波数ベクトル

Vector describing a wave; often its propagation direction

物理学において、波動ベクトル（または波動ベクトル）は波を記述するために使用されるベクトルであり、典型的な単位は1メートルあたりの周期である。波動ベクトルは大きさと方向を持つ。大きさは波の波数（波長に反比例する）であり、方向は波面に対して垂直である。等方性媒質においては、これは波の伝播方向でもある。

密接に関連するベクトルとして、角波ベクトル（または角波ベクトル）があります。典型的な単位はラジアン/メートルです。波ベクトルと角波ベクトルは、 1周期あたり2π ラジアンという一定の比例定数で結びついています。

物理学のいくつかの分野では、例えば結晶学とは対照的に、角波数ベクトルを単に波数ベクトルと呼ぶのが一般的です。^{[1] [2]}また、使用されている 記号k を使用することも一般的です。

特殊相対性理論の文脈では、 （角）波数ベクトルと（角）周波数を組み合わせた波動四元ベクトルを定義できます。

意味

正弦波の波長λは、図に示すように、隣接する山または谷の間、または通過方向が同じである隣接するゼロ交差の間など、同じ位相を持つ任意の 2 つの連続するポイント間で測定できます。

波数ベクトルと角波数ベクトルという用語は異なる意味を持ちます。ここで、波数ベクトルは、波数は で表されます。角波数ベクトルはk、角波数はk = | k |で表されます。これらは によって関連しています。 ${\displaystyle {\tilde {\boldsymbol {\nu }}}}$ ${\displaystyle {\tilde {\nu }}=\left|{\tilde {\boldsymbol {\nu }}}\right|}$ ${\displaystyle \mathbf {k} =2\pi {\tilde {\boldsymbol {\nu }}}}$

正弦波の進行波は次の式に従う。

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)=A\cos(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t+\varphi ),}$

どこ：

• rは位置、
• それは時間です、
• ψは、波を記述する擾乱を記述するrとtの関数です(たとえば、海の波の場合、ψ は水の過剰な高さになり、音波の場合、ψ は過剰な空気圧になります)。
• Aは波の振幅（振動のピークの大きさ）であり、
• φは位相オフセットであり、
• ωは波の（時間的）角周波数であり、単位時間あたりに波が何ラジアン移動するかを表し、周期 Tと次の式で関係している。 ${\displaystyle \omega ={\tfrac {2\pi }{T}},}$
• kは波の角波動ベクトルであり、単位距離あたりに何ラジアン移動するかを表し、波長と次の式 ${\displaystyle |\mathbf {k} |={\tfrac {2\pi }{\lambda }}.}$

波数ベクトルと周波数を用いた等価方程式は^{[3]である。}

${\displaystyle \psi \left(\mathbf {r} ,t\right)=A\cos \left(2\pi \left({\tilde {\boldsymbol {\nu }}}\cdot {\mathbf {r} }-ft\right)+\varphi \right),}$

どこ：

• ${\displaystyle f}$頻度は
• ${\displaystyle {\tilde {\boldsymbol {\nu }}}}$波動ベクトル

波動ベクトルの方向

波動ベクトルの向きは、「波の伝播方向」とは区別する必要があります。「波の伝播方向」とは、波のエネルギーの流れの方向であり、小さな波束が移動する方向、すなわち群速度の方向です。真空中の光波の場合、これはポインティングベクトルの方向でもあります。一方、波動ベクトルは位相速度の方向を指します。言い換えれば、波動ベクトルは一定位相の面（波面とも呼ばれます）の法線方向を指します。

空気、あらゆる気体、あらゆる液体、非晶質固体（ガラスなど）、立方晶系などの損失のない 等方性媒質においては、波動ベクトルの方向は波の伝播方向と一致します。媒質が異方性である場合、一般に波動ベクトルは波の伝播方向とは異なる方向を向きます。波動ベクトルは、位相が一定である面に対して常に垂直です。

