ホッジ構造

数学において、ホッジ構造（ホッジせいぞうせい、英: Hodge structure）は、 WVD Hodgeにちなんで名付けられた、線型代数のレベルでの代数構造であり、ホッジ理論が滑らかでコンパクトなケーラー多様体のコホモロジー群に与える構造に類似している。ホッジ構造は、ピエール・ドリーニュ(1970)によって定義された混合ホッジ構造の形で、すべての複素多様体 (特異で非完全であっても) に一般化されている。ホッジ構造のバリエーションとして、多様体によってパラメータ化されたホッジ構造の族があり、フィリップ・グリフィス(1968) によって初めて研究された。これらの概念はすべて、斎藤守彦 (1989) によって複素多様体上の混合ホッジ加群にさらに一般化された。

ホッジ構造

ホッジ構造の定義

整数重みnの純粋ホッジ構造は、アーベル群とその複素化を 複素部分空間 の直和に分解したものから構成されます。ここで、 の複素共役は であるという性質があります。 ${\displaystyle H_{\mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H^{p,q}}$ ${\displaystyle p+q=n}$ ${\displaystyle H^{p,q}}$ ${\displaystyle H^{q,p}}$

${\displaystyle H:=H_{\mathbb {Z} }\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} =\bigoplus \nolimits _{p+q=n}H^{p,q},}$

${\displaystyle {\overline {H^{p,q}}}=H^{q,p}.}$

同等の定義は、 の直和分解をホッジ濾過、つまり条件を満たす 複素部分空間による有限減少濾過に置き換えることによって得られる。 ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle F^{p}H(p\in \mathbb {Z} ),}$

${\displaystyle \forall p,q\ :\ p+q=n+1,\qquad F^{p}H\cap {\overline {F^{q}H}}=0\quad {\text{and}}\quad F^{p}H\oplus {\overline {F^{q}H}}=H.}$

これら 2 つの説明の関係は次のとおりです。

${\displaystyle H^{p,q}=F^{p}H\cap {\overline {F^{q}H}},}$

${\displaystyle F^{p}H=\bigoplus \nolimits _{i\geq p}H^{i,n-i}.}$

例えば、がコンパクトケーラー多様体、が整数係数を持つXの- 番目のコホモロジー群である場合、 はその- 番目の複素係数を持つコホモロジー群であり、ホッジ理論は上記のようにを直和に分解するため、これらのデータは重み の純粋なホッジ構造を定義する。一方、ホッジ・ド・ラームスペクトル列は、 2番目の定義のように による減少するフィルタリングを与える。^{[ 1 ]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H_{\mathbb {Z} }=H^{n}(X,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle H=H^{n}(X,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle H^{n}}$ ${\displaystyle F^{p}H}$

代数幾何学への応用、すなわち複素射影多様体の周期による分類においては、重みのホッジ構造全体の集合は大きすぎる。リーマン双線型関係（この場合はホッジ・リーマン双線型関係と呼ばれる）を用いることで、これは大幅に簡略化できる。重みnの偏極ホッジ構造は、ホッジ構造と(偏極)上の非退化整数双線型形式から構成され、これは線型性によって まで拡張され、以下の条件を満たす。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle H_{\mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle (H_{\mathbb {Z} },H^{p,q})}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle H_{\mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle {\begin{aligned}Q(\varphi ,\psi )&=(-1)^{n}Q(\psi ,\varphi )&&{\text{ for }}\varphi \in H^{p,q},\psi \in H^{p',q'};\\Q(\varphi ,\psi )&=0&&{\text{ for }}\varphi \in H^{p,q},\psi \in H^{p',q'},p\neq q';\\i^{p-q}Q\left(\varphi ,{\bar {\varphi }}\right)&>0&&{\text{ for }}\varphi \in H^{p,q},\ \varphi \neq 0.\end{aligned}}}$

ホッジ濾過の観点から見ると、これらの条件は次のことを意味する。

${\displaystyle {\begin{aligned}Q\left(F^{p},F^{n-p+1}\right)&=0,\\Q\left(C\varphi ,{\bar {\varphi }}\right)&>0&&{\text{ for }}\varphi \neq 0,\end{aligned}}}$

