Differential equation important in physics
波動 方程式は、 力学波 （ 水 波、 音波 、 地震波 など）や 電磁波（ 光波 を含む） などの 波動 または 定在波場 を記述する 2階線形 偏微分方程式です。 音響学 、 電磁気学 、 流体力学 などの分野で用いられます 。
この記事は古典物理学 における波動に焦点を当てています 。量子物理学では、演算子ベースの 波動方程式が 相対論的波動方程式 として用いられることがよくあります 。
導入 波動方程式は、進行波と 定在波を 含む波を記述する 双曲型偏微分方程式 です。定在波は、反対方向に進む波の線型重ね合わせと考えることができます 。 この 記事では主に、 時間変数 （時間を表す変数）と 1 つ以上の空間変数（議論中の空間内の位置を表す変数）の スカラー関数によって 波をスカラーで記述するスカラー波動方程式に焦点を当てています。同時に、 電場、磁場、磁気ベクトルポテンシャルの波 や弾性波など、 ベクトル で波を記述するベクトル波動方程式もあります。ベクトル波動方程式と比較すると、スカラー波動方程式はベクトル波動方程式の特殊なケースと見なすことができます。 直交座標系では、スカラー波動方程式は、考慮されている領域（つまり、空間と時間）に波源のないベクトル波の各成分（ x 軸の成分など、各 座標軸） が満たすべき方程式です。 例えば、直交座標系において、 波源が存在しない状態での 電界ベクトル場波の表現として u を用いる場合、各座標軸成分は スカラー波動方程式を満たす必要があります。その他のスカラー波動方程式の解 uは、 スカラー で表される 物理量、 例えば 液体や気体の 圧力 、あるいは振動する固体粒子が静止（平衡）位置から特定の方向に沿って 変位する量 などに対して用いられます。 u = u ( x , y , z , t ) {\displaystyle u=u(x,y,z,t)} t {\displaystyle t} x , y , z {\displaystyle x,y,z} x {\displaystyle x} ( E x , E y , E z ) {\displaystyle (E_{x},E_{y},E_{z})} E → {\displaystyle {\vec {E}}} E i , i = x , y , z , {\displaystyle E_{i},i=x,y,z,}
スカラー波動方程式は
∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ( ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 + ∂ 2 u ∂ z 2 ) {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right)}
どこ
c {\displaystyle c} は波の 伝播速度 を表す 固定の非負 実数 係数である。 u {\displaystyle u} 変位、またはより一般的には保存量（ 圧力 や 密度など ）を表す スカラー場 である。 x , y , {\displaystyle x,y,} および は 3 つの空間座標であり、 は時間座標です。 z {\displaystyle z} t {\displaystyle t} この式は、任意の点において、 時間に関する2 次導関数は 空間に関する 2 次導関数の合計に比例し、比例定数は波の速度の 2 乗であることを示しています。 u {\displaystyle u} u {\displaystyle u}
ベクトル解析 の表記法を使用すると 、波動方程式は次のように簡潔に記述できます。 または 。
ここで、二重の添え字は 時間に関する2 次偏微分 を表し、は ラプラス演算子 、は ダランベール 演算子で 、次のように定義されます。 u t t = c 2 Δ u , {\displaystyle u_{tt}=c^{2}\Delta u,} ◻ u = 0 , {\displaystyle \Box u=0,} Δ {\displaystyle \Delta } ◻ {\displaystyle \Box } u t t = ∂ 2 u ∂ t 2 , Δ = ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 + ∂ 2 ∂ z 2 , ◻ = 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 − Δ . {\displaystyle u_{tt}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}},\qquad \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}},\qquad \Box ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\Delta .}
この（双方向）波動方程式の解は非常に複雑になる場合があります。それでも、 伝搬方向と波長は様々ですが、伝搬速度はすべて同じである 正弦 平面波 の単純な解の 線形結合 として解析できます。この解析が可能なのは、波動方程式が 線形 かつ同次であるためです。つまり、解の任意の倍数も解であり、任意の2つの解の和もまた解です。この性質は物理学では 重ね合わせの原理 と呼ばれています。 c {\displaystyle c}
波動方程式だけでは物理的な解は特定されません。通常、 波の振幅と位相を規定する 初期条件など、追加の条件を課した問題を設定することで、唯一の解が得られます。もう一つの重要な問題は 、境界条件 によって規定される閉空間において発生します。この場合、解は 定在波 、つまり 楽器の倍音に類似した 倍音を表します。
1次元空間における波動方程式 フランスの科学者 ジャン＝バティスト・ル・ロン・ダランベールは、 1次元空間における波動方程式を発見しました。 [1] 1 つの空間次元における波動方程式は、次のように記述できます。 この方程式は、 他の唯一の 独立変数 が時間であるため、通常、1 つの空間次元のみを持つものとして記述されます 。 ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∂ 2 u ∂ x 2 . {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.} x {\displaystyle x} t {\displaystyle t}
導出 1次元空間における波動方程式は、様々な物理的設定から導出できる。最も有名な例としては、 2次元平面で 振動する弦の各要素が 張力 によって反対方向に引っ張られている場合が挙げられる。 [2]
1次元空間における波動方程式を導出するための別の物理的設定として、 フックの法則 が用いられる。 弾性理論 において、フックの法則は特定の物質に対する近似値であり、物質の変形量（ひずみ ） は変形を引き起こす力（ 応力 ）と線形関係にあることを述べている。
フックの法則 1次元の場合の波動方程式は、 フックの法則 から次のように導出できます。質量を持つ小さな重りの配列 と、質量のない長さのバネを想像してください 。バネ の バネ定数 は} です。 m {\displaystyle m} h {\displaystyle h} k {\displaystyle k}
ここで従属変数は、 } に位置する質量の平衡点からの距離を表すため、本質的には弾性体中を伝わる擾乱（すなわちひずみ）の大きさを表す。その結果 、その位置における 質量に作用する力は次の ようになる。 u ( x ) {\displaystyle u(x)} x {\displaystyle x} u ( x ) {\displaystyle u(x)} m {\displaystyle m} x + h {\displaystyle x+h} F Hooke = F x + 2 h − F x = k [ u ( x + 2 h , t ) − u ( x + h , t ) ] − k [ u ( x + h , t ) − u ( x , t ) ] . {\displaystyle {\begin{aligned}F_{\text{Hooke}}&=F_{x+2h}-F_{x}=k[u(x+2h,t)-u(x+h,t)]-k[u(x+h,t)-u(x,t)].\end{aligned}}}
後者の式を
F Newton = m a ( t ) = m ∂ 2 ∂ t 2 u ( x + h , t ) , {\displaystyle {\begin{aligned}F_{\text{Newton}}&=m\,a(t)=m\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}u(x+h,t),\end{aligned}}}
x + h の位置にある重りの運動方程式は 次のようになる。 重りの配列が、 全質量の 長さにわたって均等に配置された重りで構成され、 配列の 全 バネ定数が である場合、上記の方程式は次のように書くことができる。 ∂ 2 ∂ t 2 u ( x + h , t ) = k m [ u ( x + 2 h , t ) − u ( x + h , t ) − u ( x + h , t ) + u ( x , t ) ] . {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}u(x+h,t)={\frac {k}{m}}[u(x+2h,t)-u(x+h,t)-u(x+h,t)+u(x,t)].} N {\displaystyle N} L = N h {\displaystyle L=Nh} M = N m {\displaystyle M=Nm} K = k / N {\displaystyle K=k/N}
∂ 2 ∂ t 2 u ( x + h , t ) = K L 2 M [ u ( x + 2 h , t ) − 2 u ( x + h , t ) + u ( x , t ) ] h 2 . {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}u(x+h,t)={\frac {KL^{2}}{M}}{\frac {[u(x+2h,t)-2u(x+h,t)+u(x,t)]}{h^{2}}}.}
極限を取り 、滑らかであると仮定すると、 2 番目の導関数 の定義から次の式が得られます 。 は、この特定のケースでは伝播速度の 2 乗です。 N → ∞ , h → 0 {\displaystyle N\rightarrow \infty ,h\rightarrow 0} ∂ 2 u ( x , t ) ∂ t 2 = K L 2 M ∂ 2 u ( x , t ) ∂ x 2 , {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial t^{2}}}={\frac {KL^{2}}{M}}{\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial x^{2}}},} K L 2 / M {\displaystyle KL^{2}/M}
反対方向に伝わる2つの波の重ね合わせとしての1次元定在波
バーでのストレスパルス 棒を縦方向に伝播する応力パルスの場合、棒は直列に接続された無限個のバネのように作用し、フックの法則から導かれる方程式の拡張として考えることができます。線形弾性材料から作られた均一な、すなわち一定の断面積を持つ棒の剛性は次式 で与え
