円柱

Three-dimensional solid

円柱
その他の用法については、「シリンダー（曖昧さ回避）」を参照してください
高さh 、直径d =2 rの直円柱	種類
滑らかな面　代数面	オイラー曲線
2	対称群
O(2)×O(1)	表面積
2πr(r + h)	体積

円筒（古代ギリシャ語のκύλινδρος ( kúlindros ) 「ローラー、タンブラー」に由来）^[1]は、伝統的に三次元立体であり、最も基本的な曲線幾何学形状の1つです。初等幾何学では、円を底とする角柱と考えられています  

円筒は、現代の幾何学や位相幾何学の様々な分野において、無限の曲面として定義されることもあります。基本的な意味の変化（固体と表面（固体球と球面など））により、用語に曖昧さが生じています。この2つの概念は、固体円筒と円筒面を指すことで区別できます。文献では、簡素な用語「円筒」は、これらのいずれか、またはさらに特殊な物体である直円筒を指す場合があります。

種類

このセクションの定義と結果は、ジョージ・A・ウェントワースとデイビッド・ユージン・スミスによる1913年の著書『平面幾何学と立体幾何学』（Wentworth & Smith 1913） から引用されています

円筒面とは、与えられた直線に平行で、かつ与えられた直線に平行ではない平面上の固定された平面曲線を通るすべての直線上の点すべてからなる面です。この平行線族の任意の直線は、円筒面の要素と呼ばれます。運動学の観点から見ると、準線と呼ばれる平面曲線が与えられたとき、円筒面とは、準線平面上になく、常に準線を通る母線と呼ばれる直線によって描かれる面です。母線の任意の特定の位置は、円筒面の要素です。

直円筒と斜円筒

円筒面と2つの平行平面で囲まれた立体は、（立体）円筒と呼ばれます。2つの平行平面間の円筒面の要素によって決定される線分は、円筒の要素と呼ばれます。円筒のすべての要素は等しい長さを持ちます。平行平面のいずれかにおいて円筒面によって囲まれた領域は、円筒の底と呼ばれます。円筒の2つの底は合同な図形です。円筒の要素が底を含む平面に垂直である場合、円筒は直円筒と呼ばれ、そうでない場合は斜円筒と呼ばれます。底が円板（境界が円である領域）である場合、円筒は円柱と呼ばれます。いくつかの基本的な扱いでは、円筒は常に円柱を意味します。^[2]開円筒は、底のない円筒面です。^[要出典]

円筒の高さ（または高度）は、底間の垂直距離です

線分を、それと平行な固定線を中心に回転させて得られる円筒を回転円筒といいます。回転円筒は直円柱です。回転円筒の高さは、母線の長さです。線分が回転する中心となる直線は円筒の軸と呼ばれ、2つの底の中心を通ります。

半径r、高さhの直円柱

直円柱

単に「円筒」という用語は、多くの場合、軸に垂直な円形の両端を持つ立体の円筒、つまり図に示すように直円柱を指します。両端のない円筒面は開円筒と呼ばれます。直円柱の表面積と体積の公式は、古代から知られていました

直円筒は、長方形をその1つの辺を中心に回転させることによって生成される回転体と考えることもできる。これらの円筒は、回転体の体積を求める積分法（「円板法」）で用いられる。^[3]

細長い針状円筒は高さが直径よりもはるかに大きいのに対し、短く幅の広い円板状円筒は直径が高さよりもはるかに大きいです。

性質

円筒断面

円筒断面

円筒断面とは、円筒の表面と平面の交差のことです。これらは一般的に曲線であり、平面断面の特殊なタイプです。円筒の2つの要素を含む平面による円筒断面は平行四辺形です。^[4]このような直円筒の円筒断面は長方形です。^[4]

交差面が円筒のすべての要素と交差し、垂直になる円筒断面は直角断面と呼ばれます。^[5]円筒の直角断面が円の場合、その円筒は円柱です。より一般的には、円筒の直角断面が円錐断面（放物線、楕円、双曲線）の場合、その立体円筒はそれぞれ放物線、楕円、双曲面と呼ばれます。

