均一多面体

凸一様多面体
2D3D

コクセター図を伴う切頂三角形または一様六角形 。
切頂八面体、
4D5D

切り詰められた16セル、
切断型5-オルソプレックス、

幾何学において、3次元以上の一様多面体は、一様面によって囲まれた頂点推移 多面体である。ここで「頂点推移的」とは、すべての頂点が他のすべての頂点に対称性を持つことを意味する。多面体の低次元面内でも同様の対称性が成り立つ。2次元（および高次元多面体の2次元面）では、より厳密な定義が用いられる。すなわち、正多角形のみが一様であるとみなされ、2つの異なる長さの辺が交互に現れる多角形は認められない。

これは、古いカテゴリである半正多面体の一般化ですが、正多面体も含みます。さらに、星型正面と頂点図形（星型多角形）が許容されるため、解の可能性は大幅に広がります。厳密な定義では、一様多面体は有限である必要がありますが、より拡張的な定義では、ユークリッド空間と双曲空間の一様ハニカム（2次元タイリングや高次元ハニカム）も多面体とみなすことができます。

オペレーション

ほぼすべての一様多面体はウィトフ構成によって生成され、コクセター図によって表すことができます。注目すべき例外としては、 3次元における大二菱形十二面体と4次元における大反プリズムが挙げられます。

同様に、ウィソフ多面体は、その次元の正多面体に基本演算を適用することで生成できます。このアプローチはヨハネス・ケプラーによって初めて用いられ、コンウェイ多面体記法の基礎となっています。

整流演算子

正n次元多面体にはn次の平行化があります。0次の平行化は元の形です。( n −1)次の平行化は双対です。平行化は辺を頂点に、 2次の平行化は面を頂点に、 3次の平行化はセルを頂点に、4次の平行化は4面を頂点に、 5次の平行化は5面を頂点に、といった具合です。

拡張されたシュレーフリ記号は、単一の下付き文字を持つ修正形式を表すために使用できます。

  • k番目の整流 = t k {p 1 , p 2 , ..., p n−1 } = k r。

切り捨て演算子

正n-多面体に対して任意の組み合わせで適用できる切断演算。結果として得られるコクセター図には2つの環状ノードがあり、この演算はそれらの間の距離にちなんで名付けられています。 切断は頂点を、カンテレーションは辺を、ランシネーションは面を、ステリアリケーションはセルを切断します。より高次の演算はより低次の演算も切断するため、カンテレーションは頂点も切断します。

