ルンゲ・クッタ法の一覧

ルンゲ・クッタ法は常微分方程式の数値解を求める方法である。

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=f(t,y).}$

明示的ルンゲ・クッタ法は次のような形式をとる。

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{n+1}&=y_{n}+h\sum _{i=1}^{s}b_{i}k_{i}\\k_{1}&=f(t_{n},y_{n}),\\k_{2}&=f(t_{n}+c_{2}h,y_{n}+h(a_{21}k_{1})),\\k_{3}&=f(t_{n}+c_{3}h,y_{n}+h(a_{31}k_{1}+a_{32}k_{2})),\\&\;\;\vdots \\k_{i}&=f\left(t_{n}+c_{i}h,y_{n}+h\sum _{j=1}^{i-1}a_{ij}k_{j}\right).\end{aligned}}}$

段階の暗黙法の段階はより一般的な形式をとり、解はすべての段階にわたって見つかる。

${\displaystyle k_{i}=f\left(t_{n}+c_{i}h,y_{n}+h\sum _{j=1}^{s}a_{ij}k_{j}\right).}$

このページに記載されている各メソッドは、 Butcher テーブルによって定義されており、メソッドの係数が次のように表にまとめられています。

${\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}c_{1}&a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1s}\\c_{2}&a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2s}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{s}&a_{s1}&a_{s2}&\dots &a_{ss}\\\hline &b_{1}&b_{2}&\dots &b_{s}\\\end{array}}}$

適応型法と暗黙的法の場合、ブッチャー表は の値を与えるように拡張され、推定誤差は次のようになる。 ${\displaystyle b_{i}^{*}}$

${\displaystyle e_{n+1}=h\sum _{i=1}^{s}(b_{i}-b_{i}^{*})k_{i}}$。

明示的な方法

明示的解法は、行列が下三角行列である場合の解法です。 ${\displaystyle [a_{ij}]}$

一次手法

フォワードオイラー

オイラー法は一次方程式を解く方法です。安定性と精度に欠けるため、数値解法の簡単な入門例として使用される程度にしか普及していません。

${\displaystyle {\begin{array}{c|c}0&0\\\hline &1\\\end{array}}}$

二次的方法

一般的な2次法

二次メソッドは一般的に次のように記述できる。^[1]

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}0&0&0\\\alpha &\alpha &0\\\hline &1-{\frac {1}{2\alpha }}&{\frac {1}{2\alpha }}\\\end{array}}}$

ただし、α ≠0です。

明示的中点法

(明示的)中点法は、2 つの段階を持つ 2 次法です (以下の暗黙的中点法も参照)。

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&0&0\\1/2&1/2&0\\\hline &0&1\\\end{array}}}$

ヒューン法

ホイン法は、2段階からなる2階微分方程式法です。陽的台形法、改良オイラー法、修正オイラー法とも呼ばれます。

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&0&0\\1&1&0\\\hline &1/2&1/2\\\end{array}}}$

ラルストン法

ラルストン法は、2段階の2次法^[2]で、局所誤差の最小限界を持つ。

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&0&0\\2/3&2/3&0\\\hline &1/4&3/4\\\end{array}}}$

第三次手法

一般的な3次法

三次法は一般的に次のように記述できる。^[1]

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}0&0&0&0\\\alpha &\alpha &0&0\\\beta &{\frac {\beta }{\alpha }}{\frac {\beta -3\alpha (1-\alpha )}{(3\alpha -2)}}&-{\frac {\beta }{\alpha }}{\frac {\beta -\alpha }{(3\alpha -2)}}&0\\\hline &1-{\frac {3\alpha +3\beta -2}{6\alpha \beta }}&{\frac {3\beta -2}{6\alpha (\beta -\alpha )}}&{\frac {2-3\alpha }{6\beta (\beta -\alpha )}}\\\end{array}}}$

α ≠ 0、α ≠ 2 ⁄ 3、β ≠ 0、およびα ≠ βです。

クッタの3次法

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}0&0&0&0\\1/2&1/2&0&0\\1&-1&2&0\\\hline &1/6&2/3&1/6\\\end{array}}}$

