弦の振動

Type of wave

弦の振動、定在波。倍音列における基音と最初の5つの倍音。

弦の振動は波です。最初の外乱（はじく、叩くなど）により、振動する弦は一定周波数、つまり一定ピッチの音を出します。この周波数選択プロセスの性質は、有限の長さに張られた弦で発生します。つまり、この弦では特定の周波数だけが存続します。弦の長さ、張力、線密度（太さや材質の選択など）が正しく指定されていれば、生成される音は楽音です。振動する弦は、ギター、チェロ、ピアノなどの弦楽器の基礎となります。均質な弦の場合、運動は波動方程式で表されます。

波

弦（ ）内の波の伝播速度は、弦の張力（ ）の平方根に比例し、弦の線密度（ ）の平方根に反比例します。 ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle v={\sqrt {T \over \mu }}.}$

この関係は1500年代後半にヴィンチェンツォ・ガリレイによって発見されました。 ^[要出典]

導出

振動する弦の図

出典: ^[1]

弦の長さを、質量を、線密度をとします。角度と が小さい場合、両側の張力の水平成分は定数 で近似でき、この場合の正味の水平方向の力はゼロになります。したがって、小さな角度 の近似を用いると、弦の両側に作用する水平方向の張力は次のように表されます。 ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle T_{1x}=T_{1}\cos(\alpha )\approx T.}$

${\displaystyle T_{2x}=T_{2}\cos(\beta )\approx T.}$

ニュートンの第2法則の垂直成分から、この破片の質量（線密度と長さの積）と加速度を乗じた値は、破片に働く正味の力に等しくなります。 ${\displaystyle a}$

${\displaystyle \Sigma F_{y}=T_{1y}-T_{2y}=-T_{2}\sin(\beta )+T_{1}\sin(\alpha )=\Delta ma\approx \mu \Delta x{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}.}$

この式を で割り、最初の方程式と 2 番目の方程式を代入すると、次の式が得られます ( については最初の方程式か 2 番目の方程式のどちらかを選択できます。そのため、便宜上、対応する角度と を持つ各方程式を選択します) 。 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle -{\frac {T_{2}\sin(\beta )}{T_{2}\cos(\beta )}}+{\frac {T_{1}\sin(\alpha )}{T_{1}\cos(\alpha )}}=-\tan(\beta )+\tan(\alpha )={\frac {\mu \Delta x}{T}}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}.}$

小角近似によれば、弦の両端の角度の接線は、両端の傾きに等しく、 と の定義によりマイナスの符号が加わる。この事実を用いて整理すると、 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle {\frac {1}{\Delta x}}\left(\left.{\frac {\partial y}{\partial x}}\right|^{x+\Delta x}-\left.{\frac {\partial y}{\partial x}}\right|^{x}\right)={\frac {\mu }{T}}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}.}$

ゼロに近づく極限では、左辺は の2次導関数の定義である。 ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}={\frac {\mu }{T}}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}.}$

この方程式は波動方程式として知られており、2番目の時間微分項の係数は に等しい。したがって ${\displaystyle {\frac {1}{v^{2}}}}$

${\displaystyle v={\sqrt {T \over \mu }},}$

弦における波の伝播速度はどこでしょうか。しかし、この導出は振幅の小さい振動に対してのみ有効です。振幅の大きい振動の場合、弦の長さに対する近似値は適切ではありません。また、張力の水平成分は必ずしも一定ではありません。水平張力は で適切に近似できません。 ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle T}$

波の周波数

伝播速度がわかれば、弦から発生する音の周波数を計算できます。波の伝播速度は、波長を周期で割った値、または周波数を掛けた値に等しくなります。 ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle v={\frac {\lambda }{\tau }}=\lambda f.}$

弦の長さが とすると、基本倍音は弦の両端を節とする振動によって生じる倍音であり、 は基本倍音の波長の半分である。したがって、メルセンヌの法則が成り立つ。 ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle f={\frac {v}{2L}}={1 \over 2L}{\sqrt {T \over \mu }}}$

ここで、は張力（ニュートン）、は線密度（つまり単位長さあたりの質量）、は弦の振動部分の長さです。したがって、 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle L}$

• 弦が短いほど、基本周波数は高くなります
• 張力が高くなるほど、基本周波数は高くなります
• 弦が軽いほど、基本周波数は高くなります

さらに、n次高調波の波長を とすると、n次高調波の周波数を表す式は簡単に得られます。 ${\displaystyle \lambda _{n}=2L/n}$

${\displaystyle f_{n}={\frac {nv}{2L}}}$

そして、線密度Tの張力を受けた弦の場合、 ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle f_{n}={\frac {n}{2L}}{\sqrt {\frac {T}{\mu }}}}$

弦の振動を観察する

周波数が十分に低く、振動する弦をテレビやコンピューターなどのCRT スクリーン(アナログ オシロスコープではない) の前に持ってくると、振動する弦の波形を見ることができます。この効果はストロボ効果と呼ばれ、弦が振動しているように見える速度は、弦の周波数とスクリーンのリフレッシュレートの差です。蛍光灯でも同じことが起こります。つまり、弦の周波数と交流の周波数の差です。 (スクリーンのリフレッシュ レートが弦の周波数またはその整数倍に等しい場合、弦は静止していますが、変形して見えます。) 日光やその他の振動しない光源ではこの効果は発生せず、弦は静止していますが、視覚の残像により、太く、明るく、またはぼやけて見えます。

ストロボスコープを使用すると、同様だがより制御可能な効果が得られます。この装置により、キセノンフラッシュランプの周波数を弦の振動の周波数に一致させることができます。暗い部屋では、波形がはっきりと見えます。または、ベンディングを使用するか、またはおそらくより簡単な方法として、マシンヘッドを調整することで、同じ効果を得るために同じ、またはAC周波数の倍数を得ることができます。たとえばギターの場合、6番目（最も低い音程の）弦を3フレットに押さえると、97.999HzでGになります。少し調整するだけで、これを100Hzに変更できます。これは、ヨーロッパやアフリカとアジアのほとんどの国の交流周波数である50Hzよりちょうど1オクターブ高いです。AC周波数が60Hzである南北アメリカのほとんどの国では、5弦1フレットのA#を116.54Hzから120Hzに変更すると、同様の効果が得られます。

参照

• フレット楽器
• 音楽音響
• 円形ドラムの振動
• メルデの実験
• 3番目のブリッジ（均等な弦分割に基づく倍音共鳴）
• 弦の共鳴
• 反射位相変化
• ヒルベルト空間

参考文献

• モルテノ, TCA; NB トゥフィラロ (2004年9月). 「弦のダイナミクスに関する実験的研究」. American Journal of Physics . 72 (9): 1157– 1169. Bibcode :2004AmJPh..72.1157M. doi :10.1119/1.1764557.
• Tufillaro, NB (1989). 「非線形およびカオス弦振動」. American Journal of Physics . 57 (5): 408. Bibcode :1989AmJPh..57..408T. doi :10.1119/1.16011.

特定の

1. 波動方程式と波の速度

外部リンク

• 「振動する弦」、Alain Gorielyおよび Mark Robertson-Tessi、Wolfram Demonstrations Project 著。

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