Mathematical operation on vectors in 3D space
右手座標系に関する外積 数学 において 、 外積 または ベクトル積 （幾何 学的な意味を強調するため、 有向面積積 と呼ばれることもある）は、 3次元の 有向 ユークリッドベクトル空間 （ここでは と名付ける）における 2つの ベクトルの2項 演算 であり、記号 で表されます 。2つ の線形独立ベクトル a と b があるとすると、外積 a × b （「a クロス b」と読む）は、 a と b の両方に 垂直な ベクトルであり 、 [1] したがって、 それらを含む平面に 垂直です。これは、数学、 物理学 、 工学 、および コンピュータプログラミングで広く応用されています。 ドット積 （射影積）と混同しないように注意してください 。 E {\displaystyle E} × {\displaystyle \times }
外積の大きさは、ベクトルを辺とする 平行四辺形 の面積に等しい。特に、2つの直交ベクトルの積の大きさは、それらのベクトルの長さの積である。 外積の 単位は、それぞれのベクトルの単位の積である。2つのベクトルが 平行 または 反平行 （つまり、線形従属）である場合、あるいはどちらか一方の長さが0である場合、それらの外積は0である。 [2]
クロス積は 反可換 （つまり、 a × b = − b × a ）であり、加法に対して 分配的 （つまり、 a × ( b + c ) = a × b + a × c） である。 [1] クロス積を含む 空間は 実数上の代数 であり、 可換で も 結合的 でもなく、クロス積が リー括弧 である リー代数 である。 E {\displaystyle E}
内積と同様に、外積は対象とする空間の 計量 に依存するが、内積とは異なり、空間の 向き の選択にも依存する（これが空間に向きが与えられなければならない理由である）。外積は基底の回転に対して不変であるが、基底ベクトルの 奇数順列 によってその逆に変換される。したがって、外積は 擬ベクトル である。
外積に関連して、ベクトルの 外積は任意の次元（ 双ベクトル または 2 形式の 結果）で使用することができ 、空間の方向とは無関係です。
この積は、従来の3次元外積と同様に、方向と計量構造を用いて様々な方法で一般化することができる。すなわち、 n次元では、 n − 1個 のベクトルの積をとって 、それらすべてに垂直なベクトルを生成できる。しかし、積をベクトルの結果を持つ非自明な2値積に限定すると、3次元と7次元にしか存在しない。 [3] 7次元の外積に は 望ましくない特性（例えば、 ヤコビ恒等式 を満たさ ない ）があるため、数理物理学では多次元 時空 などの量を表すのに使用されない。 [4] （他の次元については、以下の§ 一般化を参照。）
意味 右手の法則 による外積の方向の求め方 2つのベクトルa と b の外積は 3次元空間でのみ定義され、 a × b と表記される。 物理学 や 応用数学 では、ウェッジ記法 a ∧ bが （ベクトル積という 名称と組み合わせて ）しばしば用いられるが [5] [6] [7] 、純粋数学ではこのような記法は通常、ベクトル積を n 次元に抽象化した外積のみに用いられる。
外積 a × b は、 a と b の両方に 垂直 （直交）な ベクトル cとして定義され、その方向は 右手の法則 [1] によって与えられ、その大きさは ベクトルが張る 平行四辺形 の面積に等しい。 [2]
クロス積は式 [8] [9]で定義される。
a × b = ‖ a ‖ ‖ b ‖ sin ( θ ) n , {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\sin(\theta )\,\mathbf {n} ,}
どこ
θ は、aとbを含む平面における a と b の間の 角度 です（したがって、0°から180°の間です）。 ‖ a ‖ と ‖ b ‖ は ベクトル a と bの 大きさ であり、 nは、 a と b を含む平面に 垂直な 単位ベクトル であり 、順序付けられたセット ( a 、 b 、 n ) が 正の方向を向く ような方向を持ちます。 ベクトル a と b が平行（つまり、それらの間の角度 θが 0° または 180°）の場合、上記の式により、 a と b の外積は ゼロベクトル 0 になります 。
方向 外積 a × b （垂直、紫色）は、ベクトルa （青）と b （赤）の間の角度が変化すると変化します。外積は常に両方のベクトルに直交し、ベクトルが平行のときは大きさが0、 直交のときは 大きさが最大になります ‖ a ‖‖ b ‖ 。 ベクトル n の方向は、空間の選択された方向に依存します。慣例的には、右手の法則によって与えられ、右手の人差し指を a の方向に、中指を b の方向に向けるだけです。すると、ベクトル n は親指から出ます（隣の図を参照）。この法則を用いると、外積は 反可換 、つまり b × a = −( a × b ) となります。まず人差し指を b に向け、次に中指を a に向けると、親指は反対方向に押され、積ベクトルの符号が反転します。
外積演算子は空間の方向に依存するため、一般に 2 つのベクトルの外積は「真の」ベクトルではなく、 疑似ベクトルに なります。
名前と由来 サラスの規則 によれば 、 3×3行列の 行列式は、交差する対角線で識別される行列要素間の乗算を含む。 1842年、 ウィリアム・ローワン・ハミルトンは 初めて 四元数 の代数と非可換なハミルトン積を記述しました。特に、2つのベクトル（つまり、スカラー部がゼロの純粋四元数）のハミルトン積を計算すると、スカラー部とベクトル部を持つ四元数が得られます。このハミルトン積のスカラー部とベクトル部は、2つのベクトルの内積と外積の負の積に相当します。
1881年、 ジョサイア・ウィラード・ギブス [10] と オリバー・ヘヴィサイド は 独立して 、ドット積とクロス積をそれぞれピリオド（a⋅b）と「×」（a×b）で表す表記法 を 導入 し た 。 [ 11 ]
1877年、ウィリアム・キングドン・クリフォードは 、ドット積の結果が スカラー であるのに対し、 クロス積の結果は ベクトルであるという事実を強調するために、この2つの演算に スカラー積 と ベクトル積という 別名を作り出した 。 [11] これらの別名は現在でも文献で広く使われている。
クロス表記（ a × b ）と「クロス積」 という名称は、 a × b の各 スカラー成分が a と b の対応しない成分を乗算することで計算される という事実に由来していると考えられ ます。逆に、ドット積 a ⋅ b は、 a と b の対応する成分間の乗算を伴います。後述するように、クロス積は特殊な 3×3 行列の行列式の形で表すことができます。Sarrus の規則 によれば 、これは交差対角線で識別される行列要素間の乗算を伴います。
コンピューティング
座標表記 標準基底 ベクトル i 、 j 、 k および a の ベクトル成分（ここでは a x 、 a y 、 a z と表記） が正の向きの 直交基底 である場合 、基底ベクトルは以下の等式を満たす [1]。 これらの式の
記憶 法は、基底ベクトルの 巡回置換 によって、他の任意の式から導出できることである 。この記憶法は、本稿で示される多くの式にも適用される。 ( i , j , k ) {\displaystyle (\mathbf {\color {blue}{i}} ,\mathbf {\color {red}{j}} ,\mathbf {\color {green}{k}} )} i × j = k j × k = i k × i = j {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\mathbf {\color {blue}{i}} &\times \mathbf {\color {red}{j}} &&=\mathbf {\color {green}{k}} \\\mathbf {\color {red}{j}} &\times \mathbf {\color {green}{k}} &&=\mathbf {\color {blue}{i}} \\\mathbf {\color {green}{k}} &\times \mathbf {\color {blue}{i}} &&=\mathbf {\color {red}{j}} \end{alignedat}}}
外積の 反 可換性は、 j × i = − k k × j = − i i × k = − j {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\mathbf {\color {red}{j}} &\times \mathbf {\color {blue}{i}} &&=-\mathbf {\color {green}{k}} \\\mathbf {\color {green}{k}} &\times \mathbf {\color {red}{j}} &&=-\mathbf {\color {blue}{i}} \\\mathbf {\color {blue}{i}} &\times \mathbf {\color {green}{k}} &&=-\mathbf {\color {red}{j}} \end{alignedat}}}
外積の反可換性（および明らかな線形独立性の欠如）は、 （ ゼロベクトル ）であることも意味します。 i × i = j × j = k × k = 0 {\displaystyle \mathbf {\color {blue}{i}} \times \mathbf {\color {blue}{i}} =\mathbf {\color {red}{j}} \times \mathbf {\color {red}{j}} =\mathbf {\color {green}{k}} \times \mathbf {\color {green}{k}} =\mathbf {0} }
これらの等式は、 外積の 分配性 と 線形性（どちらも上記の定義から容易に導かれるわけではないが）と合わせて、任意の2つのベクトル a と b の外積を決定するのに十分である。各ベクトルは、標準基底ベクトルに平行な3つの直交成分の和として定義できる。 a = a 1 i + a 2 j + a 3 k b = b 1 i + b 2 j + b 3 k {\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\mathbf {a} &=a_{1}\mathbf {\color {blue}{i}} &&+a_{2}\mathbf {\color {red}{j}} &&+a_{3}\mathbf {\color {green}{k}} \\\mathbf {b} &=b_{1}\mathbf {\color {blue}{i}} &&+b_{2}\mathbf {\color {red}{j}} &&+b_{3}\mathbf {\color {green}{k}} \end{alignedat}}}
それらの外積 a × b は分配法則を使って展開できる。 a × b = ( a 1 i + a 2 j + a 3 k ) × ( b 1 i + b 2 j + b 3 k ) = a 1 b 1 ( i × i ) + a 1 b 2 ( i × j ) + a 1 b 3 ( i × k ) + a 2 b 1 ( j × i ) + a 2 b 2 ( j × j ) + a 2 b 3 ( j × k ) + a 3 b 1 ( k × i ) + a 3 b 2 ( k × j ) + a 3 b 3 ( k × k ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={}&(a_{1}\mathbf {\color {blue}{i}} +a_{2}\mathbf {\color {red}{j}} +a_{3}\mathbf {\color {green}{k}} )\times (b_{1}\mathbf {\color {blue}{i}} +b_{2}\mathbf {\color {red}{j}} +b_{3}\mathbf {\color {green}{k}} )\\[1ex]={}&a_{1}b_{1}(\mathbf {\color {blue}{i}} \times \mathbf {\color {blue}{i}} )+a_{1}b_{2}(\mathbf {\color {blue}{i}} \times \mathbf {\color {red}{j}} )+a_{1}b_{3}(\mathbf {\color {blue}{i}} \times \mathbf {\color {green}{k}} )+{}\\&a_{2}b_{1}(\mathbf {\color {red}{j}} \times \mathbf {\color {blue}{i}} )+a_{2}b_{2}(\mathbf {\color {red}{j}} \times \mathbf {\color {red}{j}} )+a_{2}b_{3}(\mathbf {\color {red}{j}} \times \mathbf {\color {green}{k}} )+{}\\&a_{3}b_{1}(\mathbf {\color {green}{k}} \times \mathbf {\color {blue}{i}} )+a_{3}b_{2}(\mathbf {\color {green}{k}} \times \mathbf {\color {red}{j}} )+a_{3}b_{3}(\mathbf {\color {green}{k}} \times \mathbf {\color {green}{k}} )\\\end{aligned}}}