ヒューンの第三次法

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}0&0&0&0\\1/3&1/3&0&0\\2/3&0&2/3&0\\\hline &1/4&0&3/4\\\end{array}}}$

ラルストンの三次法

ラルストンの3次法^[2]は局所誤差の境界が最小であり、埋め込みボガッキ-シャンパイン法で使用されます。

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}0&0&0&0\\1/2&1/2&0&0\\3/4&0&3/4&0\\\hline &2/9&1/3&4/9\\\end{array}}}$

Van der Houwen と Wray の 3 次法

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}0&0&0&0\\8/15&8/15&0&0\\2/3&1/4&5/12&0\\\hline &1/4&0&3/4\\\end{array}}}$

3次強安定性保存ルンゲ・クッタ法 (SSPRK3)

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}0&0&0&0\\1&1&0&0\\1/2&1/4&1/4&0\\\hline &1/6&1/6&2/3\\\end{array}}}$

第四次手法

古典的な4次法

「オリジナル」ルンゲ・クッタ法。^[3]

${\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}0&0&0&0&0\\1/2&1/2&0&0&0\\1/2&0&1/2&0&0\\1&0&0&1&0\\\hline &1/6&1/3&1/3&1/6\\\end{array}}}$

3/8ルール4次法

この方法は「古典的な」方法ほど有名ではありませんが、同じ論文（Kutta, 1901）で提案されているため、同様に古典的な方法です。^[3]

${\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}0&0&0&0&0\\1/3&1/3&0&0&0\\2/3&-1/3&1&0&0\\1&1&-1&1&0\\\hline &1/8&3/8&3/8&1/8\\\end{array}}}$

ラルストンの第四次法

この4次法^[2]は切り捨て誤差が最小となる。

${\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}0&0&0&0&0\\{\frac {2}{5}}&{\frac {2}{5}}&0&0&0\\{\frac {14-3{\sqrt {5}}}{16}}&{\frac {-2\,889+1\,428{\sqrt {5}}}{1\,024}}&{\frac {3\,785-1\,620{\sqrt {5}}}{1\,024}}&0&0\\1&{\frac {-3\,365+2\,094{\sqrt {5}}}{6\,040}}&{\frac {-975-3\,046{\sqrt {5}}}{2\,552}}&{\frac {467\,040+203\,968{\sqrt {5}}}{240\,845}}&0\\\hline &{\frac {263+24{\sqrt {5}}}{1\,812}}&{\frac {125-1000{\sqrt {5}}}{3\,828}}&{\frac {3\,426\,304+1\,661\,952{\sqrt {5}}}{5\,924\,787}}&{\frac {30-4{\sqrt {5}}}{123}}\\\end{array}}}$

第五次法

ニストロムの第5次法

この第五次の方法は、もともとクッタの研究で提案されたものを修正したものである。^[4]

${\displaystyle {\begin{array}{c|cccccc}0&0&0&0&0&0&0\\{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{3}}&0&0&0&0&0\\{\frac {2}{5}}&{\frac {4}{25}}&{\frac {6}{25}}&0&0&0&0\\1&{\frac {1}{4}}&-3&{\frac {15}{4}}&0&0&0\\{\frac {2}{3}}&{\frac {2}{27}}&{\frac {10}{9}}&-{\frac {50}{81}}&{\frac {8}{81}}&0&0\\{\frac {4}{5}}&{\frac {2}{25}}&{\frac {12}{25}}&{\frac {2}{15}}&{\frac {8}{75}}&0&0\\\hline &{\frac {23}{192}}&0&{\frac {125}{192}}&0&-{\frac {27}{64}}&{\frac {125}{192}}\\\end{array}}}$

埋め込みメソッド

埋め込み法は、単一のルンゲ・クッタステップにおける局所的な打ち切り誤差の推定値を生成するように設計されており、その結果、適応的なステップサイズによって誤差を制御することが可能になります。これは、テーブルにp次とp-1次の2つの手法を配置することで実現されます。

低次のステップは次のように与えられる。

${\displaystyle y_{n+1}^{*}=y_{n}+h\sum _{i=1}^{s}b_{i}^{*}k_{i},}$

ここで、は高階法の場合と同じです。すると、誤差は ${\displaystyle k_{i}}$

${\displaystyle e_{n+1}=y_{n+1}-y_{n+1}^{*}=h\sum _{i=1}^{s}(b_{i}-b_{i}^{*})k_{i},}$

