) h 3 N 12 , {\displaystyle \sum _{k=1}^{N}{\frac {f''(\xi )h^{3}}{12}}={\frac {f''(\xi )h^{3}N}{12}},}
となることによって
− f ″ ( ξ ) h 3 N 12 ≤ b − a N [ f ( a ) + f ( b ) 2 + ∑ k = 1 N − 1 f ( a + k b − a N ) ] − ∫ a b f ( x ) d x ≤ f ″ ( ξ ) h 3 N 12 . {\displaystyle -{\frac {f''(\xi )h^{3}N}{12}}\leq {\frac {b-a}{N}}\left[{f(a)+f(b) \over 2}+\sum _{k=1}^{N-1}f\left(a+k{\frac {b-a}{N}}\right)\right]-\int _{a}^{b}f(x)dx\leq {\frac {f''(\xi )h^{3}N}{12}}.}
したがって、総誤差は
error = ∫ a b f ( x ) d x − b − a N [ f ( a ) + f ( b ) 2 + ∑ k = 1 N − 1 f ( a + k b − a N ) ] = f ″ ( ξ ) h 3 N 12 = f ″ ( ξ ) ( b − a ) 3 12 N 2 . {\displaystyle {\text{error}}=\int _{a}^{b}f(x)\,dx-{\frac {b-a}{N}}\left[{f(a)+f(b) \over 2}+\sum _{k=1}^{N-1}f\left(a+k{\frac {b-a}{N}}\right)\right]={\frac {f''(\xi )h^{3}N}{12}}={\frac {f''(\xi )(b-a)^{3}}{12N^{2}}}.}
周期関数とピーク関数 台形則は周期関数に対して急速に収束する。これは オイラー・マクローリンの和公式 から容易に導かれる帰結である。この公式によれば、 が 周期 で連続的に微分可能な場合、 となる。 ここ で 、は - 次ベルヌーイ多項式 の周期的拡大である。 [9] 周期性により、端点における導関数は打ち消され、誤差は となる 。 f {\displaystyle f} p {\displaystyle p} T , {\displaystyle T,} ∑ k = 0 N − 1 f ( k h ) h = ∫ 0 T f ( x ) d x + ∑ k = 1 ⌊ p / 2 ⌋ B 2 k ( 2 k ) ! ( f ( 2 k − 1 ) ( T ) − f ( 2 k − 1 ) ( 0 ) ) − ( − 1 ) p h p ∫ 0 T B ~ p ( x / T ) f ( p ) ( x ) d x , {\displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}f(kh)h=\int _{0}^{T}f(x)\,dx+\sum _{k=1}^{\lfloor p/2\rfloor }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left(f^{(2k-1)}(T)-f^{(2k-1)}(0)\right)-(-1)^{p}h^{p}\int _{0}^{T}{\tilde {B}}_{p}(x/T)f^{(p)}(x)\,dx,} h := T / N , {\displaystyle h:=T/N,} B ~ p {\displaystyle {\tilde {B}}_{p}} p {\displaystyle p} O ( h p ) {\displaystyle O(h^{p})}
同様の効果は、ガウス関数 、指数 関数的に修正されたガウス 関数、および積分限界での導関数が無視できるその他の関数などの ピーク状関数にも適用できます。 [10] 台形則によるガウス関数の完全積分の1%の精度の評価は、わずか4点を使用して行うことができます。 [11] シンプソンの定理では 、同じ精度を達成するために1.8倍の点が必要です。 [11]
「大まかな」機能 C 2 に含まれない関数については 、上記の誤差境界は適用できません。それでも、そのような大まかな関数の誤差境界を導くことは可能です。これらの関数の収束は、通常、上記の挙動 よりも関数評価回数の増加とともに遅くなります 。興味深いことに、この場合、台形則は、 同じ関数評価回数に対して シンプソン則よりも鋭い境界を示すことがよくあります。 N {\displaystyle N} O ( N − 2 ) {\displaystyle O(N^{-2})}
適用性と代替案 台形則は、ニュートン・コーツ公式 と呼ばれる 数値積分 の公式群の一つであり 、その 中点則は 台形則に類似している。 シンプソン則 も同じファミリーに属し、2回連続微分可能な関数については、一般に台形則よりも収束が速いが、すべての特定の場合に当てはまるわけではない。しかし、より粗い関数（より緩い平滑性条件を持つ関数）の様々なクラスについては、台形則は一般にシンプソン則よりも収束が速い。
