Coordinate system based on distances from the sidelines of a given triangle
幾何学 において 、与えられた 三角形 に対する点の 三線座標 x : y : z は、三角形の 3 本の辺 からの相対的な 有向距離を表します。三線座標は 同次座標の一例です 。x : y の 比 は、 点から頂点 A と 頂点 Bの反対側の辺（必要に応じて延長）までの 垂線距離の比です 。y : z の比は、点から頂点 B と頂点 C の反対側の辺までの垂線距離の比です 。z : x と頂点 C と頂点 A についても同様です 。
右の図では、示された内部点の三線座標は実際の距離（ a' 、 b' 、 c' ）、または任意の正の定数 k に対する比率で ka' : kb' : kc' です。点が基準三角形の辺線上にある場合、対応する三線座標は 0 です。外部点が三角形の内部から辺線を挟んで反対側にある場合、その辺線に関連付けられた三線座標は負です。3つの三線座標がすべて非正になることはあり得ません。
表記 三線座標の比表記は、順序付き三線表記 よりもしばしば用いられます。順序付き 三線 表記は、特定の三角形に対する 有向距離の三線 表記に使用されます。三線 座標は、比率に影響を与えることなく、任意の値でスケールを変更できます。括弧で囲み、コンマで区切られた三線表記は、 慣習的にこれはegとは異なる三線表記です が、これらの等価な比は 同じ点を表すため、混乱を招く可能性があります。 x : y : z {\displaystyle x:y:z} ( x , y , z ) , {\displaystyle (x,y,z),} ( a ′ , b ′ , c ′ ) {\displaystyle (a',b',c')} x : y : z , {\displaystyle x:y:z,} ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} ( 2 x , 2 y , 2 z ) , {\displaystyle (2x,2y,2z),} x : y : z = {\displaystyle x:y:z={}\!} 2 x : 2 y : 2 z {\displaystyle 2x:2y:2z}
例 三角形 △ ABC の内心 の三線座標は 1 : 1 : 1 です 。つまり、内心から辺 BC、CA、ABまでの（有向）距離は、 （ r 、 r 、 r ） で表される実際の距離に比例します。ここで、 rは △ ABC の内接円です 。辺の長さ a、b、c が与えられている場合、 以下の関係が成り立ちます。
名前; シンボル 三線座標 説明 頂点 あ 1 : 0 : 0 {\displaystyle 1:0:0} 三角形の角の点 B 0 : 1 : 0 {\displaystyle 0:1:0} C 0 : 0 : 1 {\displaystyle 0:0:1} 中心に 私 1 : 1 : 1 {\displaystyle 1:1:1} 内角の二等分線 の交点 ；三角形の 内接円の中心 偏心 私 A − 1 : 1 : 1 {\displaystyle -1:1:1} 角の二等分線の交点（外角2本、内角1本）；三角形の3つの 外接円の中心 I B 1 : − 1 : 1 {\displaystyle 1:-1:1} IC 1 : 1 : − 1 {\displaystyle 1:1:-1} 重心 G 1 a : 1 b : 1 c {\displaystyle {\frac {1}{a}}:{\frac {1}{b}}:{\frac {1}{c}}} 中線 の交点 ； 一様三角形の 板の 質量中心 外心 お cos A : cos B : cos C {\displaystyle \cos A:\cos B:\cos C} 辺の 垂直二等分線 の交点；三角形の 外接円の中心 オルソセンター H sec A : sec B : sec C {\displaystyle \sec A:\sec B:\sec C} 高度 の交差点 9点センター 北 cos ( B − C ) : cos ( C − A ) : cos ( A − B ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\cos(B-C):\cos(C-A)\\&\qquad :\cos(A-B)\end{aligned}}} 各辺の中点、各高度の足、垂心と各頂点の中点を通る円の中心 対称点 K a : b : c {\displaystyle a:b:c} 対称線の交点 - 各中線を対応する角の二等分線について反射する