これは である。この種の方法のブッチャー・タブローは、以下の値を与えるように拡張されている。 ${\displaystyle O(h^{p})}$ ${\displaystyle b_{i}^{*}}$

${\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}c_{1}&a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1s}\\c_{2}&a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2s}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{s}&a_{s1}&a_{s2}&\dots &a_{ss}\\\hline &b_{1}&b_{2}&\dots &b_{s}\\&b_{1}^{*}&b_{2}^{*}&\dots &b_{s}^{*}\\\end{array}}}$

ホイン・オイラー

最も単純な適応型ルンゲ・クッタ法は、次数 2 のホイン法と次数 1 のオイラー法を組み合わせたものである。その拡張ブッチャー・タブローは次のようになる。

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&\\1&1\\\hline &1/2&1/2\\&1&0\end{array}}}$

誤差推定はステップサイズを制御するために使用されます。

フェールベルクRK1(2)

フェールバーグ法^[5]には1次と2次の2つの方法がある。その拡張ブッチャータブローは次のようになる。

	0
	1/2	1/2
	1	1/256	255/256
		1/512	255/256	1/512
		1/256	255/256	0

b係数の最初の行は2 次精度の解を与え、2 番目の行は 1 次精度を持ちます。

ボガツキ・シャンパイン

Bogacki –Shampine法には、 2次と3次の2つの方法があります。その拡張されたButcher Tableauは次のとおりです。

	0
	1/2	1/2
	3/4	0	3/4
	1	2月9日	1/3	4月9日
		2月9日	1/3	4月9日	0
		7月24日	1/4	1/3	1/8

b係数の最初の行は3 次の正確な解を与え、2 番目の行は 2 次の解を持ちます。

フェルベルク

ルンゲ・クッタ・フェールベルク法には5次と4次の2つの方法があり、RKF45と呼ばれることもあります。その拡張ブッチャー・タブローは、以下のとおりです。

${\displaystyle {\begin{array}{r|ccccc}0&&&&&\\1/4&1/4&&&\\3/8&3/32&9/32&&\\12/13&1932/2197&-7200/2197&7296/2197&\\1&439/216&-8&3680/513&-845/4104&\\1/2&-8/27&2&-3544/2565&1859/4104&-11/40\\\hline &16/135&0&6656/12825&28561/56430&-9/50&2/55\\&25/216&0&1408/2565&2197/4104&-1/5&0\end{array}}}$

b係数の最初の行は5次の精度解を与え、2行目は4次の精度解を与えます。これらの係数により、適応的なステップサイズが自動的に決定されます。

キャッシュ・カープ

キャッシュとカープはフェールバーグの当初の考えを修正した。キャッシュ・カープ法の拡張された表は以下の通りである。

	0
	1/5	1/5
	3/10	3/40	9/40
	3/5	3/10	−9/10	6/5
	1	−11/54	5/2	−70/27	35/27
	7/8	1631/55296	175/512	575/13824	44275/110592	253/4096
		37/378	0	250/621	125/594	0	512/1771
		2825/27648	0	18575/48384	13525/55296	277/14336	1/4

b係数の最初の行は5 次の正確な解を与え、2 番目の行は 4 次の解を持ちます。

ドルマンド・プリンス

ドルマン・プリンス法の拡張表は

	0
	1/5	1/5
	3/10	3/40	9/40
	4/5	44/45	−56/15	32/9
	8/9	19372/6561	−25360/2187	64448/6561	−212/729
	1	9017/3168	−355/33	46732/5247	49/176	−5103/18656
	1	35/384	0	500/1113	125/192	−2187/6784	1984年11月
		35/384	0	500/1113	125/192	−2187/6784	1984年11月	0
		5179/57600	0	7571/16695	393/640	−92097/339200	187/2100	1/40