これは、 a × b を、 i 、 j 、または k に揃ったベクトルを含む、9つのより単純な外積の和に 分解したものと解釈できます 。これらの9つの外積はそれぞれ、互いに平行または直交しているため扱いやすい2つのベクトルに対して作用します。この分解から、上記の等式を用いて相似項をまとめると、次の式が得られます。 a × b = a 1 b 1 0 + a 1 b 2 k − a 1 b 3 j − a 2 b 1 k + a 2 b 2 0 + a 2 b 3 i + a 3 b 1 j − a 3 b 2 i + a 3 b 3 0 = ( a 2 b 3 − a 3 b 2 ) i + ( a 3 b 1 − a 1 b 3 ) j + ( a 1 b 2 − a 2 b 1 ) k {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={}&\quad \ a_{1}b_{1}\mathbf {0} +a_{1}b_{2}\mathbf {\color {green}{k}} -a_{1}b_{3}\mathbf {\color {red}{j}} \\&-a_{2}b_{1}\mathbf {\color {green}{k}} +a_{2}b_{2}\mathbf {0} +a_{2}b_{3}\mathbf {\color {blue}{i}} \\&+a_{3}b_{1}\mathbf {\color {red}{j}} \ -a_{3}b_{2}\mathbf {\color {blue}{i}} \ +a_{3}b_{3}\mathbf {0} \\[1ex]={}&(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\mathbf {\color {blue}{i}} +(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})\mathbf {\color {red}{j}} +(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {\color {green}{k}} \end{aligned}}}
つまり、 結果として得られるベクトル s = s 1 i + s 2 j + s 3 k = a × b の3つのスカラー成分 は s 1 = a 2 b 3 − a 3 b 2 s 2 = a 3 b 1 − a 1 b 3 s 3 = a 1 b 2 − a 2 b 1 {\displaystyle {\begin{aligned}s_{1}&=a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\s_{2}&=a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\s_{3}&=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\end{aligned}}}
列ベクトル を使用すると 、同じ結果を次のように表すことができます。 [ s 1 s 2 s 3 ] = [ a 2 b 3 − a 3 b 2 a 3 b 1 − a 1 b 3 a 1 b 2 − a 2 b 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}s_{1}\\s_{2}\\s_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\end{bmatrix}}}
行列表記 サラスの法則を用いてa と b の外積を求める 外積は 形式 行列式として表現することもできる: [注 1] [1]
a × b = | i j k a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 | {\displaystyle \mathbf {a\times b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{vmatrix}}}
この行列式は、サラスの定理 または 余因子展開 を用いて計算できる 。サラスの定理を用いると、次のように展開される。 a × b = ( a 2 b 3 i + a 3 b 1 j + a 1 b 2 k ) − ( a 3 b 2 i + a 1 b 3 j + a 2 b 1 k ) = ( a 2 b 3 − a 3 b 2 ) i − ( a 1 b 3 − a 3 b 1 ) j + ( a 1 b 2 − a 2 b 1 ) k . {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b} &=(a_{2}b_{3}\mathbf {i} +a_{3}b_{1}\mathbf {j} +a_{1}b_{2}\mathbf {k} )-(a_{3}b_{2}\mathbf {i} +a_{1}b_{3}\mathbf {j} +a_{2}b_{1}\mathbf {k} )\\&=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\mathbf {i} -(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1})\mathbf {j} +(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {k} .\end{aligned}}}
これにより、結果のベクトルの要素が直接得られます。
レヴィ・チヴィタテンソルの使用 任意の基底において、外積は テンソル公式で与えられます。 ここで は 共変 レヴィ・チヴィタ テンソルです（添え字の位置に注意）。これはここで示した内部公式に対応します。 a × b {\displaystyle a\times b} E i j k a i b j {\displaystyle E_{ijk}a^{i}b^{j}} E i j k {\displaystyle E_{ijk}} 空間 と同じ向きを持つ 直交基底において 、 は擬テンソル式 で与えられます。 ここで はレヴィ・チヴィタ記号（擬テンソル）です。これは日常の物理学で用いられる式ですが、この特別な基底の選択に対してのみ有効です。 a × b {\displaystyle a\times b} ε i j k a i b j {\displaystyle \varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}} ε i j k {\displaystyle \varepsilon _{ijk}} 任意の直交基底では、 擬テンソル式で与えられ、 は 基底が空間と同じ向きであるかどうかを示します。 a × b {\displaystyle a\times b} ( − 1 ) B ε i j k a i b j {\displaystyle (-1)^{B}\varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}} ( − 1 ) B = ± 1 {\displaystyle (-1)^{B}=\pm 1} 後者の式は、直交基底を反転するときに空間の方向を変更する必要を回避します。
プロパティ
幾何学的な意味 図1. 平行四辺形の面積は外積の大きさとして表される 図2. 平行六面体を定義する3つのベクトル 外積の大きさは、aとbを辺とする平行四辺形の正の面積として 解釈 できる （ 図 1 参照 ） 。 [ 1 ] ‖ a × b ‖ = ‖ a ‖ ‖ b ‖ | sin θ | . {\displaystyle \left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|=\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\left|\sin \theta \right|.}
実際、スカラー三重積 と呼ばれる外積と内積の組み合わせを使用して、 a 、 b 、 c を辺とする 平行六面体 の 体積 V を計算することもできます（図2を参照）。
a ⋅ ( b × c ) = b ⋅ ( c × a ) = c ⋅ ( a × b ) . {\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} ).}
スカラー三重積の結果は負になる可能性があるため、平行六面体の体積はその絶対値で表されます。
V = | a ⋅ ( b × c ) | . {\displaystyle V=|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|.}
外積の大きさは、その引数間の角度の正弦に比例するため、内積が 平行度 の尺度であるのと同様に、外積は 垂直度 の尺度と考えることができます。2つの 単位ベクトル が与えられたとき、それらの外積の大きさは、2つが垂直であれば1、2つが平行であれば0になります。2つの単位ベクトルの内積は正反対の挙動を示します。つまり、単位ベクトルが垂直であれば0、単位ベクトルが平行であれば1になります。
単位ベクトルは、2つの便利な恒等式を可能にします。2つの単位ベクトルの内積は、2つの単位ベクトル間の角度の余弦（正または負の値をとる）を与えます。2つの単位ベクトルの外積の大きさは、正弦（常に正の値をとる）を与えます。
代数的性質 外積 スカラー乗算 。 左： bを a に平行な成分と垂直な成分に 分解する 。右：垂直な成分を正の実数 r でスケーリングする（負の場合、 b と外積は逆になる）。 ベクトルの加法における外積分配性。 左： ベクトル b と cは a に平行な成分と垂直な成分に分解される 。 右： 外積では平行成分は消え、 a に垂直な平面に示された垂直成分のみが残る。 [12] 3つのベクトルa 、 b 、 c の2つの非等価な三重積 。いずれの場合も、2つのベクトルは平面を定義し、もう1つのベクトルは平面外にあり、平面を定義するベクトルの積に平行な成分と垂直な成分に分割できます。これらの成分は、 ベクトルの射影 と 棄却 によって求められます。三重積は平面内にあり、図のように回転します。 2 つのベクトルの外積がゼロ ベクトル (つまり、 a × b = 0 ) である場合、入力の 1 つまたは両方がゼロ ベクトル ( a = 0 または b = 0 ) であるか、またはそれらが平行または反平行 ( a ∥ b ) であるため、それらの間の角度の正弦はゼロ ( θ = 0° または θ = 180° かつ sin θ = 0 ) になります。
ベクトルの自己積は零ベクトルである。 この積は 反可換で あり、 加算に対して 分配法則を 持ち、
スカラー乗算と互換性があるので、 a × a = 0 . {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {a} =\mathbf {0} .} a × b = − ( b × a ) , {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =-(\mathbf {b} \times \mathbf {a} ),} a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c ) , {\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )+(\mathbf {a} \times \mathbf {c} ),} ( r a ) × b = a × ( r b ) = r ( a × b ) . {\displaystyle (r\,\mathbf {a} )\times \mathbf {b} =\mathbf {a} \times (r\,\mathbf {b} )=r\,(\mathbf {a} \times \mathbf {b} ).}