ここで、 は上のWeil 演算子であり、上でによって与えられます。 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle C=i^{p-q}}$ ${\displaystyle H^{p,q}}$

ホッジ構造のもう一つの定義は、複素ベクトル空間上の - 次数と円群U(1)の作用との同値性に基づいている。この定義では、複素数の乗法群を2次元実代数トーラスとして見たときの作用が に与えられる。[ ^{2 ]この}作用は、実数a がa ⁿによって作用するという性質を持つ必要がある。部分空間とは、 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H^{p,q}}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle z^{\,p}{\bar {z}}^{\,q}.}$

A -ホッジ構造

モチーフ理論においては、コホモロジーのより一般的な係数を許容することが重要となる。ホッジ構造の定義は、実数体のネーター部分環A （ は体）を固定することによって修正される。すると、重みnの純粋ホッジA構造が、前述と同様に定義され、 をAに置き換える。Bの部分環であるAに対して、ホッジA構造とB構造を関連付ける基底変換および制限の自然な関手が存在する。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

混合ホッジ構造

1960年代にジャン＝ピエール・セールはヴェイユ予想に基づき、特異（おそらくは可約）かつ非完備代数多様体でさえも「仮想ベッティ数」を持つはずであると指摘した。より正確には、任意の代数多様体Xに、その仮想ポアンカレ多項式と呼ばれる多項式P _X ( t )を割り当てることができ、次の性質を 満たすはずである。

• Xが非特異かつ射影的（または完全）である場合 $${\displaystyle P_{X}(t)=\sum \operatorname {rank} (H^{n}(X))t^{n}}$$
• YがXの閉代数的部分集合であり、U = X  \  Yである場合 $${\displaystyle P_{X}(t)=P_{Y}(t)+P_{U}(t)}$$

このような多項式の存在は、一般（特異かつ非完全）代数多様体のコホモロジーにおけるホッジ構造の類似物の存在から導かれる。新しい特徴は、一般多様体のn次コホモロジーが、あたかも異なる重みの部分を含んでいるように見えることである。これはアレクサンダー・グロタンディークをモチーフの予想理論に導き、ホッジ理論の拡張の探究を動機づけ、ピエール・ドリーニュの研究で最高潮に達した。彼は混合ホッジ構造の概念を導入し、それを扱うための技法を開発し、その構成法（広中平介の特異点の解決に基づく）を与え、それをl 進コホモロジーの重みに関連付けて、ヴェイユ予想の最後の部分を証明した。

曲線の例

定義の根拠として、2つの非特異成分 および から成り、 点および で交差する簡約複素代数曲線Xの場合を考える。さらに、これらの成分はコンパクトではないが、点 を追加することでコンパクト化できるものとする。曲線Xの最初のコホモロジー群（コンパクトな台を持つ）は、最初のホモロジー群の双対であり、こちらの方が視覚化しやすい。この群には3種類の1サイクルが存在する。まず、穴 の周りの小さなループを表す元がある。次に、各成分のコンパクト化の最初のホモロジーから来る元がある。この成分のコンパクト化におけるサイクルに対応する( )の1サイクルは標準的ではない。これらの元は のスパンを法として決定される。最後に、最初の2種類を法として、群は、一方の成分のパスに沿って からへ進み、もう一方の成分のパスに沿って戻ってくる組み合わせサイクルによって生成される。これは、が増加する濾過を許容する ことを示唆している。 ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle Q_{1}}$ ${\displaystyle Q_{2}}$ ${\displaystyle P_{1},\dots ,P_{n}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle \beta _{j}}$ ${\displaystyle X_{k}\subset X}$ ${\displaystyle k=1,2}$ ${\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle Q_{1}}$ ${\displaystyle Q_{2}}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle H_{1}(X)}$

${\displaystyle 0\subset W_{0}\subset W_{1}\subset W_{2}=H^{1}(X),}$

連続する商W _n / W _{n −1}は滑らかな完備多様体のコホモロジーに由来するため、重みは異なるものの（純粋）ホッジ構造を許容する。さらなる例は「混合ホッジ理論への素朴なガイド」に記載されている。^{[ 3 ]}