b係数の最初の行は5 次の正確な解を与え、2 番目の行は 4 次の正確な解を与えます。

暗黙的なメソッド

後退オイラー

後退オイラー法は一次関数です。線形拡散問題に対しては無条件安定かつ非振動です。

${\displaystyle {\begin{array}{c|c}1&1\\\hline &1\\\end{array}}}$

暗黙の中間点

暗黙的中点法は2次の法である。ガウス・ルジャンドル法として知られる選点法の中で最も単純な法であり、シンプレクティック積分法である。

${\displaystyle {\begin{array}{c|c}1/2&1/2\\\hline &1\end{array}}}$

クランク・ニコルソン法

クランク・ニコルソン法は暗黙の台形則に対応し、2 次精度で A 安定な方法です。

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&0&0\\1&1/2&1/2\\\hline &1/2&1/2\\\end{array}}}$

ガウス・ルジャンドル法

これらの方法はガウス・ルジャンドル積分法の点に基づいています。4次のガウス・ルジャンドル法にはブッチャー・タブローがあります。

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{6}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}-{\frac {\sqrt {3}}{6}}\\{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{6}}&{\frac {1}{4}}+{\frac {\sqrt {3}}{6}}&{\frac {1}{4}}\\\hline &{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\&{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\\end{array}}}$

6次のガウス・ルジャンドル法にはブッチャー・タブローがある。

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {15}}{10}}&{\frac {5}{36}}&{\frac {2}{9}}-{\frac {\sqrt {15}}{15}}&{\frac {5}{36}}-{\frac {\sqrt {15}}{30}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {5}{36}}+{\frac {\sqrt {15}}{24}}&{\frac {2}{9}}&{\frac {5}{36}}-{\frac {\sqrt {15}}{24}}\\{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {15}}{10}}&{\frac {5}{36}}+{\frac {\sqrt {15}}{30}}&{\frac {2}{9}}+{\frac {\sqrt {15}}{15}}&{\frac {5}{36}}\\\hline &{\frac {5}{18}}&{\frac {4}{9}}&{\frac {5}{18}}\\&-{\frac {5}{6}}&{\frac {8}{3}}&-{\frac {5}{6}}\end{array}}}$

対角陰的ルンゲ・クッタ法

対角陰的ルンゲ・クッタ（DIRK）公式は、硬い初期値問題の数値解法に広く使われてきました。 ^[6]このアプローチの利点は、解が同時ではなく順次に見つかる可能性があることです。

このクラスの最も単純なメソッドは、次数 2 の暗黙的中点メソッドです。

Kraaijvanger と Spijker の 2 段階の対角暗黙的ルンゲ クッタ法:

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}1/2&1/2&0\\3/2&-1/2&2\\\hline &-1/2&3/2\\\end{array}}}$

QinとZhangの2段階、2次、シンプレクティック対角陰的ルンゲ・クッタ法：

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}1/4&1/4&0\\3/4&1/2&1/4\\\hline &1/2&1/2\\\end{array}}}$

PareschiとRussoの2段階2次対角陰的ルンゲ・クッタ法：

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}x&x&0\\1-x&1-2x&x\\\hline &{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\\end{array}}}$

この対角陰的ルンゲ・クッタ法は のときのみA安定です。さらに、 が多項式 の根の1つに等しい場合、すなわち のときのみL安定です。QinとZhangの対角陰的ルンゲ・クッタ法は、 のときのPareschiとRussoの対角陰的ルンゲ・クッタ法に対応します。 ${\textstyle x\geq {\frac {1}{4}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\textstyle x^{2}-2x+{\frac {1}{2}}}$ ${\textstyle x=1\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$ ${\displaystyle x=1/4}$

2段階2次対角陰的ルンゲ・クッタ法：

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}x&x&0\\1&1-x&x\\\hline &1-x&x\\\end{array}}}$

繰り返しますが、この対角陰的ルンゲ・クッタ法は のときのみA安定です。前の方法と同様に、この方法は が多項式 の根の1つに等しい場合、つまり のときのみL安定です。この条件は2次精度を得るためにも必要です。 ${\textstyle x\geq {\frac {1}{4}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\textstyle x^{2}-2x+{\frac {1}{2}}}$ ${\textstyle x=1\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$

