Type of continuous map in topology
直感的に言えば、覆いは局所的に「パンケーキの山」を 開いた近所 の上に投影する。 U {\displaystyle U} U {\displaystyle U} 位相幾何学 において 、 被覆 または 被覆射影とは、 位相空間 間の 写像 であり 、直感的には、 局所的には空間の複数のコピーをそれ自身に 射影する のと同じように振る舞う 。特に、被覆は 局所同相写像 の特殊な型である。 が被覆である場合、は の 被覆空間 または 被覆 と呼ばれ 、 は 被覆 の基底 、あるいは単に 基底 と呼ばれる。 用語の誤用 により、 、 、は 被覆空間 とも呼ばれることがある。被覆は局所同相写像であるため、被覆空間は エタレ空間 の特殊な型である 。 p : X ~ → X {\displaystyle p:{\tilde {X}}\to X} ( X ~ , p ) {\displaystyle ({\tilde {X}},p)} X {\displaystyle X} X {\displaystyle X} X ~ {\displaystyle {\tilde {X}}} p {\displaystyle p}
被覆空間は、複素解析学（特に 解析接続 の手法） の文脈において初めて登場した。 リーマンは、被覆空間を、本来 多価である 複素関数が一価となる 領域として 導入した。これらの空間は現在、 リーマン面 と呼ばれている。 [1] : 10
被覆空間は数学のいくつかの分野で重要なツールです。現代幾何 学 では、被覆空間（または条件がやや弱い 分岐被覆）は、 多様体 、 オービフォールド 、およびそれらの間の 射 の構築に使用されます 。 代数位相幾何学では、被覆空間は 基本群 と密接な関係があります 。まず、すべての被覆は ホモトピー持ち上げ特性を持つため、被覆空間は ホモトピー群 の計算で重要なツールとなります 。この流れの標準的な例は、円の 基本群 をによる被覆 によって計算することです （以下を参照）。 [2] ：29 特定の条件下では、被覆空間は基本群の部分群とガロア対応 も示します 。 S 1 {\displaystyle S^{1}} R {\displaystyle \mathbb {R} }
意味 を位相空間とする。 その 被覆は 連続 写像である
。 X {\displaystyle X} X {\displaystyle X}
π : X ~ → X {\displaystyle \pi :{\tilde {X}}\rightarrow X} で、任意の に対して の 開近傍 と となる 離散空間 が存在し、 は 互いに素な和 であり 、は 任意の に対して 同相写像 となる 。開集合は シート と呼ばれ、 が 連結 である 場合に同相写像を除いて一意に決定される 。 [2] ：56 各 に対して、 離散集合 は の ファイバー と呼ばれる 。 が連結（かつ が空でない場合）である場合、 は 射影的 で あり、 の 濃度 はすべての に対して同じであること が示され 、この値は 被覆の 次数と呼ばれる。 が パス連結で ある場合 、被覆は パス連結被覆 と呼ばれる。この定義は、 が 局所的に自明な ファイバーバンドル であるというステートメントと同等である 。 x ∈ X {\displaystyle x\in X} U x {\displaystyle U_{x}} x {\displaystyle x} D x {\displaystyle D_{x}} π − 1 ( U x ) {\displaystyle \pi ^{-1}(U_{x})} ⨆ d ∈ D x V d {\displaystyle \displaystyle \bigsqcup _{d\in D_{x}}V_{d}} π | V d : V d → U x {\displaystyle \pi |_{V_{d}}:V_{d}\rightarrow U_{x}} d ∈ D x {\displaystyle d\in D_{x}} V d {\displaystyle V_{d}} U x {\displaystyle U_{x}} x ∈ X {\displaystyle x\in X} π − 1 ( x ) {\displaystyle \pi ^{-1}(x)} x {\displaystyle x} X {\displaystyle X} X ~ {\displaystyle {\tilde {X}}} π {\displaystyle \pi } D x {\displaystyle D_{x}} x ∈ X {\displaystyle x\in X} X ~ {\displaystyle {\tilde {X}}} π : X ~ → X {\displaystyle \pi :{\tilde {X}}\rightarrow X} π {\displaystyle \pi }
一部の著者は、 連結でない 場合も射影的であることを要求する。 [3] π {\displaystyle \pi } X {\displaystyle X}
例 任意の位相空間 に対して 、 恒等写像 は被覆である。同様に、任意の離散空間 に対して、 射影 をとること は被覆である。この種の被覆は 自明被覆 と呼ばれる。が有限個（例えば 個）の元を持つ 場合、その被覆は の 自明 -シート 被覆 と呼ばれる 。 X {\displaystyle X} id : X → X {\displaystyle \operatorname {id} :X\rightarrow X} D {\displaystyle D} π : X × D → X {\displaystyle \pi :X\times D\rightarrow X} ( x , i ) ↦ x {\displaystyle (x,i)\mapsto x} D {\displaystyle D} k {\displaystyle k} k {\displaystyle k} X {\displaystyle X} 空間 は の被覆空間である 。互いに素な開集合 は に同相写像される 。 の繊維は 点 から構成される 。 Y = [ 0 , 1 ] × R {\displaystyle Y=[0,1]\times \mathbb {R} } X = [ 0 , 1 ] × S 1 {\displaystyle X=[0,1]\times S^{1}} S i {\displaystyle S_{i}} U {\displaystyle U} x {\displaystyle x} y i {\displaystyle y_{i}} の 写像は 単位円 の被覆である 。被覆の底は であり 、被覆空間は である。 となる 任意の点に対して 、集合は の開近傍である 。 の逆像は で ある。 r : R → S 1 {\displaystyle r:\mathbb {R} \to S^{1}} r ( t ) = ( cos ( 2 π t ) , sin ( 2 π t ) ) {\displaystyle r(t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))} S 1 {\displaystyle S^{1}} S 1 {\displaystyle S^{1}} R {\displaystyle \mathbb {R} } x = ( x 1 , x 2 ) ∈ S 1 {\displaystyle x=(x_{1},x_{2})\in S^{1}} x 1 > 0 {\displaystyle x_{1}>0} U := { ( x 1 , x 2 ) ∈ S 1 ∣ x 1 > 0 } {\displaystyle U:=\{(x_{1},x_{2})\in S^{1}\mid x_{1}>0\}} x {\displaystyle x} U {\displaystyle U} r {\displaystyle r} r − 1 ( U ) = ⨆ n ∈ Z ( n − 1 4 , n + 1 4 ) {\displaystyle r^{-1}(U)=\displaystyle \bigsqcup _{n\in \mathbb {Z} }\left(n-{\frac {1}{4}},n+{\frac {1}{4}}\right)} そしてカバーのシートは 繊維の もの です V n = ( n − 1 / 4 , n + 1 / 4 ) {\displaystyle V_{n}=(n-1/4,n+1/4)} n ∈ Z . {\displaystyle n\in \mathbb {Z} .} x {\displaystyle x} r − 1 ( x ) = { t ∈ R ∣ ( cos ( 2 π t ) , sin ( 2 π t ) ) = x } . {\displaystyle r^{-1}(x)=\{t\in \mathbb {R} \mid (\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))=x\}.} 単位円の別の被覆は、 何らかの正の に対する の写像です。 