直円柱の円筒断面

直円柱の場合、平面が円柱と交わる方法はいくつかあります。まず、底辺と最大 1 点で交差する平面です。平面が円柱と 1 つの要素で交わる場合、その平面は円柱に接します。直断面は円で、その他の平面はすべて楕円で円筒面と交わります。^[6]平面が円柱の底辺とちょうど 2 点で交差する場合、これらの点を結ぶ線分は円筒断面の一部です。このような平面が 2 つの要素を含む場合、円筒断面は長方形になり、そうでない場合は円筒断面の辺は楕円の一部になります。最後に、平面が底辺の 3 点以上を含む場合、平面には底辺全体が含まれ、円筒断面は円になります。

楕円形の円筒断面を持つ直円柱の場合、円筒断面の離心率 eと円筒断面の長半径 aは、円筒の半径rと割線面と円筒軸の間の角度αによって次のように決まります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}e&=\cos \alpha ,\\[1ex]a&={\frac {r}{\sin \alpha }}.\end{aligned}}}$$

2πr(r + h)

円柱の底部の半径が rで、高さがhの場合、その体積は次のように表されます。 $${\displaystyle V=\pi r^{2}h}$$

この式は、円筒が直円柱であるかどうかに関係なく成り立ち。 ^[7]

この式は、カヴァリエリの原理を用いることで確立できます。

底楕円の半軸aとb 、高さhを持つ立体楕円直柱

より一般的には、同じ原理により、あらゆる柱の体積は底面積と高さの積です。例えば、底楕円の長軸半軸 a、短軸半軸b、高さhを持つ楕円柱の体積はV = Ahです。ここで、Aは底楕円の面積（= π ab）です。直楕円柱のこの結果は積分によっても得られます。ここで、柱の軸を正のx軸とし、A ( x ) = Aを各楕円断面積とします。したがって、 $${\displaystyle V=\int _{0}^{h}A(x)dx=\int _{0}^{h}\pi abdx=\pi ab\int _{0}^{h}dx=\pi abh.}$$

円筒座標を用いると、直円柱の体積は積分によって計算できます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}V&=\int _{0}^{h}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}s\,\,ds\,d\phi \,dz\\[5mu]&=\pi \,r^{2}\,h.\end{aligned}}}$$

O(2)×O(1)

半径r、高さhを持つ直円柱の表面積は、軸が垂直になるように配置され、3つの部分から構成されます。

• の面積：πr ²
• 下底の面積：πr 2
• 側面の面積：2πrh

上底と下底の面積は同じで、底面積Bと呼ばれます。側面の面積は側面積Lと呼ばれます。

開いた円柱に上面も底面も含まれていないため、表面積（側面積）があります。 $${\displaystyle L=2\pi rh}$$

立体直円柱の表面積は、上面、底面、側面の3つの要素の合計で構成されます。したがって、その表面積はd = 2 rです。ここで、d = 2 rは円形の上または下の直径です $${\displaystyle A=L+2B=2\pi rh+2\pi r^{2}=2\pi r(h+r)=\pi d(r+h)}$$

体積が与えられた場合、表面積が最小の直円柱はh = 2 rです。同様に、表面積が与えられた場合、体積が最大の直円柱はh = 2 rです。つまり、円柱は、辺の長さ = 高さ（ = 底円の直径）の立方体にぴったり収まります。^[8]

円柱（必ずしも直円柱である必要はありません）の側積Lは、より一般的には次のように表されます。 ここで、eは要素の長さ、pは円柱の直断面の周囲長です。^[9]これにより、円柱が直円柱の場合の側積の前述の式が得られます。 $${\displaystyle L=e\times p,}$$

直円柱（円筒殻）

中空円筒

直円柱（または円筒殻）は、図のように、同じ軸を持つ2つの直円柱と、それらの共通軸に垂直な2つの平行な環状底によって囲まれた3次元領域です。

高さをh、内半径をr、外半径をRとします。体積は、外側の円筒の体積から内側の仮想円筒（つまり中空空間）の体積を差し引くことで求められます。 したがって、円筒殻の体積は2π ×平均半径×高さ× 厚さに等しくなります。^[10] $${\displaystyle V=\pi \left(R^{2}-r^{2}\right)h=2\pi \left({\frac {R+r}{2}}\right)h(R-r).}$$  

