テトラッド形式

Approach to general relativity

テトラッド形式は、一般相対性理論に対するアプローチであり、接線束の基底の選択を座標基底からより制限の少ない局所基底、すなわち局所的に定義された4つの^[a]線形独立なベクトル場であるテトラッドまたはビエルバイン[4]のセットへと一般化する。^{[1]これは、} （擬）リーマン幾何学で設定される、より一般的なビエルバイン形式の概念の特殊なケースである。この記事では、現在書かれているとおり、一般相対性理論について頻繁に言及しているが、そこで述べられていることのほぼすべては、一般の（擬）リーマン多様体、さらにはスピン多様体にも同様に当てはまる。ほとんどのステートメントは、を に任意に置き換えることで成立する。ドイツ語で、「vier」は「4」、「viel」は「多くの」、「bein」は「脚」と翻訳される。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=4}$

一般的な考え方は、計量テンソルを、左辺と右辺の 2 つのヴィエルバイン (超粒子) の積として表すことです。ヴィエルバインの効果は、接線多様体上で使用される座標系を、より単純で計算に適したものに変更することです。ヴィエルバイン座標系は、一般的に最も使いやすいため、正規直交となることがよくあります。ほとんどのテンソルは、この座標系では単純または自明になります。そのため、ほとんどの式の複雑さは、固有の特性や物理的効果ではなく、座標の選択による結果であることが明らかになります^[要出典]。つまり、形式主義としては予測を変えるものではなく、計算手法です。

一般相対論に対する標準的な座標ベースのアプローチに対するテトラッド形式の利点は、時空の重要な物理的側面を反映するようにテトラッド基底を選択できることにあります。抽象的なインデックス表記は、テンソルを、固定された局所的なテトラッドに対する係数で表現されているかのように表します。完全に座標フリーな表記は概念的に明確であることが多いですが、それと比較して、この表記法は縮約を簡単かつ計算的に明示的に表すことができます。

四項形式の重要性は、一般相対論のアインシュタイン＝カルタン定式化に現れる。この理論における四項形式は、計量定式化よりもより基本的なものである。なぜなら、ボソン作用では四項形式と計量形式間の変換が可能だが、フェルミオン作用では変換できないからである^{[要出典] 。これは、ワイルスピノルがリーマン多様体[2] [要出典]}上で非常に自然に定義でき、その自然な設定がスピン接続につながるためである。これらのスピノルは、多様体座標系ではなく、ビエルバイン座標系で形成される。

特権四項形式は、高次元カルツァ＝クライン重力理論^[3]や有質量重力理論の脱構築にも現れ、そこでは余剰次元がN個の格子点の列に置き換えられ、高次元計量が4次元成分のみに依存する相互作用計量の集合に置き換えられる。^{[4]ヴィールベインは物理学や数学の他の一般的な設定にも広く現れる。ヴィールベインは}はんだ形式として理解することができる。

数学的定式化

四分子式は、より一般的な式であるフィールバイン式またはn-バイン式（n = 4）の特殊なケースです。フィールバイン（Vielbein）は「r」ではなく「l」で綴られます。ドイツ語で「viel」は「多くの」という意味で、「4」を意味する「vier」と混同しないように注意してください。

ヴィールバイン形式^[5]では、時空多様体の開被覆とそれらの開集合の各々に対する局所基底が選ばれる。すなわち、独立ベクトル場の集合である ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle e_{a}=e_{a}{}^{\mu }\partial _{\mu }}$

なぜなら、それらは集合の各点において次元接束を張るからである。双対的に、ヴィエルベイン（または4次元のテトラッド）は、双対コヴィエルベイン（コテトラッド）（独立1-形式の集合）を決定し、またコテトラッドによって決定される。 ${\displaystyle a=1,\ldots ,n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle e^{a}=e^{a}{}_{\mu }dx^{\mu }}$

そういう

${\displaystyle e^{a}(e_{b})=e^{a}{}_{\mu }e_{b}{}^{\mu }=\delta _{b}^{a},}$

ここではクロネッカーのデルタである。ビエルバインは通常、座標基底に関する係数によって指定されるが、テトラッドの指定には（局所）座標の選択は不要である。各コベクトルはソルダー形式である。 ${\displaystyle \delta _{b}^{a}}$ ${\displaystyle e^{\mu }{}_{a}}$ ${\displaystyle x^{\mu }}$