これは 結合法則で はないが、 ヤコビ恒等式 を満たす。 分配法則、線形性、ヤコビ恒等式から、 R 3 ベクトル空間は ベクトルの加法と外積と合わせて リー代数 、すなわち3次元 の実 直交群 SO(3) のリー代数を形成することがわかる。外積は 相殺則 に従わない。つまり、 a × b = a × c （ a ≠ 0）は b = c を意味するのではなく 、以下のことを意味する。 a × ( b × c ) + b × ( c × a ) + c × ( a × b ) = 0 . {\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )+\mathbf {b} \times (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )+\mathbf {c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf {0} .} 0 = ( a × b ) − ( a × c ) = a × ( b − c ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {0} &=(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )-(\mathbf {a} \times \mathbf {c} )\\&=\mathbf {a} \times (\mathbf {b} -\mathbf {c} ).\end{aligned}}}
これは、 b と c が 打ち消し合う場合に当てはまります が、さらに a と b − c が平行な場合にも当てはまります。つまり、これらはスケール係数 t によって関連しており、
何らかのスカラー t に対して次のようになります 。 c = b + t a , {\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {b} +t\,\mathbf {a} ,}
上記のように a × b = a × c かつ a ≠ 0 であることに加えて、 a ⋅ b = a ⋅ c である場合、 b − c はa に対して 同時に平行（外積が 0 になるため）かつ垂直（内積が 0 になるため）にはならないため、 b と c は 打ち消し合う、つまり b = c である必要があります 。 a × ( b − c ) = 0 a ⋅ ( b − c ) = 0 , {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \times (\mathbf {b} -\mathbf {c} )&=\mathbf {0} \\\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} -\mathbf {c} )&=0,\end{aligned}}}
幾何学的な定義から、外積は a × b で定義される軸を中心とした適切な 回転 に対して不変です。式では、 は の 回転行列 です 。 ( R a ) × ( R b ) = R ( a × b ) , {\displaystyle (R\mathbf {a} )\times (R\mathbf {b} )=R(\mathbf {a} \times \mathbf {b} ),} R {\displaystyle R} det ( R ) = 1 {\displaystyle \det(R)=1}
より一般的には、外積は 行列 変換の下で次の恒等式に従います。 ここで 、は3行3 列の行列 、 は 逆行列 の 転置 、は余因子行列です。 回転行列の 場合、この式が前者の式に簡約されることは容易に理解できます。3 行3列の対称行列を一般的な外積に適用した場合 、次の関係が成り立ちます。2 つのベクトルの外積は、 ベクトルを行とする 2×3 行列の 零空間 にあります。2
つの外積の和については、次の恒等式が成り立ちます。 ( M a ) × ( M b ) = ( det M ) ( M − 1 ) T ( a × b ) = cof M ( a × b ) {\displaystyle (M\mathbf {a} )\times (M\mathbf {b} )=(\det M)\left(M^{-1}\right)^{\mathrm {T} }(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\operatorname {cof} M(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )} M {\displaystyle M} ( M − 1 ) T {\displaystyle \left(M^{-1}\right)^{\mathrm {T} }} cof {\displaystyle \operatorname {cof} } M {\displaystyle M} M {\displaystyle M} a × b {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} } M ( a × b ) = Tr ( M ) ( a × b ) − a × M b + b × M a {\displaystyle M(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\operatorname {Tr} (M)(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )-\mathbf {a} \times M\mathbf {b} +\mathbf {b} \times M\mathbf {a} } a × b ∈ N S ( [ a b ] ) . {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} \in NS\left({\begin{bmatrix}\mathbf {a} \\\mathbf {b} \end{bmatrix}}\right).} a × b + c × d = ( a − c ) × ( b − d ) + a × d + c × b . {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} +\mathbf {c} \times \mathbf {d} =(\mathbf {a} -\mathbf {c} )\times (\mathbf {b} -\mathbf {d} )+\mathbf {a} \times \mathbf {d} +\mathbf {c} \times \mathbf {b} .}
差別化 微分積分の積の法則 は あらゆる双線型演算に適用され、したがって外積にも適用されます。 d d t ( a × b ) = d a d t × b + a × d b d t , {\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )={\frac {d\mathbf {a} }{dt}}\times \mathbf {b} +\mathbf {a} \times {\frac {d\mathbf {b} }{dt}},}
ここで 、 a と b は実変数 t に依存するベクトルです。
3倍の製品拡張 外積は三重積のどちらの形式でも用いられる。3 つのベクトルの スカラー三重積は次のように定義される。
a ⋅ ( b × c ) , {\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ),}
これは、辺 a 、 b 、 cを持つ 平行六面体 の符号付き体積であり、ベクトルは 上記の順序を
偶数 順列 に並べた任意の順序で使用できます。したがって、以下の式は等しくなります。
a ⋅ ( b × c ) = b ⋅ ( c × a ) = c ⋅ ( a × b ) , {\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} ),}
ベクトル 三重積は ベクトルと別の外積の結果の外積であり、ドット積と次の式で関連しています。
a × ( b × c ) = b ( a ⋅ c ) − c ( a ⋅ b ) ( a × b ) × c = b ( c ⋅ a ) − a ( b ⋅ c ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\\(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} =\mathbf {b} (\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} )-\mathbf {a} (\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} )\end{aligned}}}
「BACマイナスCAB」という記憶法 は 、右辺のベクトルの順序を覚えるために使用されます。この式は 物理学においてベクトル計算を簡略化するために用いられます。 勾配 に関する特別なケースとして、 ベクトル計算 で有用なもの があります。 ∇ × ( ∇ × f ) = ∇ ( ∇ ⋅ f ) − ( ∇ ⋅ ∇ ) f = ∇ ( ∇ ⋅ f ) − ∇ 2 f , {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times (\nabla \times \mathbf {f} )&=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {f} )-(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {f} \\&=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {f} )-\nabla ^{2}\mathbf {f} ,\\\end{aligned}}}
ここで∇2 は ベクトルラプラシアン 演算子です 。
他の恒等式は、外積をスカラー三重積に関連付けます。 ( a × b ) × ( a × c ) = ( a ⋅ ( b × c ) ) a ( a × b ) ⋅ ( c × d ) = b T ( ( c T a ) I − c a T ) d = ( a ⋅ c ) ( b ⋅ d ) − ( a ⋅ d ) ( b ⋅ c ) {\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )&=(\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ))\mathbf {a} \\(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )&=\mathbf {b} ^{\mathrm {T} }\left(\left(\mathbf {c} ^{\mathrm {T} }\mathbf {a} \right)I-\mathbf {c} \mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\right)\mathbf {d} \\&=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {d} )-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {d} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} )\end{aligned}}}
ここで、 Iは 単位行列 です 。
外積と内積は次のように関係します。 ‖ a × b ‖ 2 = ‖ a ‖ 2 ‖ b ‖ 2 − ( a ⋅ b ) 2 . {\displaystyle \left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|^{2}=\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}.}
右辺は a と b の グラム行列式 、つまりベクトルによって定義される平行四辺形の面積の2乗です。この条件によって外積の大きさが決まります。つまり、内積は 2つのベクトル間の
角度 θによって次のように定義されるので、
a ⋅ b = ‖ a ‖ ‖ b ‖ cos θ , {\displaystyle \mathbf {a\cdot b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\cos \theta ,}
上記の関係は次のように書き直すことができます。
