普遍係数定理

Establish relationships between homology and cohomology theories

代数的位相幾何学において、普遍係数定理は、異なる係数を持つホモロジー群（またはコホモロジー群） 間の関係を確立する。例えば、任意の位相空間 Xに対し、その整ホモロジー群は次のようになる。

${\displaystyle H_{i}(X,\mathbb {Z} )}$

任意のアーベル群Aに対して、Aの係数を持つホモロジー群を 完全に決定します。

${\displaystyle H_{i}(X,A)}$

ここで、単体ホモロジー、あるいはより一般的には特異ホモロジーが成り立つ。この結果の通常の証明は、自由アーベル群の連鎖複体に関する純粋なホモロジー代数である。結果の形は、Tor関数の使用を犠牲にして、他の係数Aを使用できるというものである。 ${\displaystyle H_{i}}$

例えば、係数が2を法として をとるのが一般的です。これは、ホモロジーに2-ねじれ角がない場合には簡単になります。極めて一般的に、結果は のベッティ数と 体の係数を持つベッティ数との間に の関係が成り立つことを示しています。これらは異なる可能性がありますが、 の標数が素数であり、その場合にホモロジーに -ねじれ角が存在する場合に限られます。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle b_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle b_{i,F}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

相同性のケースの記述

加群のテンソル積 を考える。定理は、Tor関手を含む短い完全列が存在することを述べている。 ${\displaystyle H_{i}(X,\mathbb {Z} )\otimes A}$

${\displaystyle 0\to H_{i}(X,\mathbb {Z} )\otimes A\,{\overset {\mu }{\to }}\,H_{i}(X,A)\to \operatorname {Tor} _{1}(H_{i-1}(X,\mathbb {Z} ),A)\to 0.}$

さらに、この数列はを自然には分解しませんが、 を分解します。以下は双線型写像 によって誘導される写像です。 ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle H_{i}(X,\mathbb {Z} )\times A\to H_{i}(X,A)}$

係数環が の場合、これはボクシュタインスペクトル列の特殊なケースです。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$

コホモロジーの普遍係数定理

を主イデアル領域（たとえば、または任意の体）上の加群とします。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Ext関手を含むコホモロジーには普遍係数定理があり、自然な短完全列が存在することを主張している。

${\displaystyle 0\to \operatorname {Ext} _{R}^{1}(H_{i-1}(X;R),G)\to H^{i}(X;G)\,{\overset {h}{\to }}\,\operatorname {Hom} _{R}(H_{i}(X;R),G)\to 0.}$

相同性の場合と同様に、配列は自然には分岐しません。実際、

${\displaystyle H_{i}(X;G)=\ker \partial _{i}\otimes G/\operatorname {im} \partial _{i+1}\otimes G,}$

定義する

${\displaystyle H^{*}(X;G)=\ker(\operatorname {Hom} (\partial ,G))/\operatorname {im} (\operatorname {Hom} (\partial ,G)).}$

上記は標準的なマップです。 ${\displaystyle h}$

${\displaystyle h([f])([x])=f(x).}$

別の見方として、コホモロジーをアイレンバーグ・マクレーン空間を介して表すという方法がある。この場合、写像はホモロジーに誘導される対応する準同型写像のホモトピー類をとる。したがって、アイレンバーグ・マクレーン空間はホモロジー関手の弱右随伴となる。^[1] ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle X\to K(G,i)}$

例: 実射影空間の mod 2 コホモロジー

を実射影空間とする。 の係数を持つの特異コホモロジーを、積分ホモロジー、すなわち を用いて計算する。 ${\displaystyle X=\mathbb {RP} ^{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle R=\mathbb {Z} }$

整数ホモロジーは次のように与えられることがわかります。

${\displaystyle H_{i}(X;\mathbb {Z} )={\begin{cases}\mathbb {Z} &i=0{\text{ or }}i=n{\text{ odd,}}\\\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} &0<i<n,\ i\ {\text{odd,}}\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

と が成り立つので、上記の正確な数列は ${\displaystyle \operatorname {Ext} (G,G)=G}$ ${\displaystyle \operatorname {Ext} (R,G)=0}$

${\displaystyle H^{i}(X;G)=G}$

全ての に対して成り立つ。実際、コホモロジー環構造全体は ${\displaystyle i=0,\dots ,n}$

${\displaystyle H^{*}(X;G)=G[w]/\left\langle w^{n+1}\right\rangle .}$

帰結

この定理の特殊なケースは、積分コホモロジーの計算である。有限CW複素数 に対して、は有限生成なので、次の分解が得られる。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H_{i}(X,\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle H_{i}(X;\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} ^{\beta _{i}(X)}\oplus T_{i},}$

ここで、 のベッティ数であり、のねじれ部分である。 ${\displaystyle \beta _{i}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T_{i}}$ ${\displaystyle H_{i}}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} (H_{i}(X),\mathbb {Z} )\cong \operatorname {Hom} (\mathbb {Z} ^{\beta _{i}(X)},\mathbb {Z} )\oplus \operatorname {Hom} (T_{i},\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} ^{\beta _{i}(X)},}$

そして

${\displaystyle \operatorname {Ext} (H_{i}(X),\mathbb {Z} )\cong \operatorname {Ext} (\mathbb {Z} ^{\beta _{i}(X)},\mathbb {Z} )\oplus \operatorname {Ext} (T_{i},\mathbb {Z} )\cong T_{i}.}$

これにより、積分コホモロジーについて次の命題が得られます。

${\displaystyle H^{i}(X;\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} ^{\beta _{i}(X)}\oplus T_{i-1}.}$

有向性があり、閉じた、連結な多様体の場合、この系とポアンカレ双対性を組み合わせると、次の式が得られます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \beta _{i}(X)=\beta _{n-i}(X)}$

ユニバーサル係数スペクトル列

ねじれ係数を持つ(コ)ホモロジーに対する普遍係数定理の一般化があります。

コホモロジーについては

${\displaystyle E_{2}^{p,q}=\operatorname {Ext} _{R}^{q}(H_{p}(C_{*}),G)\Rightarrow H^{p+q}(C_{*};G),}$

ここでは単位元 を持つ環、は 上の自由加群の鎖複体、は単位元 を持つ環の任意の -双加群、は外群である。微分は次数 である。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle C_{*}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (R,S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {Ext} }$ ${\displaystyle d^{r}}$ ${\displaystyle (1-r,r)}$

同様にホモロジーについても、

${\displaystyle E_{p,q}^{2}=\operatorname {Tor} _{q}^{R}(H_{p}(C_{*}),G)\Rightarrow H_{*}(C_{*};G),}$

Tor群と次数 の微分に対してです。 ${\displaystyle \operatorname {Tor} }$ ${\displaystyle d_{r}}$ ${\displaystyle (r-1,-r)}$

注記

1. (カイネン 1971)

参考文献

• アレン・ハッチャー『代数的位相幾何学』ケンブリッジ大学出版局、ケンブリッジ、2002年。ISBN 0-521-79540-0現代的で幾何学的な視点を取り入れた代数的位相幾何学の入門書。本書は著者のホームページからPDFおよびPostScript形式で無料で入手できます。
• カイネン、PC (1971)。 「弱い随伴関数」。数学的ツァイシュリフト。122 : 1–9 .土井:10.1007/bf01113560。S2CID  122894881。
• ジェローム・レヴァイン. 「結び目加群 I.」アメリカ数学会誌 229 (1977): 1–50. https://doi.org/10.2307/1998498

外部リンク

• 環係数を持つ普遍係数定理

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