混合ホッジ構造の定義

アーベル群上の混合ホッジ構造は、複素ベクトル空間H ( の複素化)上の有限減少フィルトレーションF ^p (ホッジフィルトレーションと呼ばれる) と、有理ベクトル空間(スカラーを有理数に拡張することによって得られる)上の有限増加フィルトレーションW _i (重みフィルトレーションと呼ばれる) から構成されます。ただし、重みフィルトレーションに関する のn番目の次数商と、その複素化におけるFによって誘導されるフィルトレーションを合わせると、すべての整数nに対して重みnの純粋ホッジ構造になるという要件があります。ここで、 上の誘導されたフィルトレーションは ${\displaystyle H_{\mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle H_{\mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle H_{\mathbb {Q} }=H_{\mathbb {Z} }\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle H_{\mathbb {Q} }}$

${\displaystyle \operatorname {gr} _{n}^{W}H=W_{n}\otimes \mathbb {C} /W_{n-1}\otimes \mathbb {C} }$

定義される

${\displaystyle F^{p}\operatorname {gr} _{n}^{W}H=\left(F^{p}\cap W_{n}\otimes \mathbb {C} +W_{n-1}\otimes \mathbb {C} \right)/W_{n-1}\otimes \mathbb {C} .}$

混合ホッジ構造のモルフィズムの概念を定義することができます。これはフィルターFとWと互換性があり、次のことを証明する必要があります。

定理。混合ホッジ構造はアーベル圏を形成する。この圏の核と余核は、誘導濾過を伴うベクトル空間の圏における通常の核と余核と一致する。

コンパクト ケーラー多様体の全コホモロジーは混合ホッジ構造を持ち、ここで、重みフィルトレーションW _nのn番目の空間は、次数n以下のコホモロジー群 (有理係数を持つ) の直和です。したがって、コンパクトで複素なケースの古典ホッジ理論は、複素コホモロジー群に二重の次数付けを提供するものと考えることができます。これは、ある方法で両立する増加フィルトレーションF ^pと減少フィルトレーションW _nを定義します。一般に、全コホモロジー空間にはこれらの 2 つのフィルトレーションが残っていますが、これらは直和分解からはもう生まれません。純粋ホッジ構造の 3 番目の定義に関連して、混合ホッジ構造は群の作用を使用して記述することはできないと言えます。ドリーニュの重要な洞察は、混合ケースには、タンナキアン形式を使用して同じ効果に使用できる、より複雑な非可換プロ代数群が存在することです。 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}.}$

さらに、（混合）ホッジ構造のカテゴリーは、多様体の積に対応するテンソル積の優れた概念、および内部ホムと双対オブジェクトという関連概念を許容し、 Tannakianカテゴリーになります。Tannaka –Krein哲学によれば、このカテゴリーは、Deligne、Milneらが明示的に記述した特定のグループの有限次元表現のカテゴリーに相当します。Deligne & Milne (1982) ^{[ 4 ]}およびDeligne (1994)を参照してください。このグループの記述は、Kapranov (2012)によってより幾何学的な用語で書き直されました。有理純粋分極可能ホッジ構造の対応する（はるかに複雑な）分析は、Patrikis (2016)によって行われました。

コホモロジーにおける混合ホッジ構造（ドリーニュの定理）

ドリーニュは、任意の代数多様体のn次コホモロジー群が標準混合ホッジ構造を持つことを証明した。この構造は関数的であり、多様体の積（キュネト同型）およびコホモロジーの積と両立する。完備非特異多様体Xに対して、この構造は重みnの純粋であり、ホッジ濾過は切断されたド・ラーム複体の超コホモロジーを通して定義できる。

証明は、非コンパクト性と特異点を扱う二つの部分から成ります。どちらの部分も、（広中による）特異点の解決を本質的に用いています。特異点の場合、多様体は単体スキームに置き換えられ、より複雑なホモロジー代数へとつながり、複体上のホッジ構造（コホモロジーとは対照的）という専門用語が用いられます。