の 開近傍に対して 、次が成り立ちます。 q : S 1 → S 1 {\displaystyle q:S^{1}\to S^{1}} q ( z ) = z n {\displaystyle q(z)=z^{n}} n ∈ N . {\displaystyle n\in \mathbb {N} .} U {\displaystyle U} x ∈ S 1 {\displaystyle x\in S^{1}} q − 1 ( U ) = ⨆ i = 1 n U {\displaystyle q^{-1}(U)=\displaystyle \bigsqcup _{i=1}^{n}U} 。 局所同相 写像ではあるが単位円の被覆ではない 写像は で ある。 の開近傍シートが存在するが 、これは に同相写像されない 。 p : R + → S 1 {\displaystyle p:\mathbb {R_{+}} \to S^{1}} p ( t ) = ( cos ( 2 π t ) , sin ( 2 π t ) ) {\displaystyle p(t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))} ( 1 , 0 ) {\displaystyle (1,0)} U {\displaystyle U} を奇数とします。 によって定義される 写像 は準同型二重被覆です。 n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} p : O ( n ) → S O ( n ) {\displaystyle p:\mathrm {O} (n)\to \mathrm {SO} (n)} p ( Q ) = ( det Q ) Q {\displaystyle p(Q)=(\det Q)Q}
プロパティ
局所同相写像 被覆は の互いに素な開集合のそれぞれをそれ 上に同相的に写像するので、 は局所同相写像、すなわち は 連続写像であり、任意の に対して の 開近傍が存在し 、そのような は 同相写像である。 π : E → X {\displaystyle \pi :E\rightarrow X} π − 1 ( U ) {\displaystyle \pi ^{-1}(U)} U {\displaystyle U} π {\displaystyle \pi } e ∈ E {\displaystyle e\in E} V ⊂ E {\displaystyle V\subset E} e {\displaystyle e} π | V : V → π ( V ) {\displaystyle \pi |_{V}:V\rightarrow \pi (V)}
したがって、被覆空間 と基底空間は 局所的に同じ特性を共有することになります。 E {\displaystyle E} X {\displaystyle X}
が連結かつ 向き付け不可能な多様体 である場合、 次数 の 被覆が存在し 、それによって は 連結かつ向き付け可能な多様体となる。 [2] : 234 X {\displaystyle X} π : X ~ → X {\displaystyle \pi :{\tilde {X}}\rightarrow X} 2 {\displaystyle 2} X ~ {\displaystyle {\tilde {X}}} が連結 リー群 であるとき、 リー群準同型 で リー群で も ある被覆が存在する。 [4] : 174 X {\displaystyle X} π : X ~ → X {\displaystyle \pi :{\tilde {X}}\rightarrow X} X ~ := { γ : γ is a path in X with γ ( 0 ) = 1 X modulo homotopy with fixed ends } {\displaystyle {\tilde {X}}:=\{\gamma :\gamma {\text{ is a path in X with }}\gamma (0)={\boldsymbol {1_{X}}}{\text{ modulo homotopy with fixed ends}}\}} がグラフ である 場合、これ もグラフである被覆が成り立つ。 [ 2 ] : 85 X {\displaystyle X} π : E → X {\displaystyle \pi :E\rightarrow X} E {\displaystyle E} が連結 多様体 であるとき 、被覆 が存在し 、それによって は 連結 かつ単連結な 多様体となる。 [5] : 32 X {\displaystyle X} π : X ~ → X {\displaystyle \pi :{\tilde {X}}\rightarrow X} X ~ {\displaystyle {\tilde {X}}} が連結 リーマン面 であるとき、 正則写像でも ある被覆が存在する [5] ：22。 また、 連結かつ単連結なリーマン面である [5] ：32 。 X {\displaystyle X} π : X ~ → X {\displaystyle \pi :{\tilde {X}}\rightarrow X} X ~ {\displaystyle {\tilde {X}}}
因数分解 と を 経路連結かつ局所経路連結な空間とし、 とを 連続写像とすると、図 X , Y {\displaystyle X,Y} E {\displaystyle E} p , q {\displaystyle p,q} r {\displaystyle r}
通勤する。
と が 被覆で あれば、 も同様です 。 p {\displaystyle p} q {\displaystyle q} r {\displaystyle r} とが被覆である ならば 、 も同様である 。 [6] : 485 p {\displaystyle p} r {\displaystyle r} q {\displaystyle q}
カバーの製品 と を 位相空間とし、 とを 被覆とするとき、 は 被覆となる。 [6] : 339 しかしながら、 の被覆は 一般にこの形式ばかりではない。 X {\displaystyle X} X ′ {\displaystyle X'} p : E → X {\displaystyle p:E\rightarrow X} p ′ : E ′ → X ′ {\displaystyle p':E'\rightarrow X'} p × p ′ : E × E ′ → X × X ′ {\displaystyle p\times p':E\times E'\rightarrow X\times X'} ( p × p ′ ) ( e , e ′ ) = ( p ( e ) , p ′ ( e ′ ) ) {\displaystyle (p\times p')(e,e')=(p(e),p'(e'))} X × X ′ {\displaystyle X\times X'}
被覆の同等性 を 位相空間とし、 を 被覆とする。 同相 写像が存在し 、図式が X {\displaystyle X} p : E → X {\displaystyle p:E\rightarrow X} p ′ : E ′ → X {\displaystyle p':E'\rightarrow X} h : E → E ′ {\displaystyle h:E\rightarrow E'}
は可換である。このような同相写像が存在する場合、被覆空間 とが 同型である という。 E {\displaystyle E} E ′ {\displaystyle E'}
持ち上げ特性 すべての被覆は 揚力特性 を満たします。つまり、
を単位区間 と し 、 を被覆とする。 を連続写像とし、を のリフト 、すなわち となる連続写像とする。すると、 に対する 一意に定まる連続写像が存在し、 は のリフト 、すなわち となる 。 [2] : 60 I {\displaystyle I} p : E → X {\displaystyle p:E\rightarrow X} F : Y × I → X {\displaystyle F:Y\times I\rightarrow X} F ~ 0 : Y × { 0 } → E {\displaystyle {\tilde {F}}_{0}:Y\times \{0\}\rightarrow E} F | Y × { 0 } {\displaystyle F|_{Y\times \{0\}}} p ∘ F ~ 0 = F | Y × { 0 } {\displaystyle p\circ {\tilde {F}}_{0}=F|_{Y\times \{0\}}} F ~ : Y × I → E {\displaystyle {\tilde {F}}:Y\times I\rightarrow E} F ~ ( y , 0 ) = F ~ 0 {\displaystyle {\tilde {F}}(y,0)={\tilde {F}}_{0}} F {\displaystyle F} p ∘ F ~ = F {\displaystyle p\circ {\tilde {F}}=F}