例えば、非対称結晶を通る光波や堆積岩を通る音波など、波が異方性媒体を通過する場合、波動ベクトルは波の伝播方向を正確に指さないことがあります。^{[4] [5]}

固体物理学では

固体物理学において、結晶中の電子または正孔の「波動ベクトル」（kベクトルとも呼ばれる）は、その量子力学的波動関数の波動ベクトルである。これらの電子波は通常の正弦波ではないが、正弦波状の一種の包絡線関数を持ち、波動ベクトルはその包絡線波によって定義され、通常は「物理学的定義」を用いて定義される。詳細はブロッホの定理を参照のこと。 ^[6]

特殊相対論では

特殊相対論における運動波面は、時空における超曲面（3次元部分空間）とみなすことができ、これは波面を通過するすべての事象によって形成される。波列（ある変数Xで表される）は、時空におけるそのような超曲面の1パラメータ族とみなすことができる。この変数Xは時空における位置のスカラー関数である。このスカラーの微分は、波を特徴付けるベクトル、すなわち4元波動ベクトルである。^[7]

4 波ベクトルは、ミンコフスキー座標で次のように定義される4 波ベクトルです。

${\displaystyle K^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=\left({\frac {\omega }{c}},{\frac {\omega }{v_{p}}}{\hat {n}}\right)=\left({\frac {2\pi }{cT}},{\frac {2\pi {\hat {n}}}{\lambda }}\right)\,}$

ここで、角周波数は時間成分であり、波数ベクトルは空間成分です。 ${\displaystyle {\tfrac {\omega }{c}}}$ ${\displaystyle {\vec {k}}}$

あるいは、波数k は、角周波数ω を位相速度 v _pで割ったものとして、または逆周期Tと逆波長λとして表すこともできます。

明示的に記述すると、反変形式と共変形式は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}K^{\mu }&=\left({\frac {\omega }{c}},k_{x},k_{y},k_{z}\right)\,\\[4pt]K_{\mu }&=\left({\frac {\omega }{c}},-k_{x},-k_{y},-k_{z}\right)\end{aligned}}}$

一般に、波動四元ベクトルのローレンツスカラー振幅は次のようになります。

${\displaystyle K^{\mu }K_{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}-k_{z}^{2}=\left({\frac {\omega _{o}}{c}}\right)^{2}=\left({\frac {m_{o}c}{\hbar }}\right)^{2}}$

4波ベクトルは質量のない（光子）粒子ではゼロであり、静止質量は ${\displaystyle m_{o}=0}$

ヌル4波ベクトルの例としては、位相速度を持つコヒーレントな単色光のビームが挙げられる。 ${\displaystyle v_{p}=c}$

${\displaystyle K^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=\left({\frac {\omega }{c}},{\frac {\omega }{c}}{\hat {n}}\right)={\frac {\omega }{c}}\left(1,{\hat {n}}\right)\,}${光のような/ヌルの場合}

4波ベクトルの空間部分の周波数と大きさの間には次の関係があります。

${\displaystyle K^{\mu }K_{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}-k_{z}^{2}=0}${光のような/ヌルの場合}

4 波数ベクトルは4 運動量と次のように関係します。

${\displaystyle P^{\mu }=\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right)=\hbar K^{\mu }=\hbar \left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)}$

4 波ベクトルは4 周波数と次のように関係します。

${\displaystyle K^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=\left({\frac {2\pi }{c}}\right)N^{\mu }=\left({\frac {2\pi }{c}}\right)\left(\nu ,\nu {\vec {n}}\right)}$

4 波ベクトルは4 速度と次のように関係します。

${\displaystyle K^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=\left({\frac {\omega _{o}}{c^{2}}}\right)U^{\mu }=\left({\frac {\omega _{o}}{c^{2}}}\right)\gamma \left(c,{\vec {u}}\right)}$

ローレンツ変換

4波ベクトルのローレンツ変換は、相対論的ドップラー効果を導く一つの方法である。ローレンツ行列は次のように定義される。

${\displaystyle \Lambda ={\begin{pmatrix}\gamma &-\beta \gamma &\ 0\ &\ 0\ \\-\beta \gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$