Crouzeixの2段階、3次対角陰的ルンゲ・クッタ法：

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{6}}&{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{6}}&0\\{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{6}}&-{\frac {\sqrt {3}}{3}}&{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{6}}\\\hline &{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\\end{array}}}$

Crouzeixの3段階、4次の対角陰的ルンゲ・クッタ法：

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}{\frac {1+\alpha }{2}}&{\frac {1+\alpha }{2}}&0&0\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {\alpha }{2}}&{\frac {1+\alpha }{2}}&0\\{\frac {1-\alpha }{2}}&1+\alpha &-(1+2\,\alpha )&{\frac {1+\alpha }{2}}\\\hline &{\frac {1}{6\alpha ^{2}}}&1-{\frac {1}{3\alpha ^{2}}}&{\frac {1}{6\alpha ^{2}}}\\\end{array}}}$

と。 ${\textstyle \alpha ={\frac {2}{\sqrt {3}}}\cos {\frac {\pi }{18}}}$

3段階、3次、L安定対角陰的ルンゲ・クッタ法：

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}x&x&0&0\\{\frac {1+x}{2}}&{\frac {1-x}{2}}&x&0\\1&-3x^{2}/2+4x-1/4&3x^{2}/2-5x+5/4&x\\\hline &-3x^{2}/2+4x-1/4&3x^{2}/2-5x+5/4&x\\\end{array}}}$

と ${\displaystyle x=0.4358665215}$

Nørsett の 3 段階、4 次対角陰的ルンゲ・クッタ法には、次のブッチャー テーブルがあります。

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}x&x&0&0\\1/2&1/2-x&x&0\\1-x&2x&1-4x&x\\\hline &{\frac {1}{6(1-2x)^{2}}}&{\frac {3(1-2x)^{2}-1}{3(1-2x)^{2}}}&{\frac {1}{6(1-2x)^{2}}}\\\end{array}}}$

3次方程式 の3つの根のうちの1つを持つ。この3次方程式の3つの根は、おおよそ、 、 である。この根は初期値問題において最良の安定性を与える。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{3}-3x^{2}/2+x/2-1/24=0}$ ${\textstyle x_{1}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}\cos {\frac {\pi }{18}}=1.068579021301629}$ ${\textstyle x_{2}=0.1288864005157204}$ ${\textstyle x_{3}=0.3025345781826508}$ ${\displaystyle x_{1}}$

4段階、3次、L安定、対角陰的ルンゲ・クッタ法

${\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}1/2&1/2&0&0&0\\2/3&1/6&1/2&0&0\\1/2&-1/2&1/2&1/2&0\\1&3/2&-3/2&1/2&1/2\\\hline &3/2&-3/2&1/2&1/2\\\end{array}}}$

ロバット法

ロバット法には主に3つのファミリーがあり、^[7] IIIA、IIIB、IIICと呼ばれています（古典的な数学文献では、記号IとIIは2種類のラダウ法のために予約されています）。これらは、ロバット求積法に言及してルエル・ロバット^[7]にちなんで名付けられましたが、バイロン・L・エールが彼の学位論文で導入しました。^[8] すべて暗黙的な方法であり、次数は2 s  − 2で、すべてc ₁  = 0およびc _s  = 1です。明示的な方法とは異なり、これらの方法では、ステージ数よりも大きな次数を持つことができます。ロバットは、古典的な4次法がルンゲとクッタによって普及する前に生きました。

ロバットIIIA法

ロバットIIIA法は選点法の一種である。2次法は台形法として知られている。

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&0&0\\1&1/2&1/2\\\hline &1/2&1/2\\&1&0\\\end{array}}}$

4次法は次のように表される。

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}0&0&0&0\\1/2&5/24&1/3&-1/24\\1&1/6&2/3&1/6\\\hline &1/6&2/3&1/6\\&-{\frac {1}{2}}&2&-{\frac {1}{2}}\\\end{array}}}$

これらの方法はA安定だが、L安定でもB安定でもない。^[7]

ロバットIIIB法

ロバットIIIB法はコロケーション法ではありませんが、不連続コロケーション法として見ることができます（Hairer, Lubich & Wanner 2006, §II.1.4）。この2次法は次のように表されます。

