変分量子固有ソルバー

量子コンピューティングにおいて、変分量子固有値ソルバー（VQE）は、量子化学、量子シミュレーション、最適化問題のための量子アルゴリズムです。これは、与えられた物理系の基底状態を求めるために、古典コンピュータと量子コンピュータの両方を用いるハイブリッドアルゴリズムです。推定値（ ansatz）が与えられると、量子プロセッサは観測可能な値（多くの場合ハミルトニアン）に対する系の期待値を計算し、古典最適化器を用いて推定値を改善します。このアルゴリズムは、量子力学の 変分法に基づいています。

このアルゴリズムはもともと2014年に提案され、Alberto Peruzzo、Alán Aspuru-Guzik、Jeremy O'Brienが責任著者でした。^{[ a ] [ 1 ] [ 2 ]}このアルゴリズムは量子機械学習にも応用されており、量子コンピュータと古典コンピュータの一般的なハイブリッドアルゴリズムによってさらに実証されています。^{[ 3 ]}これはノイズのある中規模量子( NISQ ) アルゴリズムの一例です。

説明

パウリ符号化

VQEの目的は、ある目標量または観測量への近似値の最低エネルギー状態（または極小値）を準備する量子操作の集合を見つけることです。観測量の表現に関する唯一の厳密な要件は、その期待値を推定する際の効率性ですが、演算子がパウリ演算子またはパウリ演算子のテンソル積を用いて簡潔または単純な表現を持つ場合、より簡潔になることがよくあります。

フェルミオン系の場合、量子化が最も簡便な場合が多い。つまり、系の多体ハミルトニアンを第二量子化を用いて書き、次に写像を用いて生成消滅演算子を パウリ演算子で書き表す。フェルミオン系によく用いられる手法としては、ジョルダン・ウィグナー変換、 ブラヴィイ・キタエフ変換^{[ 4 ]}、パリティ変換^{[ 5 ]などがある。 [ 6 ]}

ハミルトニアンがパウリ演算子で書かれ、無関係な状態が捨てられると（有限次元空間）、それはパウリ演算子のテンソル積からなるパウリ弦の線型結合（例えば）からなり、 ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle {\hat {P}}_{i}}$ ${\displaystyle X\otimes I\otimes Z\otimes X}$

${\displaystyle {\hat {H}}=\sum _{i}\alpha _{i}{\hat {P}}_{i}}$、

ここで、は数値係数である。係数に基づいて、パウリ弦の数を減らすことで計算を最適化することができる。^{[ 7 ]} ${\displaystyle \alpha _{i}}$

VQEはハミルトニアンをコスト関数として適応させることで他の最適化問題にも適応できる。^{[ 8 ]}

アンザッツと初期トライアル機能

仮説状態の選択は、対象となるシステムに依存する。ゲートベースの量子コンピューティングでは、仮説はパラメータ化された量子回路によって与えられ、そのパラメータは実行ごとに更新できる。仮説は、所望の状態を逃さない程度に適応性を持つ必要がある。有効な仮説を得るための一般的な手法は、ユニタリ結合クラスター（UCC）フレームワークとその拡張である。^{[ 6 ]}

仮説が適切に選択されていない場合、手順は最小値に対応しない準最適なパラメータで停止する可能性があります。このような状況では、アルゴリズムは「不毛のプラトー」に達したとみなされます。^{[ 6 ]}

ハードウェア効率の高いアンザッツの例。

アルゴリズムを開始するための初期試行関数を仮定として設定することができます。例えば、分子系の場合、ハートリー・フォック法を用いて、実際の基底状態に近い初期状態を与えることができます。

アナザー回路のもう一つのバリエーションは、ハードウェア効率の高いアナザー回路です。これは、1量子ビットの回転ゲートと2量子ビットのエンタングルゲートのシーケンスで構成されます。1量子ビットの回転ゲートと2量子ビットのエンタングルゲートの繰り返し回数は、回路の深さと呼ばれます。

測定

パラメータを持つ与えられた状態の期待値は、エネルギー関数またはコスト関数の期待値が次のように与えられる。 ${\displaystyle |\psi (\theta _{1},\cdots ,\theta _{N})\rangle }$ ${\displaystyle \{\theta _{i}\}_{i=1}^{N}}$

