上半平面

Complex numbers with non-negative imaginary part

数学において、上半平面（かくはんへんぱん） ${\displaystyle {\mathcal {H}},}$とは、直交平面上の点の集合で、 ⁠ ⁠ を満たす。下半 ${\displaystyle (x,y)}$平面（かくはんへんぱん）とは、点の集合で、 ⁠ ⁠を満たす。任意の向きの半平面は、平面回転によって得られる。半平面は、2次元半空間の一例である。半平面は、2つの象限に分割できる。 ${\displaystyle y>0.}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle y<0}$

アフィン幾何学

上半平面のアフィン変換には以下が含まれる。

1. シフト、、および ${\displaystyle (x,y)\mapsto (x+c,y)}$ ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$
2. 拡大、 ${\displaystyle (x,y)\mapsto (\lambda x,\lambda y)}$ ${\displaystyle \lambda >0.}$

命題: ⁠ ⁠ ${\displaystyle A}$と⁠ ⁠ を境界上に中心を持つ上半平面上の ${\displaystyle B}$半円とします。すると、を に写すアフィン写像が存在します 。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

証明: まず⁠ ⁠ ${\displaystyle A}$の中心を⁠ ⁠ ${\displaystyle (0,0).}$に移動します。次に ${\displaystyle \lambda =({\text{diameter of}}\ B)/({\text{diameter of}}\ A)}$

そして拡張します。そして中心に移動します ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle B.}$

逆幾何学

意味： 。 ${\displaystyle {\mathcal {Z}}:=\left\{\left(\cos ^{2}\theta ,{\tfrac {1}{2}}\sin 2\theta \right)\mid 0<\theta <\pi \right\}}$

⁠ ⁠ は、 ${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$⁠ ⁠を中心とする半径⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$の円として、また極座標として認識できます。 ${\displaystyle {\bigl (}{\tfrac {1}{2}},0{\bigr )},}$ ${\displaystyle \rho (\theta )=\cos \theta .}$

命題: ⁠ ⁠ ${\displaystyle (0,0),}$ ⁠ ${\displaystyle \rho (\theta )}$と⁠ ⁠ ${\displaystyle {\mathcal {Z}},}$における⁠ ${\displaystyle (1,\tan \theta )}$⁠は同一線上の点です。

実は、は単位円の直線の反転です。実際、 ⁠ ⁠から⁠ ⁠への対角線の長さは の2乗なので、 は その長さの逆数です。 ${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$ ${\displaystyle {\bigl \{}(1,y)\mid y>0{\bigr \}}}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle (1,\tan \theta )}$ ${\displaystyle 1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta }$ ${\displaystyle \rho (\theta )=\cos \theta }$

メトリック幾何学

上半平面内の任意の2点⁠ ⁠ ${\displaystyle p}$と⁠ ⁠ ${\displaystyle q}$間の距離は、次のように一貫して定義できます。 ⁠ ⁠から⁠ ⁠への線分の垂直二等分線は、境界と交差するか、境界に平行です。後者の場合、 ⁠ ⁠と⁠ ⁠は境界に垂直な放射線上にあり、対数測度を使用して膨張に対して不変な距離を定義できます。前者の場合、 ⁠ ⁠と⁠ ⁠は、垂直二等分線と境界の交点を中心とする円上にあります。上記の命題により、この円はアフィン運動で ⁠ ⁠ に移動できます。 ⁠ ⁠上の距離は、 ⁠ ⁠上の点との対応とこの放射線上の対数測度を使用して定義できます。結果として、上半平面は計量空間になります。この計量空間の一般名は双曲平面です。双曲幾何学のモデルでは、このモデルはポアンカレ半平面モデルと呼ばれることが多い。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\mathcal {Z}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$ ${\displaystyle {\bigl \{}(1,y)\mid y>0{\bigr \}}}$

複素平面

数学者は、デカルト平面を複素平面と同一視することがあります。その場合、上半平面は、虚数部が正である複素数の集合に対応します。

${\displaystyle {\mathcal {H}}:=\{x+iy\mid y>0;\ x,y\in \mathbb {R} \}.}$

この用語は、複素数を直交座標が与えられた平面上の点として視覚化する一般的な方法に由来する。軸が垂直に向いている場合、「上半平面」は軸の上側の領域に対応し、したがって となる複素数となる。 ${\displaystyle x+iy}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y>0}$

これは複素解析、特にモジュラー形式において重要な多くの関数の領域です。⁠ ⁠で定義される下半平面も同様に優れていますが、慣習的にはあまり用いられません。開単位円板⁠ ⁠ （絶対値が1未満のすべての複素数の集合）は、⁠ ⁠への等角写像によって同値です（「ポアンカレ計量」を参照）。つまり、 ⁠ ⁠と⁠ ⁠の間では通常、通過が可能です 。 ${\displaystyle y<0}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}.}$

双曲幾何学においても重要な役割を果たしており、ポアンカレ半平面モデルは双曲運動を検証する方法を提供します。ポアンカレ計量は空間上の 双曲計量を提供します。

曲面の均一化定理によれば、上半平面は一定の負のガウス曲率を持つ曲面の普遍被覆空間となります。

閉じた上半平面は、上半平面と実軸の和集合であり、上半平面の閉包である。

一般化

微分幾何学における自然な一般化の一つは、最大対称性、単連結、一定断面曲率を持つ-次元リーマン多様体である双曲的 ${\displaystyle n}$ -空間である。この用語では、上半平面は 実次元を持つため-空間である。 ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{n},}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{2}}$ ${\displaystyle 2.}$

数論において、ヒルベルト・モジュラー形式の理論は、上半平面の直積上の特定の関数の研究に関わる。数論学者にとって興味深いもう一つの空間は、ジーゲル・ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{n}}$モジュラー形式の定義域であるジーゲル上半空間である。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{n},}$

参照

• カスプ地区
• 拡張複素上半平面
• フックス群
• 基礎領域
• ハーフスペース
• クライン群
• モジュラーグループ
• 楕円曲線のモジュライスタック
• リーマン面
• シュヴァルツ・アールフォルス・ピック定理

参考文献

• ワイスタイン、エリック・W.「上半平面」。MathWorld。

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