単位ベクトル

数学において、ノルムベクトル空間における単位ベクトルは、長さ1のベクトル（多くの場合、空間ベクトル）です。単位ベクトルは、しばしばサーカムフレックス付きの小文字、または「ハット」（「v-hat」と発音）で表されます。「正規化ベクトル」という用語は、単位ベクトルの同義語として使用されることがあります。 ${\hat {\mathbf {v} }}$

非ゼロベクトルuの正規化ベクトルûはuの方向の単位ベクトルである。すなわち、

\mathbf {\hat {u}} ={\frac {\mathbf {u} }{\|\mathbf {u} \|}}=\left({\frac {u_{1}}{\|\mathbf {u} \|}},{\frac {u_{2}}{\|\mathbf {u} \|}},...,{\frac {u_{n}}{\|\mathbf {u} \|}}\right)

ここで、‖ u ‖ はuのノルム（または長さ）であり、である。^[1]^[2] ${\textstyle \mathbf {u} =(u_{1},u_{2},...,u_{n})}$

証明は次のとおりです。 ${\textstyle \|\mathbf {\hat {u}} \|={\sqrt {{\frac {u_{1}}{\sqrt {u_{1}^{2}+...+u_{n}^{2}}}}^{2}+...+{\frac {u_{n}}{\sqrt {u_{1}^{2}+...+u_{n}^{2}}}}^{2}}}={\sqrt {\frac {u_{1}^{2}+...+u_{n}^{2}}{u_{1}^{2}+...+u_{n}^{2}}}}={\sqrt {1}}=1}$

単位ベクトルは、法線方向などの方向を表すためによく用いられます。単位ベクトルはベクトル空間の基底を形成するためによく選ばれ、その空間内のあらゆるベクトルは単位ベクトルの線形結合として表すことができます。

直交座標

単位ベクトルは、直交座標系の軸を表すために用いられる。例えば、3次元直交座標系のx軸、y軸、z軸の方向における標準的な単位ベクトルは、

\mathbf {\hat {x}} ={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {y}} ={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {z}} ={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}

これらは互いに直交する 単位ベクトルの集合を形成し、通常は線形代数における標準基底と呼ばれます。

これらは、標準の単位ベクトル表記 (例: x̂ )ではなく、一般的なベクトル表記(例: xまたは) を使用して表記されることが多い。ほとんどの文脈において、 x、y、z、 (またはおよび) は、3 次元直交座標系のバーサーであると想定することができる。また、ハットの有無にかかわらず、表記 ( î、ĵ、k̂ )、( x̂ ₁、x̂ ₂、x̂ ₃ ) 、( ê _x、ê _y、ê _z )、または ( ê ₁、ê ₂、ê ₃ )も使用される^{[1]。特に、}i、j、k が別の量と混同される可能性がある文脈でよく使用される (たとえば、変数のセット、配列、またはシーケンスの要素を識別するために使用されるi、j、kなどのインデックス記号を使用する場合)。 ${\vec {x}}$ ${\vec {x}},$ ${\vec {y}},$ ${\vec {z}}$

空間における単位ベクトルをx、y、zの線形結合として直交座標表記で表す場合、その3つのスカラー成分は方向余弦と呼ばれます。各成分の値は、単位ベクトルとそれぞれの基底ベクトルがなす角度の余弦に等しくなります。これは、直線、直線の線分、方向軸、または方向軸の線分（ベクトル）の方向（角度位置）を記述するために使用される方法の1つです。

円筒座標

円筒対称に適した 3 つの直交単位ベクトルは次のとおりです。

${\boldsymbol {\hat {\rho }}}$ （またはとも呼ばれる）、対称軸からの点の距離を測定する方向を表します。 $\mathbf {\hat {e}}$ ${\boldsymbol {\hat {s}}}$
${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$ 点が対称軸を中心に反時計回りに回転する場合に観測される動きの方向を表します。
$\mathbf {\hat {z}}$ 対称軸の方向を表します。

これらは、次の関係によって、直交座標基底、と関連しています。 ${\hat {x}}$ ${\hat {y}}$ ${\hat {z}}$

{\boldsymbol {\hat {\rho }}}=\cos(\varphi )\mathbf {\hat {x}} +\sin(\varphi )\mathbf {\hat {y}}

{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}=-\sin(\varphi )\mathbf {\hat {x}} +\cos(\varphi )\mathbf {\hat {y}}

\mathbf {\hat {z}} =\mathbf {\hat {z}} .