さらに、台形則は周期関数を その周期にわたって積分する と非常に正確になる傾向があり、様々な方法で解析することができます。収束は通常、指数関数的かそれより速くなります。 ピーク関数についても同様の効果が見られます。 [11]
しかし、非周期関数の場合、 ガウス積分法 や クレンショウ・カーティス積分法 などの不等間隔の点を用いる方法の方が一般にはるかに正確です。クレンショウ・カーティス積分法は、任意の積分を周期積分で表現するための変数変換とみなすことができ、その点では台形則を正確に適用できます。
数値例
3の自然対数を近似する 台形則を使用して積分を近似し、 の近似値を生成でき ます 。 ∫ 1 3 1 x d x = ln 3 − ln 1 = ln 3 , {\displaystyle \int _{1}^{3}{\frac {1}{x}}\,dx=\ln 3-\ln 1=\ln 3,} ln 3 {\displaystyle \ln 3}
線分 に規則を適用すると、 絶対誤差が で相対誤差がとなる式が得られます 。 n = 3 {\displaystyle n=3} ln 3 = ∫ 1 3 1 x d x ≈ 1 3 ( 1 + 6 5 + 6 7 + 1 3 ) = 356 315 ≈ 1.13015873 , {\displaystyle \ln 3=\int _{1}^{3}{\frac {1}{x}}\,dx\approx {\frac {1}{3}}\left(1+{\frac {6}{5}}+{\frac {6}{7}}+{\frac {1}{3}}\right)={\frac {356}{315}}\approx 1.13015873,} 0.031546 {\displaystyle 0.031546} 2.87148 % {\displaystyle 2.87148\%}
線分 に規則を適用すると、 絶対誤差が で相対誤差がとなる式が得られます 。 n = 6 {\displaystyle n=6} ln 3 = ∫ 1 3 1 x d x ≈ 1 6 ( 1 + 3 2 + 6 5 + 1 + 6 7 + 3 4 + 1 3 ) = 2789 2520 ≈ 1.10674603 , {\displaystyle \ln 3=\int _{1}^{3}{\frac {1}{x}}\,dx\approx {\frac {1}{6}}\left(1+{\frac {3}{2}}+{\frac {6}{5}}+1+{\frac {6}{7}}+{\frac {3}{4}}+{\frac {1}{3}}\right)={\frac {2789}{2520}}\approx 1.10674603,} 8.13 × 10 − 3 {\displaystyle 8.13\times 10^{-3}} 0.74036 % {\displaystyle 0.74036\%}
積分の近似 次の積分が与えられます。 ∫ 0.1 1.3 5 x e − 2 x d x . {\displaystyle \int _{0.1}^{1.3}5xe^{-2x}\,dx.}
合成台形則を用いて、この積分の値を推定します。3つの線分を用います。 部分(a)の 真の誤差を求めます。 E t {\displaystyle E_{t}} 部分(a)の 絶対相対真の誤差を求めます。 | ε t | {\displaystyle |\varepsilon _{t}|} 解決
3 つの線分を持つ合成台形則を使用した解法は次のように適用されます。 ∫ a b f ( x ) d x ≈ b − a 2 n [ f ( a ) + 2 ∑ i = 1 n − 1 f ( a + i h ) + f ( b ) ] . {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{2n}}\left[f(a)+2\sum _{i=1}^{n-1}f(a+ih)+f(b)\right].} n = 3 , a = 0.1 , b = 1.3 , h = b − a n = 1.3 − 0.1 3 = 0.4. {\displaystyle {\begin{aligned}n&=3,\\a&=0.1,\\b&=1.3,\\h&={\frac {b-a}{n}}={\frac {1.3-0.1}{3}}=0.4.\end{aligned}}}
複合台形則の公式を用いると、 ∫ a b f ( x ) d x ≈ b − a 2 n [ f ( a ) + 2 { ∑ i = 1 n − 1 f ( a + i h ) } + f ( b ) ] . {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{2n}}\left[f(a)+2\left\{\sum _{i=1}^{n-1}f(a+ih)\right\}+f(b)\right].}