  1. t 0,1またはt :切り捨て-多角形以上に適用されます。切り捨ては頂点を削除し、以前の頂点の代わりに新しい面を挿入します。面は切り捨てられ、辺が2倍になります。（ケプラーによって造られたこの用語は、ラテン語のtruncare（切り取る）に由来します。）
    • より高次の切り捨てもあります:ビット切り捨て t 1、2または2t、トリ切り捨て t 2、3または3t、クアド切り捨て t 3、4または4t、クイント切り捨て t 4、5または5tなど。
  2. t 0,2またはrr :カンテレーション-多面体以上に適用されます。これは、その直角化を直角化するものと見ることができます。カンテレーションは、頂点と辺の両方を切り詰め、新しい面に置き換えます。セルは、位相的に拡張された自身のコピーに置き換えられます。（ジョンソンによって造られたこの用語は、ベベルと同様に、斜めの面で切るという意味の動詞cantに由来します。）
  3. t 0,3 :ランシネーション-均一4次元多面体以上に適用されます。ランシネーションは頂点、辺、面を切り捨て、それぞれを新しいファセットに置き換えます。4次元面は、位相的に拡張されたコピーに置き換えられます。（ジョンソンによって造られたこの用語は、ラテン語のruncina（大工の平面）に由来します。）
    • より高次のランシネーションも存在します:バイランシネーション t 1,4、トリランシネーション t 2,5など。
  4. t 0,4または2r2r :立体化-一様5次元多面体以上に適用されます。立体化は頂点、辺、面、セルを切り詰め、それぞれを新しい面に置き換えます。5次元面は、位相的に拡張された自身のコピーに置き換えられます。（ジョンソンによって造語されたこの用語は、ギリシャ語の「立体」を意味するstereosに由来します。）
    • より高次の立体配座も存在します：ビステリケーション t 1,5または2r3r、トリステリケーション t 2,6または2r4rなど。
    • t 0,2,4または2t2r :立体配置-均一な 5 次元多面体以上に適用されます。
      • より高次の立体配座も存在します：ビステリカンテレーション t 1,3,5または2t3r、トリステリカンテレーション t 2,4,6または2t4rなど。
  5. t 0,5 :ペンテレーション-均一な6次元多面体以上に適用されます。ペンテレーションは、頂点、辺、面、セル、および4次元面を切り捨て、それぞれを新しい面に置き換えます。6次元面は、位相的に拡張されたコピーに置き換えられます。(ペンテレーションはギリシャ語の「5」を意味するpenteに由来します。)
    • さらに高次のペンテレーションも存在します:バイペンテレーション t 1,6、トリペンテレーション t 2,7など。
  6. t 0,6または3r3r :ヘキシケーション- 7次元以上の均一多面体に適用されます。ヘキシケーションは、頂点、辺、面、セル、4面、5面を切り捨て、それぞれを新しい面に置き換えます。7面は、位相的に拡張された自身のコピーに置き換えられます。(ヘキシケーションはギリシャ語の16進数「6」に由来します。 )
    • より高次のヘキサシケーションも存在します:ビヘキサシケーション: t 1,7または3r4r、トリヘキサシケーション: t 2,8または3r5r、など。
    • t 0,3,6または3t3r :六分円化-均一な 7 次元多面体以上に適用されます。
      • より高次のヘキシルンシネーションも存在します：ビヘキシルンシネーション：t 1,4,7または3t4r、トリヘキシルンシネーション：t 2,5,8または3t5r、など。
  7. t 0,7 :ヘプテレーション-均一な8次元多面体以上に適用されます。ヘプテレーションは、頂点、辺、面、セル、4次元面、5次元面、6次元面を切り捨て、それぞれを新しい面に置き換えます。8次元面は、位相的に拡張された自身のコピーに置き換えられます。(ヘプテレーションはギリシャ語の「7」を意味するheptaに由来します。)
    • さらに高次のヘプテレーションも存在します:ビヘプテレーション t 1,8、トリヘプテレーション t 2,9など。
  8. t 0,8または4r4r :オクテレーション-均一な 9 次元多面体以上に適用されます。
  9. t 0,9 : Ennecation -均一な 10 次元多面体以上に適用されます。

さらに、複数の切り捨てを組み合わせて行うことで、新たな一様多面体を生成することもできます。例えば、ランシトランケーション（runcitruncation）は、ランシネーションと切り捨てを同時に適用したものです。

すべての切り捨てが一度に適用される場合、その操作はより一般的にはomnitruncationと呼ばれます。

交替

切頂立方八面体を交互に重ねると、スナブ立方体が生成されます。

交代操作と呼ばれる特別な操作は、偶数辺のみを持つ多面体から交代頂点を削除します。交代された全切頂多面体はスナブと呼ばれます。

結果として得られる多面体は常に構築可能であり、一般に反射的ではなく、また一般に均一な多面体解を持ちません。

超立方体を交互に配置することで形成される多面体の集合は、半立方体と呼ばれます。三次元では四面体、四次元では16セル、つまり半半立方体になります。

頂点図形

一様多面体は、頂点図形、つまり各頂点の周りの辺、面、セルなどの配置から構成できます。コクセター図で表される一様多面体は、リングでアクティブミラーを示す鏡映対称性を持ち、頂点図形の再帰鏡映によって簡単に構成できます。