られます。 ここで 、は断面積、は 材料の ヤング率 です。波動方程式は次のようになります。 K {\displaystyle K} K = E A L , {\displaystyle K={\frac {EA}{L}},} A {\displaystyle A} E {\displaystyle E} ∂ 2 u ( x , t ) ∂ t 2 = E A L M ∂ 2 u ( x , t ) ∂ x 2 . {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial t^{2}}}={\frac {EAL}{M}}{\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial x^{2}}}.}
A L {\displaystyle AL} は棒の体積に等しいので、 物質の密度は ここにある。波動方程式は次のように帰着する。 A L M = 1 ρ , {\displaystyle {\frac {AL}{M}}={\frac {1}{\rho }},} ρ {\displaystyle \rho } ∂ 2 u ( x , t ) ∂ t 2 = E ρ ∂ 2 u ( x , t ) ∂ x 2 . {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial t^{2}}}={\frac {E}{\rho }}{\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial x^{2}}}.}
したがって、棒内の応力波の速度は です 。 E / ρ {\displaystyle {\sqrt {E/\rho }}}
一般解
代数的アプローチ 1次元波動方程式の場合、比較的単純な一般解が見つかる可能性がある。新しい変数 [3] を定義すると
、波動方程式は 次のように変形され、一般解が得られる。 ξ = x − c t , η = x + c t {\displaystyle {\begin{aligned}\xi &=x-ct,\\\eta &=x+ct\end{aligned}}} ∂ 2 u ∂ ξ ∂ η ( x , t ) = 0 , {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial \xi \partial \eta }}(x,t)=0,} u ( x , t ) = F ( ξ ) + G ( η ) = F ( x − c t ) + G ( x + c t ) . {\displaystyle u(x,t)=F(\xi )+G(\eta )=F(x-ct)+G(x+ct).}
言い換えれば、解は右移動関数 と左移動関数の和である。「移動」とは、これらの個々の任意関数の x に関する形状は 一定であるが、関数は時間とともに速度で左右に移動することを意味する 。これは ジャン・ル・ロン・ダランベール によって導出された。 [4] F {\displaystyle F} G {\displaystyle G} c {\displaystyle c}
この結果を得る別の方法は、2つの1階微分演算子を使って波動方程式を因数分解することです 。 すると、元の方程式に対して、次のように定義して 、 [ ∂ ∂ t − c ∂ ∂ x ] [ ∂ ∂ t + c ∂ ∂ x ] u = 0. {\displaystyle \left[{\frac {\partial }{\partial t}}-c{\frac {\partial }{\partial x}}\right]\left[{\frac {\partial }{\partial t}}+c{\frac {\partial }{\partial x}}\right]u=0.} v ≡ ∂ u ∂ t + c ∂ u ∂ x , {\displaystyle v\equiv {\frac {\partial u}{\partial t}}+c{\frac {\partial u}{\partial x}},} ∂ v ∂ t − c ∂ v ∂ x = 0. {\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial t}}-c{\frac {\partial v}{\partial x}}=0.}
この 移流方程式は 、方向の 方向微分 が0である と解釈することで解くことができます。これは、 x + ct = x 0 の形の 特性 線上ではの値が 一定であり 、したがって x + ct のみに依存する 、つまり H ( x + ct )の形をとることを意味します。次に、 u に関する 最初の（非同次）方程式を解くには、上記と同様の論理により、その同次解は F ( x - ct ) の形をとる関数でなければならないことに注意する必要があります 。G ( x + ct ) の形をとる特異解を推測すると 、次の式が得られます
。 v {\displaystyle v} ( 1 , − c ) {\displaystyle (1,-c)} v {\displaystyle v} v {\displaystyle v} v {\displaystyle v}
[ ∂ ∂ t + c ∂ ∂ x ] G ( x + c t ) = H ( x + c t ) . {\displaystyle \left[{\frac {\partial }{\partial t}}+c{\frac {\partial }{\partial x}}\right]G(x+ct)=H(x+ct).}
左辺を展開し、項を並べ替え、変数変換 s = x + ct を使用すると、方程式は次のように簡略化されます。
G ′ ( s ) = H ( s ) 2 c . {\displaystyle G'(s)={\frac {H(s)}{2c}}.}
これは、積分によって所望の形の 特異解 G を見つけることができることを意味します。したがって、 uは u ( x , t ) = F ( x - ct ) + G ( x + ct ) に従うことを再び示しました 。 [5]
初期値問題 の場合 、任意の関数 F と Gは 初期条件を満たすように決定できます。 u ( x , 0 ) = f ( x ) , {\displaystyle u(x,0)=f(x),} u t ( x , 0 ) = g ( x ) . {\displaystyle u_{t}(x,0)=g(x).}
結果は ダランベールの公式 である。 u ( x , t ) = f ( x − c t ) + f ( x + c t ) 2 + 1 2 c ∫ x − c t x + c t g ( s ) d s . {\displaystyle u(x,t)={\frac {f(x-ct)+f(x+ct)}{2}}+{\frac {1}{2c}}\int _{x-ct}^{x+ct}g(s)\,ds.}
古典的な意味では、 f ( x ) ∈ C k 、 g ( x ) ∈ C k −1 ならば、 u ( t , x ) ∈ C k となる。しかし、波形 F と G はデルタ関数のような 一般化された関数 となることもある 。その場合、解は右または左に伝わるインパルスとして解釈される可能性がある。
基本的な波動方程式は 線型微分方程式であるため、 重ね合わせの原理 に従います 。これは、2つ以上の波によって引き起こされる正味の変位は、各波が個別に引き起こすであろう変位の和であることを意味します。さらに、波の挙動は、波を成分に分解することで分析できます。例えば、 フーリエ変換は 波を正弦波成分に分解します。
平面波固有モード 1次元波動方程式を解く別の方法は、まずその周波数 固有モード を解析することです。いわゆる固有モードとは、明確に定義された 一定の 角周波数 ω で時間的に振動する解であり、波動関数の時間部分は e − iωt = cos( ωt ) − i sin( ωt ) の形を取り、振幅は 空間変数 xの関数 f ( x ) となり、 波動関数の 変数分離を与えます。 u ω ( x , t ) = e − i ω t f ( x ) . {\displaystyle u_{\omega }(x,t)=e^{-i\omega t}f(x).}
これにより、 空間部分 f ( x )の 常微分方程式 が得られる。 ∂ 2 u ω ∂ t 2 = ∂ 2 ∂ t 2 ( e − i ω t f ( x ) ) = − ω 2 e − i ω t f ( x ) = c 2 ∂ 2 ∂ x 2 ( e − i ω t f ( x ) ) . {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u_{\omega }}{\partial t^{2}}}={\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\left(e^{-i\omega t}f(x)\right)=-\omega ^{2}e^{-i\omega t}f(x)=c^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left(e^{-i\omega t}f(x)\right).}
したがって、 これはまさに f ( x ) の 固有値方程式 であり、固有モードと呼ばれます。 ヘルムホルツ方程式として知られるこの方程式は、 波数 k = ω / c の よく知られた 平面波 解を
持ちます 。 d 2 d x 2 f ( x ) = − ( ω c ) 2 f ( x ) , {\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f(x)=-\left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}f(x),} f ( x ) = A e ± i k x , {\displaystyle f(x)=Ae^{\pm ikx},}
この固有モードの全波動関数は線形結合であり、 複素数 A 、 B は 一般に問題の初期条件と境界条件に依存します。 u ω ( x , t ) = e − i ω t ( A e − i k x + B e i k x ) = A e − i ( k x + ω t ) + B e i ( k x − ω t ) , {\displaystyle u_{\omega }(x,t)=e^{-i\omega t}\left(Ae^{-ikx}+Be^{ikx}\right)=Ae^{-i(kx+\omega t)}+Be^{i(kx-\omega t)},}