‖ a × b ‖ 2 = ‖ a ‖ 2 ‖ b ‖ 2 ( 1 − cos 2 θ ) . {\displaystyle \left\|\mathbf {a\times b} \right\|^{2}=\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}\left(1-\cos ^{2}\theta \right).}
ピタゴラスの三角関数の恒等 式を適用すると 次の式が得られます。 ‖ a × b ‖ = ‖ a ‖ ‖ b ‖ | sin θ | , {\displaystyle \left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|=\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\left|\sin \theta \right|,}
これはθ で表される外積の大きさであり、 a と b によって定義される平行四辺形の面積に等しい （上記の定義を参照）。
この要件と、外積がその構成要素 a と b に直交するという性質を組み合わせることで、外積の別の定義が得られます。 [13]
外積逆 二つのベクトル a と c （ a ≠ 0 ） が与えられたとき、方程式 a × b = cが b の解を持つのは、 a が c に直交する 場合 （つまり、 a ⋅ c = 0の場合）に限ります。その場合、 b の解の無限族が存在し 、それらは t を任意の定数と します。 b = c × a ‖ a ‖ 2 + t a , {\displaystyle \mathbf {b} ={\frac {\mathbf {c} \times \mathbf {a} }{\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}}}+t\mathbf {a} ,}
これは三重積展開を使用して導くことができます。 並べ替えて b について解くと、 次のようになります。最後の項の係数は、任意の定数 t に簡略化して、上記のような結果を得ることができます。 c × a = ( a × b ) × a = ‖ a ‖ 2 b − ( a ⋅ b ) a {\displaystyle \mathbf {c} \times \mathbf {a} =(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {a} =\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\mathbf {b} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {a} } b = c × a ‖ a ‖ 2 + a ⋅ b ‖ a ‖ 2 a {\displaystyle \mathbf {b} ={\frac {\mathbf {c} \times \mathbf {a} }{\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}}}+{\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}}}\mathbf {a} }
ラグランジュの恒等式 関係 ‖ a × b ‖ 2 ≡ det [ a ⋅ a a ⋅ b a ⋅ b b ⋅ b ] ≡ ‖ a ‖ 2 ‖ b ‖ 2 − ( a ⋅ b ) 2 {\displaystyle \left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|^{2}\equiv \det {\begin{bmatrix}\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \\\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} \end{bmatrix}}\equiv \left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}}
右辺を含む別の関係式、すなわち ラグランジュの恒等式 と比較することができる。これは [14]
∑ 1 ≤ i < j ≤ n ( a i b j − a j b i ) 2 ≡ ‖ a ‖ 2 ‖ b ‖ 2 − ( a ⋅ b ) 2 , {\displaystyle \sum _{1\leq i<j\leq n}\left(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right)^{2}\equiv \left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}-(\mathbf {a\cdot b} )^{2},}
ここで 、a と bは n 次元ベクトルである 。これはまた、 曲面の リーマン体積形がベクトル解析の 曲面元と全く同じであることを示している。n = 3 の場合、これら2つの式を組み合わせると 、 外積の大きさをその成分で表す式が得られる。 [15]
‖ a × b ‖ 2 ≡ ∑ 1 ≤ i < j ≤ 3 ( a i b j − a j b i ) 2 ≡ ( a 1 b 2 − b 1 a 2 ) 2 + ( a 2 b 3 − a 3 b 2 ) 2 + ( a 3 b 1 − a 1 b 3 ) 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \|^{2}&\equiv \sum _{1\leq i<j\leq 3}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}\\&\equiv (a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2})^{2}+(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})^{2}+(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})^{2}.\end{aligned}}}
同じ結果は、次の外積の成分を使って直接得られる。 a × b ≡ det [ i ^ j ^ k ^ a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 ] . {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} \equiv \det {\begin{bmatrix}{\hat {\mathbf {i} }}&{\hat {\mathbf {j} }}&{\hat {\mathbf {k} }}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{bmatrix}}.}
R 3 では 、ラグランジュ方程式は、 四元数代数 のノルムの乗法性 | vw | = | v || w | の特殊なケースです。
これは、ビネ・コーシー恒等式 の3次元版であるラグランジュ恒等式とも呼ばれる別の公式の特殊なケースである ： [16] [17]
( a × b ) ⋅ ( c × d ) ≡ ( a ⋅ c ) ( b ⋅ d ) − ( a ⋅ d ) ( b ⋅ c ) . {\displaystyle (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )\equiv (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {d} )-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {d} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} ).}
a = c かつ b = d の場合 、これは上記の式に簡略化されます。
回転の無限小生成器 外積は、 R 3 における 回転 の微小生成元を都合よく記述する。具体的には、 nが R 3 の単位ベクトルであり 、 R ( φ , n ) が n で指定された原点を通る軸の周りの、角度 φ （ラジアンで測定し、 n の先端から見て反時計回り ）の回転を表す場合、 R 3 の すべてのベクトル xに対して、 n との外積は n の 周りの回転の微小生成元を記述する 。これらの微小生成元は 回転群 SO(3) の リー代数 so (3) を形成し、外積を持つリー代数 R 3 は リー代数 so (3)
と同型である という結果が得られる。 d d ϕ | ϕ = 0 R ( ϕ , n ) x = n × x {\displaystyle \left.{d \over d\phi }\right|_{\phi =0}R(\phi ,{\boldsymbol {n}}){\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {n}}\times {\boldsymbol {x}}}
計算の代替方法
行列乗算への変換 ベクトル積は、 対称行列 とベクトルの積として表すこともできる。 [16] ここで、上付き文字 T は転置 演算を表し 、[ a ] ×は 次のように定義される。 a × b = [ a ] × b = [ 0 − a 3 a 2 a 3 0 − a 1 − a 2 a 1 0 ] [ b 1 b 2 b 3 ] a × b = [ b ] × T a = [ 0 b 3 − b 2 − b 3 0 b 1 b 2 − b 1 0 ] [ a 1 a 2 a 3 ] , {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b} =[\mathbf {a} ]_{\times }\mathbf {b} &={\begin{bmatrix}\,0&\!-a_{3}&\,\,a_{2}\\\,\,a_{3}&0&\!-a_{1}\\-a_{2}&\,\,a_{1}&\,0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}}\\\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={[\mathbf {b} ]_{\times }}^{\mathrm {\!\!T} }\mathbf {a} &={\begin{bmatrix}\,0&\,\,b_{3}&\!-b_{2}\\-b_{3}&0&\,\,b_{1}\\\,\,b_{2}&\!-b_{1}&\,0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}},\end{aligned}}} [ a ] × = d e f [ 0 − a 3 a 2 a 3 0 − a 1 − a 2 a 1 0 ] . {\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times }{\stackrel {\rm {def}}{=}}{\begin{bmatrix}\,\,0&\!-a_{3}&\,\,\,a_{2}\\\,\,\,a_{3}&0&\!-a_{1}\\\!-a_{2}&\,\,a_{1}&\,\,0\end{bmatrix}}.}
ベクトルa の歪対称行列の 列[ a ] ×,iは、 単位ベクトル とのクロス積を計算することによっても得られます 。つまり、 または と
なります。 ここでは 外積 演算子です 。 [ a ] × , i = a × e ^ i , i ∈ { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times ,i}=\mathbf {a} \times \mathbf {{\hat {e}}_{i}} ,\;i\in \{1,2,3\}} [ a ] × = ∑ i = 1 3 ( a × e ^ i ) ⊗ e ^ i , {\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times }=\sum _{i=1}^{3}\left(\mathbf {a} \times \mathbf {{\hat {e}}_{i}} \right)\otimes \mathbf {{\hat {e}}_{i}} ,} ⊗ {\displaystyle \otimes }
また、 a 自体が外積として表現される 場合
、 a = c × d {\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {c} \times \mathbf {d} } [ a ] × = d c T − c d T . {\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times }=\mathbf {d} \mathbf {c} ^{\mathrm {T} }-\mathbf {c} \mathbf {d} ^{\mathrm {T} }.}