動機理論を用いると、有理係数を持つコホモロジー上の重みフィルタリングを整数係数を持つコホモロジーに洗練することができる。^{[ 5 ]}

例

• テイト・ホッジ構造は 、 （ の部分群）によって与えられる基礎加群を持つホッジ構造であり、 となる。したがって、定義により重み −2 の純粋であり、同型を除いて重み −2 の唯一の1次元純粋ホッジ構造である。より一般に、そのn番目のテンソル冪は と表され、1次元で重み −2 nの純粋である。 ${\displaystyle \mathbb {Z} (1)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 2\pi i\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} (1)\otimes \mathbb {C} =H^{-1,-1}.}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} (n);}$
• コンパクト ケーラー多様体のコホモロジーはホッジ構造を持ち、n番目のコホモロジー群は重みnの純粋群です。
• 複素多様体（特異多様体または非固有多様体を含む）のコホモロジーは混合ホッジ構造を持つ。これは、滑らかな多様体についてはDeligne (1971)、Deligne (1971a)によって示され、一般にはDeligne (1974)によって示された。
• 正規交差特異点を持つ射影多様体に対しては、その混合ホッジ構造をすべて計算できる、退化したE ₂ -ページを持つスペクトル列が存在する。E ₁ -ページには、単体集合に由来する微分項を持つ明示的な項が存在する。^{[ 6 ]} ${\displaystyle X}$
• 任意の滑らかな多様体Xは、正規交差因子を補因子とする滑らかなコンパクト化を持つ。対応する対数形式は、Xのコホモロジー上の混合ホッジ構造を明示的に記述するために用いられる。^{[ 7 ]}
• 次数の滑らかな射影超曲面のホッジ構造は、グリフィスが「代数多様体の周期積分」論文で明示的に解明しました。 が超曲面を定義する多項式である場合、次数付きヤコビ商環はの中間コホモロジーの情報をすべて含みます。グリフィスは次式を示します。例えば、で与えられるK3曲面を考えます。したがって、となります。すると、次数付きヤコビ環は となります。原始コホモロジー群の同型性は となり、 となります。したがって、は が張るベクトル空間であり、は19次元であることに注意してください。 には、レフシェッツ類によって与えられる追加のベクトルがあります。レフシェッツ超平面定理とホッジ双対性から、コホモロジーの残りの部分は に含まれ、 は次元です。したがって、ホッジダイヤモンドは となります。 ${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{n+1}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle f\in \mathbb {C} [x_{0},\ldots ,x_{n+1}]}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle R(f)={\frac {\mathbb {C} [x_{0},\ldots ,x_{n+1}]}{\left({\frac {\partial f}{\partial x_{0}}},\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n+1}}}\right)}}}$$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle H^{p,n-p}(X)_{\text{prim}}\cong R(f)_{(n+1-p)d-n-2}}$$ ${\displaystyle g=x_{0}^{4}+\cdots +x_{3}^{4}}$ ${\displaystyle d=4}$ ${\displaystyle n=2}$ $${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}]}{(x_{0}^{3},x_{1}^{3},x_{2}^{3},x_{3}^{3})}}}$$ $${\displaystyle H^{p,n-p}(X)_{prim}\cong R(g)_{(2+1-p)4-2-2}=R(g)_{4(3-p)-4}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}H^{0,2}(X)_{\text{prim}}&\cong R(g)_{8}=\mathbb {C} \cdot x_{0}^{2}x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}^{2}\\H^{1,1}(X)_{\text{prim}}&\cong R(g)_{4}\\H^{2,0}(X)_{\text{prim}}&\cong R(g)_{0}=\mathbb {C} \cdot 1\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle R(g)_{4}}$ $${\displaystyle {\begin{array}{rrrrrrrr}x_{0}^{2}x_{1}^{2},&x_{0}^{2}x_{1}x_{2},&x_{0}^{2}x_{1}x_{3},&x_{0}^{2}x_{2}^{2},&x_{0}^{2}x_{2}x_{3},&x_{0}^{2}x_{3}^{2},&x_{0}x_{1}^{2}x_{2},&x_{0}x_{1}^{2}x_{3},\\x_{0}x_{1}x_{2}^{2},&x_{0}x_{1}x_{2}x_{3},&x_{0}x_{1}x_{3}^{2},&x_{0}x_{2}^{2}x_{3},&x_{0}x_{2}x_{3}^{2},&x_{1}^{2}x_{2}^{2},&x_{1}^{2}x_{2}x_{3},&x_{1}^{2}x_{3}^{2},\\x_{1}x_{2}^{2}x_{3},&x_{1}x_{2}x_{3}^{2},&x_{2}^{2}x_{3}^{2}\end{array}}}$$ ${\displaystyle H^{1,1}(X)}$ ${\displaystyle [L]}$ ${\displaystyle H^{k,k}(X)}$ ${\displaystyle 1}$