固有モードは、波動方程式の完全な解を構築するのに有用である。なぜなら、それぞれの固有モードは時間とともに位相係数とともに自明 に発展するため、完全な解は 固有モード展開 : または平面波に関して分解することができ、 これは代数的アプローチとまったく同じ形式である。関数 s ± ( ω )は フーリエ成分 として知られ 、初期条件と境界条件によって決定される。これは、いわゆる 周波数領域法であり、 波束 u ( x 、 t ) の直接 時間領域伝播 ( FDTD 法 など) の代替であり 、時間の遅れがない場合に波を完全に表すことができる。時間の遅れがある場合の波を表すためのフーリエ展開の完全性は、 ω の時間変化を許容する チャープ 波解によって挑戦されてきた。 [6] チャープ波の解は、 フライバイ異常 における非常に大きいがこれまで説明のつかなかったレーダー残差によって特に示唆されているようで、ソースの過去のチャープ状態に対応して、比例してシフトした周波数と時間の遅れにおいてのみ、どの距離でも受信可能であるという点で正弦波の解と異なります。 e − i ω t , {\displaystyle e^{-i\omega t},} u ( x , t ) = ∫ − ∞ ∞ s ( ω ) u ω ( x , t ) d ω , {\displaystyle u(x,t)=\int _{-\infty }^{\infty }s(\omega )u_{\omega }(x,t)\,d\omega ,} u ( x , t ) = ∫ − ∞ ∞ s + ( ω ) e − i ( k x + ω t ) d ω + ∫ − ∞ ∞ s − ( ω ) e i ( k x − ω t ) d ω = ∫ − ∞ ∞ s + ( ω ) e − i k ( x + c t ) d ω + ∫ − ∞ ∞ s − ( ω ) e i k ( x − c t ) d ω = F ( x − c t ) + G ( x + c t ) , {\displaystyle {\begin{aligned}u(x,t)&=\int _{-\infty }^{\infty }s_{+}(\omega )e^{-i(kx+\omega t)}\,d\omega +\int _{-\infty }^{\infty }s_{-}(\omega )e^{i(kx-\omega t)}\,d\omega \\&=\int _{-\infty }^{\infty }s_{+}(\omega )e^{-ik(x+ct)}\,d\omega +\int _{-\infty }^{\infty }s_{-}(\omega )e^{ik(x-ct)}\,d\omega \\&=F(x-ct)+G(x+ct),\end{aligned}}}
3次元空間におけるベクトル波動方程式 ベクトル波動方程式（スカラー波動方程式を直接導出できる）は、微小 体積要素 に力の平衡を適用することで得られる。体積要素内で媒質の弾性率 が均質（すなわち に依存しない ）である場合、その応力テンソルは で与えられ 、ベクトル弾性たわみ となる 。 の局所平衡は
次のようになる。 E {\displaystyle E} x {\displaystyle \mathbf {x} } T = E ∇ u {\displaystyle \mathbf {T} =E\nabla \mathbf {u} } u ( x , t ) {\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} ,t)}
たわみによる 張力 、および div T = ∇ ⋅ ( E ∇ u ) = E Δ u {\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {T} =\nabla \cdot (E\nabla \mathbf {u} )=E\Delta \mathbf {u} } u {\displaystyle \mathbf {u} } 局所的な加速によって生じる 慣性力 ρ ∂ 2 u / ∂ t 2 {\displaystyle \rho \partial ^{2}\mathbf {u} /\partial t^{2}} ∂ 2 u / ∂ t 2 {\displaystyle \partial ^{2}\mathbf {u} /\partial t^{2}} 次のように書くことができる ρ ∂ 2 u ∂ t 2 − E Δ u = 0 . {\displaystyle \rho {\frac {\partial ^{2}\mathbf {u} }{\partial t^{2}}}-E\Delta \mathbf {u} =\mathbf {0} .}
密度 と弾性係数を統合することで 、音速 （物質法則）が得られます。挿入後、均質媒質のよく知られた支配波動方程式に従います： [7]
（注：ベクトルではなく スカラーのみ を使用できます。つまり、波は 軸に沿ってのみ伝播し、スカラー波動方程式は次のように表されます 。） ρ {\displaystyle \rho } E , {\displaystyle E,} c = E / ρ {\displaystyle c={\sqrt {E/\rho }}} ∂ 2 u ∂ t 2 − c 2 Δ u = 0 . {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\mathbf {u} }{\partial t^{2}}}-c^{2}\Delta \mathbf {u} ={\boldsymbol {0}}.} u ( x , t ) , {\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} ,t),} u ( x , t ) {\displaystyle u(x,t)} x {\displaystyle x} ∂ 2 u ∂ t 2 − c 2 ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=0}
上記の2階ベクトル偏微分方程式は、互いに独立な2つの解を与える。2次速度項から、 2つの波が反対方向に伝播する可能性があり、「双方向波動方程式」と呼ばれることがわかる 。 平面 縦波 伝播の場合、2つの一方向波動方程式を合成すると、一般的な 双方向 波動方程式が得られる。 ダランベール演算子を用いた特殊な2方向波動方程式は、次の式で表される [8]。 これは次のように簡略化される。 したがって 、 波があらかじめ定義された伝播方向に伝播するベクトル1階 一方向波動方程式は、 [9] のように
表さ れる。 c 2 = ( + c ) 2 = ( − c ) 2 {\displaystyle c^{2}=(+c)^{2}=(-c)^{2}} + c {\displaystyle +c} − c {\displaystyle -c} ∇ c = 0 , {\displaystyle \nabla \mathbf {c} =\mathbf {0} ,} ( ∂ ∂ t − c ⋅ ∇ ) ( ∂ ∂ t + c ⋅ ∇ ) u = ( ∂ 2 ∂ t 2 + ( c ⋅ ∇ ) c ⋅ ∇ ) u = ( ∂ 2 ∂ t 2 + ( c ⋅ ∇ ) 2 ) u = 0 . {\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial t}}-\mathbf {c} \cdot \nabla \right)\left({\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {c} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} =\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}+(\mathbf {c} \cdot \nabla )\mathbf {c} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} =\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}+(\mathbf {c} \cdot \nabla )^{2}\right)\mathbf {u} =\mathbf {0} .} ∇ c = 0 , {\displaystyle \nabla \mathbf {c} =\mathbf {0} ,} ( ∂ 2 ∂ t 2 + c 2 Δ ) u = 0 . {\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}+c^{2}\Delta \right)\mathbf {u} =\mathbf {0} .} c {\displaystyle \mathbf {c} } ∂ u ∂ t − c ⋅ ∇ u = 0 . {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}-\mathbf {c} \cdot \nabla \mathbf {u} =\mathbf {0} .}
3次元空間におけるスカラー波動方程式 スイスの数学者であり物理学者でもある レオンハルト・オイラー （1707年生まれ）は、3次元空間における波動方程式を発見した。 [1] 3次元空間における波動方程式の初期値問題の解は、球面波の対応する解から得ることができる。そして、この結果は2次元空間における同じ解を得るためにも用いられる。
球面波 一定の周波数の解を得るには、 フーリエ変換を 適用して
波動方程式を 次の形式の 楕円偏微分方程式に変換します。 Ψ ( r , t ) = ∫ − ∞ ∞ Ψ ( r , ω ) e − i ω t d ω , {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\int _{-\infty }^{\infty }\Psi (\mathbf {r} ,\omega )e^{-i\omega t}\,d\omega ,} ( ∇ 2 + ω 2 c 2 ) Ψ ( r , ω ) = 0. {\displaystyle \left(\nabla ^{2}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right)\Psi (\mathbf {r} ,\omega )=0.}
これは ヘルムホルツ方程式であり、 変数分離法 を用いて解くことができる 。 球座標系 では、これは動径変数と角度変数の分離につながり、解は次のように書ける。 [10] 解の角度部分は 球面調和関数 の形を取り、動径関数は次式を満たす。 は に依存せず 、 は である 。 を代入すると
、 方程式は に変換され、 これは ベッセル方程式 である。 Ψ ( r , ω ) = ∑ l , m f l m ( r ) Y l m ( θ , ϕ ) . {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,\omega )=\sum _{l,m}f_{lm}(r)Y_{lm}(\theta ,\phi ).} [ d 2 d r 2 + 2 r d d r + k 2 − l ( l + 1 ) r 2 ] f l ( r ) = 0. {\displaystyle \left[{\frac {d^{2}}{dr^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {d}{dr}}+k^{2}-{\frac {l(l+1)}{r^{2}}}\right]f_{l}(r)=0.} m {\displaystyle m} k 2 = ω 2 / c 2 {\displaystyle k^{2}=\omega ^{2}/c^{2}} f l ( r ) = 1 r u l ( r ) , {\displaystyle f_{l}(r)={\frac {1}{\sqrt {r}}}u_{l}(r),} [ d 2 d r 2 + 1 r d d r + k 2 − ( l + 1 2 ) 2 r 2 ] u l ( r ) = 0 , {\displaystyle \left[{\frac {d^{2}}{dr^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {d}{dr}}+k^{2}-{\frac {(l+{\frac {1}{2}})^{2}}{r^{2}}}\right]u_{l}(r)=0,}