この結果は幾何代数を用いて高 次元に一般化できる 。特に、どの次元においても双ベクトルは歪対称行列と同一視できるため、歪対称行列とベクトルの積は、双ベクトルとベクトルの積の1次部分と等しくなる。 [18] 3次元では双ベクトルはベクトルの 双対 であるため、積は双ベクトルをベクトルの双対ではなく、外積と等しくなる。高次元でも積は計算できるが、双ベクトルは自由度が高く、ベクトルとは等しくない。 [18]
この表記法は、たとえば エピポーラ幾何学 では扱いがはるかに簡単になることがよくあります。
外積の一般的な性質から 、そして [ a ] × が 歪対称である という事実から、次の式が成り立ちます。 [ a ] × a = 0 {\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times }\,\mathbf {a} =\mathbf {0} } a T [ a ] × = 0 {\displaystyle \mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\,[\mathbf {a} ]_{\times }=\mathbf {0} } b T [ a ] × b = 0. {\displaystyle \mathbf {b} ^{\mathrm {T} }\,[\mathbf {a} ]_{\times }\,\mathbf {b} =0.}
この表記法を使用すると、前述の三重積展開（bac-cab 規則）を簡単に証明できます。
上述のように、外積を持つ リー代数 R 3 は、その元が3×3歪対称行列と同一視されるリー代数 so(3)と同型である。写像 a → [ a ] × は、 R 3 と so(3) の間に同型性を与える 。この写像の下では、3次元ベクトルの外積は、3× 3歪対称行列の 交換子に対応する。
テンソルのインデックス表記 外積は、 レヴィ・チヴィタテンソル E ijk とドット積 η mi で定義することもできます。これは、テンソルアプリケーションの ベクトル表記を 変換するのに役立ちます。
c = a × b ⇔ c m = ∑ i = 1 3 ∑ j = 1 3 ∑ k = 1 3 η m i E i j k a j b k {\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a\times b} \Leftrightarrow \ c^{m}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\eta ^{mi}E_{ijk}a^{j}b^{k}}
ここで 添え字は ベクトルの成分に対応する。この外積の特徴付けは、 アインシュタインの和の慣例 を用いてより簡潔に次の
ように表現されることが多い。 i , j , k {\displaystyle i,j,k} c = a × b ⇔ c m = η m i E i j k a j b k {\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a\times b} \Leftrightarrow \ c^{m}=\eta ^{mi}E_{ijk}a^{j}b^{k}}
繰り返されるインデックスが 1 から 3 までの値にわたって合計されます。
正の向きの直交基底 η mi = δ mi （ クロネッカーのデルタ ）および （ レヴィ・チヴィタ記号 ）において、この表現は外積の歪対称表現の別の形となる。 E i j k = ε i j k {\displaystyle E_{ijk}=\varepsilon _{ijk}}
[ ε i j k a j ] = [ a ] × . {\displaystyle [\varepsilon _{ijk}a^{j}]=[\mathbf {a} ]_{\times }.}
古典力学 において 、レヴィ＝チヴィタ記号を用いて外積を表すと、物理系が 等方性で ある場合に力学的対称性が明らかになることがある。（例えば、 フックの法則 ポテンシャルを持つ3次元空間内の粒子を考えてみよう。この粒子は3次元で自由に振動する。これらの次元はどれも「特別な」ものではないため、外積で表される角運動量に対称性があり、これは前述のレヴィ＝チヴィタ表現によって明らかになる。） [ 要出典 ]
ニモニック ベクトル形式で外積を計算するためのニーモニック 外積の定義を覚えるには、「xyzzy」という単語を使うといいでしょう。
もし
a = b × c {\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {b} \times \mathbf {c} }
どこ：
a = [ a x a y a z ] , b = [ b x b y b z ] , c = [ c x c y c z ] {\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\end{bmatrix}},\ \mathbf {b} ={\begin{bmatrix}b_{x}\\b_{y}\\b_{z}\end{bmatrix}},\ \mathbf {c} ={\begin{bmatrix}c_{x}\\c_{y}\\c_{z}\end{bmatrix}}}
それから：
a x = b y c z − b z c y {\displaystyle a_{x}=b_{y}c_{z}-b_{z}c_{y}} a y = b z c x − b x c z {\displaystyle a_{y}=b_{z}c_{x}-b_{x}c_{z}} a z = b x c y − b y c x . {\displaystyle a_{z}=b_{x}c_{y}-b_{y}c_{x}.}
2番目と3番目の方程式は、最初の方程式から添え字を縦に回転させるだけで得られます（ x → y → z → x） 。もちろん、問題は最初の方程式をどのように覚えるかですが、これには2つの選択肢があります。Sarrusのスキームの関連する2つの対角線（ i を含むもの）を覚えるか、xyzzyシーケンスを覚えるかです。
Sarrus の方式の最初の対角線は、 前述の 3×3 行列の 主対角線と同じなので、xyzzy という単語の最初の 3 文字は非常に簡単に覚えられます。
クロス視覚化 上記の記憶術と同様に、方程式内の2つのベクトルの間に「クロス」またはXを視覚化することができます。これは、正しい外積の式を覚えるのに役立つかもしれません。
もし
a = b × c {\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {b} \times \mathbf {c} }
それから：
a = [ b x b y b z ] × [ c x c y c z ] . {\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}b_{x}\\b_{y}\\b_{z}\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}c_{x}\\c_{y}\\c_{z}\end{bmatrix}}.}
の式を取得したい場合は、 式から and を削除し、次の 2 つの要素を削除します。 a x {\displaystyle a_{x}} b x {\displaystyle b_{x}} c x {\displaystyle c_{x}}
a x = [ b y b z ] × [ c y c z ] . {\displaystyle a_{x}={\begin{bmatrix}b_{y}\\b_{z}\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}c_{y}\\c_{z}\end{bmatrix}}.}
に対してこれを行う場合、 次の2つの要素は行列を「折り返す」必要があり、z成分の後にx成分が来るようにします。わかりやすくするために、 に対してこの操作を実行する場合 、次の2つの要素はzとx（この順序で） とする必要があります。一方、 に対して次の2つの要素はxとyとする必要があります。 a y {\displaystyle a_{y}} a y {\displaystyle a_{y}} a z {\displaystyle a_{z}}
a y = [ b z b x ] × [ c z c x ] , a z = [ b x b y ] × [ c x c y ] {\displaystyle a_{y}={\begin{bmatrix}b_{z}\\b_{x}\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}c_{z}\\c_{x}\end{bmatrix}},\ a_{z}={\begin{bmatrix}b_{x}\\b_{y}\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}c_{x}\\c_{y}\end{bmatrix}}}
交差演算子を左側の要素から右側の要素へ向かうものとして視覚化すると、左側の最初の要素を取り、右側の行列で交差が指している要素を掛け合わせれば済みます。次に 、左側の次の要素を引き、こちらでも交差が指している要素を掛け合わせます。こうして、以下の式が得られます 。 a x {\displaystyle a_{x}} a x {\displaystyle a_{x}}
a x = b y c z − b z c y . {\displaystyle a_{x}=b_{y}c_{z}-b_{z}c_{y}.}
および についても同様にして 、 関連する式を構築できます。 a y {\displaystyle a_{y}} a z {\displaystyle a_{z}}
アプリケーション 外積は様々な分野で応用されています。例えば、計算幾何学、物理学、工学といった分野で用いられています。以下に、その例を挙げますが、これらに限定されるわけではありません。
計算幾何学 外積は、3 次元空間における 2 本の 斜線 (同じ平面上にない線) 間の距離の計算で使用されます。
クロス積は、三角形または多角形の法線を計算するために使用できます。これは コンピュータグラフィックス で頻繁に実行される演算です。例えば、多角形内の点を中心とした多角形の巻き（時計回りまたは反時計回り）は、多角形を三角形に分割し（車輪のスポークのように）、各角度の符号を追跡するためにクロス積を使用して（スポーク間の）角度を合計することで計算できます。
平面 の 計算幾何学 において 、外積は 3点と によって定義される 鋭角 の 符号を決定するために使用されます。これは、 2組の点と によって定義される 2つの共面 ベクトル の外積の方向（上向きまたは下向き）に対応します 。鋭角の符号は、 2つ のベクトルの外積の符号付き長さを表す式の符号です。外積を使用するには、2次元ベクトルを 共面の3次元ベクトルに拡張し、 それぞれのベクトルに対して を設定するだけです。 p 1 = ( x 1 , y 1 ) , p 2 = ( x 2 , y 2 ) {\displaystyle p_{1}=(x_{1},y_{1}),p_{2}=(x_{2},y_{2})} p 3 = ( x 3 , y 3 ) {\displaystyle p_{3}=(x_{3},y_{3})} ( p 1 , p 2 ) {\displaystyle (p_{1},p_{2})} ( p 1 , p 3 ) {\displaystyle (p_{1},p_{3})} P = ( x 2 − x 1 ) ( y 3 − y 1 ) − ( y 2 − y 1 ) ( x 3 − x 1 ) , {\displaystyle P=(x_{2}-x_{1})(y_{3}-y_{1})-(y_{2}-y_{1})(x_{3}-x_{1}),} p 1 , p 2 , p 3 {\displaystyle p_{1},p_{2},p_{3}} z k = 0 {\displaystyle z_{k}=0}
「右手」座標系では、結果が0の場合、3点は 同一直線上に ある。正の場合、3点は から を 中心とする正の回転角を形成し 、負の場合、負の回転角を形成する。別の観点から見ると、 の符号は が 直線の左側にあるか右側に あるかを示す。 p 1 {\displaystyle p_{1}} p 2 {\displaystyle p_{2}} p 3 {\displaystyle p_{3}} P {\displaystyle P} p 3 {\displaystyle p_{3}} p 1 , p 2 . {\displaystyle p_{1},p_{2}.}