ファイバーバンドルの微分幾何学の観点から見ると、n個のベクトル場はフレームバンドルの切断、すなわちの平行化が同型 と等価である切断を定義します。すべての多様体が平行化可能というわけではないので、ヴィールバイン（vielbein）は一般に局所的にしか選択できません（つまり、 の全体ではなく、座標チャート上でのみ選択できます） 。 ${\displaystyle \{e_{a}\}_{a=1\dots n}}$ ${\displaystyle U\subset M}$ ${\displaystyle TU\cong U\times {\mathbb {R} ^{n}}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle M}$

理論のテンソルはすべて、ベクトル基底と共ベクトル基底において、(共)ヴィエルベイン（共ベクトル）の要素の線型結合として表すことができます。例えば、時空計量テンソルは、座標基底から四元 基底に変換できます。

一般相対論においてよく使われるテトラッド基底には、直交テトラッドとヌルテトラッドがあります。ヌルテトラッドは4つのヌルベクトルで構成されるため、放射を扱う問題で頻繁に用いられ、ニューマン・ペンローズ形式とGHP形式の基礎となっています。

標準形式主義との関係

微分幾何学（および一般相対論）の標準的な形式は、座標テトラッド形式における座標テトラッドを用いることから成ります。座標テトラッドは、座標チャートに関連付けられたベクトルの標準集合です。座標テトラッドは一般的に と表記され、双対コテトラッドは と表記されます。これらの接ベクトルは通常、方向微分演算子として定義されます。多様体のサブセットを座標空間 に写像するチャートと任意のスカラー場 が与えられた場合、座標ベクトルは次のようになります。 ${\displaystyle \{\partial _{\mu }\}}$ ${\displaystyle \{dx^{\mu }\}}$ ${\displaystyle {\varphi =(\varphi ^{1},\ldots ,\varphi ^{n})}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \partial _{\mu }[f]\equiv {\frac {\partial (f\circ \varphi ^{-1})}{\partial x^{\mu }}}.}$

コテトラドの定義では、上のコベクトル（1-形式）を定義するために、通常の表記法の乱用が使用されています。座標テトラドの関与は、標準形式では通常明示的に示されません。テトラド形式では、テンソル方程式を完全に記述する代わりに（上記のようにテトラド元とテンソル積を含む）、テンソルの成分のみを記述します。たとえば、計量は「 」と記述されます。テトラドが指定されていない場合、これは抽象インデックス表記と呼ばれるテンソルの型を指定する問題になります。これにより、アインシュタインの総和規則のようにインデックスを繰り返すことで、テンソル間の縮約を簡単に指定できます。 ${\displaystyle dx^{\mu }=d\varphi ^{\mu }}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle g_{ab}}$

標準的な形式論では、四面体の変更はあらゆる座標変換（つまり、ある座標四面体基底から別の座標四面体基底への変更）に関係するため、日常的な操作です。複数の座標チャート間の切り替えが必要なのは、ごくまれなケースを除き、単一の座標チャートで多様体全体をカバーすることは不可能だからです。一般四面体への変更や一般四面体間の変更もほぼ同様であり、同様に必要です（並列化可能な多様体を除く）。任意のテンソルは、この座標四面体または一般（共）四面体で局所的に記述できます。

たとえば、計量テンソルは 次のように表すことができます。 ${\displaystyle \mathbf {g} }$

${\displaystyle \mathbf {g} =g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }\qquad {\text{where}}~g_{\mu \nu }=\mathbf {g} (\partial _{\mu },\partial _{\nu }).}$

（ここではアインシュタインの総和規約を用いる）。同様に、任意の（コ）テトラッドに関して計量は次のように表される。

${\displaystyle \mathbf {g} =g_{ab}e^{a}e^{b}\qquad {\text{where}}~g_{ab}=\mathbf {g} \left(e_{a},e_{b}\right).}$

ここでは、適用可能な基準を区別するために、インデックス変数に アルファベット (ラテン語とギリシャ語)を選択します。

一般的なコテトラッドから座標コテトラッドへの変換は、コベクトルを展開することで可能となる。すると、 ${\displaystyle e^{a}=e^{a}{}_{\mu }dx^{\mu }}$

${\displaystyle \mathbf {g} =g_{ab}e^{a}e^{b}=g_{ab}e^{a}{}_{\mu }e^{b}{}_{\nu }dx^{\mu }dx^{\nu }=g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }}$