例 l = 0 の場合を考えてみましょう 。このとき、角度依存性はなく、振幅は半径方向の距離のみに依存します。つまり、 Ψ( r , t ) → u ( r , t ) となります。この場合、波動方程式は [ 明確化が必要 ] または ( ∇ 2 − 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 ) Ψ ( r , t ) = 0 , {\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\Psi (\mathbf {r} ,t)=0,} ( ∂ 2 ∂ r 2 + 2 r ∂ ∂ r − 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 ) u ( r , t ) = 0. {\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)u(r,t)=0.}
この式は次のように書き直すことができる。 ここで、 ru は1次元波動方程式を満たす。したがって、次のような解が存在する。ここで、 F と G は 1次元波動方程式の一般解であり、それぞれ出射球面波と入射球面波として解釈できる。出射波は 点源によって生成され、 r の 増加に伴う振幅の減少によってのみ形状が変化する鋭い信号を生成することができる （右上の球面波の図を参照）。このような波は、奇数次元の空間にのみ存在する。 [ 要出典 ] ∂ 2 ( r u ) ∂ t 2 − c 2 ∂ 2 ( r u ) ∂ r 2 = 0 , {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}(ru)}{\partial t^{2}}}-c^{2}{\frac {\partial ^{2}(ru)}{\partial r^{2}}}=0,} u ( r , t ) = 1 r F ( r − c t ) + 1 r G ( r + c t ) , {\displaystyle u(r,t)={\frac {1}{r}}F(r-ct)+{\frac {1}{r}}G(r+ct),}
角度依存性を持つ 3D 波動方程式の解の物理的な例については、 双極子放射を 参照してください。
単色球面波 点光源から伝播する波長10単位の球面波面の断面図 「単色」という言葉は、明確に定義された周波数を持つ光または 電磁放射 を指すため、正確ではないが、その目的は3次元における波動方程式の固有モードを発見することである。前節の平面波固有モードの導出に倣い、解を、明確に定義された 一定の 角周波数 ω で時間的に振動する球面波に限定すると、変換された関数 ru ( r , t ) は単純に平面波解を持つ。 または r u ( r , t ) = A e i ( ω t ± k r ) , {\displaystyle ru(r,t)=Ae^{i(\omega t\pm kr)},} u ( r , t ) = A r e i ( ω t ± k r ) . {\displaystyle u(r,t)={\frac {A}{r}}e^{i(\omega t\pm kr)}.}
このことから、球面波振動のピーク強度は、波の振幅の二乗として特徴付けられ、 1/ r 2 に比例する速度で低下することが 分かります
。これは、 逆二乗則 の一例です 。 I = | u ( r , t ) | 2 = | A | 2 r 2 , {\displaystyle I=|u(r,t)|^{2}={\frac {|A|^{2}}{r^{2}}},}
一般的な初期値問題の解 波動方程式は u に関して線形であり、空間および時間における並進によって変化しない。したがって、球面波を並進させて足し合わせることで、多様な解を生成することができる。φ ( ξ , η , ζ ) を 3つの独立変数の任意関数とし、球面波の形 Fを デルタ関数 とする 。球面波の族の中心が ( ξ , η , ζ ) にあり、 rを その点からの半径距離とする。したがって
r 2 = ( x − ξ ) 2 + ( y − η ) 2 + ( z − ζ ) 2 . {\displaystyle r^{2}=(x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}+(z-\zeta )^{2}.}
u が 重み関数 φ を持つそのような波の重ね合わせである場合 、 分母 4 πc は便宜上のものとなります。 u ( t , x , y , z ) = 1 4 π c ∭ φ ( ξ , η , ζ ) δ ( r − c t ) r d ξ d η d ζ ; {\displaystyle u(t,x,y,z)={\frac {1}{4\pi c}}\iiint \varphi (\xi ,\eta ,\zeta ){\frac {\delta (r-ct)}{r}}\,d\xi \,d\eta \,d\zeta ;}
デルタ関数の定義から、 uは 次のようにも書ける。 ここで、 α 、 β 、 γ は単位球面 S 上の座標であり、 ωは S 上の面積要素である 。この結果から、 u ( t , x )は、 x を中心とする半径 ct の球面上の φ の平均値の t 倍であると解釈できる 。 u ( t , x , y , z ) = t 4 π ∬ S φ ( x + c t α , y + c t β , z + c t γ ) d ω , {\displaystyle u(t,x,y,z)={\frac {t}{4\pi }}\iint _{S}\varphi (x+ct\alpha ,y+ct\beta ,z+ct\gamma )\,d\omega ,} u ( t , x , y , z ) = t M c t [ φ ] . {\displaystyle u(t,x,y,z)=tM_{ct}[\varphi ].}
すると、 u ( 0 , x , y , z ) = 0 , u t ( 0 , x , y , z ) = φ ( x , y , z ) . {\displaystyle u(0,x,y,z)=0,\quad u_{t}(0,x,y,z)=\varphi (x,y,z).}
平均値は t の偶関数な
ので 、 v ( t , x , y , z ) = ∂ ∂ t ( t M c t [ φ ] ) , {\displaystyle v(t,x,y,z)={\frac {\partial }{\partial t}}{\big (}tM_{ct}[\varphi ]{\big )},} v ( 0 , x , y , z ) = φ ( x , y , z ) , v t ( 0 , x , y , z ) = 0. {\displaystyle v(0,x,y,z)=\varphi (x,y,z),\quad v_{t}(0,x,y,z)=0.}
これらの式は、波動方程式の初期値問題の解を与える。これらの式は、与えられた点 P における解が、 ( t , x , y , z )が P から後方に引いた 光円錐 と交差する半径 ct の球面上のデータのみに依存することを示している 。この球面内部のデータには依存 しない 。したがって、球面内部は 解の 空白部分となる。この現象は ホイヘンスの原理 と呼ばれる。これは空間次元が奇数である場合にのみ成り立ち、1次元の場合はディラック測度 に関する区間の境界上で積分が実行される 。
2次元空間におけるスカラー波動方程式 2次元空間では、波動方程式は
u t t = c 2 ( u x x + u y y ) . {\displaystyle u_{tt}=c^{2}\left(u_{xx}+u_{yy}\right).}
uを 3次元とは独立した3次元の関数と みなせば、この問題を3次元理論で解くことができます。
u ( 0 , x , y ) = 0 , u t ( 0 , x , y ) = ϕ ( x , y ) , {\displaystyle u(0,x,y)=0,\quad u_{t}(0,x,y)=\phi (x,y),}
すると、3次元解の式は次のようになる。
u ( t , x , y ) = t M c t [ ϕ ] = t 4 π ∬ S ϕ ( x + c t α , y + c t β ) d ω , {\displaystyle u(t,x,y)=tM_{ct}[\phi ]={\frac {t}{4\pi }}\iint _{S}\phi (x+ct\alpha ,\,y+ct\beta )\,d\omega ,}
ここで、 α と βは 単位球面上の最初の2つの座標であり、 dω は 球面上の面積要素である。この積分は、中心 ( x , y ) 、半径 ct の円板D 上の二重積分として書き直すことができる 。
u ( t , x , y ) = 1 2 π c ∬ D ϕ ( x + ξ , y + η ) ( c t ) 2 − ξ 2 − η 2 d ξ d η . {\displaystyle u(t,x,y)={\frac {1}{2\pi c}}\iint _{D}{\frac {\phi (x+\xi ,y+\eta )}{\sqrt {(ct)^{2}-\xi ^{2}-\eta ^{2}}}}d\xi \,d\eta .}
( t , x , y ) における解は、光円錐上のデータだけでなく 、その円錐の内部にあるデータにも
依存すること は明らかです。 ( x − ξ ) 2 + ( y − η ) 2 = c 2 t 2 , {\displaystyle (x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}=c^{2}t^{2},}
我々はu : R n × (0, ∞) → R において u ( x , 0) = g ( x ) かつ u t ( x , 0) = h ( x ) となる u tt − Δ u = 0 の解を求めたい 。
奇妙な次元 n ≥ 3 が奇数で、 m = ( n + 1)/2 に対して g ∈ C m +1 ( R n ) 、 h ∈ C m ( R n ) とする。 γ n = 1 × 3 × 5 × ⋯ × ( n − 2) とし、
u ( x , t ) = 1 γ n [ ∂ t ( 1 t ∂ t ) n − 3 2 ( t n − 2 1 | ∂ B t ( x ) | ∫ ∂ B t ( x ) g d S ) + ( 1 t ∂ t ) n − 3 2 ( t n − 2 1 | ∂ B t ( x ) | ∫ ∂ B t ( x ) h d S ) ] {\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{\gamma _{n}}}\left[\partial _{t}\left({\frac {1}{t}}\partial _{t}\right)^{\frac {n-3}{2}}\left(t^{n-2}{\frac {1}{|\partial B_{t}(x)|}}\int _{\partial B_{t}(x)}g\,dS\right)+\left({\frac {1}{t}}\partial _{t}\right)^{\frac {n-3}{2}}\left(t^{n-2}{\frac {1}{|\partial B_{t}(x)|}}\int _{\partial B_{t}(x)}h\,dS\right)\right]}
それから
u ∈ C 2 ( R n × [ 0 , ∞ ) ) {\displaystyle u\in C^{2}{\big (}\mathbf {R} ^{n}\times [0,\infty ){\big )}} 、 u t t − Δ u = 0 {\displaystyle u_{tt}-\Delta u=0} で 、 R n × ( 0 , ∞ ) {\displaystyle \mathbf {R} ^{n}\times (0,\infty )} lim ( x , t ) → ( x 0 , 0 ) u ( x , t ) = g ( x 0 ) {\displaystyle \lim _{(x,t)\to (x^{0},0)}u(x,t)=g(x^{0})} 、 lim ( x , t ) → ( x 0 , 0 ) u t ( x , t ) = h ( x 0 ) {\displaystyle \lim _{(x,t)\to (x^{0},0)}u_{t}(x,t)=h(x^{0})} 。