上面と底面を含む表面積は、次のように与えられます。円筒殻は、体の体積を求めるための一般的な積分法で使用されます。^[11] $${\displaystyle A=2\pi \left(R+r\right)h+2\pi \left(R^{2}-r^{2}\right).}$$

球と円柱について

球の体積と表面積は、底面を含めた外接円柱の2/3です。

紀元前 225年頃に書かれたこの名の論文で、アルキメデスは彼が最も誇りに思う成果、すなわち、球と、同じ高さと直径の外接直円柱との関係を利用して、球の体積と表面積の公式を得ました。球の体積は外接円柱の3分の2、表面積は 円柱（底面を含む）の3分の2です。円柱の値は既に知られていたため、彼は初めて球の対応する値を得ました。半径rの球の体積は 4/3π r 3 = オイラー曲線/3⁠ (2 π r ³ )。この球の表面積は4 π r ² = ⁠です。オイラー曲線/3⁠ ( 6πr2 ) 。アルキメデスの要請により、彫刻された球と円筒^が彼の墓に置かれました。

円筒面

幾何学と位相幾何学の一部の分野では、 「円筒」という用語は円筒面と呼ばれるものを指します。円筒とは、与えられた直線に平行で、かつ与えられた直線に平行ではない平面上の固定された平面曲線を通るすべての直線上の点すべてからなる面として定義されます。^{[12]このような円筒は、}一般化円筒と呼ばれることもあります。一般化円筒の各点には、円筒内に含まれる唯一の直線が通っています。^[13]したがって、この定義は、円筒とは、1つのパラメータを持つ平行線の族によって張られる任意の線織面であると言い換えることができます

断面が楕円、放物線、双曲線である円柱は、それぞれ楕円柱、放物線柱、双曲線柱 と呼ばれます。これらは退化した二次曲面です。^[14]

放物柱

二次曲面の主軸が参照フレームと一致している場合（二次曲面では必ず可能です）、3次元における二次曲面の一般的な方程式は次のように与えられます。ここで、係数は実数であり、 A、B、Cのすべてが0になるわけではありません。方程式に少なくとも1つの変数が現れない場合、二次曲面は退化しています。1つの変数が欠けている場合、適切な軸の回転によって変数zが現れないと仮定することができ、このタイプの退化した二次曲面の一般的な方程式は次のように表すことができます^[15]。ここで $${\displaystyle f(x,y,z)=Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+Dx+Ey+Gz+H=0,}$$ $${\displaystyle A\left(x+{\frac {D}{2A}}\right)^{2}+B\left(y+{\frac {E}{2B}}\right)^{2}=\rho ,}$$ $${\displaystyle \rho =-H+{\frac {D^{2}}{4A}}+{\frac {E^{2}}{4B}}.}$$

楕円柱

AB > 0の場合、これは楕円柱の方程式です。^[15]軸の移動とスカラー倍算によって、さらに簡略化できます。 が係数AおよびBと同じ符号を持つ場合、楕円柱の方程式は直交座標で次のように書き直すことができます。 この楕円柱の方程式は、通常の円柱の方程式( a = b ) の一般化です。楕円柱はシリンドロイドとも呼ばれますが、この名称は曖昧で、プルッカー円錐体を指すこともあります。 ${\displaystyle \rho }$ $${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1.}$$

が係数と異なる符号を持つ場合、虚楕円柱が得られます。これには実点がありません。(は単一の実点を与えます。) ${\displaystyle \rho }$ $${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=-1,}$$ ${\displaystyle \rho =0}$

双曲柱

AとB が異なる符号を持ち、の場合、双曲柱が得られ、その方程式は次のように書き直すことができます。 ${\displaystyle \rho \neq 0}$ $${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1.}$$

放物柱

最後に、AB = 0の場合、一般性を失うことなく、B = 0、A = 1と仮定すると、次のように書ける方程式で放物面柱が得られます。 ^[16] $${\displaystyle x^{2}+2ay=0.}$$

