数学 において 、 ペティス積分 または ゲルファンド・ペティス積分は 、 イスラエル・M・ゲルファンド と ビリー・ジェームズ・ペティスにちなんで名付けられ、 双対性 を利用することで、 測度空間 上のベクトル値関数に ルベーグ積分 の定義を拡張するものである。この積分は、測度空間が ルベーグ測度 を持つ区間である場合のためにゲルファンドによって導入された。この積分は、強積分である ボホナー積分 とは対照的に、 弱積分 とも呼ばれる 。
意味 を測度空間とし、を点を分離する 連続双対空間 （つまり、が 非零ならば、 となるようなものが存在する）を持つ 位相 ベクトル空間 （TVS）とし ます。 例えば、 を ノルム空間 、あるいは（より一般的には）をハウスドルフ 局所凸TVSとします。汎関数の評価は、 を双対とするペアリング として記述できます 。 f : X → V {\displaystyle f:X\to V} ( X , Σ , μ ) {\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )} V {\displaystyle V} V ′ {\displaystyle V'} x ∈ V {\displaystyle x\in V} l ∈ V ′ {\displaystyle l\in V'} l ( x ) ≠ 0 {\displaystyle l(x)\neq 0} V {\displaystyle V} ⟨ φ , x ⟩ = φ [ x ] . {\displaystyle \langle \varphi ,x\rangle =\varphi [x].}
この地図 は f : X → V {\displaystyle f:X\to V} 弱可測と は、すべてのスカラー値写像 に対して 可測写像 である 。弱可測写像 は φ ∈ V ′ , {\displaystyle \varphi \in V',} φ ∘ f {\displaystyle \varphi \circ f} f : X → V {\displaystyle f:X\to V} が弱積分可能 である X {\displaystyle X} スカラー値写像 ルベーグ積分可能 （つまり、 ） となるような 写像が存在するときである 。 e ∈ V {\displaystyle e\in V} φ ∈ V ′ , {\displaystyle \varphi \in V',} φ ∘ f {\displaystyle \varphi \circ f} φ ∘ f ∈ L 1 ( X , Σ , μ ) {\displaystyle \varphi \circ f\in L^{1}\left(X,\Sigma ,\mu \right)} φ ( e ) = ∫ X φ ( f ( x ) ) d μ ( x ) . {\displaystyle \varphi (e)=\int _{X}\varphi (f(x))\,\mathrm {d} \mu (x).}
この地図 は f : X → V {\displaystyle f:X\to V} ペティスが積分可能である とは、 すべてのベクトル とすべてのベクトルに対して、 次の ベクトルが存在すること φ ∘ f ∈ L 1 ( X , Σ , μ ) {\displaystyle \varphi \circ f\in L^{1}\left(X,\Sigma ,\mu \right)} φ ∈ V ′ {\displaystyle \varphi \in V^{\prime }} A ∈ Σ {\displaystyle A\in \Sigma } e A ∈ V {\displaystyle e_{A}\in V} ⟨ φ , e A ⟩ = ∫ A ⟨ φ , f ( x ) ⟩ d μ ( x ) for all φ ∈ V ′ . {\displaystyle \langle \varphi ,e_{A}\rangle =\int _{A}\langle \varphi ,f(x)\rangle \,\mathrm {d} \mu (x)\quad {\text{ for all }}\varphi \in V'.}
この場合 は、 e A {\displaystyle e_{A}} ペティス積分 の 一般的な表記法には よう なものがある。 f {\displaystyle f} A . {\displaystyle A.} e A {\displaystyle e_{A}} ∫ A f d μ , ∫ A f ( x ) d μ ( x ) , and, in case that A = X is understood, μ [ f ] . {\displaystyle \int _{A}f\,\mathrm {d} \mu ,\qquad \int _{A}f(x)\,\mathrm {d} \mu (x),\quad {\text{and, in case that}}~A=X~{\text{is understood,}}\quad \mu [f].}
「弱積分可能」の定義の背後にある動機を理解するには、 が 基礎となるスカラー場である特殊なケース、つまり または の場合を考えます。 この場合、 上のすべての線形関数は、 何らかのスカラーに対して の 形式 (つまり、 は定数によるスカラー乗算) であるため、条件 は に簡約されます 。特に、この特殊なケースでは、がルベーグ積分可能である 場合のみ、 は 上で弱積分可能です 。 V {\displaystyle V} V = R {\displaystyle V=\mathbb {R} } V = C . {\displaystyle V=\mathbb {C} .} φ {\displaystyle \varphi } V {\displaystyle V} φ ( y ) = s y {\displaystyle \varphi (y)=sy} s ∈ V {\displaystyle s\in V} φ {\displaystyle \varphi } φ ( e ) = ∫ A φ ( f ( x ) ) d μ ( x ) for all φ ∈ V ′ , {\displaystyle \varphi (e)=\int _{A}\varphi (f(x))\,\mathrm {d} \mu (x)\quad {\text{for all}}~\varphi \in V',} s e = ∫ A s f ( x ) d μ ( x ) for all scalars s . {\displaystyle se=\int _{A}sf(x)\,\mathrm {d} \mu (x)\quad {\text{for all scalars}}~s.} f {\displaystyle f} X {\displaystyle X} f {\displaystyle f}