ベクトルとはとの関数であり、方向は一定ではありません。円筒座標系で微分または積分を行う場合、これらの単位ベクトル自体にも作用する必要があります。に関する微分は次のようになります。 ${\boldsymbol {\hat {\rho }}}$ ${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$ $\varphi ,$ $\varphi$

{\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\rho }}}}{\partial \varphi }}=-\sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \varphi \mathbf {\hat {y}} ={\boldsymbol {\hat {\varphi }}}

{\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}{\partial \varphi }}=-\cos \varphi \mathbf {\hat {x}} -\sin \varphi \mathbf {\hat {y}} =-{\boldsymbol {\hat {\rho }}}

{\frac {\partial \mathbf {\hat {z}} }{\partial \varphi }}=\mathbf {0} .

球座標

球対称性に適切な単位ベクトルは、原点からの半径方向の距離が増加する方向、 x - y平面における正のx軸から反時計回りの角度が増加する方向、 z軸からの角度が増加する方向である。表現の冗長性を最小限に抑えるため、極角は通常0度から180度の間とされる。球面座標で書かれた順序付き三項関係に注意することが特に重要である。なぜなら、との役割はしばしば逆になるからである。ここでは、アメリカの「物理学」慣例^[3]が用いられている。これにより、方位角は円筒座標の場合と同じように定義される。直交座標関係は以下の通りである。 $\mathbf {\hat {r}}$ ${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$ ${\boldsymbol {\hat {\theta }}}$ $\theta$ ${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$ ${\boldsymbol {\hat {\theta }}}$ $\varphi$

\mathbf {\hat {r}} =\sin \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} +\sin \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} +\cos \theta \mathbf {\hat {z}}

{\boldsymbol {\hat {\theta }}}=\cos \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} -\sin \theta \mathbf {\hat {z}}

{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}=-\sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \varphi \mathbf {\hat {y}}

球面単位ベクトルはとの両方に依存するため、5つの非零導関数が存在します。より詳細な説明については、ヤコビ行列と行列式を参照してください。非零導関数は以下のとおりです。 $\varphi$ $\theta$

{\frac {\partial \mathbf {\hat {r}} }{\partial \varphi }}=-\sin \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\sin \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {y}} =\sin \theta {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}

{\frac {\partial \mathbf {\hat {r}} }{\partial \theta }}=\cos \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} -\sin \theta \mathbf {\hat {z}} ={\boldsymbol {\hat {\theta }}}

{\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}{\partial \varphi }}=-\cos \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {y}} =\cos \theta {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}

{\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}{\partial \theta }}=-\sin \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} -\sin \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} -\cos \theta \mathbf {\hat {z}} =-\mathbf {\hat {r}}

{\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}{\partial \varphi }}=-\cos \varphi \mathbf {\hat {x}} -\sin \varphi \mathbf {\hat {y}} =-\sin \theta \mathbf {\hat {r}} -\cos \theta {\boldsymbol {\hat {\theta }}}

一般的な単位ベクトル

単位ベクトルの共通のテーマは物理学と幾何学のいたるところに見られる：^[4]

単位ベクトル	命名法	図
曲線/磁束線の接線ベクトル	$\mathbf {\hat {t}}$	角運動のベクトル方程式が成り立つためには、半径位置ベクトルと回転の角度接線方向を含み定義される平面の法線ベクトルが必要です。 $\mathbf {\hat {n}}$ $r\mathbf {\hat {r}}$ $\theta {\boldsymbol {\hat {\theta }}}$
半径位置成分と角度接線成分を含む表面接線平面/平面に垂直	$\mathbf {\hat {n}}$ 極座標で言えば; $\mathbf {\hat {n}} =\mathbf {\hat {r}} \times {\boldsymbol {\hat {\theta }}}$
従法線ベクトルから接線と法線への変換	$\mathbf {\hat {b}} =\mathbf {\hat {t}} \times \mathbf {\hat {n}}$ ^[5]
ある軸/線に平行	$\mathbf {\hat {e}} _{\parallel }$	1 つの単位ベクトルは主方向 (赤い線) に平行に揃っており、垂直な単位ベクトルは主線に対して任意の半径方向にあります。 $\mathbf {\hat {e}} _{\parallel }$ $\mathbf {\hat {e}} _{\bot }$
ある軸/線に垂直で、ある放射状方向	$\mathbf {\hat {e}} _{\bot }$
ある軸/線に対する角度偏差の可能性	$\mathbf {\hat {e}} _{\angle }$	主方向に対する鋭角偏角φ (0 またはπ /2 rad を含む) の単位ベクトル。