そこから、 が成り立つ。同様に一般四面体に関して展開すると、 ${\displaystyle g_{\mu \nu }=g_{ab}e^{a}{}_{\mu }e^{b}{}_{\nu }}$ ${\displaystyle dx^{\mu }=e^{\mu }{}_{a}e^{a}}$

${\displaystyle \mathbf {g} =g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }=g_{\mu \nu }e^{\mu }{}_{a}e^{\nu }{}_{b}e^{a}e^{b}=g_{ab}e^{a}e^{b}}$

これは次のことを示しています。 ${\displaystyle g_{ab}=g_{\mu \nu }e^{\mu }{}_{a}e^{\nu }{}_{b}}$

インデックスの操作

テトラッド係数の操作は、原理的には、座標テトラッドに関するテンソル式から「ギリシャ語のインデックスをラテン語のインデックスに置き換える」ことによって抽象的なインデックス式が得られることを示している。しかし、微分を含む場合、座標テトラッド式が真のテンソルを定義することに注意する必要がある。座標ベクトル場はリー括弧が消滅する（すなわち、可換である：）ため、座標テトラッドに関するテンソル係数を正しく計算する式の単純な置き換えは、リー括弧が消滅しない： のため、一般テトラッドに関するテンソルを正しく定義しない可能性がある。したがって、テトラッド座標は非ホロノミック基底を提供すると言われることがある。 ${\displaystyle \partial _{\mu }\partial _{\nu }=\partial _{\nu }\partial _{\mu }}$ ${\displaystyle [e_{a},e_{b}]\neq 0}$

例えば、リーマン曲率テンソルは一般のベクトル場に対して次のように 定義される。 ${\displaystyle X,Y}$

${\displaystyle R(X,Y)=\left(\nabla _{X}\nabla _{Y}-\nabla _{Y}\nabla _{X}-\nabla _{[X,Y]}\right)}$。

座標四面体ではテンソル係数を与える

${\displaystyle R_{\ \nu \sigma \tau }^{\mu }=dx^{\mu }\left((\nabla _{\sigma }\nabla _{\tau }-\nabla _{\tau }\nabla _{\sigma })\partial _{\nu }\right).}$

後者の表現を「ギリシャ語からラテン語へ」単純に置き換えると

${\displaystyle R_{\ bcd}^{a}=e^{a}\left((\nabla _{c}\nabla _{d}-\nabla _{d}\nabla _{c})e_{b}\right)\qquad {\text{(wrong!)}}}$

は誤りです。なぜなら、 cとdを固定した場合、は一般に、テンソル係数を定義する零階微分演算子ではなく、一階微分演算子だからです。しかし、抽象式に一般の四元基底を代入すると、抽象指数表記における曲率の正しい定義が得られます。 ${\displaystyle \left(\nabla _{c}\nabla _{d}-\nabla _{d}\nabla _{c}\right)}$

${\displaystyle R_{\ bcd}^{a}=e^{a}\left((\nabla _{c}\nabla _{d}-\nabla _{d}\nabla _{c}-f_{cd}{}^{e}\nabla _{e})e_{b}\right)}$

ここで である。この式は実際には零階演算子であり、したがってテンソル（の ( c d )成分）である点に注意されたい。これは、座標四元数に特殊化された曲率の座標式と一致するため、曲率の抽象定義を用いなくても、座標基底式と同じテンソルを定義していることは明らかである。 ${\displaystyle [e_{a},e_{b}]=f_{ab}{}^{c}e_{c}}$ ${\displaystyle \left(\nabla _{c}\nabla _{d}-\nabla _{d}\nabla _{c}-f_{cd}{}^{e}\nabla _{e}\right)}$

例: リー群

接線（または余接）多様体のベクトル（または共ベクトル）が与えられたとき、指数写像はその接ベクトルの対応する測地線を記述する。と書くと、微分を平行移動することは ${\displaystyle X\in TM}$

${\displaystyle e^{-X}de^{X}=dX-{\frac {1}{2!}}\left[X,dX\right]+{\frac {1}{3!}}[X,[X,dX]]-{\frac {1}{4!}}[X,[X,[X,dX]]]+\cdots }$