ダンフォード積分との関係 この地図 は f : X → V {\displaystyle f:X\to V} ダンフォード積分可能とは 、 すべてのものに対して 、またすべてのもの に対して 、 φ ∘ f ∈ L 1 ( X , Σ , μ ) {\displaystyle \varphi \circ f\in L^{1}\left(X,\Sigma ,\mu \right)} φ ∈ V ′ {\displaystyle \varphi \in V^{\prime }} A ∈ Σ {\displaystyle A\in \Sigma } d A ∈ V ″ , {\displaystyle d_{A}\in V'',}
ダン フォード 積分 は 、 f {\displaystyle f} A , {\displaystyle A,} ⟨ d A , φ ⟩ = ∫ A ⟨ φ , f ( x ) ⟩ d μ ( x ) for all φ ∈ V ′ {\displaystyle \langle d_{A},\varphi \rangle =\int _{A}\langle \varphi ,f(x)\rangle \,\mathrm {d} \mu (x)\quad {\text{ for all }}\varphi \in V'} ⟨ d A , φ ⟩ = d A ( φ ) . {\displaystyle \langle d_{A},\varphi \rangle =d_{A}(\varphi ).}
あらゆるベクトル を で定義される 上のスカラー値関数の写像と同一視する 。この割り当てにより、標準評価写像と呼ばれる写像が誘導され、それを通して は 二重双対 のベクトル部分空間と同一視される。
空間が 半反射空間 となるのは、この写像が 射影的で ある場合に限る 。 は、 あらゆる に対して となる 場合に限る。 x ∈ V {\displaystyle x\in V} V ′ {\displaystyle V'} φ ∈ V ′ ↦ φ ( x ) . {\displaystyle \varphi \in V'\mapsto \varphi (x).} V {\displaystyle V} V ″ . {\displaystyle V''.} V {\displaystyle V} f : X → V {\displaystyle f:X\to V} d A ∈ V {\displaystyle d_{A}\in V} A ∈ Σ . {\displaystyle A\in \Sigma .}
プロパティ 定義から直接導かれる結論は、ペティス積分は連続線形作用素と両立するということであり、 が線形かつ連続で あり、ペティス積分可能であるならば、 ペティス積分可能であり、 Φ : V 1 → V 2 {\displaystyle \Phi \colon V_{1}\to V_{2}} f : X → V 1 {\displaystyle f\colon X\to V_{1}} Φ ∘ f {\displaystyle \Phi \circ f} ∫ X Φ ( f ( x ) ) d μ ( x ) = Φ ( ∫ X f ( x ) d μ ( x ) ) . {\displaystyle \int _{X}\Phi (f(x))\,d\mu (x)=\Phi \left(\int _{X}f(x)\,d\mu (x)\right).}
実数値および複素数値関数の 標準推定値は、以下の意味でペティス積分に一般化されます。すべての連続半ノルム およびすべてのペティス積分可能に対して 、 が成り立ちます。右辺は 値関数の下ルベーグ積分です。つまり、 積分対象が 測定可能でない可能性があるため、下ルベーグ積分が必要です。これは ハーン・バナッハの定理 から導かれます。なぜなら、すべてのベクトルに対して 、 かつすべての に対して となる 連続関数が存在する必要があるからです 。 これを に適用すると、 結果は次のようになります。 | ∫ X f ( x ) d μ ( x ) | ≤ ∫ X | f ( x ) | d μ ( x ) {\displaystyle \left|\int _{X}f(x)\,d\mu (x)\right|\leq \int _{X}|f(x)|\,d\mu (x)} p : V → R {\displaystyle p\colon V\to \mathbb {R} } f : X → V {\displaystyle f\colon X\to V} p ( ∫ X f ( x ) d μ ( x ) ) ≤ ∫ X _ p ( f ( x ) ) d μ ( x ) {\displaystyle p\left(\int _{X}f(x)\,d\mu (x)\right)\leq {\underline {\int _{X}}}p(f(x))\,d\mu (x)} [ 0 , ∞ ] {\displaystyle [0,\infty ]} ∫ X _ g d μ := sup { ∫ X h d μ | h : X → [ 0 , ∞ ] is measurable and 0 ≤ h ≤ g } . {\displaystyle {\underline {\int _{X}}}g\,d\mu :=\sup \left\{\left.\int _{X}h\,d\mu \;\right|\;h\colon X\to [0,\infty ]{\text{ is measurable and }}0\leq h\leq g\right\}.} p ∘ f {\displaystyle p\circ f} v ∈ V {\displaystyle v\in V} φ ∈ V ∗ {\displaystyle \varphi \in V^{*}} φ ( v ) = p ( v ) {\displaystyle \varphi (v)=p(v)} w ∈ V {\displaystyle w\in V} | φ ( w ) | ≤ p ( w ) {\displaystyle |\varphi (w)|\leq p(w)} v := ∫ X f d μ {\displaystyle v:=\int _{X}f\,d\mu }
