ベクトル代数関係

以下はベクトル代数における重要な恒等式である。ベクトルの大きさと2つのベクトルA · Bのドット積（スカラー積）のみを含む恒等式は、任意の次元のベクトルに適用できるが、外積（ベクトル積）A × Bを使用する恒等式は、外積が3次元でのみ定義されているため、3次元でのみ適用される。^{[注 1 ] [ 1 ]}これらの関係のほとんどは、ベクトル解析の創始者であるジョサイア・ウィラード・ギブスに遡るか、あるいはそれ以前に 遡ることができる。 ^{[ 2 ]} ${\displaystyle \|\mathbf {A} \|}$

大きさ

ベクトルAの大きさはドット積を使って表すことができます。

${\displaystyle \|\mathbf {A} \|^{2}=\mathbf {A\cdot A} }$

3次元ユークリッド空間では、ベクトルの大きさはピタゴラスの定理を使って3つの成分から決定されます。

${\displaystyle \|\mathbf {A} \|^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+A_{3}^{2}}$

不平等

• コーシー・シュワルツの不等式： ${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} \leq \left\|\mathbf {A} \right\|\left\|\mathbf {B} \right\|}$
• 三角不等式： ${\displaystyle \|\mathbf {A+B} \|\leq \|\mathbf {A} \|+\|\mathbf {B} \|}$
• 逆三角不等式： ${\displaystyle \|\mathbf {A-B} \|\geq {\Bigl |}\|\mathbf {A} \|-\|\mathbf {B} \|{\Bigr |}}$

角度

2つのベクトルのベクトル積とスカラー積は、それらの間の角度（例えばθ）を定義します。^{[ 1 ] [ 3 ]}

${\displaystyle \sin \theta ={\frac {\|\mathbf {A} \times \mathbf {B} \|}{\left\|\mathbf {A} \right\|\left\|\mathbf {B} \right\|}}\quad (-\pi <\theta \leq \pi )}$

右手の法則を満たすには、 θが正の場合、ベクトルBはAから反時計回りになり、θが負の場合、ベクトル Bは時計回りになります。

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} }{\left\|\mathbf {A} \right\|\left\|\mathbf {B} \right\|}}\quad (-\pi <\theta \leq \pi )}$

ピタゴラスの三角関数の恒等式は次のようになります。

${\displaystyle \left\|\mathbf {A\times B} \right\|^{2}+(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )^{2}=\left\|\mathbf {A} \right\|^{2}\left\|\mathbf {B} \right\|^{2}}$

ベクトルA = ( A _x , A _y , A _z )がx軸、y軸、z軸の直交セットと角度α、β、γを成す場合、次のようになります。

${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {A_{x}}{\sqrt {A_{x}^{2}+A_{y}^{2}+A_{z}^{2}}}}={\frac {A_{x}}{\|\mathbf {A} \|}}\ ,}$

角度β、γについても同様である。したがって、

${\displaystyle \mathbf {A} =\left\|\mathbf {A} \right\|\left(\cos \alpha \ {\hat {\mathbf {i} }}+\cos \beta \ {\hat {\mathbf {j} }}+\cos \gamma \ {\hat {\mathbf {k} }}\right),}$

軸方向に沿った単位ベクトル を持ちます。 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {i} }},\ {\hat {\mathbf {j} }},\ {\hat {\mathbf {k} }}}$

面積と体積

角度θを含む辺Aと辺Bを持つ平行四辺形の面積Σは次のようになります。

${\displaystyle \Sigma =AB\sin \theta ,}$

これは、平行四辺形の辺に沿う ベクトルAとBのベクトル積の大きさとして認識されます。つまり、

${\displaystyle \Sigma =\left\|\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right\|={\sqrt {\left\|\mathbf {A} \right\|^{2}\left\|\mathbf {B} \right\|^{2}-\left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} \right)^{2}}}\ .}$

（A、Bが2次元ベクトルの場合、これはA、B行の2×2行列の行列式に等しい。）この式の2乗は^{[ 4 ]である。}

${\displaystyle \Sigma ^{2}=(\mathbf {A\cdot A} )(\mathbf {B\cdot B} )-(\mathbf {A\cdot B} )(\mathbf {B\cdot A} )=\Gamma (\mathbf {A} ,\ \mathbf {B} )\ ,}$

ここでΓ( A , B )は次のように定義されるAとBのグラム行列式である。

${\displaystyle \Gamma (\mathbf {A} ,\ \mathbf {B} )={\begin{vmatrix}\mathbf {A\cdot A} &\mathbf {A\cdot B} \\\mathbf {B\cdot A} &\mathbf {B\cdot B} \end{vmatrix}}\ .}$

同様に、３つのベクトルA、B、Cが張る平行六面体の二乗体積Vは、３つのベクトルのグラム行列式で与えられる。^{[ 4 ]}

${\displaystyle V^{2}=\Gamma (\mathbf {A} ,\ \mathbf {B} ,\ \mathbf {C} )={\begin{vmatrix}\mathbf {A\cdot A} &\mathbf {A\cdot B} &\mathbf {A\cdot C} \\\mathbf {B\cdot A} &\mathbf {B\cdot B} &\mathbf {B\cdot C} \\\mathbf {C\cdot A} &\mathbf {C\cdot B} &\mathbf {C\cdot C} \end{vmatrix}}\ ,}$