上記は、 を行列として単純に考えることで簡単に検証できます。 ${\displaystyle X}$

リー代数の特別な場合では、 は代数の元とみなすことができ、指数関数はリー群の指数写像であり、群の元は接ベクトルの測地線に対応する。リー代数の基底を選び、いくつかの関数について交換子を明示的に書き下すと、次の式が容易に計算できる。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle X=X^{i}e_{i}}$ ${\displaystyle X^{i},}$

${\displaystyle e^{-X}de^{X}=dX^{i}e_{i}-{\frac {1}{2!}}X^{i}dX^{j}{f_{ij}}^{k}e_{k}+{\frac {1}{3!}}X^{i}X^{j}dX^{k}{f_{jk}}^{l}{f_{il}}^{m}e_{m}-\cdots }$

リー代数の構造定数については、この級数はより簡潔に次のよう に書ける。 ${\displaystyle [e_{i},e_{j}]={f_{ij}}^{k}e_{k}}$

${\displaystyle e^{-X}de^{X}=e_{i}{W^{i}}_{j}dX^{j}}$

無限級数で

${\displaystyle W=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}M^{n}}{(n+1)!}}=(I-e^{-M})M^{-1}.}$

ここで、は行列であり、その行列要素は です。したがって、この行列は elbein です。つまり、この行列は微分を「平坦な座標」（つまり直交座標） で表します。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {M_{j}}^{k}=X^{i}{f_{ij}}^{k}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle dX^{j}}$ ${\displaystyle e_{i}}$

ある多様体からあるリー群への写像が与えられると、多様体上の計量テンソルはリー群上の計量テンソルの引き戻しになる。 ${\displaystyle N\to G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle B_{mn}}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle g_{ij}={W_{i}}^{m}B_{mn}{W^{n}}_{j}}$

リー群上の計量テンソルはカルタン計量、別名キリング形式である。行列として、2番目のWは転置行列であることに注意されたい。（擬）リーマン多様体の場合、計量は（擬）リーマン計量である。上記は対称空間の場合にも一般化される。^[6]これらのビエルバイン（超重力理論を特別なケースとするシグマ模型）における計算に用いられる。 ^[7] ${\displaystyle B_{mn}}$ ${\displaystyle N}$

参照

• フレームバンドル
• 直交フレームバンドル
• 主バンドル
• スピンバンドル
• つながり（数学）
• G構造
• スピン多様体
• スピン構造
• 曲がった時空におけるディラック方程式

注記

1. 同じアプローチは任意の次元の時空にも使用でき、フレームバンドルのフレームはn-beinまたはvielbeinと呼ばれます。

引用

1. De Felice, F.; Clarke, CJS (1990), Relativity on Curved Manifolds , Cambridge University Press, p. 133, ISBN 0-521-26639-4
2. ヨスト、ユルゲン（1995）、リーマン幾何学と幾何学解析、シュプリンガー、ISBN 3-540-57113-2
3. Arkani-Hamed, Nima; Cohen, Andrew G.; Georgi, Howard (2001年5月). 「次元の(脱)構築」. Physical Review Letters . 86 (21): 4757– 4761. arXiv : hep-th/0104005 . Bibcode :2001PhRvL..86.4757A. doi :10.1103/PhysRevLett.86.4757. ISSN  0031-9007. PMID  11384341. S2CID  4540121.
4. de Rham, Claudia (2014年12月). 「Massive Gravity」. Living Reviews in Relativity . 17 (1): 7. arXiv : 1401.4173 . Bibcode :2014LRR....17....7D. doi : 10.12942/lrr-2014-7 . ISSN  2367-3613. PMC 5256007. PMID 28179850  . 
5. 江口徹、ピーター・B・ギルキー、アンドリュー・J・ハンソン、「重力、ゲージ理論、微分幾何学」、物理学レポート 66（1980）pp 213-393。
6. Nejat Tevfik Yilmaz、(2007) 「対称空間シグマモデル運動学について」 arXiv:0707.2150 [hep-th]
7. Arjan Keurentjes (2003) 「酸化の群理論」、arXiv:0210178 [hep-th]

参考文献

• De Felice, F.; Clarke, CJS (1990), Relativity on Curved Manifolds (first published 1990 ed.), Cambridge University Press, ISBN 0-521-26639-4
• Benn, IM; Tucker, RW (1987)、『スピノルと幾何学入門：物理学への応用』（初版1987年）、アダム・ヒルガー、ISBN 0-85274-169-3

外部リンク

• テトラッドを用いた一般相対性理論

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