がパス連結空間である 場合、 に対しては 写像は における パス のリフトであり 、 に対しては 写像は におけるパスの ホモトピー のリフトであることがわかります 。 X {\displaystyle X} Y = { 0 } {\displaystyle Y=\{0\}} F ~ {\displaystyle {\tilde {F}}} X {\displaystyle X} Y = I {\displaystyle Y=I} X {\displaystyle X}
結果として、 単位円の 基本群は 無限巡回群 であり、これは のループのホモトピー類によって生成されることを示すことができる 。 [2] : 29 π 1 ( S 1 ) {\displaystyle \pi _{1}(S^{1})} γ : I → S 1 {\displaystyle \gamma :I\rightarrow S^{1}} γ ( t ) = ( cos ( 2 π t ) , sin ( 2 π t ) ) {\displaystyle \gamma (t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))}
を パス連結空間とし、 を連結被覆とする。任意の 2点をパスで連結した2点、 すなわち ととする 。 を の唯一の揚力とする と、写像は X {\displaystyle X} p : E → X {\displaystyle p:E\rightarrow X} x , y ∈ X {\displaystyle x,y\in X} γ {\displaystyle \gamma } γ ( 0 ) = x {\displaystyle \gamma (0)=x} γ ( 1 ) = y {\displaystyle \gamma (1)=y} γ ~ {\displaystyle {\tilde {\gamma }}} γ {\displaystyle \gamma }
L γ : p − 1 ( x ) → p − 1 ( y ) {\displaystyle L_{\gamma }:p^{-1}(x)\rightarrow p^{-1}(y)} と L γ ( γ ~ ( 0 ) ) = γ ~ ( 1 ) {\displaystyle L_{\gamma }({\tilde {\gamma }}(0))={\tilde {\gamma }}(1)} は 全単射で ある。 [2] : 69
が経路連結空間であり連結被覆である 場合 、誘導 群準同型 X {\displaystyle X} p : E → X {\displaystyle p:E\rightarrow X}
p # : π 1 ( E ) → π 1 ( X ) {\displaystyle p_{\#}:\pi _{1}(E)\rightarrow \pi _{1}(X)} と 、 p # ( [ γ ] ) = [ p ∘ γ ] {\displaystyle p_{\#}([\gamma ])=[p\circ \gamma ]} は 単射で あり、の 部分群 は のループのホモトピー類から成り 、そのリフトは のループである 。 [2] : 61 p # ( π 1 ( E ) ) {\displaystyle p_{\#}(\pi _{1}(E))} π 1 ( X ) {\displaystyle \pi _{1}(X)} X {\displaystyle X} E {\displaystyle E}
枝分かれした被覆
定義
リーマン面間の正則写像 および を リーマン面 、つまり 1 次元 複素多様体 とし、 を 連続写像とします。 が点 において正則 で ある場合、 および の任意 の 図 に対してが 成り立ち 、 のとき 、写像 は 正則 です 。 X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} f : X → Y {\displaystyle f:X\rightarrow Y} f {\displaystyle f} x ∈ X {\displaystyle x\in X} ϕ x : U 1 → V 1 {\displaystyle \phi _{x}:U_{1}\rightarrow V_{1}} x {\displaystyle x} ϕ f ( x ) : U 2 → V 2 {\displaystyle \phi _{f(x)}:U_{2}\rightarrow V_{2}} f ( x ) {\displaystyle f(x)} ϕ x ( U 1 ) ⊂ U 2 {\displaystyle \phi _{x}(U_{1})\subset U_{2}} ϕ f ( x ) ∘ f ∘ ϕ x − 1 : C → C {\displaystyle \phi _{f(x)}\circ f\circ \phi _{x}^{-1}:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} }
が正則である 場合、 は正則で ある と言えます 。 f {\displaystyle f} x ∈ X {\displaystyle x\in X} f {\displaystyle f}
この写像は における の 局所表現 と呼ばれます 。 F = ϕ f ( x ) ∘ f ∘ ϕ x − 1 {\displaystyle F=\phi _{f(x)}\circ f\circ \phi _{x}^{-1}} f {\displaystyle f} x ∈ X {\displaystyle x\in X}
がコンパクトリーマン面の 間の非定数正則写像である 場合 、は 射影的 かつ 開写像 である 、 [5] ：11 すなわち、任意の開集合に対して 像 も 開である。 f : X → Y {\displaystyle f:X\rightarrow Y} f {\displaystyle f} U ⊂ X {\displaystyle U\subset X} f ( U ) ⊂ Y {\displaystyle f(U)\subset Y}
分岐点と分岐点 をコンパクトリーマン面間の非定数正則写像とする。任意のに対して 、 とに対する チャートが存在し、 一意に定まる が存在し、 における の 局所表現 は の形となる 。 [5] : 10 数は における の 分岐指数 と呼ばれ、 の場合には 点は 分岐点 と呼ばれる 。 に対してならば 、は 分岐しない である。 分岐点の 像点は 分岐点と呼ばれる。 f : X → Y {\displaystyle f:X\rightarrow Y} x ∈ X {\displaystyle x\in X} x {\displaystyle x} f ( x ) {\displaystyle f(x)} k x ∈ N > 0 {\displaystyle k_{x}\in \mathbb {N_{>0}} } F {\displaystyle F} f {\displaystyle f} x {\displaystyle x} z ↦ z k x {\displaystyle z\mapsto z^{k_{x}}} k x {\displaystyle k_{x}} f {\displaystyle f} x {\displaystyle x} x ∈ X {\displaystyle x\in X} k x ≥ 2 {\displaystyle k_{x}\geq 2} k x = 1 {\displaystyle k_{x}=1} x ∈ X {\displaystyle x\in X} x {\displaystyle x} y = f ( x ) ∈ Y {\displaystyle y=f(x)\in Y}
正則写像の次数 をコンパクトリーマン面間の非定数正則写像とする。 の 次数は 非 分岐点 のファイバーの濃度 、すなわち である 。 f : X → Y {\displaystyle f:X\rightarrow Y} deg ( f ) {\displaystyle \operatorname {deg} (f)} f {\displaystyle f} y = f ( x ) ∈ Y {\displaystyle y=f(x)\in Y} deg ( f ) := | f − 1 ( y ) | {\displaystyle \operatorname {deg} (f):=|f^{-1}(y)|}
この数は明確に定義されており、すべての ファイバーは 離散的であり [5] : 20 であり、任意の2つの非分岐点に対しては 次のように表される。 y ∈ Y {\displaystyle y\in Y} f − 1 ( y ) {\displaystyle f^{-1}(y)} y 1 , y 2 ∈ Y {\displaystyle y_{1},y_{2}\in Y} | f − 1 ( y 1 ) | = | f − 1 ( y 2 ) | . {\displaystyle |f^{-1}(y_{1})|=|f^{-1}(y_{2})|.}