A、B、Cは 3 次元ベクトルなので、これは以下のスカラー三重積 の 2 乗に等しくなります。 ${\displaystyle \det[\mathbf {A} ,\mathbf {B} ,\mathbf {C} ]=|\mathbf {A} ,\mathbf {B} ,\mathbf {C} |}$

このプロセスはn次元まで拡張できます。

ベクトルの加算と乗算

• 加法の交換法則: . ${\displaystyle \mathbf {A} +\mathbf {B} =\mathbf {B} +\mathbf {A} }$
• スカラー積の可換性: 。 ${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} }$
• 外積の反可換性: 。 ${\displaystyle \mathbf {A} \times \mathbf {B} =\mathbf {-} (\mathbf {B} \times \mathbf {A} )}$
• スカラーによる乗算と加算の分配法則: 。 ${\displaystyle c(\mathbf {A} +\mathbf {B} )=c\mathbf {A} +c\mathbf {B} }$
• 加算上のスカラー積の分配性: 。 ${\displaystyle \left(\mathbf {A} +\mathbf {B} \right)\cdot \mathbf {C} =\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} +\mathbf {B} \cdot \mathbf {C} }$
• 加算上のベクトル積の分配性: 。 ${\displaystyle (\mathbf {A} +\mathbf {B} )\times \mathbf {C} =\mathbf {A} \times \mathbf {C} +\mathbf {B} \times \mathbf {C} }$
• スカラー三重積: $${\displaystyle \mathbf {A} \cdot (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )=\mathbf {B} \cdot (\mathbf {C} \times \mathbf {A} )=\mathbf {C} \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )=|\mathbf {A} \,\mathbf {B} \,\mathbf {C} |={\begin{vmatrix}A_{x}&B_{x}&C_{x}\\A_{y}&B_{y}&C_{y}\\A_{z}&B_{z}&C_{z}\end{vmatrix}}.}$$
• ベクトル三重積: . ${\displaystyle \mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )=(\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )\mathbf {B} -(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )\mathbf {C} }$
• ヤコビ恒等式: $${\displaystyle \mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )+\mathbf {C} \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )+\mathbf {B} \times (\mathbf {C} \times \mathbf {A} )=\mathbf {0} .}$$
• ラグランジュの恒等式: 。 ${\displaystyle |\mathbf {A} \times \mathbf {B} |^{2}=(\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} )(\mathbf {B} \cdot \mathbf {B} )-(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )^{2}}$

四重積

「四重積」という名称は、2つの異なる積、すなわちスカラー値のスカラー四重積とベクトル値のベクトル四重積または4つのベクトルのベクトル積に使用されます。 ^{[ 5 ]}

スカラー四重積

スカラー四重積は、2つの外積のドット積 として定義されます。

${\displaystyle (\mathbf {a\times b} )\cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )\ ,}$

ここで、a、b、c、dは3次元ユークリッド空間のベクトルである。^{[ 6 ]}これはビネ・コーシー恒等式を用いて評価できる。^{[ 6 ]}

${\displaystyle (\mathbf {a\times b} )\cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )=(\mathbf {a\cdot c} )(\mathbf {b\cdot d} )-(\mathbf {a\cdot d} )(\mathbf {b\cdot c} )\ .}$

または行列式を使って：

${\displaystyle (\mathbf {a\times b} )\cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )={\begin{vmatrix}\mathbf {a\cdot c} &\mathbf {a\cdot d} \\\mathbf {b\cdot c} &\mathbf {b\cdot d} \end{vmatrix}}\ .}$

ベクトル四重積

ベクトル四重積は、 2 つの外積の 外積 として定義されます。

${\displaystyle (\mathbf {a\times b} )\mathbf {\times } (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )\ ,}$

ここで、a、b、c、dは3次元ユークリッド空間のベクトルである。^{[ 2 ]}これは次の恒等式を使って評価できる。^{[ 7 ]}

${\displaystyle (\mathbf {a\times b} )\mathbf {\times } (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )=(\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {d} ))\mathbf {c} -(\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ))\mathbf {d} \ .}$

同等の形式は、次の恒等式を使って得られる: ^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]}

${\displaystyle (\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {d} ))\mathbf {a} -(\mathbf {c} \cdot (\mathbf {d} \times \mathbf {a} ))\mathbf {b} +(\mathbf {d} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} ))\mathbf {c} -(\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ))\mathbf {d} =0\ .}$

この恒等式は、テンソル表記とアインシュタインの総和規則を使用して次のように記述することもできます。

${\displaystyle (\mathbf {a\times b} )\mathbf {\times } (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )=\varepsilon _{ijk}a^{i}c^{j}d^{k}b^{l}-\varepsilon _{ijk}b^{i}c^{j}d^{k}a^{l}=\varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}d^{k}c^{l}-\varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}c^{k}d^{l}}$