偶数次元 n ≥ 2 は 偶数で、 g ∈ C m +1 ( R n ) 、 h ∈ C m ( R n ) （ m = ( n + 2)/2 ） とする。 γ n = 2 × 4 × ⋯ × n とし、
u ( x , t ) = 1 γ n [ ∂ t ( 1 t ∂ t ) n − 2 2 ( t n 1 | B t ( x ) | ∫ B t ( x ) g ( t 2 − | y − x | 2 ) 1 2 d y ) + ( 1 t ∂ t ) n − 2 2 ( t n 1 | B t ( x ) | ∫ B t ( x ) h ( t 2 − | y − x | 2 ) 1 2 d y ) ] {\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{\gamma _{n}}}\left[\partial _{t}\left({\frac {1}{t}}\partial _{t}\right)^{\frac {n-2}{2}}\left(t^{n}{\frac {1}{|B_{t}(x)|}}\int _{B_{t}(x)}{\frac {g}{(t^{2}-|y-x|^{2})^{\frac {1}{2}}}}dy\right)+\left({\frac {1}{t}}\partial _{t}\right)^{\frac {n-2}{2}}\left(t^{n}{\frac {1}{|B_{t}(x)|}}\int _{B_{t}(x)}{\frac {h}{(t^{2}-|y-x|^{2})^{\frac {1}{2}}}}dy\right)\right]}
それから
u ∈ C 2 ( R n × [0, ∞)) R n × (0, ∞) において u tt − Δ u = 0 lim ( x , t ) → ( x 0 , 0 ) u ( x , t ) = g ( x 0 ) {\displaystyle \lim _{(x,t)\to (x^{0},0)}u(x,t)=g(x^{0})} lim ( x , t ) → ( x 0 , 0 ) u t ( x , t ) = h ( x 0 ) {\displaystyle \lim _{(x,t)\to (x^{0},0)}u_{t}(x,t)=h(x^{0})}
グリーン関数 次元 の不同次波動方程式を考えます。 時間を再スケーリングすることで、波の速度を設定できます 。 1 + D {\displaystyle 1+D} ( ∂ t t − c 2 ∇ 2 ) u = s ( t , x ) {\displaystyle (\partial _{tt}-c^{2}\nabla ^{2})u=s(t,x)} c = 1 {\displaystyle c=1}
波動方程式は時間に関して2次であるため、2つの インパルス応答 、すなわち加速度インパルスと速度インパルスが存在します 。加速度インパルスを与えると、波の速度が急激に変化します 。速度インパルスを与えると、波の変位が急激に変化します 。 ( ∂ t t − ∇ 2 ) u = s ( t , x ) {\displaystyle (\partial _{tt}-\nabla ^{2})u=s(t,x)} ∂ t u {\displaystyle \partial _{t}u} u {\displaystyle u}
加速インパルスの場合、 は ディラックのデルタ関数 です 。この場合の解は、 波動方程式の グリーン関数と呼ばれます。 s ( t , x ) = δ D + 1 ( t , x ) {\displaystyle s(t,x)=\delta ^{D+1}(t,x)} δ {\displaystyle \delta } G {\displaystyle G}
速度インパルスについては、 グリーン関数を解くと 、この場合の解は となります 。 [ 要出典 ] s ( t , x ) = ∂ t δ D + 1 ( t , x ) {\displaystyle s(t,x)=\partial _{t}\delta ^{D+1}(t,x)} G {\displaystyle G} ∂ t G {\displaystyle \partial _{t}G}
デュアメルの原理 グリーン関数の主な用途は、 同次ケースと非同次ケースの両方において、 デュアメルの原理 によって 初期値問題を解決することです。
グリーン関数 と初期条件が与えられた場合 、同次波動方程式の解は [14] となる。ここでアスタリスクは 空間における 畳み込みを 表す。より明確には、非同次波動方程式の場合、解は時空における畳み込みによって1つの項を追加したものである。 G {\displaystyle G} u ( 0 , x ) , ∂ t u ( 0 , x ) {\displaystyle u(0,x),\partial _{t}u(0,x)} u = ( ∂ t G ) ∗ u + G ∗ ∂ t u {\displaystyle u=(\partial _{t}G)\ast u+G\ast \partial _{t}u} u ( t , x ) = ∫ ( ∂ t G ) ( t , x − x ′ ) u ( 0 , x ′ ) d x ′ + ∫ G ( t , x − x ′ ) ( ∂ t u ) ( 0 , x ′ ) d x ′ . {\displaystyle u(t,x)=\int (\partial _{t}G)(t,x-x')u(0,x')dx'+\int G(t,x-x')(\partial _{t}u)(0,x')dx'.} ∬ t ′ < t G ( t − t ′ , x − x ′ ) s ( t ′ , x ′ ) d t ′ d x ′ . {\displaystyle \iint _{t'<t}G(t-t',x-x')s(t',x')dt'dx'.}
フーリエ変換 により 、 項は 留数定理 によって積分できる。これは 不定積分 であるため、 または によって 積分をわずかに摂動する必要がある 。一方の摂動は順方向解を、もう一方の摂動は逆方向解を与える。 [15] 順方向解は次のようになる。 積分は ポアソン核 を 解析的に展開することで解くことができ、 [14] [16] となる。ここで は 次元 超球面 の表面積の半分である 。 [16] G ^ ( ω ) = 1 − ω 0 2 + ω 1 2 + ⋯ + ω D 2 , G ( t , x ) = 1 ( 2 π ) D + 1 ∫ G ^ ( ω ) e + i ω 0 t + i ω → ⋅ x → d ω 0 d ω → . {\displaystyle {\hat {G}}(\omega )={\frac {1}{-\omega _{0}^{2}+\omega _{1}^{2}+\cdots +\omega _{D}^{2}}},\quad G(t,x)={\frac {1}{(2\pi )^{D+1}}}\int {\hat {G}}(\omega )e^{+i\omega _{0}t+i{\vec {\omega }}\cdot {\vec {x}}}d\omega _{0}d{\vec {\omega }}.} ω 0 {\displaystyle \omega _{0}} + i ϵ {\displaystyle +i\epsilon } − i ϵ {\displaystyle -i\epsilon } G ( t , x ) = 1 ( 2 π ) D ∫ sin ( ‖ ω → ‖ t ) ‖ ω → ‖ e i ω → ⋅ x → d ω → , ∂ t G ( t , x ) = 1 ( 2 π ) D ∫ cos ( ‖ ω → ‖ t ) e i ω → ⋅ x → d ω → . {\displaystyle G(t,x)={\frac {1}{(2\pi )^{D}}}\int {\frac {\sin(\|{\vec {\omega }}\|t)}{\|{\vec {\omega }}\|}}e^{i{\vec {\omega }}\cdot {\vec {x}}}d{\vec {\omega }},\quad \partial _{t}G(t,x)={\frac {1}{(2\pi )^{D}}}\int \cos(\|{\vec {\omega }}\|t)e^{i{\vec {\omega }}\cdot {\vec {x}}}d{\vec {\omega }}.} G ( t , x ) = lim ϵ → 0 + C D D − 1 Im [ ‖ x ‖ 2 − ( t − i ϵ ) 2 ] − ( D − 1 ) / 2 {\displaystyle G(t,x)=\lim _{\epsilon \rightarrow 0^{+}}{\frac {C_{D}}{D-1}}\operatorname {Im} \left[\|x\|^{2}-(t-i\epsilon )^{2}\right]^{-(D-1)/2}} C D = π − ( D + 1 ) / 2 Γ ( ( D + 1 ) / 2 ) {\displaystyle C_{D}=\pi ^{-(D+1)/2}\Gamma ((D+1)/2)} ( D + 1 ) {\displaystyle (D+1)}
特定の次元におけるソリューション 次元におけるグリーン関数は次元 におけるグリーン関数と関連付けることができます （次元を下げることはどのような場合でも可能であり、次元を上げることは球対称性において可能です）。 [17] D {\displaystyle D} D + n {\displaystyle D+n}
寸法を下げる 次元の関数と 微分方程式の 解が与えられている場合 、 追加の 次元を定数に設定することで、それを 次元に簡単に拡張できます。 グリーン関数は と から構築されるため 、次元 のグリーン関数は 次元 のグリーン関数に積分されます 。 s ( t , x ) {\displaystyle s(t,x)} u ( t , x ) {\displaystyle u(t,x)} ( 1 + D ) {\displaystyle (1+D)} ( 1 + D + n ) {\displaystyle (1+D+n)} n {\displaystyle n} s ( t , x 1 : D , x D + 1 : D + n ) = s ( t , x 1 : D ) , u ( t , x 1 : D , x D + 1 : D + n ) = u ( t , x 1 : D ) . {\displaystyle s(t,x_{1:D},x_{D+1:D+n})=s(t,x_{1:D}),\quad u(t,x_{1:D},x_{D+1:D+n})=u(t,x_{1:D}).} s {\displaystyle s} u {\displaystyle u} ( 1 + D + n ) {\displaystyle (1+D+n)} ( 1 + D ) {\displaystyle (1+D)} G D ( t , x 1 : D ) = ∫ R n G D + n ( t , x 1 : D , x D + 1 : D + n ) d n x D + 1 : D + n . {\displaystyle G_{D}(t,x_{1:D})=\int _{\mathbb {R} ^{n}}G_{D+n}(t,x_{1:D},x_{D+1:D+n})d^{n}x_{D+1:D+n}.}