  		1
  	0		0
  1		20		1
  	0		0
  		1

• 前述の同型性を用いて、次数平面曲線の種数を検証することもできます。は滑らかな曲線であり、エーレスマンのファイブレーション定理により、種数 の他のすべての滑らかな曲線は微分同相であることが保証されているため、 の種数は同じであることが分かります。したがって、原始コホモロジーとヤコビ環の次数付き部分の同型性を用いると、 が成り立ちます。これは、次元が目的の通りであることを意味します。 ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle x^{d}+y^{d}+z^{d}}$ ${\displaystyle g}$ $${\displaystyle H^{1,0}\cong R(f)_{d-3}\cong \mathbb {C} [x,y,z]_{d-3}}$$ $${\displaystyle {2+d-3 \choose 2}={d-1 \choose 2}={\frac {(d-1)(d-2)}{2}}}$$
• 完全交差のホッジ数も容易に計算可能であり、フリードリヒ・ヒルツェブルッフによって発見された組み合わせ論的公式がある。^{[ 8 ]}

アプリケーション

ホッジ構造と混合ホッジ構造の概念に基づく仕組みは、アレクサンダー・グロタンディークによって構想された、まだ大部分が推測の域を出ないモチーフ理論の一部を形成している。特異でない代数多様体Xの算術情報は、そのl 進コホモロジーに作用するフロベニウス元の固有値によって符号化されており、 X を複素代数多様体と見なすことで生じるホッジ構造と共通する点がある。セルゲイ・ゲルファンドとユーリ・マニンは1988 年頃、著書『ホモロジー代数の方法』の中で、他のコホモロジー群に作用するガロア対称性とは異なり、「ホッジ対称性」の起源は非常に謎に満ちているが、形式的には、かなり単純な群がド・ラームコホモロジーに作用することで表現されると指摘した。それ以来、ミラー対称性の発見と数学的定式化により、謎は深まった。 ${\displaystyle R_{\mathbf {C/R} }{\mathbf {C} }^{*}}$

ホッジ構造のバリエーション

ホッジ構造のバリエーション（グリフィス（1968）、グリフィス（1968a）、グリフィス（1970））は、複素多様体Xによってパラメータ化されたホッジ構造の族です。より正確には、複素多様体X上の重みnのホッジ構造のバリエーションは、 X上の有限生成アーベル群の局所定数層Sと、 S ⊗ O _X上の減少するホッジ濾過Fで構成され、次の2つの条件に従います。

• 濾過は束Sの各茎に重みnのホッジ構造を誘導する。
• （グリフィスの横断性） S ⊗ O _X上の自然な接続は次のように写像される。 ${\displaystyle F^{n}}$ ${\displaystyle F^{n-1}\otimes \Omega _{X}^{1}.}$

ここで、 S ⊗ O _X上の自然な（平坦な）接続は、S上の平坦接続とO _X上の平坦接続dによって誘導され、 O _XはX上の正則関数の層であり、はX上の1-形式の層である。この自然な平坦接続はガウス・マナン接続∇ であり、ピカール・フックス方程式で記述できる。 ${\displaystyle \Omega _{X}^{1}}$

混合ホッジ構造のバリエーションも同様の方法で定義でき、Sに次数またはフィルトレーションWを加えることで定義できる。典型的な例は代数的射に見られる。例えば、 ${\displaystyle f:\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} }$

${\displaystyle {\begin{cases}f:\mathbb {C} ^{2}\to \mathbb {C} \\f(x,y)=y^{6}-x^{6}\end{cases}}}$

繊維がある

${\displaystyle X_{t}=f^{-1}(\{t\})=\left\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:y^{6}-x^{6}=t\right\}}$