外積は、 四面体 や 平行六面体 などの 多面体 の体積を計算するときに使用されます。
角運動量とトルク 与えられた原点の周りの粒子の角運動量 L は次のように定義さ れ ます 。
L = r × p , {\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} ,}
ここで、 r は原点に対する粒子の位置ベクトル、 p は粒子の線形運動量です。
同様に、 点 B に点 A の周りに作用する
力 F B のモーメント M は次のように表されます。
M A = r A B × F B {\displaystyle \mathbf {M} _{\mathrm {A} }=\mathbf {r} _{\mathrm {AB} }\times \mathbf {F} _{\mathrm {B} }\,}
力学では、 力のモーメントは トルク とも呼ばれ 、次のように表されます。 τ {\displaystyle \mathbf {\tau } }
位置 r 、 線運動量 p 、力 F はすべて 真の ベクトルであるため、角運動量 L と力のモーメント M は両方とも擬似ベクトル または 軸ベクトル です 。
剛体 外積は剛体運動の記述において頻繁に登場します。 剛体 上の2点 P と Qは 、次のように関係付けられます。
v P − v Q = ω × ( r P − r Q ) {\displaystyle \mathbf {v} _{P}-\mathbf {v} _{Q}={\boldsymbol {\omega }}\times \left(\mathbf {r} _{P}-\mathbf {r} _{Q}\right)\,}
ここで 、 は点の位置、 は速度、 は物体の 角速度 です。 r {\displaystyle \mathbf {r} } v {\displaystyle \mathbf {v} } ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}
位置 と速度は 真の ベクトルなので 、角速度は 擬似ベクトル または 軸ベクトル です 。 r {\displaystyle \mathbf {r} } v {\displaystyle \mathbf {v} } ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}
ローレンツ力 外積は、 移動する電荷 q e が受けるローレンツ力を記述するために使用されます 。 F = q e ( E + v × B ) {\displaystyle \mathbf {F} =q_{e}\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)}
速度 v 、 力 F 、電場 E はすべて 真の ベクトルなので、磁場 B は擬似ベクトル です 。
他の ベクトル計算 では 、外積は ベクトル演算子 curl の式を定義するために使用されます。
外積を行列の乗算で書き換えるというトリックは、 エピポーラ幾何学 やマルチビュー幾何学、特にマッチング制約を導出するときに頻繁に使用されます。
外部製品として 外積と外積の関係。赤色で示されているのは、直交 単位ベクトル と「平行」単位二乗ベクトルである。 外積は外積を用いて定義できる。また、3次元以外の外積にも一般化できる。 [19] この一般化により、外積の自然な幾何学的解釈が可能になる。 外積代数 では、2つのベクトルの外積は2ベクトルである。2ベクトルは、ベクトルが有向線要素であるのと同様に、有向平面要素である。2つのベクトル a と bを考えると、2ベクトル a ∧ b は、 a と b が張る有向平行四辺形と みなせる 。外積は、 2ベクトル a ∧ b の ホッジスター をとり、 2次元ベクトル をベクトルに写像することで得られる。
a × b = ⋆ ( a ∧ b ) . {\displaystyle a\times b=\star (a\wedge b).}
これは、双ベクトルに「垂直」な向きの多次元要素と考えることができます。d次元空間では 、 ホッジスター写像は k ベクトルを( d-k )ベクトルに変換します。したがって、 d = 3次元の場合のみ、結果は1次元（3-2 = 1）の要素、すなわちベクトルになります。例えば、 d = 4次元の場合、2つのベクトルの外積は4-2 = 2次元となり、双ベクトルになります。したがって、外積は3次元の場合のみ、ベクトルを乗算する代数構造を定義します。
一般化 外積を高次元に一般化する方法がいくつかあります。
リー代数 外積は最も単純なリー積の一つと見なすことができ、したがって リー代数 によって一般化されます。リー代数は、多重線型性、歪対称性、ヤコビ恒等式の公理を満たす二項積として公理化されます。多くのリー代数が存在し、それらの研究は リー理論 と呼ばれる数学の主要な分野です。
例えば、 ハイゼンベルク代数は 別のリー代数構造を与える。その 基底において 積は R 3 . {\displaystyle \mathbf {R} ^{3}.} { x , y , z } , {\displaystyle \{x,y,z\},} [ x , y ] = z , [ x , z ] = [ y , z ] = 0. {\displaystyle [x,y]=z,[x,z]=[y,z]=0.}
四元数 外積は 四元 数で記述することもできます。一般に、ベクトル [ a 1 , a 2 , a 3 ]を四元数 a 1 i + a 2 j + a 3 k で表すと 、2つのベクトルの外積は、それらの積を四元数として取り、結果の実部を消去することで得られます。実部は、2つのベクトルの内積の負の値になります。
八元数 7次元ベクトルの外積は、四元数の代わりに八元数 を用いることで同様に求めることができます 。他の次元の2つのベクトルの非自明なベクトル値外積が存在しないことは、 ノルムを持つ除算代数は 1、2、4、8次元のもの だけであるという ハーヴィッツの定理の結果と関係しています。
外装製品 一般次元においては、二次元外積に直接類似するもので、ベクトルを生成するものはありません。しかし、外積は同様の性質を持ちますが、2つのベクトルの外積が通常のベクトルではなく 2次元ベクトルになるという点が異なります。前述のように、 ホッジスター 演算子を用いて2次元ベクトルをベクトルに写像することで、外積は3次元の外積として解釈できます 。外積のホッジ双対は ( n −2) ベクトルを生成し、これは任意の次元における外積の自然な一般化です。
外積と内積は、（合計を通じて）組み合わせて、幾何代数における 幾何積 を形成できます。
外部製品 上述のように、外積は3次元では外積のホッジ双対として解釈できる。任意の有限 n次元において、 n − 1 ベクトルの外積のホッジ双対はベクトルである。したがって、任意の有限次元において、外積は二項演算ではなく、与えられた n − 1 ベクトルの外積のホッジ双対として一般化される。この一般化は 外積 と呼ばれる 。 [20]
整流子積 代数の 3次元 ベクトル空間を 、3次元幾何代数の2 次元ベクトル （1次元ベクトルではない） 部分代数 として解釈すると、、、 およびの 外積は幾何代数における 交換子積 と正確に対応し、どちらも同じ記号 を使用します。交換子積は、幾何代数において2次元ベクトル と に対して次のように定義されます 。 i = e 2 e 3 {\displaystyle \mathbf {i} =\mathbf {e_{2}} \mathbf {e_{3}} } j = e 1 e 3 {\displaystyle \mathbf {j} =\mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{3}} } k = e 1 e 2 {\displaystyle \mathbf {k} =\mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{2}} } × {\displaystyle \times } A {\displaystyle A} B {\displaystyle B}
A × B = 1 2 ( A B − B A ) , {\displaystyle A\times B={\tfrac {1}{2}}(AB-BA),}
ここで 幾何積は [21]である。 A B {\displaystyle AB}
交換子積は3次元の任意の 多重ベクトル に一般化することができ、その結果、1 次元 （1ベクトル／真ベクトル）と2次元（2ベクトル／擬似ベクトル）の要素のみからなる多重ベクトルが得られる。2つの1ベクトルの交換子積は外積と同じであり、2ベクトルを生成するが、1ベクトルと2ベクトルの交換子積は真ベクトルを生成する。これは幾何代数における 左縮約と右縮約 に相当する。2つの2ベクトルの交換子積には対応する積がないため、交換子積はそもそも2ベクトルに対して定義されている。さらに、3つの2ベクトルの交換子三重積は、 ベクトル代数における同じ3つの擬ベクトルの ベクトル三重積 と同じである。しかし、幾何代数における 3 つの 1 ベクトルの交換子三重積は、 ベクトル代数における同じ 3 つの真ベクトルの ベクトル三重積 の 負になります。
高次元への一般化は、高次元幾何代数における2ベクトルの交換子積によって提供されるが、2ベクトルはもはや擬ベクトルではない。3次元における2ベクトルの交換子積/外積が最も単純なリー代数に対応するのと同様に、交換子積を備えた高次元幾何代数の2ベクトル部分代数もまたリー代数に対応する。 [22] また、3次元の場合と同様に、交換子積は任意の多重ベクトルにさらに一般化できる。
多重線形代数 多重線型代数 の文脈では 、外積は、 3次元 体積形式 （ [注 2] の（0,3）テンソル）から 指数を乗じて得られる（1,2）テンソル（ 混合テンソル 、具体的には 双線型写像 ）として見ることができます。
詳細には、3次元体積形式は、 これらの3つのベクトルによって与えられる行列の行列式を取ることで積を定義します。 双対性 により、これは関数と等価です （任意の2つの入力を固定すると、3番目の入力を評価することで関数が得られます）。また、 内積 （ドット積など。より一般的には、非退化 双線形形式 ）が存在する場合 、同型性が得られ 、したがって外積である写像が生成されます 。つまり、(0,3)-テンソル（3つのベクトル入力、スカラー出力）は、「インデックスを上げる」ことで(1,2)-テンソル（2つのベクトル入力、1つのベクトル出力）に変換されます。 V × V × V → R , {\displaystyle V\times V\times V\to \mathbf {R} ,} V × V → V ∗ , {\displaystyle V\times V\to V^{*},} V → R {\displaystyle V\to \mathbf {R} } V → V ∗ , {\displaystyle V\to V^{*},} V × V → V , {\displaystyle V\times V\to V,}
上記の代数を幾何学に翻訳すると、関数 を定義する関数「 によって定義される平行六面体の体積 」（最初の2つのベクトルは固定で最後のベクトルは入力）は、ベクトルとのドット積として一意に 表す ことができます 。このベクトルは外積です。 この観点から、外積は スカラー三重積 によって 定義され ます。 ( a , b , − ) {\displaystyle (a,b,-)} V → R {\displaystyle V\to \mathbf {R} } a × b . {\displaystyle a\times b.} V o l ( a , b , c ) = ( a × b ) ⋅ c . {\displaystyle \mathrm {Vol} (a,b,c)=(a\times b)\cdot c.}
同様に、高次元においては、 n 次元体積形式（テンソル）の添字を乗じることで、一般化された外積を定義できます 。外積の最も直接的な一般化は、次のいずれかを定義することです。 ( 0 , n ) {\displaystyle (0,n)}
-テンソル はベクトルを入力として受け取り 、1つのベクトル （ベクトル値の積）を出力として返す。 ( 1 , n − 1 ) {\displaystyle (1,n-1)} n − 1 {\displaystyle n-1} ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)} -テンソル は、2つのベクトルを入力として受け取り、ランク n − 2 の 歪対称テンソル（ ランク n − 2のテンソル値を持つ2値積）を出力する。他の k に対して も -テンソルを定義することができる 。 ( n − 2 , 2 ) {\displaystyle (n-2,2)} ( k , n − k ) {\displaystyle (k,n-k)} これらの積はすべて多重線型かつ歪対称であり、行列式とパリティの 観点から定義できます 。