次元を上げる 次元グリーン関数は、次元 グリーン関数と関連している 。球対称性により、 極座標で積分すると、 最後の式で変数変換を行った 。したがって、漸化式が得られる。 D {\displaystyle D} D + 2 {\displaystyle D+2} G D ( t , r ) = ∫ R 2 G D + 2 ( t , r 2 + y 2 + z 2 ) d y d z . {\displaystyle G_{D}(t,r)=\int _{\mathbb {R} ^{2}}G_{D+2}(t,{\sqrt {r^{2}+y^{2}+z^{2}}})dydz.} G D ( t , r ) = 2 π ∫ 0 ∞ G D + 2 ( t , r 2 + q 2 ) q d q = 2 π ∫ r ∞ G D + 2 ( t , q ′ ) q ′ d q ′ , {\displaystyle G_{D}(t,r)=2\pi \int _{0}^{\infty }G_{D+2}(t,{\sqrt {r^{2}+q^{2}}})qdq=2\pi \int _{r}^{\infty }G_{D+2}(t,q')q'dq',} q ′ = r 2 + q 2 {\displaystyle q'={\sqrt {r^{2}+q^{2}}}} G D + 2 ( t , r ) = − 1 2 π r ∂ r G D ( t , r ) . {\displaystyle G_{D+2}(t,r)=-{\frac {1}{2\pi r}}\partial _{r}G_{D}(t,r).}
ソリューション D = 1、2、3 のとき 、フーリエ変換における積分関数は sinc関数 であり、 は 符号関数 、は 単位ステップ関数 です 。 D = 1 {\displaystyle D=1} G 1 ( t , x ) = 1 2 π ∫ R sin ( | ω | t ) | ω | e i ω x d ω = 1 2 π ∫ sinc ( ω ) e i ω x t d ω = sgn ( t − x ) + sgn ( t + x ) 4 = { 1 2 θ ( t − | x | ) t > 0 − 1 2 θ ( − t − | x | ) t < 0 {\displaystyle {\begin{aligned}G_{1}(t,x)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} }{\frac {\sin(|\omega |t)}{|\omega |}}e^{i\omega x}d\omega \\&={\frac {1}{2\pi }}\int \operatorname {sinc} (\omega )e^{i\omega {\frac {x}{t}}}d\omega \\&={\frac {\operatorname {sgn}(t-x)+\operatorname {sgn}(t+x)}{4}}\\&={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\theta (t-|x|)\quad t>0\\-{\frac {1}{2}}\theta (-t-|x|)\quad t<0\end{cases}}\end{aligned}}} sgn {\displaystyle \operatorname {sgn} } θ {\displaystyle \theta }
次元 を上げると次のようになる 。同様に逆解についても同様に解を求めることができる。これを1次元下方に積分すると次のようになる 。 D = 3 {\displaystyle D=3} G 3 ( t , r ) = δ ( t − r ) 4 π r {\displaystyle G_{3}(t,r)={\frac {\delta (t-r)}{4\pi r}}} D = 2 {\displaystyle D=2} G 2 ( t , r ) = ∫ R δ ( t − r 2 + z 2 ) 4 π r 2 + z 2 d z = θ ( t − r ) 2 π t 2 − r 2 {\displaystyle G_{2}(t,r)=\int _{\mathbb {R} }{\frac {\delta (t-{\sqrt {r^{2}+z^{2}}})}{4\pi {\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}}dz={\frac {\theta (t-r)}{2\pi {\sqrt {t^{2}-r^{2}}}}}}
波面と航跡 この 場合、グリーン関数の解は、 反対方向に移動する 2 つの波面の合計になります。 D = 1 {\displaystyle D=1} sgn ( t − x ) 4 + sgn ( t + x ) 4 {\displaystyle {\frac {\operatorname {sgn}(t-x)}{4}}+{\frac {\operatorname {sgn}(t+x)}{4}}}
奇数次元では、順方向解は においてのみ非ゼロとなる 。次元が増加するにつれて、波面の形状はますます複雑になり、ディラックのデルタ関数の高次微分を伴うようになる。例えば、 [17] では となり 、波の速度 は回復する。 t = r {\displaystyle t=r} G 1 = 1 2 c θ ( τ ) G 3 = 1 4 π c 2 δ ( τ ) r G 5 = 1 8 π 2 c 2 ( δ ( τ ) r 3 + δ ′ ( τ ) c r 2 ) G 7 = 1 16 π 3 c 2 ( 3 δ ( τ ) r 4 + 3 δ ′ ( τ ) c r 3 + δ ′ ′ ( τ ) c 2 r 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}&G_{1}={\frac {1}{2c}}\theta (\tau )\\&G_{3}={\frac {1}{4\pi c^{2}}}{\frac {\delta (\tau )}{r}}\\&G_{5}={\frac {1}{8\pi ^{2}c^{2}}}\left({\frac {\delta (\tau )}{r^{3}}}+{\frac {\delta ^{\prime }(\tau )}{cr^{2}}}\right)\\&G_{7}={\frac {1}{16\pi ^{3}c^{2}}}\left(3{\frac {\delta (\tau )}{r^{4}}}+3{\frac {\delta ^{\prime }(\tau )}{cr^{3}}}+{\frac {\delta ^{\prime \prime }(\tau )}{c^{2}r^{2}}}\right)\end{aligned}}} τ = t − r {\displaystyle \tau =t-r} c {\displaystyle c}
偶数次元では、 の順方向解は非ゼロとなり 、波面の後ろの領域全体が非ゼロとなり、これを 航跡 と呼ぶ。航跡は次式で表される。 [17] 波面自体も、ディラックのデルタ関数の次第に高次の微分を含む。 r ≤ t {\displaystyle r\leq t} G D ( t , x ) = ( − 1 ) 1 + D / 2 1 ( 2 π ) D / 2 1 c D θ ( t − r / c ) ( t 2 − r 2 / c 2 ) ( D − 1 ) / 2 {\displaystyle G_{D}(t,x)=(-1)^{1+D/2}{\frac {1}{(2\pi )^{D/2}}}{\frac {1}{c^{D}}}{\frac {\theta (t-r/c)}{\left(t^{2}-r^{2}/c^{2}\right)^{(D-1)/2}}}}
これは、一般的な ホイヘンスの原理 （時空のある点における波の変位は、 通過する 特性光線 上の点の状態のみに依存する ）が奇数次元でのみ成立することを意味する。物理的な解釈としては、波によって伝達される信号は奇数次元では歪みがないが、偶数次元では歪みが生じる。 [18] : 698 ( t , x ) {\displaystyle (t,x)} ( t , x ) {\displaystyle (t,x)}
アダマールの予想 によれば、この一般化されたホイヘンスの原理は、波動方程式の係数が定数ではなくなった場合でも、すべての奇数次元において成立する。これは厳密には正しくないが、特定の係数族については正しい [18] : 765
境界の問題
1つの空間次元
ある媒質（波の速度が c 1 ）から別の媒質（波の速度が c 2 ）へ入射する波の場合、波の一部は別の媒質に透過し、別の部分は反対方向に反射して最初の媒質に留まります。透過波と反射波の振幅は、境界における連続性条件を用いて計算できます。
角周波数 ω を持つ 入射波の成分を考えてみましょう 。この波形は
、 t = 0 で 入射波が 2 つの媒体の境界 x = 0 に到達します。したがって、対応する反射波と透過波の波形は次のようになります。 境界における連続条件は、次の式です。 これにより、次の式が得られ 、反射率と透過率が得られます。 c 2 < c 1 の場合、 B / A < 0 であるため、反射波の 反射位相変化 は 180° になります 。エネルギー保存則は、次の式で検証できます。
上記の議論は、角周波数 ω に関係なく、どの成分に対しても当てはまります 。 u inc ( x , t ) = A e i ( k 1 x − ω t ) , A ∈ C . {\displaystyle u^{\text{inc}}(x,t)=Ae^{i(k_{1}x-\omega t)},\quad A\in \mathbb {C} .} u refl ( x , t ) = B e i ( − k 1 x − ω t ) , u trans ( x , t ) = C e i ( k 2 x − ω t ) , B , C ∈ C . {\displaystyle u^{\text{refl}}(x,t)=Be^{i(-k_{1}x-\omega t)},\quad u^{\text{trans}}(x,t)=Ce^{i(k_{2}x-\omega t)},\quad B,C\in \mathbb {C} .} u inc ( 0 , t ) + u refl ( 0 , t ) = u trans ( 0 , t ) , u x inc ( 0 , t ) + u x ref ( 0 , t ) = u x trans ( 0 , t ) . {\displaystyle u^{\text{inc}}(0,t)+u^{\text{refl}}(0,t)=u^{\text{trans}}(0,t),\quad u_{x}^{\text{inc}}(0,t)+u_{x}^{\text{ref}}(0,t)=u_{x}^{\text{trans}}(0,t).} A + B = C , A − B = k 2 k 1 C = c 1 c 2 C , {\displaystyle A+B=C,\quad A-B={\frac {k_{2}}{k_{1}}}C={\frac {c_{1}}{c_{2}}}C,} B A = c 2 − c 1 c 2 + c 1 , C A = 2 c 2 c 2 + c 1 . {\displaystyle {\frac {B}{A}}={\frac {c_{2}-c_{1}}{c_{2}+c_{1}}},\quad {\frac {C}{A}}={\frac {2c_{2}}{c_{2}+c_{1}}}.} B 2 c 1 + C 2 c 2 = A 2 c 1 . {\displaystyle {\frac {B^{2}}{c_{1}}}+{\frac {C^{2}}{c_{2}}}={\frac {A^{2}}{c_{1}}}.}