高速で移動する光源から光が放射され、地球（実験室）系で検出された光の周波数を知りたい場合、ローレンツ変換を以下のように適用します。光源はS ^s系、地球は観測系S ^obs系にあることに注意してください。ローレンツ変換を波数ベクトルに適用すると、

${\displaystyle k_{s}^{\mu }=\Lambda _{\nu }^{\mu }k_{\mathrm {obs} }^{\nu }}$

コンポーネントだけを見ることを選択すると、 ${\displaystyle \mu =0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}k_{s}^{0}&=\Lambda _{0}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{0}+\Lambda _{1}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{1}+\Lambda _{2}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{2}+\Lambda _{3}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{3}\\[3pt]{\frac {\omega _{s}}{c}}&=\gamma {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{c}}-\beta \gamma k_{\mathrm {obs} }^{1}\\&=\gamma {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{c}}-\beta \gamma {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{c}}\cos \theta .\end{aligned}}}$

の方向余弦は ${\displaystyle \cos \theta }$ ${\displaystyle k^{1}}$ ${\displaystyle k^{0},k^{1}=k^{0}\cos \theta .}$

それで

${\displaystyle {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {1}{\gamma (1-\beta \cos \theta )}}}$

遠ざかる源（赤方偏移）

例として、これを、音源が観測者から直接遠ざかる状況（）に適用すると、次のようになります。 ${\displaystyle \theta =\pi }$

${\displaystyle {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {1}{\gamma (1+\beta )}}={\frac {\sqrt {1-\beta ^{2}}}{1+\beta }}={\frac {\sqrt {(1+\beta )(1-\beta )}}{1+\beta }}={\frac {\sqrt {1-\beta }}{\sqrt {1+\beta }}}}$

源が青方偏移に向かって移動している

これを、音源が観測者に向かってまっすぐ移動している状況（θ = 0）に適用すると、次のようになります。

${\displaystyle {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {1}{\gamma (1-\beta )}}={\frac {\sqrt {1-\beta ^{2}}}{1-\beta }}={\frac {\sqrt {(1+\beta )(1-\beta )}}{1-\beta }}={\frac {\sqrt {1+\beta }}{\sqrt {1-\beta }}}}$

接線方向に移動する音源（横方向ドップラー効果）

これを、音源が観測者に対して横方向に移動している状況（θ = π /2）に適用すると、次のようになります。

${\displaystyle {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {1}{\gamma (1-0)}}={\frac {1}{\gamma }}}$

参照

• 平面波展開
• 入射面

参考文献

1. 物理学の例: Harris, Benenson, Stöcker (2002). Handbook of Physics. p. 288. ISBN 978-0-387-95269-7。{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
2. 結晶学の例：Vaĭnshteĭn (1994). Modern Crystallography. p. 259. ISBN 978-3-540-56558-1。
3. ヴァンシュティーン、ボリス・コンスタンティノヴィッチ (1994)。現代の結晶学。 p. 259.ISBN​ 978-3-540-56558-1。
4. ファウルズ、グラント（1968年）『現代光学入門』ホルト、ライナーハート、ウィンストン共著、177ページ。
5. 「この効果はマスグレイブ（1959）によって説明されており、彼は異方性媒質中の弾性波のエネルギーは、一般に、平面波面の法線と同じ経路に沿って伝わらないことを示しています...」ポラード​​著『固体中の音波』（1977年）。リンク
6. ドナルド・H・メンツェル (1960). 「§10.5 ブロッホ波」.物理学の基本公式集 第2巻(プレンティス・ホール社 1955年第2版の再版). クーリエ・ドーバー. p. 624. ISBN 978-0486605968。 {{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)
7. Wolfgang Rindler (1991). 「§24 波動」. 特殊相対性理論入門（第2版）. Oxford Science Publications. pp. 60–65. ISBN 978-0-19-853952-0。

さらに読む

• ブラウ、チャールズ・A.（2004年）『古典電気力学における現代的諸問題』オックスフォード大学出版局、ISBN 978-0-19-514665-3。

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