体積要素

Concept in integration theory

数学において、体積要素は、球座標系や円筒座標系などの様々な座標系において、関数を体積に関して積分するための手段を提供します。したがって、体積要素は の形式の式であり 、は座標系であるため、任意の集合の体積はによって計算できます 。例えば、球座標系では、 などです。 $${\displaystyle \mathrm {d} V=\rho (u_{1},u_{2},u_{3})\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\mathrm {d} u_{3}}$$ ${\displaystyle u_{i}}$ ${\displaystyle B}$ $${\displaystyle \operatorname {Volume} (B)=\int _{B}\rho (u_{1},u_{2},u_{3})\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\mathrm {d} u_{3}.}$$ ${\displaystyle \mathrm {d} V=u_{1}^{2}\sin u_{2}\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\mathrm {d} u_{3}}$ ${\displaystyle \rho =u_{1}^{2}\sin u_{2}}$

体積要素の概念は、3次元に限定されません。2次元では、体積要素と呼ばれることが多く、この設定では面積分 を実行するのに役立ちます。座標変換では、体積要素は、座標変換のヤコビ行列式の絶対値によって変化します（変数変換の公式による）。この事実により、体積要素を多様体上の一種の測度として定義できます。向き付け可能で微分可能な多様体では、体積要素は通常、体積形式、つまり最高次微分形式 から生じます。向き付け不可能な多様体では、体積要素は通常、 （局所的に定義された）体積形式の絶対値であり、 1-密度を定義します。

ユークリッド空間における体積要素

ユークリッド空間では、体積要素は直交座標の微分の積で与えられる。 、、の形式の異なる座標系では、体積要素は座標変化のヤコビ行列式によって変化する。 例えば、球座標（数学的慣例）では、 ヤコビ行列式は次のように なる。これは、微分形式が引き戻しによって次のように変換されるという事実の特別なケースとみなすことができる。 $${\displaystyle \mathrm {d} V=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z.}$$ ${\displaystyle x=x(u_{1},u_{2},u_{3})}$ ${\displaystyle y=y(u_{1},u_{2},u_{3})}$ ${\displaystyle z=z(u_{1},u_{2},u_{3})}$ $${\displaystyle \mathrm {d} V=\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (u_{1},u_{2},u_{3})}}\right|\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\mathrm {d} u_{3}.}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\rho \cos \theta \sin \phi \\y&=\rho \sin \theta \sin \phi \\z&=\rho \cos \phi \end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\phi ,\theta )}}\right|=\rho ^{2}\sin \phi }$$ $${\displaystyle \mathrm {d} V=\rho ^{2}\sin \phi \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \phi .}$$ ${\displaystyle F^{*}}$ $${\displaystyle F^{*}(u\;dy^{1}\wedge \cdots \wedge dy^{n})=(u\circ F)\det \left({\frac {\partial F^{j}}{\partial x^{i}}}\right)\mathrm {d} x^{1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n}}$$

線形部分空間の体積要素

n次元ユークリッド空間R ⁿの線形部分空間で、線形独立ベクトルの集合によって張られるものについて考えます。部分空間の体積要素を求めるには、線形代数から、によって張られる平行六面体の体積が のグラミアン行列の行列式の平方根であるという事実を知っておくと便利です。 $${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{k}.}$$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ $${\displaystyle {\sqrt {\det(X_{i}\cdot X_{j})_{i,j=1\dots k}}}.}$$

部分空間内の任意の点pには、次の 座標を与えることができます。点pにおいて、辺 を持つ小さな平行六面体を形成すると、その平行六面体の体積は、グラミアン行列の行列式の平方根です。したがって、これは線形部分空間における体積形式を定義します。 ${\displaystyle (u_{1},u_{2},\dots ,u_{k})}$ $${\displaystyle p=u_{1}X_{1}+\cdots +u_{k}X_{k}.}$$ ${\displaystyle \mathrm {d} u_{i}}$ $${\displaystyle {\sqrt {\det \left((du_{i}X_{i})\cdot (du_{j}X_{j})\right)_{i,j=1\dots k}}}={\sqrt {\det(X_{i}\cdot X_{j})_{i,j=1\dots k}}}\;\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\cdots \,\mathrm {d} u_{k}.}$$

多様体の体積要素

n次元の有向 リーマン多様体では、体積要素は単位定数関数のホッジ双対に等しい体積形式である。同様に、体積要素はレヴィ・チヴィタテンソルと全く同じである。^[1]座標では、 は座標系で書かれた計量テンソルgの行列式である。 ${\displaystyle f(x)=1}$ $${\displaystyle \omega =\star 1.}$$ ${\displaystyle \epsilon }$ $${\displaystyle \omega =\epsilon ={\sqrt {\left|\det g\right|}}\,\mathrm {d} x^{1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n}}$$ ${\displaystyle \det g}$