c 2 = 0 の極限ケースは 動かない「固定端」に対応し、 c 2 → ∞ の極限ケースは「自由端」に対応します。
2点x = 0 と x = L の間に張られた柔軟な弦は、 t > 0 かつ 0 < x < L の波動方程式を満たす 。境界点においては、 uは 様々な境界条件を満たす可能性がある。応用に適した一般的な形式は以下の通りである。
− u x ( t , 0 ) + a u ( t , 0 ) = 0 , u x ( t , L ) + b u ( t , L ) = 0 , {\displaystyle {\begin{aligned}-u_{x}(t,0)+au(t,0)&=0,\\u_{x}(t,L)+bu(t,L)&=0,\end{aligned}}}
ここで 、a と b は非負である。u が 端点（すなわち「固定端」）で消滅することが求められる場合が、 a または bがそれぞれ無限大に近づくときのこの条件の極限となる。 変数分離 法と は、この問題の解を以下の特別な形式で探すことである。 u ( t , x ) = T ( t ) v ( x ) . {\displaystyle u(t,x)=T(t)v(x).}
その結果、 T ″ c 2 T = v ″ v = − λ . {\displaystyle {\frac {T''}{c^{2}T}}={\frac {v''}{v}}=-\lambda .}
固有値 λ は 境界値問題の非自明な解が存在するように決定されなければならない。 v ″ + λ v = 0 , − v ′ ( 0 ) + a v ( 0 ) = 0 , v ′ ( L ) + b v ( L ) = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}v''+\lambda v=0,&\\-v'(0)+av(0)&=0,\\v'(L)+bv(L)&=0.\end{aligned}}}
これは、シュトゥルム・リウヴィル理論 の一般問題の特殊なケースである 。aとbが正であれば 、 固有値 はすべて正となり、解は三角関数となる。これらの関数を適切な三角級数に展開することで、 u と u t の2乗積分可能な初期条件を満たす解が 得られる。
複数の空間次元 外縁全体にわたって変位ゼロの境界条件を持つ2次元波動方程式の解 1次元の初期境界値理論は、任意の空間次元数に拡張できる。m次元x空間の領域Dと境界Bを考える 。 この とき 、 x が D に 含まれ 、 t > 0の とき、波動 方程式が満たされる 。D の境界上で 、解 u は
∂ u ∂ n + a u = 0 , {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial n}}+au=0,}
ここで nは B の単位外向き法線 、 aは B 上で定義された非負関数である。u が B 上でゼロになる ケースは、 a が無限大に近づく極限ケースである 。初期条件は以下の通りである。
u ( 0 , x ) = f ( x ) , u t ( 0 , x ) = g ( x ) , {\displaystyle u(0,x)=f(x),\quad u_{t}(0,x)=g(x),}
ここで、 f と gは D で定義されている。この問題は 、境界条件を満たす D のラプラシアンの固有関数で f と g を展開することで解ける。したがって、固有関数 vは 次式を満たす
。
∇ ⋅ ∇ v + λ v = 0 {\displaystyle \nabla \cdot \nabla v+\lambda v=0}
D では 、
∂ v ∂ n + a v = 0 {\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial n}}+av=0}
B に 。
空間次元が2次元の場合、固有関数は境界 B 上に張られたドラムヘッドの振動モードとして解釈できます。B が円の場合 、 これらの固有関数の角度成分は、極角 θの三角関数にラジアル成分の ベッセル関数 （整数次） を乗じたものです。詳細は ヘルムホルツ方程式 を参照してください。
境界が3次元空間の球面である場合、固有関数の角度成分は 球面調和関数 であり、半径成分は 半整数次数の ベッセル関数です。
1次元の非同次波動方程式 1次元の非同次波動方程式は 初期条件が u t t ( x , t ) − c 2 u x x ( x , t ) = s ( x , t ) {\displaystyle u_{tt}(x,t)-c^{2}u_{xx}(x,t)=s(x,t)} u ( x , 0 ) = f ( x ) , {\displaystyle u(x,0)=f(x),} u t ( x , 0 ) = g ( x ) . {\displaystyle u_{t}(x,0)=g(x).}
関数 s ( x , t ) は、実際には波の源が波を運ぶ媒体に与える影響を記述するため、しばしば源関数と呼ばれます。源関数の物理的な例としては、弦に波を駆動する力や、 電磁気学 の ローレンツゲージ における電荷密度や電流密度などが挙げられます。
初期値問題 (上記で初期値が設定されている) を解く 1 つの方法は、奇数空間次元における波動方程式の特殊な特性、つまりその解が因果律を尊重するという特性を利用することです。つまり、任意の点 ( x i , t i )について、 u ( x i , t i ) の値は、 f ( x i + ct i ) と f ( x i − ct i ) の値、および ( x i − ct i )と ( x i + ct i ) の間 の関数 g ( x )の値にのみ左右 さ れ ます 。これは、上記で述べたダランベールの式 に見られるように 、これらの量だけが式に現れています。物理的には、最大伝播速度が c である場合 、 特定 の時間までにある点に到達できない波の部分は、同じ点と時間における振幅に影響を与えることはできません。
解を求めるという観点から見ると、この因果性は、対象とする直線上の任意の点について、その点に因果的に影響を及ぼす可能性のあるすべての点を包含する領域のみを考慮する必要があることを意味します。点 ( x i , t i )に因果的に影響を及ぼす領域を R C とします 。この領域上で非同次波動方程式を積分するとします。 ∬ R C ( c 2 u x x ( x , t ) − u t t ( x , t ) ) d x d t = ∬ R C s ( x , t ) d x d t . {\displaystyle \iint _{R_{C}}{\big (}c^{2}u_{xx}(x,t)-u_{tt}(x,t){\big )}\,dx\,dt=\iint _{R_{C}}s(x,t)\,dx\,dt.}
これを大幅に簡略化するために、 グリーンの定理を 使用して左辺を簡略化すると次のようになります。 ∫ L 0 + L 1 + L 2 ( − c 2 u x ( x , t ) d t − u t ( x , t ) d x ) = ∬ R C s ( x , t ) d x d t . {\displaystyle \int _{L_{0}+L_{1}+L_{2}}{\big (}{-}c^{2}u_{x}(x,t)\,dt-u_{t}(x,t)\,dx{\big )}=\iint _{R_{C}}s(x,t)\,dx\,dt.}
左辺は因果領域の境界に沿った3つの線積分の和です。これはかなり簡単に計算できます。 ∫ x i − c t i x i + c t i − u t ( x , 0 ) d x = − ∫ x i − c t i x i + c t i g ( x ) d x . {\displaystyle \int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}-u_{t}(x,0)\,dx=-\int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}g(x)\,dx.}
上記では、関係する時間間隔がゼロであるため、時間に関して積分される項は消え、 dt = 0 となります。
領域の他の2辺については、 x ± ct が定数、つまり x i ± ct i であることに注目する。ここで符号は適切に選択される。これを用いると、 d x ± c d t = 0 という関係が得られる 。ここでも符号は適切に選択される。 ∫ L 1 ( − c 2 u x ( x , t ) d t − u t ( x , t ) d x ) = ∫ L 1 ( c u x ( x , t ) d x + c u t ( x , t ) d t ) = c ∫ L 1 d u ( x , t ) = c u ( x i , t i ) − c f ( x i + c t i ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{L_{1}}{\big (}{-}c^{2}u_{x}(x,t)\,dt-u_{t}(x,t)\,dx{\big )}&=\int _{L_{1}}{\big (}cu_{x}(x,t)\,dx+cu_{t}(x,t)\,dt{\big )}\\&=c\int _{L_{1}}\,du(x,t)\\&=cu(x_{i},t_{i})-cf(x_{i}+ct_{i}).\end{aligned}}}
最後の境界セグメントについても同様です。 ∫ L 2 ( − c 2 u x ( x , t ) d t − u t ( x , t ) d x ) = − ∫ L 2 ( c u x ( x , t ) d x + c u t ( x , t ) d t ) = − c ∫ L 2 d u ( x , t ) = c u ( x i , t i ) − c f ( x i − c t i ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{L_{2}}{\big (}{-}c^{2}u_{x}(x,t)\,dt-u_{t}(x,t)\,dx{\big )}&=-\int _{L_{2}}{\big (}cu_{x}(x,t)\,dx+cu_{t}(x,t)\,dt{\big )}\\&=-c\int _{L_{2}}\,du(x,t)\\&=cu(x_{i},t_{i})-cf(x_{i}-ct_{i}).\end{aligned}}}
3つの結果を足し合わせて元の積分に戻すと、 ∬ R C s ( x , t ) d x d t = − ∫ x i − c t i x i + c t i g ( x ) d x + c u ( x i , t i ) − c f ( x i + c t i ) + c u ( x i , t i ) − c f ( x i − c t i ) = 2 c u ( x i , t i ) − c f ( x i + c t i ) − c f ( x i − c t i ) − ∫ x i − c t i x i + c t i g ( x ) d x . {\displaystyle {\begin{aligned}\iint _{R_{C}}s(x,t)\,dx\,dt&=-\int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}g(x)\,dx+cu(x_{i},t_{i})-cf(x_{i}+ct_{i})+cu(x_{i},t_{i})-cf(x_{i}-ct_{i})\\&=2cu(x_{i},t_{i})-cf(x_{i}+ct_{i})-cf(x_{i}-ct_{i})-\int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}g(x)\,dx.\end{aligned}}}
