三項三角形

三項式三角形はパスカルの三角形の変形です。2つの違いは、三項式三角形の要素は、その上にある3つの要素（パスカルの三角形の2つではなく）の和であるということです

${\displaystyle {\begin{matrix}&&&&1\\&&&1&1&1\\&&1&2&3&2&1\\&1&3&6&7&6&3&1\\1&4&10&16&19&16&10&4&1\end{matrix}}}$

-番目の行の-番目のエントリは次のように表される。 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {n \choose k}_{2}}$。

行は0から数えられます。行のエントリは左から順にインデックスが付けられ、中央のエントリのインデックスは0です。中央のエントリを中心とした行のエントリの対称性は、次の関係で表されます ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle -n}$

${\displaystyle {n \choose k}_{2}={n \choose -k}_{2}}$

性質

第行は、三項式の第-乗展開の多項式展開における係数に対応する。^[1] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (1+x+x^{2})}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \left(1+x+x^{2}\right)^{n}=\sum _{j=0}^{2n}{n \choose j-n}_{2}x^{j}=\sum _{k=-n}^{n}{n \choose k}_{2}x^{n+k}}$

または、対称的に、

${\displaystyle \left(1+x+1/x\right)^{n}=\sum _{k=-n}^{n}{n \choose k}_{2}x^{k}}$、

多項式係数との関係から、三項式係数とも呼ばれます

${\displaystyle {n \choose k}_{2}=\sum _{\textstyle {0\leq \mu ,\nu \leq n \atop \mu +2\nu =n+k}}{\frac {n!}{\mu !\,\nu !\,(n-\mu -\nu )!}}}$

さらに、対角線には三角数との関係など、興味深い特性があります。

- 行目の要素の合計はです。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 3^{n}}$

漸化式

三項式係数は、次の漸化式を用いて生成できます。^[1]

${\displaystyle {0 \choose 0}_{2}=1}$、

${\displaystyle {n+1 \choose k}_{2}={n \choose k-1}_{2}+{n \choose k}_{2}+{n \choose k+1}_{2}}$のために、 ${\displaystyle n\geq 0}$

ここで、および です。 ${\displaystyle {n \choose k}_{2}=0}$ ${\displaystyle \ k<-n}$ ${\displaystyle \ k>n}$

中心三項係数

三項三角形の中央の要素

1、1、3、7、19、51、141、393、1107、3139、…（OEISのシーケンスA002426）

はオイラーによって研究され、中心三項係数として知られています。

唯一知られている素数の中心三項係数は、n = 2、3、4 における 3、7、19 です。

次中心三項係数は次のように与えられる。 ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {n \choose 0}_{2}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {n(n-1)\cdots (n-2k+1)}{(k!)^{2}}}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose 2k}{2k \choose k}.}$

それらの生成関数は^[2]である。

${\displaystyle 1+x+3x^{2}+7x^{3}+19x^{4}+\ldots ={\frac {1}{\sqrt {(1+x)(1-3x)}}}.}$

オイラーは、次のような記憶に残る帰納法（「誤った帰納法の注目に値する例」）の例を指摘しました。

${\displaystyle 3{n+1 \choose 0}_{2}-{n+2 \choose 0}_{2}=F_{n}(F_{n}+1)}$のために、 ${\displaystyle 0\leq n\leq 7}$

ここではn番目のフィボナッチ数である。しかし、 がより大きな数の場合、この関係は誤りである。ジョージ・アンドリュースは、この誤りを一般恒等式^{[3]を用いて説明した。} ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle 2\sum _{k\in \mathbb {Z} }\left[{n+1 \choose 10k}_{2}-{n+1 \choose 10k+1}_{2}\right]=F_{n}(F_{n}+1).}$

応用

チェスにおいて

最小の移動回数でマス目に到達する方法の数

三角形は、チェスのゲームにおいてキングが取り得る経路の数に対応しています。セル内のエントリは、キングがそのセルに到達するために取り得る経路の数（最小移動回数で）を表しています。

組合せ論において

の展開におけるの係数は、2組の同じトランプカードからそれぞれカードを引く異なる方法の数を与えます。^[4]例えば、3枚のカードA、B、Cの2組から、異なる引き方は次のとおりです ${\displaystyle x^{k}}$ ${\displaystyle \left(1+x+x^{2}\right)^{n}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$

選択したカードの数	選択肢の数	選択肢
0	1
1	3	A、B、C
2	6	AA、AB、AC、BB、BC、CC
3	7	AAB、AAC、ABB、ABC、ACC、BBC、BCC
4	6	AABB、AABC、AACC、ABBC、ABCC、BBCC
5	3	AABBC、AABCC、ABBCC
6	1	AABBCC

例えば、

${\displaystyle 6={3 \choose 2-3}_{2}={3 \choose 0}{3 \choose 2}+{3 \choose 1}{2 \choose 0}=1\cdot 3+3\cdot 1}$。

特に、これはカードゲーム「ドッペルコップフ」における 異なる手札の数を求める公式を提供します ${\displaystyle {24 \choose 12-24}_{2}={24 \choose -12}_{2}={24 \choose 12}_{2}}$

あるいは、2つのセットから同じカードのペアを選ぶ方法の数、つまり二項係数を考えることでこの式を導くことも可能である。残りのカードは^[4]通りの方法で選ぶことができ、これは二項係数を用いて次のように表すことができる 。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {n \choose p}}$ ${\displaystyle k-2p}$ ${\displaystyle {n-p \choose k-2p}}$

${\displaystyle {n \choose k-n}_{2}=\sum _{p=\max(0,k-n)}^{\min(n,[k/2])}{n \choose p}{n-p \choose k-2p}}$。

上記の例は、同じカードのペアがない 2 枚のカードを選択する 3 つの方法 (AB、AC、BC) と、同じカードのペアを選択する 3 つの方法 (AA、BB、CC) に対応しています。

参考文献

1. Weisstein, Eric W.「三項式係数」MathWorld
2. Weisstein, Eric W.「中心三項式係数」。MathWorld。
3. ジョージ・アンドリュース、パーティションの 3 つの側面。Séminaire Lotharingien de Combinatoire、B25f (1990) オンライン コピー
4. Andreas Stiller: Pärchenmathematik.トリノミアーレとドッペルコップ。 (「ペア数学。三項式とドッペルコップフのゲーム」)。2005 年 10 号、p. 2 を参照してください。 181ff

さらに詳しい情報

• レオンハルト・オイラー( 1767). 「分析的観察」. Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae . 11 : 124–143

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