一般に、内心は重心 と同じではないことに注意してください 。重心の 重心座標は 1 : 1 : 1 です (これらは三角形 △ BGC 、△ CGA 、△ AGB の実際の符号付き面積に比例します。ここで、 G = 重心です)。
例えば、辺 BC の中点は、三角形の面積 Δ の実際の辺距離における三線座標を持ち 、これは任意に指定された相対距離において 0: ca : ab と簡略化される。AからBC までの 高度の麓の実際の辺距離における座標は、 純粋 に相対距離において 0:cosC : cosB と 簡略化される 。 [1] :p.96 ( 0 , Δ b , Δ c ) {\displaystyle (0,{\tfrac {\Delta }{b}},{\tfrac {\Delta }{c}})} ( 0 , 2 Δ a cos C , 2 Δ a cos B ) , {\displaystyle (0,{\tfrac {2\Delta }{a}}\cos C,{\tfrac {2\Delta }{a}}\cos B),}
共線性と同時性 三線座標は三角形幾何学において多くの代数的手法を可能にします。例えば、3つの点
P = p : q : r U = u : v : w X = x : y : z {\displaystyle {\begin{aligned}P&=p:q:r\\U&=u:v:w\\X&=x:y:z\\\end{aligned}}} 行列式 が 共線的で あるのは、
D = | p q r u v w x y z | {\displaystyle D={\begin{vmatrix}p&q&r\\u&v&w\\x&y&z\end{vmatrix}}} はゼロに等しい。したがって、 x : y : z が変分点である場合、点 P と点 Uを通る直線の方程式は D = 0 となる 。 [1] : p. 23 このことから、すべての直線は x, y, z に関して同次な線型方程式を持つ。実係数 の形の方程式はすべて、 l : m : n が辺の長さ a : b : c に比例しない限り 、有限点から成る実直線となる。その場合、点の軌跡は無限遠となる。 [1] : p. 40 l x + m y + n z = 0 {\displaystyle lx+my+nz=0}
この命題の双対は、線が
p α + q β + r γ = 0 u α + v β + w γ = 0 x α + y β + z γ = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}p\alpha +q\beta +r\gamma &=0\\u\alpha +v\beta +w\gamma &=0\\x\alpha +y\beta +z\gamma &=0\end{aligned}}} D = 0の ときのみ、 点 ( α , β , γ )が 一致する 。 [1] : p. 28
また、 D の行列式を評価する際に実際の有向距離を使用すると、三角形 △ PUX の面積は KD になります ( ただし、 Δは上記のように三角形 △ ABC の面積)。これは三角形 △ PUX が △ ABC と同じ向き (時計回りまたは反時計回り) である 場合に該当し 、 それ以外の場合は該当しません。 K = − a b c 8 Δ 2 {\displaystyle K={\tfrac {-abc}{8\Delta ^{2}}}} K = − a b c 8 Δ 2 {\displaystyle K={\tfrac {-abc}{8\Delta ^{2}}}}
平行線 三線方程式とを持つ2本の直線 が 平行であるべきとき、かつその場合に限る [1] ：p.98、#xi l x + m y + n z = 0 {\displaystyle lx+my+nz=0} l ′ x + m ′ y + n ′ z = 0 {\displaystyle l'x+m'y+n'z=0}
| l m n l ′ m ′ n ′ a b c | = 0 , {\displaystyle {\begin{vmatrix}l&m&n\\l'&m'&n'\\a&b&c\end{vmatrix}}=0,} ここで 、a、b、c は辺の長さです。
2本の線の間の角度 三線方程式と二線間の角度の 接線 は [1] で与えられる ： 第48条 l x + m y + n z = 0 {\displaystyle lx+my+nz=0} l ′ x + m ′ y + n ′ z = 0 {\displaystyle l'x+m'y+n'z=0}
