ユニタリ変換

Endomorphism preserving the inner product

数学において、ユニタリ変換は内積を保存する線形同型です。つまり、変換前の 2 つのベクトルの内積は、変換後の内積と等しくなります。

正式な定義

より正確には、ユニタリ変換とは、2つの内積空間（ヒルベルト空間など）間の等長同型写像です。言い換えれば、ユニタリ変換は全単射関数です

${\displaystyle U:H_{1}\to H_{2}}$

２つの内積空間の間に は ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2},}$

${\displaystyle \langle Ux,Uy\rangle _{H_{2}}=\langle x,y\rangle _{H_{1}}\quad {\text{ for all }}x,y\in H_{1}.}$

これは線形等長変換であり、次のように設定するとわかる。 ${\displaystyle x=y.}$

ユニタリー演算子

とが同じ空間である場合、ユニタリ変換はそのヒルベルト空間の自己同型であり、ユニタリ演算子とも呼ばれます ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}}$

反ユニタリー変換

密接に関連する概念は、反ユニタリー変換であり、これは全単射関数です

${\displaystyle U:H_{1}\to H_{2}\,}$

二つの複素ヒルベルト空間 の間には

${\displaystyle \langle Ux,Uy\rangle ={\overline {\langle x,y\rangle }}=\langle y,x\rangle }$

すべての場合、およびにおいて、水平バーは複素共役を表します。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle H_{1}}$

関連項目

• 反ユニタリー
• 直交変換
• 時間反転
• ユニタリ群
• ユニタリー演算子
• ユニタリ行列
• ウィグナーの定理
• 量子力学におけるユニタリー変換

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