波数

物理学において、波数（または波数）は反復とも呼ばれ、^[1]波の空間周波数です。通常の波数は、波のサイクル数を長さで割ったものとして定義され、長さの逆数の次元を持つ物理量であり、SI 単位のサイクル/メートルまたは逆メートル(m ⁻¹ ) で表されます。角波数は、波の位相を時間で割ったものとして定義され、長さあたりの角度の次元とSI単位のラジアン/メートルの量です。 ^[2]^[3]^[4]これらは時間周波数に類似しており、それぞれ通常の周波数は波のサイクル数を時間で割ったもの (サイクル/秒または逆秒) として定義され、角周波数は位相角を時間で割ったもの (ラジアン/秒 ) として定義されます。

多次元系において、波数は波数ベクトルの大きさです。波数ベクトルの空間は逆格子空間と呼ばれます。波数と波数ベクトルは、光学、および X線回折、中性子回折、電子回折、素粒子物理学といった波動散乱の物理学において重要な役割を果たします。量子力学的な波動の場合、波数に換算プランク定数を乗じたものが正準運動量となります。

波数は空間周波数以外の量を指定するためにも使用できます。例えば、光分光法では、一定の光速を仮定した時間周波数の単位としてよく使用されます。

意味

分光学やほとんどの化学分野で使われる波数は^[5] 、単位距離あたりの波長の数として定義されます。

{\tilde {\nu }}\;=\;{\frac {1}{\lambda }},

ここでλは波長です。これは「分光波数」と呼ばれることもあります。^[1]これは空間周波数に等しくなります。^[6]

理論物理学では、単位距離あたりのラジアン数として定義される角波数がより頻繁に使用される：^[7]

k\;=\;{\frac {2\pi }{\lambda }}=2\pi {\tilde {\nu }}

。

ユニット

分光波数のSI単位はmの逆数で、m ^{−1と表記されます。しかし、特に}分光学においては、 cgs単位、すなわちセンチメートルの逆数、またはcm ⁻¹で波数を表す方が一般的です。

1~\mathrm {cm} ^{-1}=100~\mathrm {m} ^{-1}

。

古い文献ではカイザー （ハインリヒ・カイザーにちなんで）という単位が使われることがあり^{[8] 、}KまたはKyと略される（1 K = 1 cm ⁻¹）。^[9]

角波数は、ラジアン/メートル（rad⋅m ⁻¹ ）という単位で表すことができます。ラジアンは無次元なので、上記のように表すことができます。

単位変換

光の周波数は波数で表されます ${\tilde {\nu }}$

f={\frac {c}{\lambda }}=c{\tilde {\nu }}

、

ここで光速は[10]である。したがって、分光波数から周波数への変換は^{[10]である。} $c$

1~\mathrm {cm} ^{-1}\cdot c=29.9792458~\mathrm {GHz} .

波数はエネルギーの単位としても用いられる。なぜなら、周波数の光子はエネルギーを持つからである。ここで、はプランク定数である。波数を持つ光子のエネルギーは $f$ $hf$ $h$ ${\tilde {\nu }}$

E=hf=hc{\tilde {\nu }}

。

したがって、分光学的波数からエネルギーへの変換は

1~\mathrm {cm} ^{-1}\cdot hc=1.986446\times 10^{-23}~\mathrm {J} =1.239842\times 10^{-4}~\mathrm {eV}

ここでエネルギーはJまたはeVで表されます。

複雑な

複素数値波数は、複素数値比誘電率、比透磁率、屈折率nを持つ媒体に対して次のように定義できる。^[11] $\varepsilon _{r}$ $\mu _{r}$

k=k_{0}{\sqrt {\varepsilon _{r}\mu _{r}}}=k_{0}n

ここで、k ₀は上記のように自由空間波数です。波数の虚数部は単位距離あたりの減衰を表し、指数関数的に減衰するエバネッセント場の研究に役立ちます。

線形媒体における平面波

線形材料中を正のx方向に伝播する正弦波平面波の伝播係数は^{[12]で与えられる}^：51

P=e^{-jkx}

どこ

$k=k'-jk''={\sqrt {-\left(\omega \mu ''+j\omega \mu '\right)\left(\sigma +\omega \varepsilon ''+j\omega \varepsilon '\right)}}\;$
$k'=$ 位相定数（単位：ラジアン/メートル）
$k''=$ 減衰定数（単位：ネパー/メートル）
$\omega =$ 角周波数
$x=$ x方向の移動距離
$\sigma =$ 導電率（シーメンス/メートル）
$\varepsilon =\varepsilon '-j\varepsilon ''=$ 複素誘電率
$\mu =\mu '-j\mu ''=$ 複素透過性
$j={\sqrt {-1}}$