少数の非反射一様多面体は、頂点図形が1つであるものの、単純な反射では重複しません。これらのほとんどは、他の一様多面体の交代などの操作で表現できます。

単環コクセター図の頂点図形は、図から環ノードを削除し、隣接するノードを環化することで構成できる。このような頂点図形は、それ自体が頂点推移的である。

多重環多面体は、やや複雑な構築手順で構築され、その位相は一様多面体ではありません。例えば、切頂正多面体（2つの環を持つ）の頂点図形はピラミッドです。全切頂多面体（すべての頂点が環を持つ）は、必ず不規則単体を頂点図形として持ちます。

円周半径

一様多面体は辺の長さが等しく、すべての頂点は中心から等距離にあり、これを外接半径と呼びます。

外接半径が辺の長さに等しい一様多面体は、一様ハニカムの頂点図形として用いることができます。例えば、正六角形は6つの正三角形に分割され、正三角形のタイリングの頂点図形となります。また、立方八面体は8つの正四面体と6つの正四角錐（半八面体）に分割され、交互立方ハニカムの頂点図形となります。

次元による均一多面体

一様多面体を次元で分類すると便利です。これは、コクセター図のノード数、あるいはウィソフ構成における超平面の数に相当します。( n +1)次元多面体はn次元球面空間のタイリングであるため、 n次元ユークリッド空間および双曲空間のタイリングも( n +1)次元とみなされます。したがって、2次元空間のタイリングは3次元立体と同じグループに分類されます。

1次元

唯一の一次元多面体は線分である。これはコクセター族A 1に対応する。

2次元

二次元には、凸一様多面体の無限族、すなわち正多角形が存在し、最も単純なものは正三角形です。正多角形を切頂すると、辺数が2倍の2色幾何学的に準正多角形（t{p}={2p}）になります。最初のいくつかの正多角形（および準正多角形）を以下に示します。

名前三角形
（2単体）		正方形
（2-正方体）
（2-立方体）		五角形六角形七角形八角形エニアゴンデカゴン12角形
シュレーフリ{3}{4}
t{2}		{5}{6}
t{3}		{7}{8}
t{4}		{9}{10}
t{5}		{11}
コクセター
図



画像



名前十二角形十三角形14角形五角形16角形17角形八角形十角形イコサゴン
シュレーフリ{12}
t{6}		{13}{14}
t{7}		{15}{16}
t{8}		{17}{18}
t{9}		{19}{20}
t{10}
コクセター
図




画像




星型多角形も無限に存在します（ 2より大きい有理数ごとに1つずつ）。ただし、これらは非凸です。最も単純な例は五芒星で、これは有理数 5/2 に対応します。正多角形 {p/q} は、半正多角形 t{p/q}=t{2p/q} に切り詰めることができますが、qが偶数の場合は二重被覆になります。切り詰めは、逆向きの多角形 t{p/(p−q)}={2p/(p−q)} にも適用できます。例えば、t{5/3}={10/3} となります。

名前五芒星ヘプタグラム八芒星エニアグラムデカグラム... nアグラム
シュレーフリ{5/2}{7/2}{7/3}{8/3}
t{4/3}		{9/2}{9/4}{10/3}
t{5/3}		{ p/q }
コクセター
図

画像

 

正多角形は、 p角形を表すシュレーフリ記号{p}で表されます。正多角形は自己双対であるため、平行化処理によって同じ多角形が生成されます。一様切断操作は、辺を2倍にして{2p}にします。スナブ操作は、切断を交互に行うことで、元の多角形{p}を復元します。したがって、すべての一様多角形は正多角形でもあります。以下の操作を正多角形に対して行うことで、一様多角形（これも正多角形です）を導くことができます。

手術拡張
シュレーフリ
記号		通常の
結果		コクセター
図		位置対称
（1）（0）
親{p}t 0 {p}{p}{}--[p]
(2pの順序)
整流
（デュアル）		r{p}t 1 {p}{p}--{}[p]
(2pの順序)
切り捨てt{p}t 0,1 {p}{2ページ}{}{}[[p]]=[2p]
(4pの位数)
半分h{2p}{p}----[1 + ,2p]=[p]
(2pの順序)
冷遇s{p}{p}----[[p]] + =[p]
(2pの位数)