± ( m n ′ − m ′ n ) sin A + ( n l ′ − n ′ l ) sin B + ( l m ′ − l ′ m ) sin C l l ′ + m m ′ + n n ′ − ( m n ′ + m ′ n ) cos A − ( n l ′ + n ′ l ) cos B − ( l m ′ + l ′ m ) cos C . {\displaystyle \pm {\frac {(mn'-m'n)\sin A+(nl'-n'l)\sin B+(lm'-l'm)\sin C}{ll'+mm'+nn'-(mn'+m'n)\cos A-(nl'+n'l)\cos B-(lm'+l'm)\cos C}}.} したがって、それらは [1]の場合に垂直である ：第49条
l l ′ + m m ′ + n n ′ − ( m n ′ + m ′ n ) cos A − ( n l ′ + n ′ l ) cos B − ( l m ′ + l ′ m ) cos C = 0. {\displaystyle ll'+mm'+nn'-(mn'+m'n)\cos A-(nl'+n'l)\cos B-(lm'+l'm)\cos C=0.}
高度 頂点 A から辺 BCまでの 高さ の式 は [1] ：p.98、#x
y cos B − z cos C = 0. {\displaystyle y\cos B-z\cos C=0.}
頂点からの距離で表した線 頂点 A、B、Cからの距離がそれぞれ p、q、r で、対辺が a、b、c である直線の方程式は [1] ：p.97、#viii である。
a p x + b q y + c r z = 0. {\displaystyle apx+bqy+crz=0.}
実際の距離の三線座標 座標値 a'、b'、c' が各辺に対する実際の垂直距離である三線は [1] ：p.11 を満たす。
a a ′ + b b ′ + c c ′ = 2 Δ {\displaystyle aa'+bb'+cc'=2\Delta } 三角形の辺a、b、c と面積 Δ について 。これはこの記事の冒頭の図で見ることができ、内点 P は三角形 △ ABC を3つの三角形 △ PBC 、△ PCA 、△ PAB に分割し、それぞれの面積は 1 2 a a ′ , 1 2 b b ′ , 1 2 c c ′ . {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}aa',{\tfrac {1}{2}}bb',{\tfrac {1}{2}}cc'.}
2点間の距離 実際の距離三線 a i : b i : c i を持つ2点間の距離 dは [1] : p. 46 で与えられる。
d 2 sin 2 C = ( a 1 − a 2 ) 2 + ( b 1 − b 2 ) 2 + 2 ( a 1 − a 2 ) ( b 1 − b 2 ) cos C {\displaystyle d^{2}\sin ^{2}C=(a_{1}-a_{2})^{2}+(b_{1}-b_{2})^{2}+2(a_{1}-a_{2})(b_{1}-b_{2})\cos C} あるいはより対称的な方法で
d 2 = a b c 4 Δ 2 ( a ( b 1 − b 2 ) ( c 2 − c 1 ) + b ( c 1 − c 2 ) ( a 2 − a 1 ) + c ( a 1 − a 2 ) ( b 2 − b 1 ) ) . {\displaystyle d^{2}={\frac {abc}{4\Delta ^{2}}}\left(a(b_{1}-b_{2})(c_{2}-c_{1})+b(c_{1}-c_{2})(a_{2}-a_{1})+c(a_{1}-a_{2})(b_{2}-b_{1})\right).}
点から線までの距離 実際の距離の三線座標における点 a' : b' : c' から直線までの 距離 dは [1] :p.48 である。 l x + m y + n z = 0 {\displaystyle lx+my+nz=0}
d = l a ′ + m b ′ + n c ′ l 2 + m 2 + n 2 − 2 m n cos A − 2 n l cos B − 2 l m cos C . {\displaystyle d={\frac {la'+mb'+nc'}{\sqrt {l^{2}+m^{2}+n^{2}-2mn\cos A-2nl\cos B-2lm\cos C}}}.}
二次曲線 変数三点 x : y : z における円錐曲線 の方程式は [1] :p.118 である。
r x 2 + s y 2 + t z 2 + 2 u y z + 2 v z x + 2 w x y = 0. {\displaystyle rx^{2}+sy^{2}+tz^{2}+2uyz+2vzx+2wxy=0.} 線形項も定数項 もありません 。
実際の距離座標 （ a'、b'、c' ） を中心とする半径 rの円の方程式は [1] ：p.287 である。
