適切問題

Term regarding the properties that mathematical models of physical phenomena should have

数学において、適切とされる問題とは、次のような性質が成り立つ問題である。^[a]

1. この問題には解決策がある
2. 解決策はユニークです
3. 解の挙動は初期条件に応じて連続的に変化します。

典型的な適切設定問題の例としては、ラプラス方程式のディリクレ問題や、初期条件が指定された熱方程式などが挙げられます。これらの問題は、物理過程をモデル化できるという点で「自然な」問題と言えるかもしれません。

上記の意味で適切ではない問題は、不適切問題と呼ばれます。簡単な例としては、大域最適化問題が挙げられます。これは、目的関数自体がそれらのパラメータの滑らかな関数であっても、最適解の位置が一般に目的関数を規定するパラメータの連続関数ではないためです。逆問題もしばしば不適切です。例えば、最終データから過去の温度分布を推定する逆熱方程式は、解が最終データの変化に非常に敏感であるため、適切ではありません。

連続体モデルは、数値解を得るためにしばしば離散化する必要があります。解は初期条件に関して連続的である場合もありますが、有限精度で解いたり、データに誤差があったりすると、数値的に不安定になる可能性があります。

コンディショニング

問題が適切に設定されていても、条件が悪くなる可能性があります。つまり、初期データの小さな誤差が、解に大きな誤差をもたらす可能性があります。非線形複雑系（いわゆるカオス系）の問題は、不安定性のよく知られた例です。条件が悪くなる問題は、条件数が大きいことで示されます。

問題が適切であれば、安定したアルゴリズムを用いてコンピュータ上で解ける可能性が高い。適切でない場合は、数値処理のために再定式化する必要がある。通常、これには解の滑らかさなどの追加の仮定が含まれる。このプロセスは正則化と呼ばれる。^[1] ティホノフ正則化は、線形不適切問題の正則化に最も一般的に用いられる方法の一つである。

局所解の存在

局所解の存在は、適切性問題の重要な部分であることが多く、以下のエネルギー法など、多くの推定方法の基礎となります。

このテーマについては多くの結果が得られています。例えば、コーシー初期値問題に対するコーシー・コワレフスキー定理は、偏微分方程式の項がすべて解析関数で構成され、特定の横断条件（初期データが提示される超平面、より一般的には超曲面が偏微分作用素に関して非特性でなければならない）が満たされる場合、特定の領域には、解析関数でもある解が必然的に存在することを本質的に述べています。これは、解析偏微分方程式の研究における基本的な結果です。驚くべきことに、この定理は滑らかな関数の設定では成り立ちません。 1957年にハンス・レヴィが発見した例は、係数が滑らか（つまり、すべての次数の導関数を持つ）であるが、解が存在しない解析的ではない線型偏微分方程式です。したがって、コーシー・コワレフスキー定理の適用範囲は必然的に解析関数に限定されます。

エネルギー法

エネルギー法は、初期条件に関して一意性と連続性の両方を確立するのに役立ちます（つまり、存在を証明するものではありません）。この方法は、与えられた問題に対するエネルギー的汎関数の上限を導出することに基づいています。

例: 同次ディリクレ境界条件と適切な初期データ(例えば、 )を持つ単位区間上の拡散方程式を考えます。 ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(0)=f(1)=0}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}u_{t}&=Du_{xx},&&0<x<1,\,t>0,\,D>0,\\u(x,0)&=f(x),\\u(0,t)&=0,\\u(1,t)&=0,\\\end{aligned}}}$$

この式を単位区間にわたって空間積分すると、 ${\displaystyle u_{t}=Du_{xx}}$ ${\displaystyle u}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&&\int _{0}^{1}uu_{t}dx&=D\int _{0}^{1}uu_{xx}dx\\\Longrightarrow &&\int _{0}^{1}{\frac {1}{2}}\partial _{t}u^{2}dx&=Duu_{x}{\Big |}_{0}^{1}-D\int _{0}^{1}(u_{x})^{2}dx\\\Longrightarrow &&{\frac {1}{2}}\partial _{t}\|u\|_{2}^{2}&=0-D\int _{0}^{1}(u_{x})^{2}dx\leq 0\end{aligned}}}$$