${\displaystyle E(\theta _{1},\cdots ,\theta _{n})=\langle {\hat {H}}\rangle =\sum _{i}\alpha _{i}\langle \psi (\theta _{1},\cdots ,\theta _{N})|{\hat {P}}_{i}|\psi (\theta _{1},\cdots ,\theta _{N})\rangle }$

したがって、エネルギーの期待値を得るためには、各パウリ弦の期待値（与えられた値のカウント数をカウント総数で割ったもの）を測定すればよい。このステップは、パウリ弦によって提供される軸上の各量子ビットを測定することに相当する。^{[ 8 ]}例えば、弦の場合 、最初の量子ビットはx軸で測定し、最後の 2 つはブロッホ球のy軸で測定する。z 軸での測定しかできない場合は、クリフォード ゲートを使用して軸間の変換を行うことができる。2 つのパウリ弦が可換である場合、同じ回路を使用して 2 つを同時に測定し、パウリ代数に従って結果を解釈することができる。 ${\displaystyle X\otimes Y\otimes Y}$

変分法と最適化

基底状態固有状態に対するパラメータ化された仮説（パラメータは変更可能）が与えられれば、量子力学の変分法に基づいて、基底状態に最も近いパラメータ化された状態を確実に見つけることができます。デジタルコンピュータの古典的なアルゴリズムを用いることで、この仮説のパラメータを最適化することができます。この最小化のためには、多変数関数の最小値を見つける必要があります。この目的には、勾配降下法を用いた古典的な最適化手法を使用することができます。^{[ 8 ]}

処方

与えられたハミルトニアン(H)と状態ベクトルに対して、 を任意に 変化させることができる場合、 は基底状態エネルギーとなり、は基底状態となる（縮退がないと仮定）。しかし、状態 が次元であるすべての可能な状態 に対する上記の最小化問題は現実的ではない。したがって、探索空間をより現実的なサイズ（例えば poly(n) ）に制限するには、 を、 従来の物理学、化学、量子力学の知識に基づいた、可能なn量子ビット状態のサブセットのみに制限する必要がある。 ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle \min _{|\psi \rangle }\langle \psi |H|\psi \rangle }$ ${\displaystyle \operatorname {argmin} _{|\psi \rangle }\langle \psi |H|\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

変分量子アルゴリズムの高レベルな図解

アルゴリズム

隣の図は、VQE アルゴリズムの高レベルの手順を示しています。

回路は作成可能な状態のサブセットを制御し、パラメータには変分パラメータが含まれます。選択されたパラメータの数は、システムの基底状態を計算するためのアルゴリズムの表現力を高めるのに十分ですが、最適化ステップの計算コストを増加させるほど大きくはありません。 ${\displaystyle U({\vec {\theta }})}$ ${\displaystyle {\vec {\theta }}}$ ${\displaystyle {\vec {\theta }}={\begin{pmatrix}\theta _{1}\\\theta _{2}\\\vdots \\\theta _{p}\end{pmatrix}}}$

回路を何度も実行し、パラメータを継続的に更新して、目的の観測可能量の期待値のグローバル最小値を見つけることで、特定のシステムの基底状態に近づき、それを一連の量子ゲート命令として量子プロセッサに保存することができます。

勾配降下法の場合、VQEの場合、コスト関数を最小化する必要があります。更新規則は次のとおりです。 ${\displaystyle f({\vec {\theta }})}$ ${\displaystyle f({\vec {\theta }})=\langle \psi ({\vec {\theta }})|H|\psi ({\vec {\theta }})\rangle }$

${\displaystyle {\vec {\theta }}^{({\text{new}})}={\vec {\theta }}^{({\text{old}})}-r\nabla f({\vec {\theta }}^{({\text{old}})})}$

ここで、rは学習率（ステップサイズ）であり、

${\displaystyle \nabla f({\vec {\theta }}^{({\text{old}})})=\left({\frac {\partial f({\vec {\theta }}^{({\text{old}})})}{\partial \theta _{1}}},{\frac {\partial f({\vec {\theta }}^{({\text{old}})})}{\partial \theta _{2}}},\ldots \right)^{\top }}$

勾配を計算するために、パラメータシフト則が用いられる。^{[ 9 ] [ 10 ]}

例

単一のパウリゲートの例を考えてみましょう。

${\displaystyle U(\theta )=e^{-i{\frac {\theta }{2}}P},}$

ここでP = X、Y、またはZの場合、

${\displaystyle \nabla _{\theta }U={\frac {\partial U}{\partial \theta }}=-{\frac {i}{2}}Pe^{-i{\frac {\theta }{2}}P}=-{\frac {i}{2}}PU=-{\frac {i}{2}}UP}$