曲線座標

一般に、座標系は、線形独立な単位ベクトルの数^[1]（実際の数は空間の自由度に等しい）を用いて一意に指定できる。通常の3次元空間では、これらのベクトルはと表記される。座標系を直交かつ右手系として定義すると、ほとんどの場合便利である。 $\mathbf {\hat {e}} _{n}$ $\mathbf {\hat {e}} _{1},\mathbf {\hat {e}} _{2},\mathbf {\hat {e}} _{3}$

\mathbf {\hat {e}} _{i}\cdot \mathbf {\hat {e}} _{j}=\delta _{ij}

\mathbf {\hat {e}} _{i}\cdot (\mathbf {\hat {e}} _{j}\times \mathbf {\hat {e}} _{k})=\varepsilon _{ijk}

ここで、はクロネッカーのデルタ（ i = jの場合は 1 、それ以外の場合は 0）であり、はレヴィ・チヴィタ記号（ijkの順序付けられた順列の場合は 1 、 kjiの順序付けられた順列の場合は -1 ）です。 $\delta _{ij}$ $\varepsilon _{ijk}$

右後角

WRハミルトンは、四元数を開発した際に、の単位ベクトルを右バーサーと呼びました。実際、ベクトルという用語の創始者はハミルトンです。四元数はすべてスカラー部分sとベクトル部分vを持つからです。vがの単位ベクトルであれば、四元数におけるvの2乗は-1 です。したがって、オイラーの公式により、は3次元球面のバーサーです。θ が直角のとき、バーサーは右バーサーです。つまり、スカラー部分はゼロで、ベクトル部分vはの単位ベクトルです。 $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {H} \subset \mathbb {R} ^{4}$ $q=s+v$ $\mathbb {R} ^{3}$ $\exp(\theta v)=\cos \theta +v\sin \theta$ $\mathbb {R} ^{3}$

したがって、右バーソルは複素平面に見られる虚数単位の概念を拡張し、右バーソルは複素平面のペア ${$ $i$ $、 -$ $i$ }ではなく2 次元球面上に及ぶようになります。 $\mathbb {S} ^{2}\subset \mathbb {R} ^{3}\subset \mathbb {H}$

拡張すると、右四元数は右バーサーの実数倍になります。

参照

注記

^ abc Weisstein, Eric W. 「単位ベクトル」. Wolfram MathWorld . 2020年8月19日閲覧。
^ 「単位ベクトル」。Brilliant Math & Science Wiki 。 2020年8月19日閲覧。
^ Tevian DrayとCorinne A. Manogue、「球面座標」、College Math Journal 34、168-169（2003）。
^ F. エアーズ、E. メンデルソン (2009).微積分学（シャウムのアウトラインシリーズ）（第5版）. マクグローヒル. ISBN 978-0-07-150861-2。
^ MR Spiegel、S. Lipschutz、D. Spellman (2009).ベクトル解析（Schaum's Outlines Series）（第2版）. Mc Graw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7。

参考文献

GB Arfken & HJ Weber (2000).物理学者のための数学的手法（第5版）. Academic Press. ISBN 0-12-059825-6。
シュピーゲル、マレー・R. (1998).シャウムのアウトライン：数式と表の数学ハンドブック（第2版）. マグロウヒル. ISBN 0-07-038203-4。
グリフィス、デイビッド・J. (1998). 『電気力学入門（第3版）』プレンティス・ホール. ISBN 0-13-805326-X。

[:0-1] Weisstein, Eric W. 「単位ベクトル」. Wolfram MathWorld . 2020年8月19日閲覧。

[2] 「単位ベクトル」。Brilliant Math & Science Wiki 。 2020年8月19日閲覧。

[3] Tevian DrayとCorinne A. Manogue、「球面座標」、College Math Journal 34、168-169（2003）。

[4] F. エアーズ、E. メンデルソン (2009).微積分学（シャウムのアウトラインシリーズ）（第5版）. マクグローヒル. ISBN 978-0-07-150861-2。

[5] MR Spiegel、S. Lipschutz、D. Spellman (2009).ベクトル解析（Schaum's Outlines Series）（第2版）. Mc Graw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7。