u ( x i , t i ) を解くと 、次の式が得られる。 u ( x i , t i ) = f ( x i + c t i ) + f ( x i − c t i ) 2 + 1 2 c ∫ x i − c t i x i + c t i g ( x ) d x + 1 2 c ∫ 0 t i ∫ x i − c ( t i − t ) x i + c ( t i − t ) s ( x , t ) d x d t . {\displaystyle u(x_{i},t_{i})={\frac {f(x_{i}+ct_{i})+f(x_{i}-ct_{i})}{2}}+{\frac {1}{2c}}\int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}g(x)\,dx+{\frac {1}{2c}}\int _{0}^{t_{i}}\int _{x_{i}-c(t_{i}-t)}^{x_{i}+c(t_{i}-t)}s(x,t)\,dx\,dt.}
数列の最後の方程式では、ソース関数上の積分の境界が明示的に示されています。この解は、波動方程式と両立するすべての選択肢 ( x i , t i ) に対して有効であり、最初の2項は、1次元の同次波動方程式の解として前述したように、単純にダランベールの公式であることが明らかです。違いは、ソース関数上の積分である3番目の項にあります。
さらなる一般化
弾性波 3次元における弾性波動方程式（ ナビエ・コーシー方程式とも呼ばれる）は、 等方性 均質 弾性 媒体における波動の伝播を記述します。ほとんどの固体材料は弾性体であるため、この方程式は 地球 の 地震波 や材料の欠陥検出に用いられる 超音波 などの現象を記述します 。この方程式は線形ですが、縦方向と横方向の両方の運動を考慮する必要があるため、上記の方程式よりも複雑な形になります。 ここで、 ρ u ¨ = f + ( λ + 2 μ ) ∇ ( ∇ ⋅ u ) − μ ∇ × ( ∇ × u ) , {\displaystyle \rho {\ddot {\mathbf {u} }}=\mathbf {f} +(\lambda +2\mu )\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )-\mu \nabla \times (\nabla \times \mathbf {u} ),}
λ と μ は媒体の弾性特性を記述する ラメパラメータ と呼ばれるものである。 ρ は密度、 f はソース関数（駆動力）であり、 u は変位ベクトルです。 ∇ × (∇ × u ) = ∇(∇ ⋅ u ) − ∇ ⋅ ∇ u = ∇(∇ ⋅ u ) − ∆ u を使用することで 、弾性波動方程式はナビエ-コーシー方程式のより一般的な形式に書き直すことができます。
弾性波動方程式では、力と変位はどちらも ベクトル 量であることに注意してください。そのため、この方程式はベクトル波動方程式と呼ばれることもあります。理解を助けるために、 f と ∇ ⋅ u を ゼロに設定すると、この方程式は（実質的に）電場 E の伝播に関するマクスウェル方程式となり、横波のみを持つことがわかります。
分散関係 分散 波動現象では 、波の伝播速度は波の波長によって変化し、これは 分散関係に反映される。
ω = ω ( k ) , {\displaystyle \omega =\omega (\mathbf {k} ),}
ここで 、ω は 角周波数 、 k は平面波 解を記述する 波数ベクトル です 。光波の場合、分散関係は ω = ± c | k | ですが、一般には一定速度 c は可変 位相速度 に置き換えられます 。
v p = ω ( k ) k . {\displaystyle v_{\text{p}}={\frac {\omega (k)}{k}}.}
参照
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外部リンク ウィキメディア コモンズには、波動方程式 に関連するメディアがあります 。
![{\displaystyle {\begin{aligned}F_{\text{Hooke}}&=F_{x+2h}-F_{x}=k[u(x+2h,t)-u(x+h,t)]-k[u(x+h,t)-u(x,t)].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f4d4f3e46aee4d260f9bdad249d854e52f6215b)
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}u(x+h,t)={\frac {k}{m}}[u(x+2h,t)-u(x+h,t)-u(x+h,t)+u(x,t)].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db4ae6c7bae9fa8d7b11d4a8e884ce0725ff48d1)
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}u(x+h,t)={\frac {KL^{2}}{M}}{\frac {[u(x+2h,t)-2u(x+h,t)+u(x,t)]}{h^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85d493338551c094ced2b6e6d539ad69e796552f)
![{\displaystyle \left[{\frac {\partial }{\partial t}}-c{\frac {\partial }{\partial x}}\right]\left[{\frac {\partial }{\partial t}}+c{\frac {\partial }{\partial x}}\right]u=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad8cead9701a68a974539667b8333914f362b7b9)
![{\displaystyle \left[{\frac {\partial }{\partial t}}+c{\frac {\partial }{\partial x}}\right]G(x+ct)=H(x+ct).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43e35b78eecddc65cd790ef0c6438337b0ee1240)
![{\displaystyle \left[{\frac {d^{2}}{dr^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {d}{dr}}+k^{2}-{\frac {l(l+1)}{r^{2}}}\right]f_{l}(r)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f7c3d04e77be2e0fc9e582bbf92a1e3b81af8c9)
![{\displaystyle \left[{\frac {d^{2}}{dr^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {d}{dr}}+k^{2}-{\frac {(l+{\frac {1}{2}})^{2}}{r^{2}}}\right]u_{l}(r)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ccaf6696c68f910778c40389d5e55b1ab2cdd96)
![{\displaystyle u(t,x,y,z)=tM_{ct}[\varphi ].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bedd0178e6882558f41976952da37b1d4ebffa15)
![{\displaystyle v(t,x,y,z)={\frac {\partial }{\partial t}}{\big (}tM_{ct}[\varphi ]{\big )},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be9fa5c15539383bfb3d1bc146ace46235c6268c)
![{\displaystyle u(t,x,y)=tM_{ct}[\phi ]={\frac {t}{4\pi }}\iint _{S}\phi (x+ct\alpha ,\,y+ct\beta )\,d\omega ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e133130561c75cecfdccb3884614ee68819e8f23)
![{\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{\gamma _{n}}}\left[\partial _{t}\left({\frac {1}{t}}\partial _{t}\right)^{\frac {n-3}{2}}\left(t^{n-2}{\frac {1}{|\partial B_{t}(x)|}}\int _{\partial B_{t}(x)}g\,dS\right)+\left({\frac {1}{t}}\partial _{t}\right)^{\frac {n-3}{2}}\left(t^{n-2}{\frac {1}{|\partial B_{t}(x)|}}\int _{\partial B_{t}(x)}h\,dS\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9cb9693a286a167df47269190d8f646e39a5bd6)
![{\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{\gamma _{n}}}\left[\partial _{t}\left({\frac {1}{t}}\partial _{t}\right)^{\frac {n-2}{2}}\left(t^{n}{\frac {1}{|B_{t}(x)|}}\int _{B_{t}(x)}{\frac {g}{(t^{2}-|yx|^{2})^{\frac {1}{2}}}}dy\right)+\left({\frac {1}{t}}\partial _{t}\right)^{\frac {n-2}{2}}\left(t^{n}{\frac {1}{|B_{t}(x)|}}\int _{B_{t}(x)}{\frac {h}{(t^{2}-|yx|^{2})^{\frac {1}{2}}}}dy\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5820790386d503931f0a6ca3236f912e5d617a1d)
![{\displaystyle G(t,x)=\lim _{\epsilon \rightarrow 0^{+}}{\frac {C_{D}}{D-1}}\operatorname {Im} \left[\|x\|^{2}-(ti\epsilon )^{2}\right]^{-(D-1)/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f231989fb034ada3bf69c573790c15ca99b4e248)
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