これらは種数10の滑らかな平面曲線であり、で特異曲線に退化する。すると、コホモロジー層は ${\displaystyle t\neq 0}$ ${\displaystyle t=0.}$

${\displaystyle \mathbb {R} f_{*}^{i}\left({\underline {\mathbb {Q} }}_{\mathbb {C} ^{2}}\right)}$

混合ホッジ構造のバリエーションを示します。

ホッジモジュール

ホッジ加群は、複素多様体上のホッジ構造の変分の一般化である。非公式には、多様体上のホッジ構造の層のようなものと考えることができる。斎藤（1989）による正確な定義は、やや専門的で複雑である。混合ホッジ加群や特異点を持つ多様体への一般化も存在する。

滑らかな複素多様体にはそれぞれ、混合ホッジ加群のアーベル圏が関連付けられる。これらは形式的には多様体上の層の圏と同様に振舞う。例えば、多様体間の射fは、層の場合と同様に、混合ホッジ加群（の導来圏）間の関手f _∗、f*、f _!、f ^!を誘導する。

参照

• 混合ホッジ構造
• ホッジ予想
• ヤコビアンイデアル
• ホッジ・テイト構造

注記

1. スペクトル列の観点から見ると（ホモロジー代数を参照）、ホッジフィットレーションは次のように記述できる。

   ${\displaystyle E_{1}^{p,q}=H^{p+q}(\operatorname {gr} _{n}^{W}H)\Rightarrow H^{p+q},}$

   #混合ホッジ構造の定義 の表記法を用いる。重要な事実は、これがE ^{1項で退化していることである。つまり、ホッジ・ド・ラームスペクトル列、ひいてはホッジ分解は、} M上のケーラー計量ではなく、複素構造のみに依存する。
2. より正確には、 Sをからへの乗法群のWeil 制限として定義される2次元可換実代数群とします。言い換えると、 A が上の代数である場合、 SのA値点群S ( A )の乗法群です。そして は非ゼロ複素数の群です ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ;}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle A\otimes \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle S(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$
3. ダーフィー、アラン (1981). 「混合ホッジ理論への素朴なガイド」.複素特異点解析. 415 : 48–63 . hdl : 2433/102472 .
4. ドリーニュとミルンによる「タンナキアン・カテゴリー」と題された2番目の論文は、この話題に焦点を当てています。
5. アンリ、ジレ;クリストフ・スーレ(1996)。 「出自、動機、そしてK理論」。Reine und Angewandte Mathematik に関するジャーナル。1996 (478): 127–176。arXiv : alg - geom/ 9507013 。Bibcode : 1995alg.geom..7013G。土井：10.1515/crll.1996.478.127。MR 1409056。S2CID 16441433。  、セクション3.1
6. Jones, BF, 「正規交差特異点のみを持つ射影多様体に対するドリーニュの混合ホッジ構造」（PDF）、ホッジ理論ワーキングセミナー 2005年春
7. Nicolaescu, Liviu、「滑らかな代数多様体上の混合ホッジ構造」（PDF）、ホッジ理論ワーキングセミナー 2005年春
8. 「完全交差のホッジダイヤモンド」 . Stack Exchange . 2013年12月14日.

入門参考文献

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• Arapura, Donu, Complex Algebraic Varieties and their Cohomology (PDF) , pp.  120– 123, archived from the original (PDF) on 2020-01-04（層コホモロジーを用いてホッジ数を計算するためのツールを提供する）
• 混合ホッジ理論への素朴なガイド
• ディムカ, アレクサンドル(1992).特異点と超曲面の位相. Universitext. ニューヨーク: Springer-Verlag . pp. 240, 261. doi : 10.1007/978-1-4612-4404-2 . ISBN 0-387-97709-0. MR  1194180 . S2CID  117095021 .(重み付き同次多項式のアフィンミルノア ファイバーの混合ホッジ数の公式と生成元を示します。また、重み付き射影空間における重み付き同次多項式の補数の公式も示します。)

調査記事

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参考文献

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• Schnell, Christian (2014),斎藤守彦の混合ホッジ加群理論の概要(PDF) , arXiv : 1405.3096
• スティーンブリンク、ジョセフ HM (2001) [1994]、「ホッジ構造の変分」、数学百科事典、EMSプレス

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