三次元

三次元では状況はさらに面白くなります。プラトン立体として知られる凸正多面体は5つあります。

名前シュレーフリ
{p,q}		図
画像
（透明）		画像
（ソリッド）		画像
（球体）		顔
{p}		エッジ頂点
{q}		対称デュアル
四面体
（3単体）
（ピラミッド）		{3,3}4
{3}		64
{3}		T d（自己）
立方体
（3面体）
（六面体）		{4,3}6
{4}		128
{3}		おお​八面体
八面体
（3-正複合体）		{3,4}8
{3}		126
{4}		おお​キューブ
十二面体{5,3}12
{5}		3020
{3}2		私は二十面体
二十面体{3,5}20
{3}		3012
{5}		私は十二面体

これらに加えて、13 個の半正多面体、つまりアルキメデスの立体も存在します。これらは、次の表に示すように、ウィトフの構築、またはプラトン立体に対する切り捨てなどの操作を実行することによって取得できます。

親切り捨て修正済みビットトランケート
（tr. デュアル）		双曲変換
（デュアル）		カンテラテッド全頭切断型
（カンティ切断型）		冷遇
正四面体
3-3-2
{3,3}
（3.6.6）
（3.3.3.3）
（3.6.6）
{3,3}
（3.4.3.4）
（4.6.6）
（3.3.3.3.3）
八面体
4-3-2
{4,3}
（3.8.8）
（3.4.3.4）
（4.6.6）
{3,4}
（3.4.4.4）
（4.6.8）
（3.3.3.3.4）
正二十面体
5-3-2
{5,3}
（3.10.10）
（3.5.3.5）
（5.6.6）
{3,5}
（3.4.5.4）
（4.6.10）
（3.3.3.3.5）

また、各正多角形ごとに 1 つずつ、無限のプリズムセットと、対応する反プリズムセットも存在します。

#名前写真タイル張り頂点
図形		図表
とシュレーフリ
記号
P 2pプリズム
tr{2,p}
A pアンチプリズム
sr{2,p}

均一な星型多面体には、さらに4つの正星型多面体、ケプラー・ポアンソ多面体、そして53個の半正星型多面体が含まれます。また、星型プリズム（星型多面体ごとに1つ）と星型反プリズム（3/2より大きい有理数ごとに1つ）という2つの無限集合も存在します。

建設

ウィトフ一様多面体とタイリングは、その基本領域を指定するウィトフ記号によって定義できます。コクセターも用いたシュレーフリ記法の拡張は、すべての次元に適用されます。これは、文字「t」に続いてコクセター図の環状ノードに対応する一連の下付き数字が続き、最後に正則シード多面体のシュレーフリ記号が続きます。例えば、切頂八面体はt 0,1 {3,4}という記法で表されます。

手術シュレーフリ
記号		コクセター
図		ウィトフ
記号		位置：
親{p,q}t 0 {p,q}q | 2 p{p}{ }------{ }
双整流化
（または双対）		{q,p}t 2 {p,q}p | 2 q--{ }{q}{ }----
切り捨てt{p,q}t 0,1 {p,q}2 q | p{2ページ}{ }{q}--{ }{ }
ビット切り捨て
（または切り捨てデュアル）		t{q,p}t 1,2 {p,q}2 p | q{p}{ }{2q}{ }{ }--
修正済みr{p,q}t 1 {p,q}2 | pq{p}--{q}--{ }--
カンテレーション
（または拡張）		rr{p,q}t 0,2 {p,q}pq | 2{p}{ }×{ }{q}{ }--{ }
片側切断型
（または全側切断型）		tr{p,q}t 0,1,2 {p,q}2 ポイント |{2ページ}{ }×{}{2q}{ }{ }{ }
手術シュレーフリ
記号		コクセター
図		ウィトフ
記号		位置：
冷遇は是正されたsr{p,q}| 2ポイント{p}{3}
{3}		{q}------
冷遇s{p,2q}ht 0,1 {p,q}s{2p}{3}{q}--{3}