面の面積要素

体積要素の簡単な例として、 n次元ユークリッド空間に埋め込まれた2次元面を考えることができます。このような体積要素は、面積要素と呼ばれることもあります。部分集合と写像関数 を考え、それによって に埋め込まれた面を定義します。2次元では、体積は面積そのものであり、体積要素は面の各部分の面積を決定する方法を提供します。したがって、体積要素は、 面上にある集合Bの面積を積分によって計算できる形式の式です。 ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{2}}$ $${\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}}$$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle f(u_{1},u_{2})\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}}$$ $${\displaystyle \operatorname {Area} (B)=\int _{B}f(u_{1},u_{2})\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}.}$$

ここで、通常の意味で面積を定義する表面上の体積要素を見つけます。写像のヤコビ行列は、 添え字iが1からnまで、添え字jが1から2までの範囲にあります。n次元空間におけるユークリッド計量は、集合U上の計量を誘導し、行列要素は $${\displaystyle J_{ij}={\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial u_{j}}}}$$ ${\displaystyle g=J^{T}J}$ $${\displaystyle g_{ij}=\sum _{k=1}^{n}J_{ki}J_{kj}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial \varphi _{k}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial \varphi _{k}}{\partial u_{j}}}.}$$

計量の行列式は次のように与えられる。 $${\displaystyle \det g=\left|{\frac {\partial \varphi }{\partial u_{1}}}\wedge {\frac {\partial \varphi }{\partial u_{2}}}\right|^{2}=\det(J^{T}J)}$$

通常の曲面の場合、この行列式はゼロではありません。つまり、ヤコビ行列の階数は 2 です。

ここで、 U上の座標変換を考える。これは微分同相写像によって与えられ、座標はによってで与えられる。この変換のヤコビ行列は次のように与えられる。 $${\displaystyle f\colon U\to U,}$$ ${\displaystyle (u_{1},u_{2})}$ ${\displaystyle (v_{1},v_{2})}$ ${\displaystyle (u_{1},u_{2})=f(v_{1},v_{2})}$ $${\displaystyle F_{ij}={\frac {\partial f_{i}}{\partial v_{j}}}.}$$

新しい座標系では、となり、計量は次のように変換されます 。ここで、はv座標系におけるプルバック計量です。行列式は $${\displaystyle {\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial v_{j}}}=\sum _{k=1}^{2}{\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial u_{k}}}{\frac {\partial f_{k}}{\partial v_{j}}}}$$ $${\displaystyle {\tilde {g}}=F^{T}gF}$$ ${\displaystyle {\tilde {g}}}$ $${\displaystyle \det {\tilde {g}}=\det g\left(\det F\right)^{2}.}$$

上記の構成を考慮すると、方向保存座標の変更に対して体積要素がどのように不変であるかを簡単に理解できるはずです。

二次元では、体積は面積そのものである。部分集合の面積は積分で与えられる。 ${\displaystyle B\subset U}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mbox{Area}}(B)&=\iint _{B}{\sqrt {\det g}}\;\mathrm {d} u_{1}\;\mathrm {d} u_{2}\\[1.6ex]&=\iint _{B}{\sqrt {\det g}}\left|\det F\right|\;\mathrm {d} v_{1}\;\mathrm {d} v_{2}\\[1.6ex]&=\iint _{B}{\sqrt {\det {\tilde {g}}}}\;\mathrm {d} v_{1}\;\mathrm {d} v_{2}.\end{aligned}}}$$

したがって、どちらの座標系でも、体積要素は同じ表現を取ります。つまり、体積要素の表現は座標の変更に対して不変です。

上記の説明では 2 次元に特別なことは何もなかったことに注意してください。上記の説明は任意の次元に簡単に一般化されます。

例: 球

例えば、R ³の原点を中心とする半径rの球面を考えます。これは球座標系を用いて写像で 媒介変数化することができ、面積要素は $${\displaystyle \phi (u_{1},u_{2})=(r\cos u_{1}\sin u_{2},r\sin u_{1}\sin u_{2},r\cos u_{2}).}$$ $${\displaystyle g={\begin{pmatrix}r^{2}\sin ^{2}u_{2}&0\\0&r^{2}\end{pmatrix}},}$$ $${\displaystyle \omega ={\sqrt {\det g}}\;\mathrm {d} u_{1}\mathrm {d} u_{2}=r^{2}\sin u_{2}\,\mathrm {d} u_{1}\mathrm {d} u_{2}.}$$

参照

• 円筒座標系 § 線要素と体積要素
• 球座標系 § 球座標における積分と微分
• 体積積分
• 表面積分
• 線積分
• 線要素

参考文献

• Besse、Arthur L. (1987)、アインシュタイン多様体、Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [数学および関連分野の結果 (3)]、vol. 10、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、pp. xii+510、ISBN 978-3-540-15279-8

1. ショーン・キャロル『時空と幾何学』アディソン・ウェスレー、2004年、90頁

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