三角関数

三角関数（三角関数、ハット関数、テント関数とも呼ばれる）は、グラフが三角形の形をとる関数です。これは、高さ 1、底辺 2 の二等辺三角形であることが多く、その場合は三角関数と呼ばれます。三角関数は、信号処理や通信システムエンジニアリングにおいて理想化された信号の表現として役立ち、三角関数は特に、カーネル密度推定などでより現実的な信号を導出できる積分変換カーネル関数として役立ちます。また、パルス符号変調の分野では、デジタル信号を送信するためのパルス形状や、信号を受信するための整合フィルタとして応用されています。また、バートレットウィンドウと呼ばれる三角ウィンドウを定義するためにも使用されます。

定義

最も一般的な定義は区分関数として定義されます。 ${\begin{aligned}\operatorname {tri} (x)=\Lambda (x)\ &{\overset {\underset {\text{def}}{}}{=}}\ \max {\big (}1-|x|,0{\big )}\\&={\begin{cases}1-|x|,&|x|<1;\\0&{\text{otherwise}}.\\\end{cases}}\end{aligned}}$

同様に、 2つの同一の単位直角関数の畳み込みとして定義することもできます。

${\begin{aligned}\operatorname {tri} (x)&=\operatorname {rect} (x)*\operatorname {rect} (x)\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {rect} (x-\tau )\cdot \operatorname {rect} (\tau )\,d\tau .\\\end{aligned}}$

三角関数は、長方形関数と絶対値関数の積として表すこともできます。

$\operatorname {tri} (x)=\operatorname {rect} (x/2){\big (}1-|x|{\big )}.$

一部の著者は、三角形関数の底辺を幅 2 ではなく幅 1 と定義していることに注意してください。

${\begin{aligned}\operatorname {tri} (2x)=\Lambda (2x)\ &{\overset {\underset {\text{def}}{}}{=}}\ \max {\big (}1-2|x|,0{\big )}\\&={\begin{cases}1-2|x|,&|x|<{\tfrac {1}{2}};\\0&{\text{otherwise}}.\\\end{cases}}\end{aligned}}$

最も一般的な形では、三角関数は任意の線形Bスプラインである：^[1]

$\operatorname {tri} _{j}(x)={\begin{cases}(x-x_{j-1})/(x_{j}-x_{j-1}),&x_{j-1}\leq x<x_{j};\\(x_{j+1}-x)/(x_{j+1}-x_{j}),&x_{j}\leq x<x_{j+1};\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}$

上の定義は特別なケースであるが

$\Lambda (x)=\operatorname {tri} _{j}(x),$

ここで、、、およびです。 $x_{j-1}=-1$ $x_{j}=0$ $x_{j+1}=1$

線形Bスプラインは連続区分線形関数と同じであり、この一般的な三角形関数は次のように正式に定義すると便利である。 $f(x)$ $f(x)$

$f(x)=\sum _{j}y_{j}\cdot \operatorname {tri} _{j}(x),$

ここで、すべての整数に対して、区分線形関数は、の順序付きペアを持つ座標として表されるすべての点を通過する。つまり、 $x_{j}<x_{j+1}$ $j$ $(x_{j},y_{j})$

$f(x_{j})=y_{j}.$

スケーリング

任意のパラメータの場合: $a\neq 0$

${\begin{aligned}\operatorname {tri} \left({\tfrac {t}{a}}\right)&={\tfrac {1}{\sqrt {a}}}\operatorname {rect} \left({\tfrac {t}{a}}\right)*{\tfrac {1}{\sqrt {a}}}\operatorname {rect} \left({\tfrac {t}{a}}\right)\\[1ex]&=\int _{-\infty }^{\infty }{\tfrac {1}{|a|}}\operatorname {rect} \left({\tfrac {\tau }{a}}\right)\cdot \operatorname {rect} \left({\tfrac {t-\tau }{a}}\right)\,d\tau \\&={\begin{cases}1-|t/a|,&|t|<|a|;\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}\end{aligned}}$

フーリエ変換

この変換は、フーリエ変換の畳み込み特性と長方形関数のフーリエ変換を使用して簡単に決定できます。

${\begin{aligned}{\mathcal {F}}\{\operatorname {tri} (t)\}&={\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)*\operatorname {rect} (t)\}\\&={\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)\}\cdot {\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)\}\\&={\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)\}^{2}\\&=\mathrm {sinc} ^{2}(f),\end{aligned}}$ ここで、正規化されたsinc関数です。 $\operatorname {sinc} (x)=\sin(\pi x)/(\pi x)$

一般的な形式は次のとおりです。

${\begin{aligned}{\mathcal {F}}\{\operatorname {tri} \left({\tfrac {t}{a}}\right)\}&={\mathcal {F}}\left\{{\tfrac {1}{\sqrt {a}}}\operatorname {rect} \left({\tfrac {t}{a}}\right)*{\tfrac {1}{\sqrt {a}}}\operatorname {rect} \left({\tfrac {t}{a}}\right)\right\}\\&={\tfrac {1}{a}}\ {\mathcal {F}}\left\{\operatorname {rect} \left({\tfrac {t}{a}}\right)\right\}\cdot {\mathcal {F}}\left\{\operatorname {rect} \left({\tfrac {t}{a}}\right)\right\}\\&={\tfrac {1}{a}}\ {\mathcal {F}}\left\{\operatorname {rect} \left({\tfrac {t}{a}}\right)\right\}^{2}\\&={\tfrac {1}{a}}\ {a}^{2}\ \mathrm {sinc} ^{2}(a\cdot f)={a}\ \mathrm {sinc} ^{2}(a\cdot f).\end{aligned}}$

参照

ケレン関数（三角関数とも呼ばれる）
テントマップ
三角分布
三角波、区分線形周期関数
三角関数

参考文献

^ 「スプラインとBスプラインの基本特性」（PDF） INF-MAT5340講義ノート38ページ。

[1] 「スプラインとBスプラインの基本特性」（PDF） INF-MAT5340講義ノート38ページ。