次のように計算できます。
∑ x ∈ f − 1 ( y ) k x = deg ( f ) {\displaystyle \sum _{x\in f^{-1}(y)}k_{x}=\operatorname {deg} (f)} [5] : 29
枝分かれした被覆
意味 連続写像 は、 が 被覆である
ような 稠密 補集合 を持つ 閉集合 が存在する場合 、 分岐被覆 と呼ばれます。 f : X → Y {\displaystyle f:X\rightarrow Y} E ⊂ Y {\displaystyle E\subset Y} f | X ∖ f − 1 ( E ) : X ∖ f − 1 ( E ) → Y ∖ E {\displaystyle f_{|X\smallsetminus f^{-1}(E)}:X\smallsetminus f^{-1}(E)\rightarrow Y\smallsetminus E}
例 およびとする と 、 は 次数 の分岐被覆 となり 、 は 分岐点となります。 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} f : C → C {\displaystyle f:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} } f ( z ) = z n {\displaystyle f(z)=z^{n}} n {\displaystyle n} z = 0 {\displaystyle z=0} 次数の コンパクト リーマン面間のすべての非定数正則写像は、 次数の分岐被覆です 。 f : X → Y {\displaystyle f:X\rightarrow Y} d {\displaystyle d} d {\displaystyle d}
ユニバーサルカバー
意味 を単連結 被覆とする 。 を 別の単連結被覆とすると 、図式が p : X ~ → X {\displaystyle p:{\tilde {X}}\rightarrow X} β : E → X {\displaystyle \beta :E\rightarrow X} α : X ~ → E {\displaystyle \alpha :{\tilde {X}}\rightarrow E}
通勤者 [6] ：482
これは 、同値性まで、 が一意に決定され、その 普遍的性質 により、空間 の 普遍的被覆 として表されることを意味します 。 p {\displaystyle p} X {\displaystyle X}
存在 普遍被覆は常に存在するわけではない。次の定理は、ある種の基底空間に対して普遍被覆が存在することを保証する。
を連結かつ 局所単連結な 位相空間とする 。すると、普遍被覆が存在する。 X {\displaystyle X} p : X ~ → X . {\displaystyle p:{\tilde {X}}\rightarrow X.}
集合は 、任意の基点が与えられた場合、 次の ように定義される。写像は [2] によって定義される ：64 X ~ {\displaystyle {\tilde {X}}} X ~ = { γ : γ is a path in X with γ ( 0 ) = x 0 } / homotopy with fixed ends , {\displaystyle {\tilde {X}}=\{\gamma :\gamma {\text{ is a path in }}X{\text{ with }}\gamma (0)=x_{0}\}/{\text{homotopy with fixed ends}},} x 0 ∈ X {\displaystyle x_{0}\in X} p : X ~ → X {\displaystyle p:{\tilde {X}}\rightarrow X} p ( [ γ ] ) = γ ( 1 ) . {\displaystyle p([\gamma ])=\gamma (1).}
上の 位相 は 次のように構築されます。 が を持つパスであるとします。 が の単連結近傍であるとします 。 すると、任意の に対して、 から への パス が 存在し、これは ホモトピー を除いて一意です 。次に、集合 を考えます。 による 制約は 一対一であり、最終的 な 位相 を備えることができます [ さらなる説明が必要 ] X ~ {\displaystyle {\tilde {X}}} γ : I → X {\displaystyle \gamma :I\rightarrow X} γ ( 0 ) = x 0 . {\displaystyle \gamma (0)=x_{0}.} U {\displaystyle U} x = γ ( 1 ) . {\displaystyle x=\gamma (1).} y ∈ U , {\displaystyle y\in U,} σ y {\displaystyle \sigma _{y}} U {\displaystyle U} x {\displaystyle x} y {\displaystyle y} U ~ = { γ σ y : y ∈ U } / homotopy with fixed ends . {\displaystyle {\tilde {U}}=\{\gamma \sigma _{y}:y\in U\}/{\text{homotopy with fixed ends}}.} p | U ~ : U ~ → U {\displaystyle p|_{\tilde {U}}:{\tilde {U}}\rightarrow U} p ( [ γ σ y ] ) = γ σ y ( 1 ) = y {\displaystyle p([\gamma \sigma _{y}])=\gamma \sigma _{y}(1)=y} U ~ {\displaystyle {\tilde {U}}} p | U ~ . {\displaystyle p|_{\tilde {U}}.}
基本群は によって 自由 に 作用し 、軌道空間は 写像を通して に同相である。 π 1 ( X , x 0 ) = Γ {\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})=\Gamma } X ~ {\displaystyle {\tilde {X}}} ( [ γ ] , [ x ~ ] ) ↦ [ γ x ~ ] , {\displaystyle ([\gamma ],[{\tilde {x}}])\mapsto [\gamma {\tilde {x}}],} Γ ∖ X ~ {\displaystyle \Gamma \backslash {\tilde {X}}} X {\displaystyle X} [ Γ x ~ ] ↦ x ~ ( 1 ) . {\displaystyle [\Gamma {\tilde {x}}]\mapsto {\tilde {x}}(1).}
例 ハワイアンイヤリング。一番大きい10個の円のみが表示されています。 p : R → S 1 {\displaystyle p:\mathbb {R} \to S^{1}} は 単位円の普遍被覆です 。 p ( t ) = ( cos ( 2 π t ) , sin ( 2 π t ) ) {\displaystyle p(t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))} S 1 {\displaystyle S^{1}} p : S n → R P n ≅ { + 1 , − 1 } ∖ S n {\displaystyle p:S^{n}\to \mathbb {R} P^{n}\cong \{+1,-1\}\backslash S^{n}} は の 射影空間 の普遍被覆です 。 p ( x ) = [ x ] {\displaystyle p(x)=[x]} R P n {\displaystyle \mathbb {R} P^{n}} n > 1 {\displaystyle n>1} p : S U ( n ) × R → U ( n ) {\displaystyle p:\mathrm {SU} (n)\times \mathbb {R} \to U(n)} は ユニタリ群 の普遍被覆です 。 p ( A , t ) = exp ( 2 π i t ) A {\displaystyle p(A,t)=\exp(2\pi it)A} U ( n ) {\displaystyle U(n)} なので、 商写像は の普遍被覆である ことがわかります 。 S U ( 2 ) ≅ S 3 {\displaystyle \mathrm {SU} (2)\cong S^{3}} p : S U ( 2 ) → S U ( 2 ) / Z 2 ≅ S O ( 3 ) {\displaystyle p:\mathrm {SU} (2)\rightarrow \mathrm {SU} (2)/\mathbb {Z_{2}} \cong \mathrm {SO} (3)} S O ( 3 ) {\displaystyle \mathrm {SO} (3)} 普遍被覆を持たない位相空間は ハワイアンイヤリング である。 原点の近傍はどれも 単連結ではないことが示される。 [6] : 487、例1 X = ⋃ n ∈ N { ( x 1 , x 2 ) ∈ R 2 : ( x 1 − 1 n ) 2 + x 2 2 = 1 n 2 } {\displaystyle X=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\left\{(x_{1},x_{2})\in \mathbb {R} ^{2}:{\Bigl (}x_{1}-{\frac {1}{n}}{\Bigr )}^{2}+x_{2}^{2}={\frac {1}{n^{2}}}\right\}} ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)}