三角形を生成する

4次元

4次元には、6つの凸正則4次元多面体、プラトン立体とアルキメデス立体上の17のプリズム（既に四次元体として数えられている立方体プリズムを除く）、そして2つの無限集合（凸反プリズム上のプリズムとデュオプリズム）が存在します。また、非ウィトフ 大反プリズムとスナブ24セルを含む41の凸半正則4次元多面体も存在します。これらの特別な4次元多面体はどちらも、600セルの頂点のサブグループで構成されています。

4次元の一様星型多面体はすべてが列挙されているわけではない。列挙されているものとしては、10個の正星型（シュレーフリ・ヘス）4次元多面体と、一様星型多面体上の57個のプリズム、そして3つの無限族（星型反プリズム上のプリズム、 2つの星型多面体を掛け合わせて形成されるデュオプリズム、そして通常の多面体と星型多面体を掛け合わせて形成されるデュオプリズム）が挙げられる。上記のカテゴリーに当てはまらない4次元多面体は無数に存在し、これまでに1000個以上が発見されている。

立方ハニカムセル内の四面体の例。
直角二面角（2つの交差する垂直鏡面）は3つあります。
辺は1から2、0から2、1から3です。
切り捨て操作の概要図

あらゆる正多面体は、少数の鏡像における基本領域の像として見ることができます。4次元多面体（または3次元立方体ハニカム）では、基本領域は4つの鏡像によって囲まれます。4次元空間における鏡像は3次元超平面ですが、ここでは超球面の3次元面との2次元交差のみを考える方が便利です。したがって、鏡像は不規則四面体を形成します。

16 個の正 4 次元多面体のそれぞれは、次の 4 つの対称群のいずれかによって生成されます。

  • グループ[3,3,3]：5セル{3,3,3}は自己双対である。
  • グループ[3,3,4]: 16セル{3,3,4}とその双対四次元体{4,3,3}。
  • グループ[3,4,3]: 24セル{3,4,3}、自己双対。
  • グループ[3,3,5]: 600セル{3,3,5}、その双対の120セル{5,3,3}、およびそれらの10個の通常の星型配列。
  • グループ[3 1,1,1 ]: [3,3,4]ファミリーの繰り返しメンバーのみが含まれます。

(グループはCoxeter 表記法で命名されます。)

ユークリッド 3 次元空間の凸均一ハニカム8 つは、ウィソフ均一 4 次元多面体を生成するために使用されるのと同じ操作を適用することによって、立方ハニカム{4,3,4} から同様に生成されます。

与えられた対称単体に対して、母点は4つの頂点、6つの辺、4つの面、または内部体積のいずれかに置くことができます。これら15個の要素のそれぞれには、4つの鏡に映った像が一様4次元多面体の頂点となる点が存在します。

拡張シュレーフリ記号は、tに1つから4つの添え字（0,1,2,3）を付けることによって表されます。添え字が1つだけの場合、母点は基本領域の角、つまり3つの鏡が交わる点にあります。これらの角は次のように表記されます。

  • 0 : 親4次元多面体の頂点（双対のセルの中心）
  • 1 : 親のエッジの中心（デュアルの面の中心）
  • 2 : 親の面の中心（デュアルのエッジの中心）
  • 3 : 親セルの中心（双対の頂点）

(2 つの自己双対 4 次元多面体の場合、「双対」とは、双対位置にある類似の 4 次元多面体を意味します。) 2 つ以上の下付き文字は、生成点が指定されたコーナーの間にあることを意味します。

建設的な要約

15の構成形式を族別に以下にまとめる。自己双対族は1列に、その他の族は対称コクセター図上で共通の要素を持つ2列に列挙する。最後の10行目は、24セル構成のスナブである。これには、コクセター族を持たない非ウィトホフ 大反プリズムを除く、すべての非プリズム状一様4次元多面体が含まれる。