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&1/2&0\\1&1/2&0\\\hline &1/2&1/2\\&1&0\\\end{array}}}$

4次法は次のように表される。

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}0&1/6&-1/6&0\\1/2&1/6&1/3&0\\1&1/6&5/6&0\\\hline &1/6&2/3&1/6\\&-{\frac {1}{2}}&2&-{\frac {1}{2}}\\\end{array}}}$

ロバットIIIB法はA安定だが、L安定でもB安定でもない。^[7]

ロバットIIIC法

ロバットIIIC法も不連続選点法である。2次の方法は次のように与えられる。

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&1/2&-1/2\\1&1/2&1/2\\\hline &1/2&1/2\\&1&0\\\end{array}}}$

4次法は次のように表される。

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}0&1/6&-1/3&1/6\\1/2&1/6&5/12&-1/12\\1&1/6&2/3&1/6\\\hline &1/6&2/3&1/6\\&-{\frac {1}{2}}&2&-{\frac {1}{2}}\\\end{array}}}$

これらはL安定です。また、代数的に安定であり、したがってB安定であるため、硬い問題に適しています。

ロバットIIIC*法

ロバットIIIC*法は、文献ではロバットIII法（ブッチャー、2008年）、ブッチャーのロバット法（ヘアラー他、1993年）、ロバットIIIC法（サン、2000年）とも呼ばれている。^[7] 2次法は次のように表される 。

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&0&0\\1&1&0\\\hline &1/2&1/2\\\end{array}}}$

ブッチャーの3段階4次法は次のように表される。

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}0&0&0&0\\1/2&1/4&1/4&0\\1&0&1&0\\\hline &1/6&2/3&1/6\\\end{array}}}$

これらの方法はA安定、B安定、L安定ではありません。Lobatto IIIC*法は、明示的台形則と呼ばれることもあります。 ${\displaystyle s=2}$

一般化ロバット法

3つの実パラメータを持つ非常に一般的な手法の族は、ロバット係数を次のように考えることによって 考えることができる。 ${\displaystyle (\alpha _{A},\alpha _{B},\alpha _{C})}$

${\displaystyle a_{i,j}(\alpha _{A},\alpha _{B},\alpha _{C})=\alpha _{A}a_{i,j}^{A}+\alpha _{B}a_{i,j}^{B}+\alpha _{C}a_{i,j}^{C}+\alpha _{C*}a_{i,j}^{C*}}$、

どこ

${\displaystyle \alpha _{C*}=1-\alpha _{A}-\alpha _{B}-\alpha _{C}}$。

例えば、(Nørsett and Wanner, 1981)で紹介されたLobatto IIIDファミリーは、Lobatto IIINWとも呼ばれ、次のように表される。

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&1/2&1/2\\1&-1/2&1/2\\\hline &1/2&1/2\\\end{array}}}$

そして

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}0&1/6&0&-1/6\\1/2&1/12&5/12&0\\1&1/2&1/3&1/6\\\hline &1/6&2/3&1/6\\\end{array}}}$

これらの方法は、、、、に対応します。これらの方法はL安定です。代数的に安定であるため、B安定です。 ${\displaystyle \alpha _{A}=2}$ ${\displaystyle \alpha _{B}=2}$ ${\displaystyle \alpha _{C}=-1}$ ${\displaystyle \alpha _{C*}=-2}$

ラダウ法

Radau法は完全暗黙法です（この法の行列Aは任意の構造を持つことができます）。Radau法はs段で2 s  − 1 の位数を達成します。Radau法はA安定ですが、実装コストが高くなります。また、位数減少の影響を受ける可能性があります。

Radau IA法

一次法は後退オイラー法に似ており、次のように表される。

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&1\\\hline &1\\\end{array}}}$

3次法は次のように表される。

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&1/4&-1/4\\2/3&1/4&5/12\\\hline &1/4&3/4\\\end{array}}}$