Gカバー Gを 位相空間 X に 作用する 離散群 とする 。 これは、 G の各元 gが、 X の それ自身への同相写像 H g に関連付けられ、 G の任意の 2つの元 g と hに対して、 H g hが常に H g H h に等しいということを意味する 。（言い換えれば、群 G の空間 Xへの群作用は、群 G の X の自己同相の 群 Homeo( X ) への群準同型にすぎない。） Xから 軌道空間 X / G への 射影がどのような条件下で 被覆写像となるのかを問うのは自然なことである。作用は不動点を持つ場合があるため、これは常に真であるわけではない。その一例は、 非単位元が ( x , y ) ↦ ( y , x )によって作用するねじり作用によって積 X × X に作用する位数 2 の巡回群である。したがって、 X と X / G の基本群の関係の研究は それほど簡単ではない。 ∘ {\displaystyle \circ }
しかし、群 G は X の 基本 群 に作用するので、群に作用する群とそれに対応する 軌道群を 考えることで研究を最もよく扱うことができます。この理論は、 後述する書籍 「位相と群群」 の第 11 章に記載されています。主な結果は、普遍被覆を許容するハウスドルフ空間 Xへの群 Gの不連続作用に対して、軌道空間 X / G の基本群が X の基本群の軌道群に同型 、つまりその群を群 G の作用で割った商になることです。これにより、たとえば空間の対称正方形の基本群の計算などが明示的に可能になります。
滑らかな覆い E と M を 境界付き 、あるいは 境界なしの 滑らかな多様体 と する 。被覆が 滑らかな 写像 であり 、かつシートが M の対応する開部分集合に 微分同相的に写像されるとき、その被覆は滑らかな被覆と呼ばれる。（これは、シートが対応する開部分集合に 同相的に 写像されることのみを要求する被覆の定義とは対照的である 。） π : E → M {\displaystyle \pi :E\to M}
意味 を被覆とする。 デッキ 変換は 同相写像であり 、連続写像の図式は p : E → X {\displaystyle p:E\rightarrow X} d : E → E {\displaystyle d:E\rightarrow E}
は可換である。マップの合成と合わせて、デッキ変換の集合は 群 を形成し、これは と同じである 。 Deck ( p ) {\displaystyle \operatorname {Deck} (p)} Aut ( p ) {\displaystyle \operatorname {Aut} (p)}
ここで、 が被覆写像であり、 （したがって も）が連結かつ局所経路連結であると仮定します。 各ファイバーへ の の作用は 自由 です。この作用があるファイバー上で 推移的 であれば、すべてのファイバー上で推移的であり、この被覆を 正則 （または 正規 、あるいは ガロア ）と呼びます。このような正則被覆はすべて 主 -バンドル であり、 は 離散位相群とみなされます。 p : C → X {\displaystyle p:C\to X} C {\displaystyle C} X {\displaystyle X} Aut ( p ) {\displaystyle \operatorname {Aut} (p)} G {\displaystyle G} G = Aut ( p ) {\displaystyle G=\operatorname {Aut} (p)}
すべての普遍被覆は正則であり、デッキ変換群は 基本群 と同型です 。 p : D → X {\displaystyle p:D\to X} π 1 ( X ) {\displaystyle \pi _{1}(X)}
例 を の カバーとすると 、 のマップ は デッキ変換であり、 です 。 q : S 1 → S 1 {\displaystyle q:S^{1}\to S^{1}} q ( z ) = z n {\displaystyle q(z)=z^{n}} n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } d k : S 1 → S 1 : z ↦ z e 2 π i k / n {\displaystyle d_{k}:S^{1}\rightarrow S^{1}:z\mapsto z\,e^{2\pi ik/n}} k ∈ Z {\displaystyle k\in \mathbb {Z} } Deck ( q ) ≅ Z / n Z {\displaystyle \operatorname {Deck} (q)\cong \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} } を 被覆 とすると 、 のマップ は デッキ変換となり、 となります 。 r : R → S 1 {\displaystyle r:\mathbb {R} \to S^{1}} r ( t ) = ( cos ( 2 π t ) , sin ( 2 π t ) ) {\displaystyle r(t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))} d k : R → R : t ↦ t + k {\displaystyle d_{k}:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} :t\mapsto t+k} k ∈ Z {\displaystyle k\in \mathbb {Z} } Deck ( r ) ≅ Z {\displaystyle \operatorname {Deck} (r)\cong \mathbb {Z} } もう一つの重要な例として、 複素平面と 原点を除いた複素平面を考えてみましょう。このとき、 の写像は 正則被覆となります。デッキ変換は の乗根 を持つ乗法であり 、したがってデッキ変換群は 巡回群 と同型です。同様に、の 写像は 普遍被覆となります。 C {\displaystyle \mathbb {C} } C × {\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }} p : C × → C × {\displaystyle p:\mathbb {C} ^{\times }\to \mathbb {C} ^{\times }} p ( z ) = z n {\displaystyle p(z)=z^{n}} n {\displaystyle n} Z / n Z {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} } exp : C → C × {\displaystyle \exp :\mathbb {C} \to \mathbb {C} ^{\times }} exp ( z ) = e z {\displaystyle \exp(z)=e^{z}}
プロパティ をパス連結空間とし、 を 連結被覆とする。デッキ変換は 単射で あるため 、ファイバーの元を で置換し 、 は単一の点を に送る場所によって一意に決定される。特に、恒等写像のみがファイバー内の点を固定する。 [2] : 70 この性質により、すべてのデッキ変換は への 群作用 を定義する。すなわち、 を の開近傍と し、 を の開近傍とすると 、は 群作用 となる 。 X {\displaystyle X} p : E → X {\displaystyle p:E\rightarrow X} d : E → E {\displaystyle d:E\rightarrow E} p − 1 ( x ) {\displaystyle p^{-1}(x)} x ∈ X {\displaystyle x\in X} E {\displaystyle E} U ⊂ X {\displaystyle U\subset X} x ∈ X {\displaystyle x\in X} U ~ ⊂ E {\displaystyle {\tilde {U}}\subset E} e ∈ p − 1 ( x ) {\displaystyle e\in p^{-1}(x)} Deck ( p ) × E → E : ( d , U ~ ) ↦ d ( U ~ ) {\displaystyle \operatorname {Deck} (p)\times E\rightarrow E:(d,{\tilde {U}})\mapsto d({\tilde {U}})}