次元 積は次のように記述できます。 の ベクトルが与えられた場合、 その一般化外積を次のように定義し ます 。 ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)} n − 1 {\displaystyle n-1} v 1 , … , v n − 1 {\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n-1}} R n , {\displaystyle \mathbf {R} ^{n},} v n = v 1 × ⋯ × v n − 1 {\displaystyle v_{n}=v_{1}\times \cdots \times v_{n-1}}
によって定義される超平面に垂直な v i , {\displaystyle v_{i},} 大きさは、平行四辺形の体積であり、 グラム行列式として計算できる。 v i , {\displaystyle v_{i},} v i , {\displaystyle v_{i},} 肯定的な方向に向いているように向いています 。 v 1 , … , v n {\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}} これは、インデックスの巡回順列に対して などと 評価 される唯一の多重線形交代積です。 e 1 × ⋯ × e n − 1 = e n {\displaystyle e_{1}\times \cdots \times e_{n-1}=e_{n}} e 2 × ⋯ × e n = e 1 , {\displaystyle e_{2}\times \cdots \times e_{n}=e_{1},}
座標では、 R n の外積の この - 次元類似体の式は 次のようになります。 ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)}
⋀ i = 0 n − 1 v i = | v 1 1 ⋯ v 1 n ⋮ ⋱ ⋮ v n − 1 1 ⋯ v n − 1 n e 1 ⋯ e n | . {\displaystyle \bigwedge _{i=0}^{n-1}\mathbf {v} _{i}={\begin{vmatrix}v_{1}{}^{1}&\cdots &v_{1}{}^{n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\v_{n-1}{}^{1}&\cdots &v_{n-1}{}^{n}\\\mathbf {e} _{1}&\cdots &\mathbf {e} _{n}\end{vmatrix}}.}
この式は、基底ベクトルの行が行列式の最初ではなく最後の行にある点を除けば、 R 3 の通常のクロス積の行列式の式と構造的に同一である 。これは、順序付きベクトル ( v 1 , ..., v n −1 , Λ n –1 i=0 v i ) は ( e 1 , ..., e n ) に関して 正の 向きを持つ。 nが奇数の場合、この変更によって値は変更されないため、この規則は 2 値積の通常の定義と一致する。 ただし、 n が偶数の場合は 、この区別を維持する必要があります。 この - 元形式は、ベクトル外積と同じ多くの特性を備えています。つまり、引数が 交代かつ 線形であり、各引数に垂直であり、その大きさが引数で囲まれた領域の超体積を与えます。 また、ベクトル外積と同様に、引数のウェッジ積のホッジ双対として座標に依存しない方法で定義できます。 さらに、この積は フィリッポフ恒等式を満たすため、 R n+1 に n-リー代数の構造が
与えられます( [23] の命題 1 を参照 )。 ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)} [ v 1 , … , v n ] := ⋀ i = 0 n v i {\displaystyle [v_{1},\ldots ,v_{n}]:=\bigwedge _{i=0}^{n}v_{i}} [ [ x 1 , … , x n ] , y 2 , … , y n ] ] = ∑ i = 1 n [ x 1 , … , x i − 1 , [ x i , y 2 , … , y n ] , x i + 1 , … , x n ] , {\displaystyle [[x_{1},\ldots ,x_{n}],y_{2},\ldots ,y_{n}]]=\sum _{i=1}^{n}[x_{1},\ldots ,x_{i-1},[x_{i},y_{2},\ldots ,y_{n}],x_{i+1},\ldots ,x_{n}],}
歴史 1773年、 ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュは、 点積と外積の両方の成分形式を用いて三次元の 四面体 を研究した。 [24] [注 3]
1843年、 ウィリアム・ローワン・ハミルトンは 四元数 積を導入し、それに伴い ベクトル と スカラー という用語も導入しました 。2つの四元数 [0, u ] と [0, v ] （ u と vは R 3 のベクトル）が与えられた とき、それらの四元数積は [− u ⋅ v , u × v ] とまとめることができます 。 ジェームズ・クラーク・マクスウェルはハミルトンの四元数ツールを用いて有名な 電磁気学方程式 を開発しました 。このことやその他の理由から、四元数は一時期物理学教育において不可欠な要素でした。
1844年、 ヘルマン・グラスマンは 2次元や3次元に縛られない幾何代数を発表した。グラスマンは、当時 [uv] で表される外積を含むいくつかの積を開発した。 （ 外積代数 も参照 ） 。
1853年、グラスマンと同時代の オーギュスタン＝ルイ・コーシーは 、方程式を解くために使用され、外積と同じ乗算特性を持つ代数キーに関する論文を発表しました。 [27]
1878年、 ウィリアム・キングドン・クリフォードは 、自身の名を冠した クリフォード代数 の 先駆者 として知られる著書『 力学の 原論』を出版しました。本書では、 ベクトル積という用語が初めて登場します。この2つのベクトルの積は、その大きさがそれらの2辺からなる 平行四辺形 の 面積 に等しく 、方向がそれらの平面に垂直であると定義されています。 [28]
1881年の講義ノートでは、 ギブスは 外積を と表し、 歪積 と呼んでいました 。 [29] 1901年、ギブスの弟子である エドウィン・ビッドウェル・ウィルソンは これらの講義ノートを編集し、 教科書 『ベクトル解析』 にまとめました。ウィルソンは 歪積という用語を使い続けましたが、 外積 [注 4] や ベクトル積 という 用語の方が より頻繁に使われていることに気づきました。 u × v {\displaystyle u\times v}
1908年、 チェーザレ・ブラーリ＝フォルティ と ロベルト・マルコロンゴは ベクトル積表記 u∧v を導入した。 乗算 や 直積 を表すために既に使用されていたため、 フランス やその他の地域では 今日まで使用されている 。 [ 要出典 ] × {\displaystyle \times }
参照
注記 ^ ここで、「形式的」とは、この表記法が行列式の形式を持っているが、定義に厳密に従っているわけではないことを意味します。これは、外積の展開を覚えるために使用される記憶術です。 ^ 体積形式とは、 n 個のベクトルを取り、 ベクトルによって定義される 平行四辺形 の体積をスカラー値として出力する関数のことです。 これは n 元多線型歪対称形式です。例えば 上の基底が存在する場合、 これは行列式によって与えられますが、抽象ベクトル空間では、これは付加構造です。G構造 の 観点から見ると 、体積形式は -構造です。 V × ⋯ × V → R . {\displaystyle V\times \cdots \times V\to \mathbf {R} .} R n , {\displaystyle \mathbf {R} ^{n},} S L {\displaystyle SL} ^ 現代の記法では、ラグランジュは 、 、 を定義しています 。これにより、現代の は ラグランジュ記法の 3つの変数に対応します。 ξ = y × z {\displaystyle \mathbf {\xi } =\mathbf {y} \times \mathbf {z} } η = z × x {\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}=\mathbf {z} \times \mathbf {x} } ζ = x × y {\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}=\mathbf {x} \times {\boldsymbol {y}}} x {\displaystyle \mathbf {x} } ( x , x ′ , x ″ ) {\displaystyle (x,x',x'')} ^ A × Bは「 A クロス B 」 と読む ので
参考文献 ^ abcdef Weisstein, Eric W. 「Cross Product」. Wolfram MathWorld . 2020年9月6日 閲覧。 ^ ab "Cross Product". www.mathsisfun.com . 2020年9月6日 閲覧。 ^ Massey, William S. (1983年12月). 「高次元ユークリッド空間におけるベクトルの外積」 (PDF) . The American Mathematical Monthly . 90 (10): 697– 701. doi :10.2307/2323537. JSTOR 2323537. S2CID 43318100. 2021年2月26日時点のオリジナル (PDF) からのアーカイブ。 外積の3つの基本特性のみを求めると…ベクトルの外積は3次元および7次元ユークリッド空間にのみ存在することがわかります。 ^ Arfken, George B. 物理学者のための数学的手法 （第4版）。エルゼビア。 ^ Jeffreys, H.; Jeffreys, BS (1999). 『数理物理学の方法』 ケンブリッジ大学出版局. OCLC 41158050. ^ アチェソン, DJ (1990). 『初等流体力学 』オックスフォード大学出版局. ISBN 0198596790 。 ^ Howison, Sam (2005). 実用応用数学 . ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0521842743 。 ^ ウィルソン1901、60～61ページ。 ^ Dennis G. Zill、Michael R. Cullen (2006). 「定義7.4: 2つのベクトルの外積」. 上級工学数学 （第3版）. Jones & Bartlett Learning. p. 324. ISBN 0-7637-4591-X 。 ^ エドウィン・ビッドウェル・ウィルソン (1913). 「第2章 ベクトルの直積と歪積」. ベクトル解析 . J. ウィリアム・ギブスの講義に基づいて作成. ニューヘイブン: イェール大学出版局. 内積は「直積」、外積は「歪積」と呼ばれます。 ^ ab Michael J. Crowe著『ベクトル解析の歴史』、数学、カリフォルニア大学デービス校。 ^ MRシュピーゲル; S. リプシュッツ; D. スペルマン (2009)。 ベクトル解析 。シャウムの概要。マグロウヒル。 p. 29.ISBN 978-0-07-161545-7 。 ^ WS Massey (1983年12月). 「高次元ユークリッド空間におけるベクトルの外積」. アメリカ数学月刊 . 90 (10). アメリカ数学月刊, 第90巻, 第10号: 697–701 . doi :10.2307/2323537. JSTOR 2323537. ^ ウラジミール・A・ボイチェンコ;ゲンナディ・アレクセーヴィチ・レオノフ。フォルカー・ライトマン (2005)。常微分方程式の次元理論。 Vieweg+Teubner Verlag。 p. 26.ISBN 3-519-00437-2 。 ^ Pertti Lounesto (2001). Clifford algebras and spinors (第2版). Cambridge University Press. p. 94. ISBN 0-521-00551-5 。 ^ ab Shuangzhe Liu; Gõtz Trenkler (2008). 「アダマール積、カトリ・ラオ積、クロネッカー積、およびその他の行列積」. Int J Information and Systems Sciences . 4 (1). 科学計算教育研究所: 160–177 . ^ エリック ・W・ワイスタイン (2003) 「ビネ・コーシー恒等式」 CRC簡潔数学百科事典 （第2版）CRC Press、228ページ 。ISBN 1-58488-347-2 。 ^ ab Lounesto, Pertti (2001). Clifford algebras and spinors . Cambridge: Cambridge University Press. pp. 193. ISBN 978-0-521-00551-7 。 ^ Greub、W. (1978)。 多重線形代数 。 ^ Hogben, L. 編 (2007). 線形代数ハンドブック . [ ページが必要 ] ^ アーサー、ジョン・W. (2011). 電磁気理論のための幾何代数の理解. IEEE Press . p. 49. ISBN 978-0470941638 。 ^ ドラン、クリス、ラセンビー、アンソニー (2003). 物理学者のための幾何代数. ケンブリッジ大学出版局 . pp. 401– 408. ISBN 978-0521715959 。 ^ フィリッポフ、バーモント州 (1985)。 「n-リー代数」 。 シビルスク。マット。 zh 。 26 (6): 879–891 。 書誌コード :1985SibMJ..26..879F。 土井 ：10.1007/BF00969110。 S2CID 125051596。 ^ ラグランジュ、ジョゼフ＝ルイ (1773)。 「三角関係の問題の解決策分析」。作品。 Vol. 3.p. 661. ^ コーシー、オーギュスタン＝ルイ (1900)。 ウーヴル 。 Vol. 12ページ16. ^ クリフォード、ウィリアム・キングドン （1878年）「Elements of Dynamic, Part I」ロンドン：マクミラン社、95ページ。 ^ ギブス、ジョサイア・ウィラード (1884). ベクトル解析の要素：物理学の学生向けに編纂. ニューヘイブン：タトル・モアハウス・アンド・テイラー印刷.