( x − a ′ ) 2 sin 2 A + ( y − b ′ ) 2 sin 2 B + ( z − c ′ ) 2 sin 2 C = 2 r 2 sin A sin B sin C . {\displaystyle (x-a')^{2}\sin 2A+(y-b')^{2}\sin 2B+(z-c')^{2}\sin 2C=2r^{2}\sin A\sin B\sin C.}
サーカムコニクス 三角形の外接 円錐曲線 の三線座標 x, y, z における方程式は [1] : p. 192 である。
l y z + m z x + n x y = 0. {\displaystyle lyz+mzx+nxy=0.} パラメータ l、m、nが それぞれ辺の長さ a、b、c （またはそれらの反対の角度の正弦）に等しい場合、式は 外接円 を与えます。 [1] ：p.199
それぞれの円錐曲線は、それ自身に固有の中心を持つ。円錐曲線の中心x' : y' : z' の三線座標における方程式は [1] :p.203 である。
y z ( x ′ − y ′ − z ′ ) + z x ( y ′ − z ′ − x ′ ) + x y ( z ′ − x ′ − y ′ ) = 0. {\displaystyle yz(x'-y'-z')+zx(y'-z'-x')+xy(z'-x'-y')=0.}
インコニクス 三角形に 内接する すべての円錐曲線は三線座標で方程式を持つ: [1] : p. 208
l 2 x 2 + m 2 y 2 + n 2 z 2 ± 2 m n y z ± 2 n l z x ± 2 l m x y = 0 , {\displaystyle l^{2}x^{2}+m^{2}y^{2}+n^{2}z^{2}\pm 2mnyz\pm 2nlzx\pm 2lmxy=0,} 指定されていない符号のうち 1 つまたは 3 つが負になります。
内接円 の方程式は 次のように簡略化できる [1] ：p.210、p.214
± x cos A 2 ± y cos B 2 ± z cos C 2 = 0 , {\displaystyle \pm {\sqrt {x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt {y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\frac {C}{2}}=0,} 一方、例えば 頂点 Aの反対側の辺に隣接する 外接円の式は [1] ：p.215 のように書くことができる。
± − x cos A 2 ± y cos B 2 ± z cos C 2 = 0. {\displaystyle \pm {\sqrt {-x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt {y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\frac {C}{2}}=0.}
3次曲線 多くの3次曲線は、三線座標を用いて簡単に表すことができます。例えば、ピボット自己同共役3次曲線 Z ( U, P )は、 X の P 同共役が直線 UX 上にあるような点 X の軌跡として、 行列式方程式で与えられます。
| x y z q r y z r p z x p q x y u v w | = 0. {\displaystyle {\begin{vmatrix}x&y&z\\qryz&rpzx&pqxy\\u&v&w\end{vmatrix}}=0.} 名前付き立方体 Z ( U, P ) には次のものがあります。
トムソン立方体 : Z ( X ( 2 ) , X ( 1 ) ) {\displaystyle Z(X(2),X(1))} 、ここで X ( 2 ) {\displaystyle X(2)} は 重心 、 X ( 1 ) {\displaystyle X(1)} は内心 です フォイエルバッハ立方体 : Z ( X ( 5 ) , X ( 1 ) ) {\displaystyle Z(X(5),X(1))} 、ここで は X ( 5 ) {\displaystyle X(5)} フォイエルバッハ点 である ダルブー立方体 ： Z ( X ( 20 ) , X ( 1 ) ) {\displaystyle Z(X(20),X(1))} 、ここで X ( 20 ) {\displaystyle X(20)} は ド・ロンシャン点 ノイベルグ三次方程式 : Z ( X ( 30 ) , X ( 1 ) ) {\displaystyle Z(X(30),X(1))} 、ここで は X ( 30 ) {\displaystyle X(30)} オイラー無限大点 です 。
コンバージョン
