線形安定性

数学において、微分方程式と力学系の理論において、非線形システムの特定の定常解または準定常解は、この解における方程式の線形化がの形をとる場合、線形不安定と呼ばれます。ここで、rは定常状態への摂動、Aはスペクトルに正の実部を持つ固有値を含む線形演算子です。すべての固有値が負の実部を持つ場合、その解は線形安定と呼ばれます。線形安定性は、 指数安定性や第一近似による安定性などとも呼ばれます。^[1]^[2]実部がゼロの固有値が存在する場合、安定性に関する問題は第一近似に基づいて解決できず、いわゆる「中心と焦点の問題」に近づきます。^[3] $dr/dt=Ar$

例

常微分方程式

この微分方程式には、 x = 0 とx = 1 という2つの定常解（時間に依存しない解）があります。x = 0 における線形化はの形をとります。線形化された演算子はA _{0 = 1 です}。唯一の固有値はです。この方程式の解は指数関数的に増加します。定常点x = 0 は線形不安定です。 ${\frac {dx}{dt}}=x-x^{2}$ ${\frac {dx}{dt}}=x$ $\lambda =1$

$x = 1$ における線形化を導くには、と書きます（ただし $r$ $=$ $x$ $- 1$ ）。線形化された方程式はです。線形化された演算子は $A$ $1$ $= -1$ であり、唯一の固有値はです。したがって、この停留点は線形安定です。 ${\frac {dr}{dt}}=(1+r)-(1+r)^{2}=-r-r^{2}$ ${\frac {dr}{dt}}=-r$ $\lambda =-1$

非線形シュレーディンガー方程式

$u$ $($ $x$ $,$ $t$ $) \in$ $C$ かつ $k$ $> 0$ である非線形シュレーディンガー方程式には、形式の孤立波解があります。^[4]孤立波での線形化を導くために、形式の解を検討します。上の線形化方程式は、および微分演算子のとき、で与えられます。Vakhitov –Kolokolov の安定性基準によれば、^[5] $k$ $> 2$ のとき、 Aのスペクトルは正の点固有値を持つため、線形化方程式は線形（指数）的に不安定です。0 $<$ $k$ $\leq 2の場合、$ Aのスペクトルは純虚数であるため、対応する孤立波は線形に安定します。 $i{\frac {\partial u}{\partial t}}=-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-|u|^{2k}u,$ $\phi (x)e^{-i\omega t}$ $u(x,t)=(\phi (x)+r(x,t))e^{-i\omega t}$ $r(x,t)$ ${\frac {\partial }{\partial t}}{\begin{bmatrix}{\text{Re}}\,r\\{\text{Im}}\,r\end{bmatrix}}=A{\begin{bmatrix}{\text{Re}}\,r\\{\text{Im}}\,r\end{bmatrix}},$ $A={\begin{bmatrix}0&L_{0}\\-L_{1}&0\end{bmatrix}},$ $L_{0}=-{\frac {\partial }{\partial x^{2}}}-k\phi ^{2}-\omega$ $L_{1}=-{\frac {\partial }{\partial x^{2}}}-(2k+1)\phi ^{2}-\omega$

線形安定性は必ずしも安定性を意味するわけではないことに注意する必要がある。特に、 $k = 2$ の場合、孤立波は不安定となる。一方、 $0 < k < 2$ の場合、孤立波は線形安定であるだけでなく、軌道安定でもある。^[6]

参照

参考文献

^ VI Arnold, Ordinary Differential Equations . MIT Press, Cambridge, MA (1973)
^ P. グレニンディン著『安定性、不安定性、カオス：非線形微分方程式理論入門』ケンブリッジ大学出版局、1994年。
^ VV Nemytskii, VV Stepanov, "Qualitative theory of different equations", Princeton Univ. Press (1960)
^ H. Berestycki and P.-L. Lions (1983). 「非線形スカラー場方程式．I. 基底状態の存在」. Arch. Rational Mech. Anal . 82 (4): 313– 345. Bibcode :1983ArRMA..82..313B. doi :10.1007/BF00250555. S2CID 123081616.
^ NG VakhitovとAA Kolokolov (1973). 「非線形飽和を伴う媒質における波動方程式の定常解」. Radiophys. Quantum Electron . 16 (7): 783– 789. Bibcode :1973R&QE...16..783V. doi :10.1007/BF01031343. S2CID 123386885.
^ Manoussos Grillakis, Jalal Shatah, Walter Strauss (1987). 「対称性が存在する場合の孤立波の安定性理論 I」J. Funct. Anal . 74 : 160–197 . doi : 10.1016/0022-1236(87)90044-9 .{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[1] VI Arnold, Ordinary Differential Equations . MIT Press, Cambridge, MA (1973)

[2] P. グレニンディン著『安定性、不安定性、カオス：非線形微分方程式理論入門』ケンブリッジ大学出版局、1994年。

[3] VV Nemytskii, VV Stepanov, "Qualitative theory of different equations", Princeton Univ. Press (1960)

[4] H. Berestycki and P.-L. Lions (1983). 「非線形スカラー場方程式．I. 基底状態の存在」. Arch. Rational Mech. Anal . 82 (4): 313– 345. Bibcode :1983ArRMA..82..313B. doi :10.1007/BF00250555. S2CID 123081616.

[5] NG VakhitovとAA Kolokolov (1973). 「非線形飽和を伴う媒質における波動方程式の定常解」. Radiophys. Quantum Electron . 16 (7): 783– 789. Bibcode :1973R&QE...16..783V. doi :10.1007/BF01031343. S2CID 123386885.

[6] Manoussos Grillakis, Jalal Shatah, Walter Strauss (1987). 「対称性が存在する場合の孤立波の安定性理論 I」J. Funct. Anal . 74 : 160–197 . doi : 10.1016/0022-1236(87)90044-9 .{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)