I ≈ 1.3 − 0.1 6 [ f ( 0.1 ) + 2 ∑ i = 1 3 − 1 f ( 0.1 + 0.4 i ) + f ( 1.3 ) ] I ≈ 1.3 − 0.1 6 [ f ( 0.1 ) + 2 ∑ i = 1 2 f ( 0.1 + 0.4 i ) + f ( 1.3 ) ] = 0.2 [ f ( 0.1 ) + 2 f ( 0.5 ) + 2 f ( 0.9 ) + f ( 1.3 ) ] = 0.2 [ 5 × 0.1 × e − 2 ( 0.1 ) + 2 ( 5 × 0.5 × e − 2 ( 0.5 ) ) + 2 ( 5 × 0.9 × e − 2 ( 0.9 ) ) + 5 × 1.3 × e − 2 ( 1.3 ) ] = 0.84385. {\displaystyle {\begin{aligned}I&\approx {\frac {1.3-0.1}{6}}\left[f(0.1)+2\sum _{i=1}^{3-1}f(0.1+0.4i)+f(1.3)\right]\\I&\approx {\frac {1.3-0.1}{6}}\left[f(0.1)+2\sum _{i=1}^{2}f(0.1+0.4i)+f(1.3)\right]\\&=0.2[f(0.1)+2f(0.5)+2f(0.9)+f(1.3)]\\&=0.2\left[5\times 0.1\times e^{-2(0.1)}+2(5\times 0.5\times e^{-2(0.5)})+2(5\times 0.9\times e^{-2(0.9)})+5\times 1.3\times e^{-2(1.3)}\right]\\&=0.84385.\end{aligned}}} 上記の積分の正確な値は部分積分によって求められるので、
真の誤差は ∫ 0.1 1.3 5 x e − 2 x d x = 0.89387 , {\displaystyle \int _{0.1}^{1.3}5xe^{-2x}\,dx=0.89387,} E t = ( true value ) − ( approximate value ) = 0.89387 − 0.84385 = 0.05002. {\displaystyle {\begin{aligned}E_{t}&=({\text{true value}})-({\text{approximate value}})\\&=0.89387-0.84385\\&=0.05002.\end{aligned}}} 絶対相対真の誤差は | ε t | = | true error true value | × 100 % = | 0.05002 0.89387 | × 100 % = 5.5959 % . {\displaystyle {\begin{aligned}|\varepsilon _{t}|&=\left|{\frac {\text{true error}}{\text{true value}}}\right|\times 100\%\\&=\left|{\frac {0.05002}{0.89387}}\right|\times 100\%\\&=5.5959\%.\end{aligned}}}
参照
注記 ^ Ossendrijver, Mathieu (2016年1月29日). 「古代バビロニアの天文学者は、時間速度グラフの下の面積から木星の位置を計算した」 . Science . 351 (6272): 482– 484. Bibcode :2016Sci...351..482O. doi :10.1126/science.aad8085. PMID 26823423. S2CID 206644971. ^ 「古代バビロニア人が『初めて幾何学を用いた』」 BBCニュース 2016年1月29日. 2025年2月13日 閲覧 。 ^ Kress, Rainer (1998). 数値解析, Graduate Texts in Mathematics 第181巻 . Springer-Verlag. ^ Goodwin, ET (1949). 「形式の積分の評価 」. ケンブリッジ哲学協会数学紀要 . 45 (2): 241– 245. Bibcode :1949PCPS...45..241G. doi :10.1017/S0305004100024786. ISSN 1469-8064. ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e − x 2 d x {\displaystyle \textstyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-x^{2}}\,dx} ^ abc Kalambet, Yuri; Kozmin, Yuri; Samokhin, Andrey (2018). 「非常に狭いクロマトグラフィーピークの場合の積分則の比較」. Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems . 179 : 22– 30. doi :10.1016/j.chemolab.2018.06.001. ISSN 0169-7439.