この符号規則は、損失媒質中の伝播との整合性を保つために選択されています。減衰定数が正の場合、波はx方向に伝播するにつれて振幅が減少します。

波長、位相速度、表皮深さは、波数の成分と単純な関係があります。

\lambda ={\frac {2\pi }{k'}}\qquad v_{p}={\frac {\omega }{k'}}\qquad \delta ={\frac {1}{k''}}

波動方程式では

ここでは、波長、周波数、そして波数といった波を記述する様々な量が定数であるという意味で、波が規則波であると仮定します。これらの量が定数でない場合の議論については、波束を参照してください。

一般に、角波数k（つまり波数ベクトルの大きさ）は次のように表される。

k={\frac {2\pi }{\lambda }}={\frac {2\pi \nu }{v_{\mathrm {p} }}}={\frac {\omega }{v_{\mathrm {p} }}}

ここで、 νは波の周波数、λは波長、ω = 2πνは波の角周波数、 v _pは波の位相速度です。波数と周波数の関係（またはより一般的には周波数と波数の関係）は分散関係として知られています。

真空中の電磁波が光速で伝播する特殊なケースでは、 kは次のように表されます。

k={\frac {E}{\hbar c}}={\frac {\omega }{c}}

ここで、 Eは波のエネルギー、 ħはプランク定数、cは真空中の光速です。

物質波、例えば電子波の特殊なケースでは、非相対論的近似（自由粒子の場合、つまり粒子に位置エネルギーがない場合）では次のようになります。

k\equiv {\frac {2\pi }{\lambda }}={\frac {p}{\hbar }}={\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }}

ここで、pは粒子の運動量、 mは粒子の質量、 Eは粒子の運動エネルギー、 ħは換算プランク定数です。

波数は群速度を定義するためにも使用されます。

分光法では

分光学において、「波数」（単位はセンチメートルの逆数、cm ⁻¹）は、時間周波数（単位はヘルツ）を真空中の光速（通常はセンチメートル毎秒、cm⋅s ⁻¹）で割ったものを指します。 ${\tilde {\nu }}$

{\tilde {\nu }}={\frac {\nu }{c}}={\frac {\omega }{2\pi c}}.

周波数ではなく分光波数を使用する歴史的な理由は、干渉計で1cmあたりの縞を数えて原子スペクトルを研究するときに便利な単位だからです。分光波数は真空中の光の波長の逆数です。

{\tilde {\nu }}={\frac {1}{\lambda _{\rm {vac}}}},

これは空気中でも本質的に同じままであり、そのため分光波数は、干渉計が空気中または真空中で動作している場合、回折格子からの散乱光の角度と干渉計内の縞間の距離に直接関係しています。このような波数は、1880年代にヨハネス・リュードベリの計算で初めて使用されました。1908年のリュードベリ・リッツ結合原理も波数で定式化されました。数年後、スペクトル線は量子論においてエネルギー準位間の差として理解されるようになり、エネルギーは波数、つまり周波数に比例します。しかし、分光データは周波数やエネルギーではなく、分光波数で表され続けました。

例えば、原子水素の発光スペクトルの分光波数は、リュードベリの式で与えられます。

{\tilde {\nu }}=R\left({\frac {1}{{n_{\text{f}}}^{2}}}-{\frac {1}{{n_{\text{i}}}^{2}}}\right),

ここで、Rはリュードベリ定数、n _iとn _fはそれぞれ初期レベルと最終レベルの主量子数です（放出の場合、 n _iはn _fよりも大きくなります）。

分光波数はプランクの法則によって光子あたりのエネルギー Eに変換できる。

E=hc{\tilde {\nu }}.

光の波長に変換することもできます。

\lambda ={\frac {1}{n{\tilde {\nu }}}},

ここで、nは媒質の屈折率です。光は異なる媒質を通過すると波長が変化しますが、分光波数（つまり周波数）は一定のままであることに注意してください。

空間周波数はしばしば「波数」で記述されるが、これは量の名称をCGS単位cm ⁻¹自体に誤って転記したものである。^[13^]

参照

参考文献

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外部リンク

ウィキメディア・コモンズの波数関連メディア

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