状態方程式（宇宙論）

Equation of state in cosmology

宇宙論では、完全流体の状態方程式は、その圧力とエネルギー密度の比に等しい無次元数によって特徴付けられます。 これは、熱力学の状態方程式および理想気体の法則と密接に関連しています。 ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \rho }$ $${\displaystyle w\equiv {\frac {p}{\rho }}.}$$

方程式

完全気体の状態方程式は、質量密度、気体定数、温度、分子の固有熱速度と書き表すことができます。したがって、光速 は「冷たい」気体の場合は、 $${\displaystyle p=\rho _{m}RT=\rho _{m}C^{2}}$$ ${\displaystyle \rho _{m}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle C={\sqrt {RT}}}$ $${\displaystyle w\equiv {\frac {p}{\rho }}={\frac {\rho _{m}C^{2}}{\rho _{m}c^{2}}}={\frac {C^{2}}{c^{2}}}\approx 0}$$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \rho =\rho _{m}c^{2}}$ ${\displaystyle C\ll c}$

FLRW方程式と状態方程式

状態方程式は、フリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー（FLRW）方程式において、完全流体で満たされた等方性宇宙の進化を記述するために用いられる。 がスケール係数である場合 、 が平坦宇宙における物質の主要な形態である場合、 が固有時となる。 ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle \rho \propto a^{-3(1+w)}.}$$ $${\displaystyle a\propto t^{\frac {2}{3(1+w)}},}$$ ${\displaystyle t}$

一般に、フリードマンの加速方程式は 、が宇宙定数、 がニュートン定数、 がスケール係数の2 番目の固有時間微分である、という 式です。 $${\displaystyle 3{\frac {\ddot {a}}{a}}=\Lambda -4\pi G(\rho +3p)}$$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\ddot {a}}}$

（いわゆる「有効」な）エネルギー密度と圧力を次のように定義すると、加速度方程式は次のように書ける。 $${\displaystyle \rho '\equiv \rho +{\frac {\Lambda }{8\pi G}}}$$ $${\displaystyle p'\equiv p-{\frac {\Lambda }{8\pi G}}}$$ $${\displaystyle p'=w'\rho '}$$ $${\displaystyle {\frac {\ddot {a}}{a}}=-{\frac {4}{3}}\pi G\left(\rho '+3p'\right)=-{\frac {4}{3}}\pi G(1+3w')\rho '}$$

非相対論的粒子

通常の非相対論的「物質」（例えば冷たい塵）の状態方程式はであり、これはそのエネルギー密度が （は体積）に比例して減少することを意味します。膨張宇宙においては、非相対論的物質の全エネルギーは一定であり、体積が増加するにつれて密度は減少します。 ${\displaystyle w=0}$ ${\displaystyle \rho \propto a^{-3}=V^{-1}}$ ${\displaystyle V}$

超相対論的粒子

超相対論的「放射線」（ニュートリノや、宇宙初期に存在した、後に非相対論的となった他の粒子を含む）の状態方程式は であり、これはそのエネルギー密度が に伴って減少することを意味します。膨張宇宙では、放射線の波長が赤方偏移 するため、放射線のエネルギー密度は体積膨張よりも急速に減少します。 ${\displaystyle w=1/3}$ ${\displaystyle \rho \propto a^{-4}}$

宇宙インフレーションの加速

宇宙のインフレーションと 加速膨張は、ダークエネルギーの状態方程式によって特徴付けることができます。最も単純な場合、宇宙定数の状態方程式は です。この場合、上記のスケール係数の式は有効ではなく となります。ここで、定数Hはハッブルパラメータです。より一般的には、どの状態方程式でも宇宙の膨張は加速しています。宇宙の加速膨張は実際に観測されました。^[1]宇宙定数の状態方程式の観測値は、3つの異なる主要な研究から-1に近い値です。^[2] ${\displaystyle w=-1}$ ${\displaystyle a\propto e^{Ht}}$ ${\displaystyle w<-1/3}$

仮説上のファントムダークエネルギーは状態方程式を持ち、ビッグリップを引き起こすと考えられます。既存のデータでは、ファントムと非ファントムを区別することは依然として不可能です。 ${\displaystyle w<-1}$ ${\displaystyle w<-1}$ ${\displaystyle w\geq -1}$