A4​紀元前4年D4​F4​H4​
[3,3,3]
[4,3,3]
[3,3 1,1 ]
[3,4,3]
[5,3,3]
5セル


{3,3,3}		16セル


{3,3,4}		テッセラクト


{4,3,3}		半神像


{3,3 1,1 }		24セル


{3,4,3}		600セル


{3,3,5}		120セル


{5,3,3}
整流5セル


r{3,3,3}		整流16セル


r{3,3,4}		修正四次元方位


r{4,3,3}		修正された半石器


r{3,3 1,1 }		整流24セル


r{3,4,3}		整流600セル


r{3,3,5}		整流120セル


r{5,3,3}
切り詰められた5セル


t{3,3,3}		切り詰められた16セル


t{3,3,4}		切断された四次元方位磁石


t{4,3,3}		切り詰められた半円体


t{3,3 1,1 }		切り捨てられた24セル


t{3,4,3}		切り捨てられた600細胞


t{3,3,5}		切り捨てられた120細胞


t{5,3,3}
カンテレーション5セル


rr{3,3,3}		16セルのカンテレーション


rr{3,3,4}		カンテラテッドテッセラクト


rr{4,3,3}		カンテラテッド・デミテッセラクト


2r{3,3 1,1 }		24セルのカンテラ型


rr{3,4,3}		600セルのカンテレーション


rr{3,3,5}		120セルのカンテレーション


rr{5,3,3}
ランシネーテッド5セル


t 0,3 {3,3,3}		ランシネーテッド16セル


t 0,3 {3,3,4}		ランシネーテッド・テッセラクト


t 0,3 {4,3,3}		ランシネートされた24細胞


t 0,3 {3,4,3}		ランシネート600セル
ランシネート120セル


t 0,3 {3,3,5}
ビットランケーテッド5セル


t 1,2 {3,3,3}		ビットランケート16セル


2t{3,3,4}		ビットランケーテッドテッセラクト


2t{4,3,3}		半円錐台形


2t{3,3 1,1 }		ビットランケート24セル


2t{3,4,3}		ビットランケート 600 セル
ビットランケート 120 セル


2t{3,3,5}
片側切断5細胞


tr{3,3,3}		片側切断型16細胞


tr{3,3,4}		切頂四次元方位図


tr{4,3,3}		全切形半円体


tr{3,3 1,1 }		24細胞切断


tr{3,4,3}		600セルの切断


tr{3,3,5}		120細胞切断型


tr{5,3,3}
ランシトランケーテッド5セル


t 0,1,3 {3,3,3}		ランシトランケーテッド16セル


t 0,1,3 {3,3,4}		ランシトランケーテッドテッセラクト


t 0,1,3 {4,3,3}		ルンシカンテラテッド・デミテッセラクト


rr{3,3 1,1 }		ランシトランケート24セル


t 0,1,3 {3,4,3}		ランシトランケート600セル


t 0,1,3 {3,3,5}		ランシトランケート120セル


t 0,1,3 {5,3,3}
全切断型5細胞


t 0,1,2,3 {3,3,3}		全切断型16細胞


t 0,1,2,3 {3,3,4}		全切形四次元体


t 0,1,2,3 {3,3,4}		全切断型24細胞


t 0,1,2,3 {3,4,3}		オムニトランケート型120細胞
オムニトランケート型600細胞


t 0,1,2,3 {5,3,3}
交互片端切断型16細胞


sr{3,3,4}		スナブ・デミテッセラクト


sr{3,3 1,1 }		交互切断24細胞


s{3,4,3}

短縮形

以下の表は、15種類の切り捨て形式を定義しています。各形式は、上記で定義した0、1、2、3の位置に位置する1～4種類のセル型を持ちます。セルは多面体切り捨て表記法でラベル付けされています。