参考文献 アトキンソン、ケンドール E. (1989)、 『数値解析入門』 （第2版）、ニューヨーク： ジョン・ワイリー・アンド・サンズ 、 ISBN 978-0-471-50023-0 Rahman, Qazi I.; Schmeisser, Gerhard (1990年12月)、「台形則の収束速度の特徴づけ」、 Numerische Mathematik 、 57 (1): 123– 138、 doi :10.1007/BF01386402、 ISSN 0945-3245、 S2CID 122245944 バーデン、リチャード L.; フェアーズ、J. ダグラス (2011)、 『数値解析』 （第 9 版）、ブルックス/コール ワイデマン, JAC (2002年1月)、「周期関数の数値積分：いくつかの例」、 アメリカ数学月刊誌 、 109 (1): 21– 36、 doi :10.2307/2695765、 JSTOR 2695765 Cruz-Uribe, D.; Neugebauer, CJ (2002)、「台形則とシンプソン則の鋭い誤差境界」 (PDF) 、 純粋・応用数学不等式ジャーナル 、 3 (4)
外部リンク ウィキブック Aレベル数学には 台形定理 に関するページがあります。
IP Mysovskikh, 台形の公式, 数学百科事典 , 編者 M. Hazewinkel 台形則求積法の収束に関する注釈 Boost.Mathが提供する台形求積法の実装
![{\displaystyle A_{\text{r}}=(ba)\cdot f(a),\quad A_{\text{t}}={\tfrac {1}{2}}(ba)\cdot [f(b)-f(a)].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f45278c0c443c9797f60eec6c906f8419f5e3095)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)\,dx&\approx A_{\text{r}}+A_{\text{t}}\\&=(ba)\cdot f(a)+{\tfrac {1}{2}}(ba)\cdot [f(b)-f(a)]\\&=(ba)\cdot \left(f(a)+{\tfrac {1}{2}}f(b)-{\tfrac {1}{2}}f(a)\right)\\&=(ba)\cdot \left({\tfrac {1}{2}}f(a)+{\tfrac {1}{2}}f(b)\right)\\&=(ba)\cdot {\tfrac {1}{2}}[f(a)+f(b)].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8576341f65ed7ee39402b07cf6e79c2986e6828d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)\,dx&\approx \int _{a}^{b}(xa)\,{\frac {f(b)-f(a)}{ba}}+f(a)\,dx\\&=\left[{\frac {1}{2}}(xa)^{2}\,{\frac {f(b)-f(a)}{ba}}+xf(a)\right]_{x=a}^{x=b}\\&=\left[{\frac {1}{2}}(ba)^{2}\,{\frac {f(b)-f(a)}{ba}}+bf(a)\right]-af(a)\\&={\frac {1}{2}}(ba)[f(b)-f(a)]+(ba)f(a)\\&={\frac {1}{2}}(ba)[f(a)+f(b)],\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd909b6521f1bbf87194a25429faab9d0f6f4cdb)
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)\,dx&\approx {\frac {\Delta x}{2}}\sum _{k=1}^{N}[f(x_{k-1})+f(x_{k})]\\&=\Delta x{\biggl (}{\tfrac {1}{2}}f(x_{0})+{\tfrac {1}{2}}f(x_{N})+\sum _{k=1}^{N-1}f(x_{k}){\biggr )}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37958227ad8a6fdc16475770daa9e617094d3e3a)
![{\displaystyle {\text{E}}=\int _{a}^{b}f(x)\,dx-{\frac {ba}{N}}\left[{f(a)+f(b) \over 2}+\sum _{k=1}^{N-1}f\left(a+k{\frac {ba}{N}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69bbf6fd3feca24e5b54d2648875a66b554edce8)
![{\displaystyle {\text{E}}=-{\frac {(ba)^{2}}{12N^{2}}}{\big [}f'(b)-f'(a){\big ]}+O(N^{-3}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cd5ac77d42c690b44c7f4e0046485375e36abae)