として、したがって、 ${\displaystyle f(\theta )=\langle \phi |U^{\dagger }AU|\phi \rangle }$

${\displaystyle \nabla _{\theta }f(\theta )={\frac {\partial }{\partial \theta }}\langle \phi |U^{\dagger }AU|\phi \rangle =\langle \phi |\left({\frac {i}{2}}P\right)U^{\dagger }AU|\phi \rangle +\langle \phi |U^{\dagger }A\left(-{\frac {i}{2}}P\right)U|\phi \rangle }$

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}\langle \phi |U^{\dagger }(\theta +{\frac {\pi }{2}})AU(\theta +{\frac {\pi }{2}})|\phi \rangle -{\frac {1}{2}}\langle \phi |U^{\dagger }(\theta -{\frac {\pi }{2}})AU(\theta -{\frac {\pi }{2}})|\phi \rangle }$

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}\left(f(\theta +{\frac {\pi }{2}})-f(\theta -{\frac {\pi }{2}})\right)}$

上記の結果には次のような興味深い特性があります。

1. 同じ回路を使用して評価し、 ${\displaystyle f(\theta )}$ ${\displaystyle \nabla _{\theta }f(\theta )}$
2. ${\displaystyle f(\cdot )}$勾配値に到達するには2回評価する必要がある
3. 角度精度が大きいため、ゲート精度を低く抑えることができます。 ${\displaystyle \pm {\frac {\pi }{2}}}$

メリットとデメリット

1. VQE 回路は、量子位相推定アルゴリズム(QPE) と比較して多くのゲートを必要とせず、エラーに対してより堅牢であり、エラー軽減戦略に適しています。
2. これはヒューリスティックな手法であり、基底状態値への収束を保証するものではありません。この手法は、仮説回路の選択と最適化手法に大きく影響されます。
3. 基底状態の値を結論付けるために必要な測定回数は QPE に比べて多く、ハミルトニアンの項数にほぼ比例します。
4. VQE は NISQ ハードウェア上で実行できます。
5. VQE は、問題 (化学以外) をハミルトニアンとして表現できるため、非常に汎用性があります。

使用

化学では

2022年現在、変分量子固有値ソルバーは、ヘリウム水素化物イオン^{[ 1 ]}やベリリウム水素化物分子^{[ 11 ]}のような小さな分子しかシミュレートできません。より大きな分子は、対称性を考慮することでシミュレートできます。2020年には、 GoogleのSycamore量子プロセッサを用いて、水素鎖（H ₁₂ ）の12量子ビットシミュレーションが実証されました。^{[ 12 ]}

参照

• 量子最適化アルゴリズム

注記

1. 著者：Alberto Peruzzo、Jarrod McClean、Peter Shadbolt、Man-Hong Yung、Xiao-Qi Zhou、Peter J. Love、Alan Aspuru-Guzik、Jeremy L. O'Brien。全員が同等の貢献をしています。