これは、（pノルム）が時間とともに増加できないことを示しています。2倍にして、からまで時間積分する と、 ${\displaystyle \|u\|_{2}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle t}$

$${\displaystyle \|u(\cdot ,t)\|_{2}^{2}\leq \|f(\cdot )\|_{2}^{2}}$$

この結果は、この問題のエネルギー推定値です。

解の一意性を示すために、問題に2つの異なる解が存在すると仮定し、それぞれを とと呼び、それぞれ同じ初期データを満たすものとする。 を定義すると、方程式の線形性から、 が を満たすこと がわかる。 ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle w=u-v}$ ${\displaystyle w}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}w_{t}&=Dw_{xx},&&0<x<1,\,t>0,\,D>0,\\w(x,0)&=0,\\w(0,t)&=0,\\w(1,t)&=0,\\\end{aligned}}}$$

エネルギー推定を適用すると、(ほぼどこでも)を意味することがわかります。 ${\displaystyle \|w(\cdot ,t)\|_{2}^{2}\leq 0}$ ${\displaystyle u=v}$

同様に、初期条件に関して連続性を示すには、と が異なる初期データに対応する解であると仮定します。もう一度考えてみると、 は上記と同じ式を満たしますが、 の場合に成り立ちます。これにより、連続性を確立するエネルギー推定値が得られます（つまり、と が、それらの差のノルムで測ったように近づくにつれて、）。 ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u(x,0)=f(x)}$ ${\displaystyle v(x,0)=g(x)}$ ${\displaystyle w=u-v}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle w(x,0)=f(x)-g(x)}$ ${\displaystyle \|w(\cdot ,t)\|_{2}^{2}\leq D\|f(\cdot )-g(\cdot )\|_{2}^{2}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \|w(\cdot ,t)\|_{2}\to 0}$

最大値原理は、この例において、初期条件に関する解の一意性と連続性を証明するための代替アプローチです。この問題の解の存在は、フーリエ級数を用いて証明できます。

半群論

コーシー問題 の解を と表記することが可能であれば、ここでAはXの稠密線形部分空間D(A)をXに写す線形作用素であり（不連続線形写像を参照）、はX上の線形作用素の族であり、 ${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=Au,u(0)=u_{0}{\text{ (1)}}}$ ${\displaystyle u(t)=S(t)u_{0}}$ ${\displaystyle \{S(t);t\geq 0\}}$

• ${\displaystyle S(0)=I}$
• ${\displaystyle S(a+b)=S(a)S(b)=S(b)S(a)}$いかなる ${\displaystyle a,b\geq 0}$
• ${\displaystyle t\mapsto S(t)w}$は、すべての ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}S(t)w=AS(t)w}$すべての ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle X}$

すると（1）は適切である。

Hille-Yosida の定理は、A上にそのような a が存在する ための基準を述べています。 ${\displaystyle \{S(t);t\geq 0\}}$

参照

• 全吸収分光法–期待値最大化アルゴリズムによって解決される現実の状況における逆問題または不適切問題の例

注記

1. この適切問題の定義は、ジャック・アダマールの物理現象の数学的モデリングに関する研究に由来します。

参考文献

1. Huang, Yunfei.; et al. (2019). 「細胞比較のための最適化された正規化と自動ベイズパラメータ選択を備えた牽引力顕微鏡法」. Scientific Reports . 9 (1): 537. arXiv : 1810.05848 . Bibcode :2019NatSR...9..539H. doi : 10.1038/s41598-018-36896-x . PMC  6345967. PMID  30679578 .

• アダマール、ジャック (1902)。身体的な問題と重要な問題。プリンストン大学紀要。49～ 52ページ 。
• パーカー、シビル・B.編（1989）[1974].マグロウヒル科学技術用語辞典（第4版）. ニューヨーク：マグロウヒル. ISBN 0-07-045270-9。
• ティホノフ, AN; アルセニン, VY (1977).不適切問題の解法. ニューヨーク: ウィンストン. ISBN 0-470-99124-0。
• ストラウス、ウォルター・A. (2008).偏微分方程式入門（第2版）. ホーボーケン: ワイリー. ISBN 978-0470-05456-7。
• エヴァンス、ローレンス・C. (1998). 偏微分方程式(PDF) . プロビデンス (RI): アメリカ数学協会. ISBN 0-8218-0772-2。

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