ここでε _ijkはレヴィ・チヴィタ記号です。

関連関係:

• 前の式の結果：^{[ 11 ]} $${\displaystyle |\mathbf {A} \,\mathbf {B} \,\mathbf {C} |\,\mathbf {D} =(\mathbf {A} \cdot \mathbf {D} )\left(\mathbf {B} \times \mathbf {C} \right)+\left(\mathbf {B} \cdot \mathbf {D} \right)\left(\mathbf {C} \times \mathbf {A} \right)+\left(\mathbf {C} \cdot \mathbf {D} \right)\left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right).}$$
• 3次元では、ベクトルDは基底ベクトル{ A、B、C }を使って次のように表すことができます。 ^{[ 12 ]} $${\displaystyle \mathbf {D} \ =\ {\frac {\mathbf {D} \cdot (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )}{|\mathbf {A} \,\mathbf {B} \,\mathbf {C} |}}\ \mathbf {A} +{\frac {\mathbf {D} \cdot (\mathbf {C} \times \mathbf {A} )}{|\mathbf {A} \,\mathbf {B} \,\mathbf {C} |}}\ \mathbf {B} +{\frac {\mathbf {D} \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )}{|\mathbf {A} \,\mathbf {B} \,\mathbf {C} |}}\ \mathbf {C} .}$$

アプリケーション

これらの関係は、球面幾何学やユークリッド幾何学における様々な公式を導くのに役立ちます。例えば、単位球面上の4点A、B、C、Dを選び、球の中心から4点a、b、c、dへそれぞれ単位ベクトルを引いた場合、次の恒等式が成り立ちます。

${\displaystyle (\mathbf {a\times b} )\mathbf {\cdot } (\mathbf {c\times d} )=(\mathbf {a\cdot c} )(\mathbf {b\cdot d} )-(\mathbf {a\cdot d} )(\mathbf {b\cdot c} )\ ,}$

外積の大きさの関係と合わせて：

${\displaystyle \|\mathbf {a\times b} \|=ab\sin \theta _{ab}\ ,}$

そしてドット積：

${\displaystyle \mathbf {a\cdot b} =ab\cos \theta _{ab}\ ,}$

ここで、単位球面ではa = b = 1 となり、ガウスに帰属する角度は恒等式となります。

${\displaystyle \sin \theta _{ab}\sin \theta _{cd}\cos x=\cos \theta _{ac}\cos \theta _{bd}-\cos \theta _{ad}\cos \theta _{bc}\ ,}$

ここでxはa × bとc × dの間の角度、つまりこれらのベクトルによって定義される平面間の角度である。^{[ 2 ]}

参照

• ベクトル計算の恒等式
• ベクトル空間
• 幾何代​​数

注記

1. 八元数の乗算に関連するベクトルの7 次元外積も存在しますが、これはこれらの 3 次元の恒等式を満たしません。

参考文献

1. ライル・フレデリック・オルブライト (2008). 「§2.5.1 ベクトル代数」オルブライト化学工学ハンドブック. CRC Press. p. 68. ISBN 978-0-8247-5362-7。
2. ギブス＆ウィルソン 1901年、77ページ以降
3. フランシス・ベグノー・ヒルデブランド (1992). 『応用数学の方法』（プレンティス・ホール社 1965年第2版復刻版）. クーリエ・ドーバー出版. p. 24. ISBN 0-486-67002-3。
4. リチャード・クーラント、フリッツ・ジョン (2000). 「高次元における平行四辺形の面積と平行六面体の体積」 .微積分学と解析学入門 第2巻(1974年インターサイエンス版の再版). シュプリンガー. pp.  190– 195. ISBN 3-540-66569-2。
5. ギブス＆ウィルソン 1901、「ベクトルの直積と歪積」のセクション42、p.77
6. ギブス＆ウィルソン 1901、p. 76
7. ギブス＆ウィルソン 1901、77ページ
8. ギブス＆ウィルソン 1901、方程式27、77ページ
9. Vidwan Singh Soni (2009). 「§1.10.2 ベクトル四重積」力学と相対性理論. PHI Learning Pvt. Ltd. pp.  11– 12. ISBN 978-81-203-3713-8。
10. この公式は、エドウィン・ビッドウェル・ウィルソンとジョサイア・ウィラード・ギブス（1901年）によって球面三角法に適用されています。「§42ベクトルの直積と歪積」。ベクトル解析：数学者のための教科書。スクリブナー。77 ページ以降。
11. 「線形代数 - 積の恒等式」 . Mathematics Stack Exchange . 2021年10月7日閲覧。
12. ジョセフ・ジョージ・コフィン (1911).ベクトル解析：ベクトル法の入門と物理学・数学への様々な応用（第2版）. Wiley. p.  56 .

さらに読む

• ギブス、ジョサイア・ウィラード; ウィルソン、エドウィン・ビッドウェル (1901).ベクトル解析：数学者のための教科書. スクリブナー.

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