平均値定理 重要な特性は、有限測度に関するペティス積分が、 積分領域の測度によってスケールされた値の 凸包の閉包に含まれることである。 μ ( A ) < ∞ implies ∫ A f d μ ∈ μ ( A ) ⋅ co ( f ( A ) ) ¯ {\displaystyle \mu (A)<\infty {\text{ implies }}\int _{A}f\,d\mu \in \mu (A)\cdot {\overline {\operatorname {co} (f(A))}}}
これはハーン・バナッハの定理 の結果であり 、 実数値関数の積分に対する平均値定理 を一般化したものです。 の場合 、閉凸集合は単なる区間であり、 の場合 、次の不等式が成り立ちます。 V = R {\displaystyle V=\mathbb {R} } f : X → [ a , b ] {\displaystyle f\colon X\to [a,b]} μ ( A ) a ≤ ∫ A f d μ ≤ μ ( A ) b . {\displaystyle \mu (A)a~\leq ~\int _{A}f\,d\mu ~\leq ~\mu (A)b.}
存在 が有限次元である 場合 、 の座標 のそれぞれがルベーグ積分可能であるときに限り、 はペティス積分可能です。 V = R n {\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}} f {\displaystyle f} f {\displaystyle f}
がペティス積分可能で が の測定可能な部分集合である 場合 、定義により と もペティス積分可能であり、 f {\displaystyle f} A ∈ Σ {\displaystyle A\in \Sigma } X {\displaystyle X} f | A : A → V {\displaystyle f_{|A}\colon A\to V} f ⋅ 1 A : X → V {\displaystyle f\cdot 1_{A}\colon X\to V} ∫ A f | A d μ = ∫ X f ⋅ 1 A d μ . {\displaystyle \int _{A}f_{|A}\,d\mu =\int _{X}f\cdot 1_{A}\,d\mu .}
が位相空間である 場合、 その ボレル 代数 （ 有限値をコンパクト部分集合に割り当てる ボレル 測度 ）は 準完全 （つまり、すべての 有界 コーシーネットは 収束する）であり、 がコンパクト台と連続である場合、 は ペティス積分可能である。より一般的には、が弱測定可能であり、 となるコンパクト凸集合 と零集合 が存在する場合 、 は ペティス積分可能である。 X {\displaystyle X} Σ = B X {\displaystyle \Sigma ={\mathfrak {B}}_{X}} σ {\displaystyle \sigma } μ {\displaystyle \mu } V {\displaystyle V} f {\displaystyle f} f {\displaystyle f} f {\displaystyle f} C ⊆ V {\displaystyle C\subseteq V} N ⊆ X {\displaystyle N\subseteq X} f ( X ∖ N ) ⊆ C {\displaystyle f(X\setminus N)\subseteq C} f {\displaystyle f}
ペティス積分可能確率変数に対する大数の法則 を確率空間と し、 を点を分離する双対空間を持つ位相ベクトル空間とする。 をペティス積分可能な確率変数の列とし、 （ 上） のペティス積分についてと書く。 は における（非ランダム）ベクトルであり 、 はスカラー値ではないこと に注意する。 ( Ω , F , P ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )} V {\displaystyle V} v n : Ω → V {\displaystyle v_{n}:\Omega \to V} E [ v n ] {\displaystyle \operatorname {E} [v_{n}]} v n {\displaystyle v_{n}} X {\displaystyle X} E [ v n ] {\displaystyle \operatorname {E} [v_{n}]} V , {\displaystyle V,}
標本平均を とし
ます。線形性により、 ペティス積分可能であり、 v ¯ N := 1 N ∑ n = 1 N v n {\displaystyle {\bar {v}}_{N}:={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}v_{n}} v ¯ N {\displaystyle {\bar {v}}_{N}} E [ v ¯ N ] = 1 N ∑ n = 1 N E [ v n ] ∈ V . {\displaystyle \operatorname {E} [{\bar {v}}_{N}]={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\operatorname {E} [v_{n}]\in V.}
部分和が