参考文献
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![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={}&(a_{1}\mathbf {\color {blue}{i}} +a_{2}\mathbf {\color {red}{j}} +a_{3}\mathbf {\color {green}{k}} )\times (b_{1}\mathbf {\color {blue}{i}} +b_{2}\mathbf {\color {red}{j}} +b_{3}\mathbf {\color {green}{k}} )\\[1ex]={}&a_{1}b_{1}(\mathbf {\color {blue}{i}} \times \mathbf {\color {blue}{i}} )+a_{1}b_{2}(\mathbf {\color {blue}{i}} \回\mathbf {\color {red}{j}} )+a_{1}b_{3}(\mathbf {\color {blue}{i}} \times \mathbf {\color {green}{k}} )+{}\\&a_{2}b_{1}(\mathbf {\color {red}{j}} \times \mathbf {\color {blue}{i}} )+a_{2}b_{2}(\mathbf {\color {red}{j}} \times \mathbf {\color {red}{j}} )+a_{2}b_{3}(\mathbf {\color {red}{j}} \times \mathbf {\color {green}{k}} )+{}\\&a_{3}b_{1}(\mathbf {\color {green}{k}} \times \mathbf {\color {blue}{i}} )+a_{3}b_{2}(\mathbf {\color {green}{k}} \times \mathbf {\color {red}{j}} )+a_{3}b_{3}(\mathbf {\color {green}{k}} \times \mathbf {\color {green}{k}} )\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c84f8b130513616058d4e3db7d68affc1d2eee0c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={}&\quad \ a_{1}b_{1}\mathbf {0} +a_{1}b_{2}\mathbf {\color {green}{k}} -a_{1}b_{3}\mathbf {\color {red}{j}} \\&-a_{2}b_{1}\mathbf {\color {green}{k}} +a_{2}b_{2}\mathbf {0} +a_{2}b_{3}\mathbf {\color {blue}{i}} \\&+a_{3}b_{1}\mathbf {\color {red}{j}} \ -a_{3}b_{2}\mathbf {\color {青}{i}} \ +a_{3}b_{3}\mathbf {0} \\[1ex]={}&(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\mathbf {\color {blue}{i}} +(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})\mathbf {\color {red}{j}} +(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {\color {green}{k}} \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a87d2b3b74e9790c36dab906d420b402a0c82230)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b} =[\mathbf {a} ]_{\times }\mathbf {b} &={\begin{bmatrix}\,0&\!-a_{3}&\,\,a_{2}\\\,\,a_{3}&0&\!-a_{1}\\-a_{2}&\,\,a_{ 1}&\,0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}}\\\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={[\mathbf {b} ]_{\times }}^{\mathrm {\!\!T} }\mathbf {a} &={\begin{bmatrix}\,0&\,\,b_{3}&\!-b_{2}\\-b_{3}&0&\,\,b_{1}\\\,\,b_{2}&\!-b_{1}&\,0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77eaf3e139944a22bc3543de85a65d2d280547c6)
![{\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times }{\stackrel {\rm {def}}{=}}{\begin{bmatrix}\,\,0&\!-a_{3}&\,\,\,a_{2}\\\,\,\,a_{3}&0&\!-a_{1}\\\!-a_{2}&\,\,a_{1}&\,\,0\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/614cc7fd18f2f2e212803822f31acb2505c98c89)
![{\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times ,i}=\mathbf {a} \times \mathbf {{\hat {e}}_{i}} ,\;i\in \{1,2,3\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74baaa1f6814e02fb133911b2bbab966485a3806)
![{\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times }=\sum _{i=1}^{3}\left(\mathbf {a} \times \mathbf {{\hat {e}}_{i}} \right)\otimes \mathbf {{\hat {e}}_{i}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb0381c1581881a166e2f4e9cefe0b236265eefd)
![{\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times }=\mathbf {d} \mathbf {c} ^{\mathrm {T} }-\mathbf {c} \mathbf {d} ^{\mathrm {T} }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7bebe8181aeb49a3e8987339594fd7de7c454a9)
![{\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times }={\begin{bmatrix}0&c_{2}d_{1}-c_{1}d_{2}&c_{3}d_{1}-c_{1}d_{3}\\c_{1}d_{2}-c_{2}d_{1}&0&c_{3}d_{2}-c_{2}d_{3}\\c_{1}d_{3}-c_{3}d_{1}&c_{2}d_{3}-c_{3}d_{2}&0\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ff95aa2908dc95252f1a28c8a9167458c98c993)
![{\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times }\,\mathbf {a} =\mathbf {0} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e918b623a3b34134199284e350a5a06f8fe0305)
![{\displaystyle \mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\,[\mathbf {a} ]_{\times }=\mathbf {0} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cd1a98ffd5ab228553c458345bb26af8422bb43)
![{\displaystyle \mathbf {b} ^{\mathrm {T} }\,[\mathbf {a} ]_{\times }\,\mathbf {b} =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c23cfb35b83ca69742e7da1381a7477a18d04e4d)
![{\displaystyle [\varepsilon _{ijk}a^{j}]=[\mathbf {a} ]_{\times }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/063b837f18afcf9a012a49f73f4b4c2e350e99e9)
![{\displaystyle [x,y]=z,[x,z]=[y,z]=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf27588f0b4586bd6a22e7e3d7c9d8513219e3ea)
![{\displaystyle [v_{1},\ldots ,v_{n}]:=\bigwedge _{i=0}^{n}v_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3ded7786514805c536cc7c4063b827b634303f2)
![{\displaystyle [[x_{1},\ldots ,x_{n}],y_{2},\ldots ,y_{n}]]=\sum _{i=1}^{n}[x_{1},\ldots ,x_{i-1},[x_{i},y_{2},\ldots ,y_{n}],x_{i+1},\ldots ,x_{n}],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cec8eccbfa6d7d839058f46452d3339623469e9)