  • n角柱は{ n}×{ } と表されます。
  • 親またはデュアルのいずれかと同等のフォームには、緑色の背景が表示されます。
  • 赤い背景は親の切り捨てを示し、青い背景はデュアルの切り捨てを示します。
手術シュレーフリ記号コクセター
図		位置によるセル:
（3）
（2）
（1）
（0）
親{p,q,r}t 0 {p,q,r}
{p,q}
--
--
--
修正済みr{p,q,r}t 1 {p,q,r}
r{p,q}
--
--
{q,r}
双整流化
（または整流化双対）		2r{p,q,r}
= r{r,q,p}		t 2 {p,q,r}
{q,p}
--
--
r{q,r}
三連整流
（または二連整流）		3r{p,q,r}
= {r,q,p}		t 3 {p,q,r}
--
--
--
{r,q}
切り捨てt{p,q,r}t 0,1 {p,q,r}
t{p,q}
--
--
{q,r}
ビット切り捨て2t{p,q,r}2t{p,q,r}
t{q,p}
--
--
t{q,r}
三分位
（または二分位）		3t{p,q,r}
= t{r,q,p}		t 2,3 {p,q,r}
{q,p}
--
--
t{r,q}
カンテラテッドrr{p,q,r}t 0,2 {p,q,r}
rr{p,q}
--
{ }×{r}
r{q,r}
バイカンテラテッド
（またはカンテラテッドデュアル）		r2r{p,q,r}
= rr{r,q,p}		t 1,3 {p,q,r}
r{p,q}
{p}×{ }
--
rr{q,r}
ランシネート
（または拡張）		e{p,q,r}t 0,3 {p,q,r}
{p,q}
{p}×{ }
{ }×{r}
{r,q}
カンティトランケートtr{p,q,r}tr{p,q,r}
tr{p,q}
--
{ }×{r}
t{q,r}
双対切断型
（または双対切断型）		t2r{p,q,r}
= tr{r,q,p}		t 1,2,3 {p,q,r}
t{q,p}
{p}×{ }
--
tr{q,r}
ランシトランケートe t {p,q,r}t 0,1,3 {p,q,r}
t{p,q}
{2p}×{ }
{ }×{r}
rr{q,r}
ランシカンテラテッド
（またはランシトランケーテッドデュアル）		e 3t {p,q,r}
= e t {r,q,p}		t 0,2,3 {p,q,r}
tr{p,q}
{p}×{ }
{ }×{2r}
t{r,q}
ランシカンティトランケーテッド
（またはオムニトランケーテッド）		o{p,q,r}t 0,1,2,3 {p,q,r}
tr{p,q}
{2p}×{ }
{ }×{2r}
tr{q,r}

半分のフォーム

半構成は、環状ノードではなく穴を持つ構成です。穴と非アクティブなノードに隣接する枝は偶数次でなければなりません。半構成は、同一の環状構成の頂点を持ちます。

手術シュレーフリ記号コクセター
図		位置によるセル:
（3）
（2）
（1）
（0）
半分
交互に		h{p,2q,r}ht 0 {p,2q,r}
h{p,2q}
--
--
--
交互整流hr{2p,2q,r}ht 1 {2p,2q,r}
hr{2p,2q}
--
--
h{2q,r}
スナブ
交互切り捨て		s{p,2q,r}ht 0,1 {p,2q,r}
s{p,2q}
--
--
h{2q,r}
Bisnub
交互ビット切り捨て		2s{2p,q,2r}ht 1,2 {2p,q,2r}
s{q,2p}
--
--
s{q,2r}
スナブ修正
交互切り捨て修正		sr{p,q,2r}ht 0,1,2 {p,q,2r}
sr{p,q}
--
s{2,2r}
s{q,2r}
オムニスナブ
交互オムニトランケーション		os{p,q,r}ht 0,1,2,3 {p,q,r}
sr{p,q}
{p}×{ }
{ }×{r}
sr{q,r}

5次元以上

5次元以上の次元には、超立方体、単体、交差多面体という3つの正多面体が存在します。これらはそれぞれ、3次元の立方体、四面体、八面体の一般化です。これらの次元には、正星型多面体は存在しません。ほとんどの均一な高次元多面体は、正多面体を修正するか、低次元の多面体の直積をとることで得られます。

6次元、7次元、8次元では、例外的な 単純リー群であるE 6、E 7、E 8が作用します。コクセター図の非零個のノードに環を配置することで、39個の新しい6次元多面体、127個の新しい7次元多面体、255個の新しい8次元多面体が得られます。注目すべき例としては、4 21多面体があります。