射影幾何学において、円柱とは、頂点が無限遠にある円錐であり、視覚的には、遠近法で空に向かって円錐のように見える円柱に対応します。

射影幾何学

射影幾何学において、円柱とは、頂点（頂点）が無限遠平面上にある円錐のことです。円錐が2次円錐の場合、無限遠平面（頂点を通る）は、2本の実数直線、1本の実数直線（実際には一致する2本の直線）、または頂点のみで円錐と交差します。これらの場合、それぞれ双曲円柱、放物円柱、または楕円円柱となります。^[17]

この概念は、円筒円錐を含む可能性のある退化した円錐を考慮するときに役立ちます。

プリズム

コペンハーゲンのティコ・ブラーエ天文館は、円錐台形の例です

円柱は、nが無限大に近づくn角柱の極限ケースと見ることができます。この関連性は非常に強く、多くの古い文献では角柱と円柱を同時に扱っています。表面積と体積の公式は、内接角柱と外接角柱を用いて角柱の辺の数を無限に増加させることで、角柱の対応する公式から導き出されます。^[18]円柱が初期に強調され（そして時には排他的に扱われた）理由の1つは、この手法が基本的な考慮のみを用いて（微積分やより高度な数学に頼ることなく）機能する唯一の幾何学的図形であるためです。角柱と円柱に関する用語は同じです。したがって、例えば、切頂角柱は底面が平行平面上にない角柱であるため、底面が平行平面上にない立体円柱は切頂円柱と呼ばれます

多面体の観点から見ると、円柱は無限辺を持つ両錐体である双円錐の双対として見ることもできます。

一様 n角柱の族 v t e
柱の名称	二角柱	（三角柱） 三角柱	（四角柱） 四角柱	五角柱	六角柱	七角柱	八角柱	六角柱	十角柱	十二角柱	…	非球面柱	多面体画像
球面タイリング画像												非球面柱
平面タイリング画像												頂点構成
2.4.4	3.4.4	4.4.4	5.4.4	6.4.4	7.4.4	8.4.4	9.4.4	10.4.4	11.4.4	12.4.4	…	∞.4.4	コクセター図
参照												非球面柱

[編集]

• シュタインメッツ立体、2つまたは3つの垂直な円筒の交差
• 注釈

^ κύλινδροςウェイバックマシンに2013年7月30日にアーカイブ、ヘンリー・ジョージ・リデル、ロバート・スコット著『ギリシャ語-英語辞典』 、ペルセウス社

1. κύλινδρος Archived 2013-07-30 at the Wayback Machine, Henry George Liddell, Robert Scott, A Greek-English Lexicon, on Perseus
2.  ^スウォコウスキー1983、283ページ
3. Swokowski 1983, p. 283.
4. Wentworth & Smith 1913, p. 354.
5. Wentworth & Smith 1913, p. 357.
6. 「円筒断面」, MathWorld
7. Wentworth & Smith 1913, p. 359.
8. Lax, Peter D. ; Terrell, Maria Shea (2013), Calculus With Applications, Springer, p. 178, ISBN 9781461479468.
9. Wentworth & Smith 1913, p. 358
10. Swokowski 1983, p. 292.
11. Swokowski 1983, p. 291.
12. Albert 2016, p. 43.
13. Albert 2016, p. 49.
14. Brannan , A.; Esplen, Matthew F.; Gray, Jeremy J. (1999)『学』、ケンブリッジ大学出版局、34ページ、ISBN 978-0-521-59787-6
15. Albert 2016, p. 74.
16. Albert 2016, p. 75.
17. ダン・ペドー (1988) [1970],幾何学 総合講座, ドーバー, p. 398, ISBN 0-486-65812-0
18. Slaught, HE ; Lennes, NJ (1919), Solid Geometry with Problems and Applications (PDF) (Rev. ed.), Allyn and Bacon, pp.  79– 81

参考文献

• アブラハム・エイドリアン・アルバート (2016) [1949],立体解析幾何学, ドーバー, ISBN 978-0-486-81026-3
• アール・W・スウォコウスキー (1983),微積分と解析幾何学(別版), Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 0-87150-341-7
• ウェントワース、ジョージ；スミス、デイヴィッド・ユージン（1913）『平面幾何学と立体幾何学』、ギン・アンド・カンパニー

外部リンク

• ワイススタイン、エリック・W.「円筒」。MathWorld
• MATHguideにおける円柱の体積

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