均一な境界

関数の性質

数学において、一様有界 関数族とは、すべてが同じ定数で有界となる有界関数族のことである。この定数は、族内の任意の関数の任意の値の絶対値以上である。

意味

実直線と複素平面

させて

${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{f_{i}:X\to \mathbb {K} ,i\in I\}}$

を添え字とする関数の族とする。ここでは任意の集合であり、は実数または複素数の集合である。一様有界とは、 ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle M>0}$

${\displaystyle |f_{i}(x)|\leq M\ ,\qquad \forall i\in I\ ,\quad \forall x\in X.}$

これを別の言い方で言うと次のようになります。

${\displaystyle \sup \limits _{i\in I}\sup \limits _{x\in X}|f_{i}(x)|\leq M.}$

計量空間

一般に、を計量 を持つ計量空間とすると、集合 ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{f_{i}:X\to Y,i\in I\}}$

が一様有界であるとは、実数から成り、かつ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle d(f_{i}(x),a)\leq M\qquad \forall i\in I\quad \forall x\in X.}$

例

• すべての一様収束する有界関数の列は一様有界です。
• 整数を通過する実数 に対して定義された関数の族は、1 によって一様に制限されます。 ${\displaystyle f_{n}(x)=\sin nx}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n}$
• 上記の族の導関数族は一様有界ではない。それぞれは有界だが、すべての整数に対して ${\displaystyle f'_{n}(x)=n\,\cos nx,}$ ${\displaystyle f'_{n}}$ ${\displaystyle |n|,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle |n|\leq M}$ ${\displaystyle n.}$

参考文献

• 馬, 崔武 (2002).バナッハ–ヒルベルト空間、ベクトル測度、群表現. World Scientific. 620頁. ISBN 981-238-038-8。

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