均一なハニカム

有限一様多面体に関連するものとして、ユークリッド空間と双曲空間における一様ハニカムがあります。ユークリッド一様ハニカムはアフィン・コクセター群によって生成され、双曲型ハニカムは双曲型コクセター群によって生成されます。2つのアフィン・コクセター群は互いに乗算することができます。

双曲型コクセター群には、コンパクト群とパラコンパクト群の2つのクラスがあります。コンパクト群によって生成される一様ハニカムは、有限の面と頂点図形を持ち、2次元から4次元まで存在します。パラコンパクト群は、アフィンまたは双曲型部分グラフと、無限の面または頂点図形を持ち、2次元から10次元まで存在します。

参照

参考文献

  • コクセター 『幾何学の美：12のエッセイ』ドーバー出版、1999年、ISBN 978-0-486-40919-1（第3章：ワイトフの一様多面体の構築）
  • ノーマン・ジョンソン 『均一多面体』、原稿（1991年）
    • ノーマン・ジョンソン：均一多面体とハニカムの理論、博士論文、トロント大学、1966年オンライン
  • A. ブール・ストット(1910)。 「正多面体と空間充填からの半正則の幾何学的演繹」(PDF)。アムステルダムのVerhandelingen der Koninklijke Academy van Wetenschappen。Ⅹ（１）．アムステルダム：ヨハネス・ミュラー。 2025 年 4 月 29 日のオリジナル(PDF)からアーカイブ。
  • HSMコクセター：
    • HSM Coxeter、MS Longuet-Higgins、JCP Miller：「Uniform Polyhedra」、ロンドン王立協会哲学論文集、ロンドン、1954年 PDF
    • HSM Coxeter, Regular Polytopes , 第3版, Dover New York, 1973
  • 万華鏡：HSMコクセター選集 Archived 2016-07-11 at the Wayback Machine、F.アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、アジア・アイビック・ワイス編、ワイリー・インターサイエンス出版、1995年、ISBN 978-0-471-01003-6
    • （論文22）HSM Coxeter, 正則多面体と半正則多面体I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
    • （論文23）HSM Coxeter, 正則多面体と半正則多面体II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
    • （論文24）HSM Coxeter, 正則多面体と半正則多面体III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
  • マルコ・メラー、「多面体多面体多面体多面体」、論文、ハンブルク大学、ハンブルク (2004) (ドイツ語)オンライン
  • オルシェフスキー、ジョージ. 「均一多面体」.ハイパースペース用語集. 2007年2月4日時点のオリジナルよりアーカイブ。
  • 4次元の一様凸多面体：マルコ・メラー（ドイツ語）
2～10次元の基本凸正則多面体と一様多面体
家族アン​B nI 2 ( p ) / D nE 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2H n
正多角形三角形四角p角形六角形五角形
均一な多面体四面体八面体•立方体デミキューブ十二面体•二十面体
均一ポリクロロンペンタコロン16セル• Tesseractデミテッセラクト24セル120セル• 600セル
一様5次元多面体5単体5-オルソプレックス• 5-キューブ5デミキューブ
一様6次元多面体6単体6-オルソプレックス• 6-キューブ6デミキューブ1 22 • 2 21
一様7次元多面体7単体7-オルソプレックス• 7-キューブ7デミキューブ1 32 • 2 31 • 3 21
一様8次元多面体8単体8-オルソプレックス• 8-キューブ8デミキューブ1 42 • 2 41 • 4 21
一様9次元多面体9単体9-オルソプレックス• 9-キューブ9デミキューブ
一様10次元多面体10単体10-オルソプレックス• 10-キューブ10デミキューブ
一様n多面体n -単体n -オルソプレックス• n -キューブn -デミキューブ1 k2 • 2 k1 • k 21n -五角形多面体
トピック:多面体族•正多面体•正多面体と複合多面体の一覧• 多面体の演算
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Uniform_polytope&oldid=1320305993"