通常のカバー
意味 被覆が のとき、正規被覆と呼ばれます 。これは、任意の と任意の 2に対して 、 となるような デッキ変換 が存在することを意味します 。 p : E → X {\displaystyle p:E\rightarrow X} Deck ( p ) ∖ E ≅ X {\displaystyle \operatorname {Deck} (p)\backslash E\cong X} x ∈ X {\displaystyle x\in X} e 0 , e 1 ∈ p − 1 ( x ) {\displaystyle e_{0},e_{1}\in p^{-1}(x)} d : E → E {\displaystyle d:E\rightarrow E} d ( e 0 ) = e 1 {\displaystyle d(e_{0})=e_{1}}
プロパティ が 経路連結空間であり、が 連結被覆であるとする。 が の 部分群 であるとする と、 が正規被覆である場合と、 が の 正規部分群 である場合に限ります 。 X {\displaystyle X} p : E → X {\displaystyle p:E\rightarrow X} H = p # ( π 1 ( E ) ) {\displaystyle H=p_{\#}(\pi _{1}(E))} π 1 ( X ) {\displaystyle \pi _{1}(X)} p {\displaystyle p} H {\displaystyle H} π 1 ( X ) {\displaystyle \pi _{1}(X)}
が正規被覆で の 場合 、 となります 。 p : E → X {\displaystyle p:E\rightarrow X} H = p # ( π 1 ( E ) ) {\displaystyle H=p_{\#}(\pi _{1}(E))} Deck ( p ) ≅ π 1 ( X ) / H {\displaystyle \operatorname {Deck} (p)\cong \pi _{1}(X)/H}
がパス連結被覆で ならば となり、 は の 正規化子 となる 。 [2] : 71 p : E → X {\displaystyle p:E\rightarrow X} H = p # ( π 1 ( E ) ) {\displaystyle H=p_{\#}(\pi _{1}(E))} Deck ( p ) ≅ N ( H ) / H {\displaystyle \operatorname {Deck} (p)\cong N(H)/H} N ( H ) {\displaystyle N(H)} H {\displaystyle H}
を位相空間とする 。群が に 不連続に 作用すると は、任意の が との 開近傍を持ち 、任意の に対して が存在することを 意味 する 。 E {\displaystyle E} Γ {\displaystyle \Gamma } E {\displaystyle E} e ∈ E {\displaystyle e\in E} V ⊂ E {\displaystyle V\subset E} V ≠ ∅ {\displaystyle V\neq \emptyset } d 1 , d 2 ∈ Γ {\displaystyle d_{1},d_{2}\in \Gamma } d 1 V ∩ d 2 V ≠ ∅ {\displaystyle d_{1}V\cap d_{2}V\neq \emptyset } d 1 = d 2 {\displaystyle d_{1}=d_{2}}
群が 位相空間 に不連続に作用する場合 、 を 伴う商写像 は正規被覆となる。 [2] : 72 ここで は 商 空間 でありは 群作用の 軌道 である。 Γ {\displaystyle \Gamma } E {\displaystyle E} q : E → Γ ∖ E {\displaystyle q:E\rightarrow \Gamma \backslash E} q ( e ) = Γ e {\displaystyle q(e)=\Gamma e} Γ ∖ E = { Γ e : e ∈ E } {\displaystyle \Gamma \backslash E=\{\Gamma e:e\in E\}} Γ e = { γ ( e ) : γ ∈ Γ } {\displaystyle \Gamma e=\{\gamma (e):\gamma \in \Gamma \}}
例 による カバーは 、あらゆる の通常のカバーです 。 q : S 1 → S 1 {\displaystyle q:S^{1}\to S^{1}} q ( z ) = z n {\displaystyle q(z)=z^{n}} n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } すべての単連結被覆は通常の被覆である。
計算 を位相空間上で不連続に作用する群とし 、 を 正規被覆とします。 Γ {\displaystyle \Gamma } E {\displaystyle E} q : E → Γ ∖ E {\displaystyle q:E\rightarrow \Gamma \backslash E}
がパス連結である 場合 、 。 [2] : 72 E {\displaystyle E} Deck ( q ) ≅ Γ {\displaystyle \operatorname {Deck} (q)\cong \Gamma } が 単連結であれば、 となる 。 [2] : 71 E {\displaystyle E} Deck ( q ) ≅ π 1 ( Γ ∖ E ) {\displaystyle \operatorname {Deck} (q)\cong \pi _{1}(\Gamma \backslash E)}
例 とする 。 の対蹠写像 は 、写像の合成とともに群を生成し、 に不連続に作用する 群作用 を誘導する 。 より 、商写像は 正規被覆であり、 は 普遍被覆であることがわかる 。 したがって、 については となる。 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } g : S n → S n {\displaystyle g:S^{n}\rightarrow S^{n}} g ( x ) = − x {\displaystyle g(x)=-x} D ( g ) ≅ Z / 2 Z {\displaystyle D(g)\cong \mathbb {Z/2Z} } D ( g ) × S n → S n , ( g , x ) ↦ g ( x ) {\displaystyle D(g)\times S^{n}\rightarrow S^{n},(g,x)\mapsto g(x)} S n {\displaystyle S^{n}} Z 2 ∖ S n ≅ R P n {\displaystyle \mathbb {Z_{2}} \backslash S^{n}\cong \mathbb {R} P^{n}} q : S n → Z 2 ∖ S n ≅ R P n {\displaystyle q:S^{n}\rightarrow \mathbb {Z_{2}} \backslash S^{n}\cong \mathbb {R} P^{n}} n > 1 {\displaystyle n>1} Deck ( q ) ≅ Z / 2 Z ≅ π 1 ( R P n ) {\displaystyle \operatorname {Deck} (q)\cong \mathbb {Z/2Z} \cong \pi _{1}({\mathbb {R} P^{n}})} n > 1 {\displaystyle n>1} を特殊直交群 とすると 、 写像は 正規被覆となり、 により普遍被覆となるため、 となります 。 S O ( 3 ) {\displaystyle \mathrm {SO} (3)} f : S U ( 2 ) → S O ( 3 ) ≅ Z 2 ∖ S U ( 2 ) {\displaystyle f:\mathrm {SU} (2)\rightarrow \mathrm {SO} (3)\cong \mathbb {Z_{2}} \backslash \mathrm {SU} (2)} S U ( 2 ) ≅ S 3 {\displaystyle \mathrm {SU} (2)\cong S^{3}} Deck ( f ) ≅ Z / 2 Z ≅ π 1 ( S O ( 3 ) ) {\displaystyle \operatorname {Deck} (f)\cong \mathbb {Z/2Z} \cong \pi _{1}(\mathrm {SO} (3))} の 群作用（ここで は半直積）により 、 クライン の 壺 の 普遍 被覆が得られるので 、 となります 。 ( z 1 , z 2 ) ∗ ( x , y ) = ( z 1 + ( − 1 ) z 2 x , z 2 + y ) {\displaystyle (z_{1},z_{2})*(x,y)=(z_{1}+(-1)^{z_{2}}x,z_{2}+y)} Z 2 {\displaystyle \mathbb {Z^{2}} } R 2 {\displaystyle \mathbb {R^{2}} } ( Z 2 , ∗ ) {\displaystyle (\mathbb {Z^{2}} ,*)} Z ⋊ Z {\displaystyle \mathbb {Z} \rtimes \mathbb {Z} } f : R 2 → ( Z ⋊ Z ) ∖ R 2 ≅ K {\displaystyle f:\mathbb {R^{2}} \rightarrow (\mathbb {Z} \rtimes \mathbb {Z} )\backslash \mathbb {R^{2}} \cong K} K {\displaystyle K} Deck ( f ) ≅ Z ⋊ Z ≅ π 1 ( K ) {\displaystyle \operatorname {Deck} (f)\cong \mathbb {Z} \rtimes \mathbb {Z} \cong \pi _{1}(K)} に埋め込まれた トーラス をと する 。すると同相写像 が得られ、 これ は不連続な群作用 を誘導する 。したがって、写像 は クラインの壺の正規被覆となるため、 となる 。 T = S 1 × S 1 {\displaystyle T=S^{1}\times S^{1}} C 2 {\displaystyle \mathbb {C^{2}} } α : T → T : ( e i x , e i y ) ↦ ( e i ( x + π ) , e − i y ) {\displaystyle \alpha :T\rightarrow T:(e^{ix},e^{iy})\mapsto (e^{i(x+\pi )},e^{-iy})} G α × T → T {\displaystyle G_{\alpha }\times T\rightarrow T} G α ≅ Z / 2 Z {\displaystyle G_{\alpha }\cong \mathbb {Z/2Z} } f : T → G α ∖ T ≅ K {\displaystyle f:T\rightarrow G_{\alpha }\backslash T\cong K} Deck ( f ) ≅ Z / 2 Z {\displaystyle \operatorname {Deck} (f)\cong \mathbb {Z/2Z} } を に埋め込むとします 。 群作用は 不連続であり、 は 互いに素 であるため 、写像は レンズ空間 の普遍被覆となり 、したがって となります 。 S 3 {\displaystyle S^{3}} C 2 {\displaystyle \mathbb {C^{2}} } S 3 × Z / p Z → S 3 : ( ( z 1 , z 2 ) , [ k ] ) ↦ ( e 2 π i k / p z 1 , e 2 π i k q / p z 2 ) {\displaystyle S^{3}\times \mathbb {Z/pZ} \rightarrow S^{3}:((z_{1},z_{2}),[k])\mapsto (e^{2\pi ik/p}z_{1},e^{2\pi ikq/p}z_{2})} p , q ∈ N {\displaystyle p,q\in \mathbb {N} } f : S 3 → Z p ∖ S 3 =: L p , q {\displaystyle f:S^{3}\rightarrow \mathbb {Z_{p}} \backslash S^{3}=:L_{p,q}} L p , q {\displaystyle L_{p,q}} Deck ( f ) ≅ Z / p Z ≅ π 1 ( L p , q ) {\displaystyle \operatorname {Deck} (f)\cong \mathbb {Z/pZ} \cong \pi _{1}(L_{p,q})}
ガロア対応 を連結かつ 局所単連結な 空間とする と、任意の 部分群 に対してを満たす 経路連結な被覆が存在する 。 [2] : 66 X {\displaystyle X} H ⊆ π 1 ( X ) {\displaystyle H\subseteq \pi _{1}(X)} α : X H → X {\displaystyle \alpha :X_{H}\rightarrow X} α # ( π 1 ( X H ) ) = H {\displaystyle \alpha _{\#}(\pi _{1}(X_{H}))=H}
とを 二つの経路連結被覆とするとき、部分群と が 互いに 共役で ある場合に 限り 、それらは同値である。 [6] : 482 p 1 : E → X {\displaystyle p_{1}:E\rightarrow X} p 2 : E ′ → X {\displaystyle p_{2}:E'\rightarrow X} H = p 1 # ( π 1 ( E ) ) {\displaystyle H=p_{1\#}(\pi _{1}(E))} H ′ = p 2 # ( π 1 ( E ′ ) ) {\displaystyle H'=p_{2\#}(\pi _{1}(E'))}
が連結かつ局所的に単連結な空間である とすると、被覆間の同値性を除き、一対一の関係が存在する。 X {\displaystyle X}
{ Subgroup of π 1 ( X ) } ⟷ { path-connected covering p : E → X } H ⟶ α : X H → X p # ( π 1 ( E ) ) ⟵ p { normal subgroup of π 1 ( X ) } ⟷ { normal covering p : E → X } {\displaystyle {\begin{matrix}\qquad \displaystyle \{{\text{Subgroup of }}\pi _{1}(X)\}&\longleftrightarrow &\displaystyle \{{\text{path-connected covering }}p:E\rightarrow X\}\\H&\longrightarrow &\alpha :X_{H}\rightarrow X\\p_{\#}(\pi _{1}(E))&\longleftarrow &p\\\displaystyle \{{\text{normal subgroup of }}\pi _{1}(X)\}&\longleftrightarrow &\displaystyle \{{\text{normal covering }}p:E\rightarrow X\}\end{matrix}}}
部分群の列 に対しては 被覆の列 が得られる。 指数 の 部分群の場合 、被覆の 次数は である 。 { e } ⊂ H ⊂ G ⊂ π 1 ( X ) {\displaystyle \displaystyle \{{\text{e}}\}\subset H\subset G\subset \pi _{1}(X)} X ~ ⟶ X H ≅ H ∖ X ~ ⟶ X G ≅ G ∖ X ~ ⟶ X ≅ π 1 ( X ) ∖ X ~ {\displaystyle {\tilde {X}}\longrightarrow X_{H}\cong H\backslash {\tilde {X}}\longrightarrow X_{G}\cong G\backslash {\tilde {X}}\longrightarrow X\cong \pi _{1}(X)\backslash {\tilde {X}}} H ⊂ π 1 ( X ) {\displaystyle H\subset \pi _{1}(X)} [ π 1 ( X ) : H ] = d {\displaystyle \displaystyle [\pi _{1}(X):H]=d} α : X H → X {\displaystyle \alpha :X_{H}\rightarrow X} d {\displaystyle d}
分類
定義
カバーのカテゴリー を位相空間とする。この カテゴリ の対象は の 被覆 と、 2つの被覆と の間の 射 が 連続写像であり 、図式は X {\displaystyle X} C o v ( X ) {\displaystyle {\boldsymbol {Cov(X)}}} p : E → X {\displaystyle p:E\rightarrow X} X {\displaystyle X} p : E → X {\displaystyle p:E\rightarrow X} q : F → X {\displaystyle q:F\rightarrow X} f : E → F {\displaystyle f:E\rightarrow F}