参考文献

1. Peruzzo, Alberto; McClean, Jarrod; Shadbolt, Peter; Yung, Man-Hong; Zhou, Xiao-Qi; Love, Peter J.; Aspuru-Guzik, Alán; O'Brien, Jeremy L. (2014). 「光子量子プロセッサにおける変分固有値ソルバー」 . Nature Communications . 5 (1): 4213. arXiv : 1304.3061 . Bibcode : 2014NatCo...5.4213P . doi : 10.1038/ncomms5213 . ISSN  2041-1723 . PMC  4124861. PMID  25055053 .
2. バーティ、キショール;セルベラ・リエルタ、アルバ;チョー、ティ・ハ。ハウグ、トビアス。アルペリン・リー、サムナー。アナンド、アビナブ。デグルート、マティアス。ヘイモネン、ヘルマンニ。コットマン、ヤコブ S.メンケ、ティム。モク、ワイキョン。シム、スキン。クウェク、レオンチュアン。アスプル・グジク、アラン（2022-02-15）。「ノイズの多い中スケール量子アルゴリズム」。現代物理学のレビュー。94 (1) 015004.arXiv : 2101.08448。Bibcode : 2022RvMP...94a5004B。doi : 10.1103/RevModPhys.94.015004 . hdl : 10356/161272 .
3. McClean, Jarrod R; Romero, Jonathan; Babbush, Ryan; Aspuru-Guzik, Alán (2016-02-04). 「変分ハイブリッド量子古典アルゴリズムの理論」 . New Journal of Physics . 18 (2) 023023. arXiv : 1509.04279 . Bibcode : 2016NJPh...18b3023M . doi : 10.1088/1367-2630/18/2/023023 . ISSN 1367-2630 . S2CID 92988541 .  
4. Bravyi, Sergey B.; Kitaev, Alexei Yu. (2002-05-25). 「フェルミオン量子計算」 . Annals of Physics . 298 (1): 210– 226. arXiv : quant-ph/0003137 . doi : 10.1006/aphy.2002.6254 . ISSN 0003-4916 . 
5. Steudtner, M (2019).ハードウェア制限下で量子コンピュータ上でフェルミオンをシミュレートする方法（博士論文）. ライデン大学.
6. Tilly, Jules; Chen, Hongxiang; Cao, Shuxiang; Picozzi, Dario; Setia, Kanav; Li, Ying; Grant, Edward; Wossnig, Leonard; Rungger, Ivan; Booth, George H.; Tennyson, Jonathan (2022-06-12). 「変分量子固有値ソルバー：手法とベストプラクティスのレビュー」. Physics Reports . 986 : 1– 128. arXiv : 2111.05176 . Bibcode : 2022PhR...986....1T . doi : 10.1016/j.physrep.2022.08.003 . S2CID 243861087 . 
7. Seeley, Jacob T.; Richard, Martin J.; Love, Peter J. (2012-12-12). 「電子構造の量子計算のためのブラヴィイ・キタエフ変換」 . The Journal of Chemical Physics . 137 (22): 224109. arXiv : 1208.5986 . Bibcode : 2012JChPh.137v4109S . doi : 10.1063/1.4768229 . ISSN 0021-9606 . PMID 23248989. S2CID 30699239 .   
8. Moll, Nikolaj; Barkoutsos, Panagiotis; Bishop, Lev S; Chow, Jerry M; Cross, Andrew; Egger, Daniel J; Filipp, Stefan; Fuhrer, Andreas; Gambetta, Jay M; Ganzhorn, Marc; Kandala, Abhinav; Mezzacapo, Antonio; Müller, Peter; Riess, Walter; Salis, Gian (2018). 「近未来の量子デバイスにおける変分アルゴリズムを用いた量子最適化」 .量子科学技術. 3 (3): 030503. arXiv : 1710.01022 . Bibcode : 2018QS&T....3c0503M . doi : 10.1088/2058-9565/aab822 . ISSN 2058-9565 . S2CID 56376912 .  
9. Wierichs, David; Izaac, Josh; Wang, Cody; Lin, Cedric Yen-Yu (2022-01-01). 「量子勾配の一般的なパラメータシフト則」. Quantum . 6 : 677. arXiv : 2107.12390 . doi : 10.22331/q-2022-03-30-677 .
10. Markovich, Liubov; Malikis, Savvas; Polla, Stefano; Tura, Jordi (2024-06-01). 「最適位相選択によるパラメータシフト則」. Physical Review A . 109 (6) 062429. APS. doi : 10.1103/PhysRevA.109.062429 . hdl : 1887/4175663 .
11. Kandala, Abhinav; Mezzacapo, Antonio; Temme, Kristan; Takita, Maika; Brink, Markus; Chow, Jerry M.; Gambetta, Jay M. (2017). 「小分子および量子磁石のためのハードウェア効率の高い変分量子固有値ソルバー」 . Nature . 549 (7671): 242– 246. arXiv : 1704.05018 . Bibcode : 2017Natur.549..242K . doi : 10.1038 / nature23879 . ISSN 1476-4687 . PMID 28905916. S2CID 4390182 .   
12. Arute, Frank; Arya, Kunal; Babbush, Ryan; et al. (2020). 「超伝導量子ビット量子コンピュータにおけるハートリー・フォック」 . Science . 369 ( 6507): 1084– 1089. arXiv : 2004.04174 . Bibcode : 2020Sci...369.1084. . doi : 10.1126/science.abb9811 . ISSN 0036-8075 . PMID 32855334. S2CID 215548188 .   

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