![{\displaystyle g_{k}(t)={\frac {1}{2}}t[f(a_{k})+f(a_{k}+t)]-\int _{a_{k}}^{a_{k}+t}f(x)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f7adf3c2fb86c683193757c4143af68d348ff66)
![{\displaystyle [a_{k},a_{k}+h]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4278d1e363fde482a2cf9e04b012205776c5a9a3)
![{\displaystyle {dg_{k} \over dt}={1 \over 2}[f(a_{k})+f(a_{k}+t)]+{1 \over 2}t\cdot f'(a_{k}+t)-f(a_{k}+t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0340ea2941deffa7beed8c8595a4aaf897d797bd)
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{N}g_{k}(h)={\frac {ba}{N}}\left[{f(a)+f(b) \over 2}+\sum _{k=1}^{N-1}f\left(a+k{\frac {ba}{N}}\right)\right]-\int _{a}^{b}f(x)dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99801ff97304978cf8907920a96c7c8e777d9b84)
![{\displaystyle -{\frac {f''(\xi )h^{3}N}{12}}\leq {\frac {ba}{N}}\left[{f(a)+f(b) \over 2}+\sum _{k=1}^{N-1}f\left(a+k{\frac {ba}{N}}\right)\right]-\int _{a}^{b}f(x)dx\leq {\frac {f''(\xi )h^{3}N}{12}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2f3d6ee982441634a1ba4a23b22400f4f8f532e)
![{\displaystyle {\text{error}}=\int _{a}^{b}f(x)\,dx-{\frac {ba}{N}}\left[{f(a)+f(b) \over 2}+\sum _{k=1}^{N-1}f\left(a+k{\frac {ba}{N}}\right)\right]={\frac {f''(\xi )h^{3}N}{12}}={\frac {f''(\xi )(ba)^{3}}{12N^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3499f9b1f021ad0084174d2d3a0deec83f5885ce)
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {ba}{2n}}\left[f(a)+2\sum _{i=1}^{n-1}f(a+ih)+f(b)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58151ae74b9a3fb6f94c537ec5147828719036ab)
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {ba}{2n}}\left[f(a)+2\left\{\sum _{i=1}^{n-1}f(a+ih)\right\}+f(b)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bec7e1e46d618c9e6baa82081f5aa0076e93f62a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}I&\approx {\frac {1.3-0.1}{6}}\left[f(0.1)+2\sum _{i=1}^{3-1}f(0.1+0.4i)+f(1.3)\right]\\I&\approx {\frac {1.3-0.1}{6}}\left[f(0.1)+2\sum _{i=1}^{2}f(0.1+0.4i)+f(1.3)\right]\\&=0.2[f(0.1)+2f(0.5)+2f(0.9)+f(1.3)]\\&=0.2\left[5\times 0.1\times e^{-2(0.1)}+2(5\times 0.5\times e^{-2(0.5)})+2(5\times 0.9\times e^{-2(0.9)})+5\times 1.3\times e^{-2(1.3)}\right]\\&=0.84385.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb260d6a9dfa3dc8abb407c70d8525f797b3cc5c)