5次法は次のように表される。

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}0&{\frac {1}{9}}&{\frac {-1-{\sqrt {6}}}{18}}&{\frac {-1+{\sqrt {6}}}{18}}\\{\frac {3}{5}}-{\frac {\sqrt {6}}{10}}&{\frac {1}{9}}&{\frac {11}{45}}+{\frac {7{\sqrt {6}}}{360}}&{\frac {11}{45}}-{\frac {43{\sqrt {6}}}{360}}\\{\frac {3}{5}}+{\frac {\sqrt {6}}{10}}&{\frac {1}{9}}&{\frac {11}{45}}+{\frac {43{\sqrt {6}}}{360}}&{\frac {11}{45}}-{\frac {7{\sqrt {6}}}{360}}\\\hline &{\frac {1}{9}}&{\frac {4}{9}}+{\frac {\sqrt {6}}{36}}&{\frac {4}{9}}-{\frac {\sqrt {6}}{36}}\\\end{array}}}$

Radau IIA法

この方法のc i_は、

${\displaystyle {\frac {d^{s-1}}{dx^{s-1}}}(x^{s-1}(x-1)^{s})}$。

一次法は後退オイラー法と同等です。

3次法は次のように表される。

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}1/3&5/12&-1/12\\1&3/4&1/4\\\hline &3/4&1/4\\\end{array}}}$

5次法は次のように表される。

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}{\frac {2}{5}}-{\frac {\sqrt {6}}{10}}&{\frac {11}{45}}-{\frac {7{\sqrt {6}}}{360}}&{\frac {37}{225}}-{\frac {169{\sqrt {6}}}{1800}}&-{\frac {2}{225}}+{\frac {\sqrt {6}}{75}}\\{\frac {2}{5}}+{\frac {\sqrt {6}}{10}}&{\frac {37}{225}}+{\frac {169{\sqrt {6}}}{1800}}&{\frac {11}{45}}+{\frac {7{\sqrt {6}}}{360}}&-{\frac {2}{225}}-{\frac {\sqrt {6}}{75}}\\1&{\frac {4}{9}}-{\frac {\sqrt {6}}{36}}&{\frac {4}{9}}+{\frac {\sqrt {6}}{36}}&{\frac {1}{9}}\\\hline &{\frac {4}{9}}-{\frac {\sqrt {6}}{36}}&{\frac {4}{9}}+{\frac {\sqrt {6}}{36}}&{\frac {1}{9}}\\\end{array}}}$

注記

1. ブッチャー、ジョン・C. (2003).常微分方程式の数値解析法ジョン・ワイリー. ISBN 978-0-471-96758-3。
2. ラルストン、アンソニー (1962). 「最小誤差境界を持つルンゲ・クッタ法」. Math. Comput . 16 (80): 431– 437. doi : 10.1090/S0025-5718-1962-0150954-0 .
3. クッタ、マーティン(1901)。 「Beitrag zur näherungsweisen Integration totaler Differentialgleichungen」。数学と物理学の時代。46 : 435–453 .
4. Butcher, JC (1996-03-01). 「ルンゲ＝クッタ法の歴史」 .応用数値数学. 20 (3): 247– 260. doi :10.1016/0168-9274(95)00108-5. ISSN  0168-9274.
5. Fehlberg, E. (1969年7月). ステップサイズ制御による低次古典ルンゲ・クッタ法とその熱伝達問題への応用 (NASA技術報告書 R-315).
6. 議論については、Christopher A. Kennedy、Mark H. Carpenter (2016). 「常微分方程式に対する対角的暗黙的ルンゲ・クッタ法。レビュー」NASA STIプログラム技術覚書を参照。
7. ローラン・O・ジェイ (ND) を参照。 「ロバットメソッド」。アイオワ大学
8. エール（1969）

参考文献

• Ehle, Byron L. (1969). 指数関数のパデ近似と初期値問題の数値解法におけるA安定法について(PDF) (論文).
• ハイラー、エルンスト。ノーセット、シベール・ポール。 Wanner、Gerhard (1993)、常微分方程式の解法 I: Nonstiff 問題、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-56670-0。
• ヘアラー、エルンスト、ワナー、ゲルハルト（1996年）、常微分方程式の解法II：スティフ問題と微分代数問題、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-3-540-60452-5。
• Hairer, Ernst; Lubich, Christian; Wanner, Gerhard (2006), Geometric Numerical Integration: Structure-Preserving Algorithms for Ordinary Differential Equations (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-30663-4。

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