通勤する。
Gセット を位相群 とする 。 圏 は G- 集合 である集合の圏である 。射 はG-集合間の G-写像 である。これらは任意の に対して 条件を満たす 。 G {\displaystyle G} G − S e t {\displaystyle {\boldsymbol {G-Set}}} ϕ : X → Y {\displaystyle \phi :X\rightarrow Y} ϕ ( g x ) = g ϕ ( x ) {\displaystyle \phi (gx)=g\,\phi (x)} g ∈ G {\displaystyle g\in G}
等価 を連結かつ局所単連結な空間 とし、 を の基本群とする 。 は 、パスを持ち上げてその端点で評価することにより、被覆の繊維への群作用を定義するので、 関手は カテゴリ の同値 となる 。 [2] : 68–70 X {\displaystyle X} x ∈ X {\displaystyle x\in X} G = π 1 ( X , x ) {\displaystyle G=\pi _{1}(X,x)} X {\displaystyle X} G {\displaystyle G} F : C o v ( X ) ⟶ G − S e t : p ↦ p − 1 ( x ) {\displaystyle F:{\boldsymbol {Cov(X)}}\longrightarrow {\boldsymbol {G-Set}}:p\mapsto p^{-1}(x)}
アプリケーション ジンバル ロックは 、任意の写像 T 3 → RP 3 が被覆写像ではないために発生します。特に、関連する写像は、 T 3 の任意の要素、つまり角度 (実数 mod 2 π ) の順序付き 3 組 (a,b,c) を、それぞれそれらの角度による 3 つの座標軸回転 R x (a) R y (b) R z (c) の合成に持ち込みます。これらの回転とその合成はそれぞれ、位相的には RP 3 である回転群 SO(3) の要素です。このアニメーションは、 3 つの 自由度を可能にするために一緒に取り付けられた 3 つのジンバルのセットを示しています 。3 つのジンバルがすべて一列に並ぶと (同じ平面に)、システムはこの構成から 3 次元ではなく 2 次元にのみ移動でき、 ジンバル ロック 状態になります。この場合、ピッチングまたはヨーはできますが、ロール (軸がすべて存在する平面で回転) はできません。 ∘ {\displaystyle \circ } ∘ {\displaystyle \circ } 被覆空間の重要な実用的応用は、 回転群 SO (3) のチャート に見られる。この群は工学で広く見られる。これは、3次元回転が 航海 、 船舶工学 、 航空宇宙工学 など多くの用途で多用されているためである。位相的には、SO(3) は 実射影空間 RP 3 であり、基本群 Z /2 を持ち、（非自明な）被覆空間は超球面 S 3 のみである。超球面 S 3は Spin(3) 群であり 、単位 四元数 で表される。したがって、四元数は空間回転を表すための好ましい方法である。 四元数と空間回転 を参照のこと。
しかし、多くの場合、回転をオイラー角 （さまざまなバリエーション） と呼ばれる3つの数の集合で表すことが望ましいです。これは、平面回転に慣れている人にとって概念が簡単であることと、3つの ジンバルの組み合わせを構築して3次元の回転を生成できるためです。位相的には、これは3つの角度の3次元トーラス T 3 から回転の実射影空間 RP 3 への写像に対応 し、結果として得られる写像には、この写像が被覆写像になることができないために不完全性があります。具体的には、特定の点で写像が局所同相になることができないことを ジンバル ロック と呼び、右のアニメーションで示されています。いくつかの点（軸が共平面にある場合）では、写像の 階数は 3ではなく2であり、角度を変更することによってその点から2次元の回転しか実現できないことを意味します。これはアプリケーションで問題を引き起こし、被覆空間の概念によって形式化されます。
参照
さらに読む
参考文献 ^ フォースター、オットー (1981). 「第1章 被覆空間」. リーマン面講義 . GTM. ブルース・ギリアン訳. ニューヨーク: シュプリンガー. ISBN 9781461259633 。 ^ abcdefghijklmnop ハッチャー、アレン (2001). 代数的位相幾何学 . ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-79160-X 。 ^ ローランド、トッド。「被覆マップ」。Eric W. Weisstein作成のMathWorld（Wolfram Webリソース）より。https://mathworld.wolfram.com/CoveringMap.html ^ ヴォルフガング、キューネル (2010 年 12 月 6 日)。 マトリゼンとリーグルッペン 。シュトゥットガルト: Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH。 ISBN 978-3-8348-9905-7 。 ^ abcdefg フォースター、オットー (1991)。 リーマン面についての講義 。ミュンヘン：シュプリンガーベルリン。 ISBN 978-3-540-90617-9 。 ^ abcde マンクレス、ジェームズ (2000). トポロジー . アッパーサドルリバー、ニュージャージー州: プレンティスホール社. ISBN 978-0-13-468951-7 。 
![{\displaystyle Y=[0,1]\times \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b566709fb62d0c99d75506726ea4f22fc3f98078)
![{\displaystyle X=[0,1]\times S^{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ecfebcfe87fcb8d16f87d9f6dfecca71bf16af1)
![{\displaystyle p_{\#}([\gamma ])=[p\circ \gamma ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0da1f32b69d662c4ca704e03c7f6665cc4c2bbe)
![{\displaystyle p([\gamma ])=\gamma (1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88161f80c6b7485988e4316566ca3403a07d3120)
![{\displaystyle p([\gamma \sigma _{y}])=\gamma \sigma _{y}(1)=y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fde7cec13ae9d68141ad43a3b98b5826e0e59e4)
![{\displaystyle ([\gamma ],[{\tilde {x}}])\mapsto [\gamma {\tilde {x}}],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce4233e45b128ca2c7c9da8172d420335be02fba)
![{\displaystyle [\Gamma {\チルダ {x}}]\mapsto {\チルダ {x}}(1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8013d086e999f585e622aefa4be8eb7e915a07c1)
![{\displaystyle p(x)=[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24b8773dff8ad19fc5a8f33134a4da367b04fc0c)
![{\displaystyle S^{3}\times \mathbb {Z/pZ} \rightarrow S^{3}:((z_{1},z_{2}),[k])\mapsto (e^{2\pi ik/p}z_{1},e^{2\pi ikq/p}z_{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72ebd3752fc18f7e53cc92a583d04ac1b95a75ac)
![{\displaystyle \displaystyle [\pi _{1}(X):H]=d}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b9159dd8a0e29ba795fe865ddb5140ae95fd675)