体液

膨張する宇宙では、状態方程式の大きい流体は、状態方程式の小さい流体よりも速く消滅します。これがビッグバンの平坦性問題とモノポール問題の起源です。曲率は、モノポールは なので、もしこれらがビッグバン初期に存在していたなら、今日でも観測できるはずです。これらの問題は、 を持つ宇宙インフレーションによって解決されます。ダークエネルギーの状態方程式の測定は、観測宇宙論における最大の取り組みの一つです。 を正確に測定することで、を持つクインテッセンスと宇宙定数を区別できると期待されています。 ${\displaystyle w=-1/3}$ ${\displaystyle w=0}$ ${\displaystyle w\approx -1}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle w\neq -1}$

スカラーモデリング

スカラー場は、 状態方程式 を持つ一種の完全流体と見なすことができます 。ここで、 は の時間微分、は位置エネルギーです。自由（）スカラー場は を持ち、運動エネルギーがゼロのスカラー場は宇宙定数 に相当します。ファントム・ディバイド・ライン（PDL）^[3]と呼ばれる障壁を越えない限り、これらの間の任意の状態方程式が実現可能であり、そのためスカラー場は宇宙論における多くの現象の有用なモデルとなっています。 ${\displaystyle \phi }$ $${\displaystyle w={\frac {{\frac {1}{2}}{\dot {\phi }}^{2}-V(\phi )}{{\frac {1}{2}}{\dot {\phi }}^{2}+V(\phi )}},}$$ ${\displaystyle {\dot {\phi }}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle V(\phi )}$ ${\displaystyle V=0}$ ${\displaystyle w=1}$ ${\displaystyle w=-1}$ ${\displaystyle w=-1}$

テーブル

異なる種類のエネルギーは異なるスケーリング特性を持つ。^[4]

価値	エネルギー密度のスケーリング	時間スケーリング	記述された現象	例	トポロジカル欠陥次元	位相欠陥の説明
${\displaystyle w=1}$	${\displaystyle \rho \propto a^{-6}}$	${\displaystyle a\propto t^{\frac {1}{3}}}$	自由スカラー場	ヒッグス場、ディラトン[要出典]	-	-
${\displaystyle w=1/3}$	${\displaystyle \rho \propto a^{-4}}$	${\displaystyle a\propto t^{\frac {1}{2}}}$	超相対論的粒子	光子、超相対論的ニュートリノ、宇宙線	-	-
${\displaystyle w=0}$	${\displaystyle \rho \propto a^{-3}}$	${\displaystyle a\propto t^{\frac {2}{3}}}$	非相対論的粒子	冷たいバリオン物質、冷たい暗黒物質、宇宙ニュートリノ背景	0	磁気単極子
${\displaystyle w=-1/3}$	${\displaystyle \rho \propto a^{-2}}$	${\displaystyle a\propto t}$	曲率	時空の曲率	1	宇宙の弦
${\displaystyle w=-2/3}$	${\displaystyle \rho \propto a^{-1}}$	${\displaystyle a\propto t^{2}}$	-	-	2	ドメイン壁
${\displaystyle w=-1}$	${\displaystyle \rho \propto a^{0}}$	${\displaystyle a\propto e^{Ht}}$	宇宙定数	ダークエネルギー	-	-
${\displaystyle w<-1}$	-	-	幻のダークエネルギー	-	-	-

注記

1. ホーガン、ジェニー (2007年7月1日). 「ダークサイドへようこそ」 . Nature . 448 (7151): 240– 245. doi :10.1038/448240a. ISSN  1476-4687. PMID  17637630.
2. Ludwick, Kevin J. (2017-09-14). 「ファントムダークエネルギーの実現可能性：レビュー」. Modern Physics Letters A. 32 ( 28): 1730025. arXiv : 1708.06981 . Bibcode :2017MPLA...3230025L. doi :10.1142/S0217732317300257. ISSN  0217-7323.
3. Vikman, Alexander (2005). 「ダークエネルギーはファントムへと進化できるか？」Phys. Rev. D . 71 (2) 023515. arXiv : astro-ph/0407107 . Bibcode :2005PhRvD..71b3515V. doi :10.1103/PhysRevD.71.023515. S2CID  119013108.
4. Nemiroff, Robert J.; Patla, Bijunath (2008-03-01). 「フリードマン宇宙論の冒険：宇宙論的フリードマン方程式の詳細な展開」. American Journal of Physics . 76 (3): 265– 276. arXiv : astro-ph/0703739 . Bibcode :2008AmJPh..76..265N. doi :10.1119/1.2830536. ISSN  0002-9505.

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