位相的に絶対収束すると仮定する。 つまり、和の並び替えはすべて単一のベクトルに収束する。 大数の弱法則は、 任意の関数に対して、したがって 、 上の 弱位相 において、 1 N ∑ n = 1 N E [ v ¯ n ] {\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\operatorname {E} [{\bar {v}}_{n}]} V , {\displaystyle V,} λ ∈ V . {\displaystyle \lambda \in V.} ⟨ φ , E [ v ¯ N ] − λ ⟩ → 0 {\displaystyle \langle \varphi ,\operatorname {E} [{\bar {v}}_{N}]-\lambda \rangle \to 0} φ ∈ V ∗ . {\displaystyle \varphi \in V^{*}.} E [ v ¯ N ] → λ {\displaystyle \operatorname {E} [{\bar {v}}_{N}]\to \lambda } X . {\displaystyle X.}
さらなる仮定がなければ、 は[ 引用が必要 ] に収束しない 可能性があります。 強い収束を得るには、さらなる仮定が必要です。 [ 引用が必要 ] E [ v ¯ N ] {\displaystyle \operatorname {E} [{\bar {v}}_{N}]} λ . {\displaystyle \lambda .}
参照
参考文献
ジェームズ・K・ブルックス「 バナッハ空間における弱積分と強積分の表現」 『 米国科学アカデミー紀要』 63, 1969, 266–270. 全文 MR 0274697 Israel M. Gel'fand 、 Sur un lemme de la théorie des espaces linéaires 、Commun。研究所科学。数学。エト・メカン大学Kharkoff et Soc.数学。ハリコフ、IV。サー。 13、1936、35–40 Zbl 0014.16202 ミシェル・タラグラン 『 ペティス積分と測度論』 AMS紀要第307号（1984年） MR 0756174 ソボレフ、VI（2001）[1994]、「ペティス積分」、 数学百科事典 、 EMSプレス
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![{\displaystyle \langle \varphi ,x\rangle =\varphi [x].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92584443166736d482e32139463a5eddea49c1d2)
![{\displaystyle \int _{A}f\,\mathrm {d} \mu ,\qquad \int _{A}f(x)\,\mathrm {d} \mu (x),\quad {\text{そして、}}~A=X~{\text{が理解される場合、}}\quad \mu [f]。}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df9eec809a28e7d6c6e2e4a307ee58fbbbb1fbdc)
![{\displaystyle [0,\infty ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52088d5605716e18068a460dec118214954a68e9)
![{\displaystyle {\underline {\int _{X}}}g\,d\mu :=\sup \left\{\left.\int _{X}h\,d\mu \;\right|\;h\colon X\to [0,\infty ]{\text{ は測定可能であり、}}0\leq h\leq g\right\} である。}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7131bfd237f02e8e06f56c05225a15da5c3bafa)
![{\displaystyle f\colon X\to [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b77d6d43168af8c6664334539c54facc05f077e6)
![{\displaystyle \operatorname {E} [v_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a05e6167389c46c59808b6c999058fe86796fabe)
![{\displaystyle \operatorname {E} [{\bar {v}}_{N}]={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\operatorname {E} [v_{n}]\in V.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecf9cb2d6a7643bc95c6999887f0f5816c9737db)
![{\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\operatorname {E} [{\bar {v}}_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48a2ef26625246c8cc99949aa469f9fdee2e085c)
![{\displaystyle \langle \varphi ,\operatorname {E} [{\bar {v}}_{N}]-\lambda \rangle \to 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56671ce061d998074a6fca038c2c78fce886b854)
![{\displaystyle \operatorname {E} [{\bar {v}}_{N}]\to \lambda }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3ed2a98fe8adf477397c8140daf38006bd7c336)
![{\displaystyle \operatorname {E} [{\bar {v}}_{N}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b42c60cd4f73ca1b7130db48e4ebe3630624a085)