三線座標とサイドラインからの距離 点を見つけるために三線座標 x : y : z のいずれを選択した場合でも、その点から辺までの実際の距離は 、 a' = kx 、 b' = ky 、 c' = kz で与えられます。ここで、 k は 次の式で決定できます。 ここで 、 a、 b、 c はそれぞれ辺の長さ BC、 CA、 AB であり、 ∆は △ ABC の面積です 。 k = 2 Δ a x + b y + c z {\displaystyle k={\tfrac {2\Delta }{ax+by+cz}}}
重心座標と三線座標の間 三線座標x : y : z の点は、 重心座標 ax : by : cz を持ちます。 ここで 、a、b、cは三角形の辺の長さです。逆に、重心 α : β : γ の点 は、三線座標 α a : β b : γ c . {\displaystyle {\tfrac {\alpha }{a}}:{\tfrac {\beta }{b}}:{\tfrac {\gamma }{c}}.}
直交座標と三線座標の間 基準三角形 △ ABC が与えられ、頂点 Bの位置を順序付き 直交座標 のペアで表し 、これを 頂点 C を 原点として ベクトル として代数的に表します。同様に、頂点 B → , {\displaystyle {\vec {B}},} Aの位置ベクトルを と定義します。すると、 基準三角形 △ ABC に関連付けられた任意の点 P は 、直交座標系でベクトルとして定義できます。 この点 P が 三線座標 x : y : z を持つ場合、直交表現の係数 k 1 および k 2 から三線座標への変換式は、辺の長さが a、b、c で、反対側の頂点 A、B、C の場合、 A → . {\displaystyle {\vec {A}}.} P → = k 1 A → + k 2 B → . {\displaystyle {\vec {P}}=k_{1}{\vec {A}}+k_{2}{\vec {B}}.}
x : y : z = k 1 a : k 2 b : 1 − k 1 − k 2 c , {\displaystyle x:y:z={\frac {k_{1}}{a}}:{\frac {k_{2}}{b}}:{\frac {1-k_{1}-k_{2}}{c}},} そして、三線座標から直交座標の係数への変換式は
k 1 = a x a x + b y + c z , k 2 = b y a x + b y + c z . {\displaystyle k_{1}={\frac {ax}{ax+by+cz}},\quad k_{2}={\frac {by}{ax+by+cz}}.} より一般的には、任意の原点が選択され、頂点の直交座標が既知でベクトル A → , B → , C → {\displaystyle {\vec {A}},{\vec {B}},{\vec {C}}} で表される場合、点 P が 三線座標 x : y : z を持つとすると、 P → {\displaystyle {\vec {P}}} の直交座標は、重心座標 ax、by、cz を重みとして使用したこれらの頂点の直交座標の加重平均になります。したがって、三線座標 x、y、z から点の 直交座標ベクトル へ の 変換 P → {\displaystyle {\vec {P}}} 式は次のように与えられます。
P → = a x a x + b y + c z A → + b y a x + b y + c z B → + c z a x + b y + c z C → , {\displaystyle {\vec {P}}={\frac {ax}{ax+by+cz}}{\vec {A}}+{\frac {by}{ax+by+cz}}{\vec {B}}+{\frac {cz}{ax+by+cz}}{\vec {C}},} 辺の長さは
| C → − B → | = a , | A → − C → | = b , | B → − A → | = c . {\displaystyle {\begin{aligned}&|{\vec {C}}-{\vec {B}}|=a,\\&|{\vec {A}}-{\vec {C}}|=b,\\&|{\vec {B}}-{\vec {A}}|=c.\end{aligned}}}
参照
参考文献 ^ abcdefghijklmnopqrst William Allen Whitworth (1866) Trilinear Coordinates and Other Methods of Analytical Geometry of Two Dimensions: an elementary treatise、 コーネル大学 歴史数学モノグラフからのリンク。
外部リンク
