分離可能な代数

数学において、可分代数は半単純代数の一種である。これは、可分体拡大の概念を結合代数に一般化したものである。

定義と最初のプロパティ

（単位環だが必ずしも可換ではない）環の準同型

${\displaystyle K\to A}$

乗算写像 が分離可能である場合、

${\displaystyle {\begin{array}{rccc}\mu :&A\otimes _{K}A&\to &A\\&a\otimes b&\mapsto &ab\end{array}}}$

セクションを認める

${\displaystyle \sigma :A\to A\otimes _{K}A}$

それはA - A -双加群の準同型である。

環が可換であり、の中心に写像される場合、上の分離可能代数と呼ばれます。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K\to A}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K}$

分離可能性は要素の観点から説明することが有用である。

${\displaystyle p:=\sigma (1)=\sum a_{i}\otimes b_{i}\in A\otimes _{K}A}$

その理由は、 σの断面がこの要素によって決定されるからである。σがμの断面で あるという条件は、

${\displaystyle \sum a_{i}b_{i}=1}$

そして、σ がA - A双加群の準同型であるという条件は、Aの任意のaに対する次の要件と同等である。

${\displaystyle \sum aa_{i}\otimes b_{i}=\sum a_{i}\otimes b_{i}a.}$

このような元pは、それが満たす代数の元としてみなされるため、分離可能性冪等と呼ばれます。 ${\displaystyle A\otimes A^{\rm {op}}}$ ${\displaystyle p^{2}=p}$

例

任意の可換環Rに対して、 n行n列行列の（非可換）環は可分R代数となる。任意の に対して、分離性冪等性は で与えられる。ここで は基本行列を表し、これは( i , j )要素の要素を除いて 0 であり、要素は 1 となる。特に、これは分離性冪等性が必ずしも一意である必要はないことを示している。 ${\displaystyle M_{n}(R)}$ ${\displaystyle 1\leq j\leq n}$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{n}e_{ij}\otimes e_{ji}}$ ${\displaystyle e_{ij}}$

体上の可分代数

有限次数の体拡大 L / Kが分離拡大となるのは、L が結合的 K 代数として分離可能な場合かつその場合に限ります。L / Kが既約多項式を持つ原始元を持つ場合、分離可能性冪等性は によって与えられます。テンソランドはトレース マップの双対基底です。つまり、 がLからKの代数閉包への異なるK単射である場合、LからKへのトレース写像 Trは によって定義されます。トレース マップとその双対基底により、 LはK上のフロベニウス代数として明示的に表されます。 ${\displaystyle a}$ ${\textstyle p(x)=(x-a)\sum _{i=0}^{n-1}b_{i}x^{i}}$ ${\textstyle \sum _{i=0}^{n-1}a^{i}\otimes _{K}{\frac {b_{i}}{p'(a)}}}$ ${\textstyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}}$ ${\textstyle Tr(x)=\sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}(x)}$

より一般的には、体 K上の分離可能代数は次のように分類できます。それらは、体Kの有限次元可分体拡大を中心とする有限次元除算代数上の行列代数の有限積と同じです。特に、すべての分離可能代数は、それ自体が有限次元です。Kが完全体、たとえば特性0の体、有限体、または代数的に閉体である場合、 Kのすべての拡大は分離可能であり、そのため分離可能K代数は、体K上の有限次元除算代数上の行列代数の有限積です。言い換えると、Kが完全体である場合、 K上の分離可能代数とK上の有限次元半単純代数との間に違いはありません。マシュケの一般化された定理により、すべての体の拡大に対して代数が半単純である場合、結合K代数Aは分離可能であることが示されます。 ${\textstyle L/K}$ ${\textstyle A\otimes _{K}L}$

グループリング

Kが可換環でGが有限群でGの順序がKにおいて可逆ならば、群代数K [ G ]は可分K代数である。 [ ^1]可分性冪等性はによって与えられる。 ${\textstyle {\frac {1}{o(G)}}\sum _{g\in G}g\otimes g^{-1}}$

分離可能性の同等の特徴

分離可能代数には同値な定義が複数存在する。K代数Aが分離可能であることと、通常の方法での左加群として考えたときに射影的であることは同値である。 ^[2]さらに、代数Aが分離可能であることと、通常の方法で の右加群として考えたときに平坦であることは同値である。 ${\displaystyle A^{e}}$ ${\displaystyle A^{e}}$

分離可能代数は分割拡大によっても特徴付けることができる。すなわち、AがK上で分離可能であることと、A - A双加群のすべての短完全列がA - K双加群としても分離される場合に限ります。実際、この条件が必要なのは、上記の定義で生じる乗法写像がA - A双加群のエピモーフィズムであり、これが によって与えられる右逆写像によってA - K双加群写像として分割されるためです。逆は分離可能性冪等性をうまく利用することで証明できます（マシュケの定理の証明と同様に、その成分を分割写像の内外に適用します）。^[3] ${\textstyle \mu :A\otimes _{K}A\rightarrow A}$ ${\textstyle A\rightarrow A\otimes _{K}A}$ ${\displaystyle a\mapsto a\otimes 1}$

同様に、任意の係数双加群Mにおける( R , S )の相対ホックシルトコホモロジー群は、 n > 0に対して 0 となる。可分拡大の例は数多くあり、R が可分代数でS = 1 倍の基底体となるような第一可分代数も含まれる。ab = 1 を満たすがbaが1 と異なる元aとbを持つ任意の環R は、1 とbRaによって生成される部分環S上の可分拡大である。 ${\displaystyle H^{n}(R,S;M)}$

フロベニウス代数との関係

分離可能代数は、対称な分離可能冪等性が存在する場合、強分離可能と呼ばれます。これは、

${\displaystyle e=\sum _{i=1}^{n}x_{i}\otimes y_{i}=\sum _{i=1}^{n}y_{i}\otimes x_{i}}$

代数は、そのトレース形式が非退化である場合にのみ強分離可能であり、したがって、代数は対称代数と呼ばれる特定の種類のフロベニウス代数になります（テンソル代数の商として生じる対称代数と混同しないでください）。

Kが可換で、Aが有限生成 射影可分K加群ならば、Aは対称フロベニウス代数となる。^[4]

形式的に非分岐な拡大と形式的にエタールな拡大との関係

可換環の任意の可分拡大A / Kは形式的に非分岐である。逆はAが有限生成K代数であるときに成立する。^[5]可分平坦（可換）K代数Aは形式的にエタールである。^[6]

さらなる結果

この分野の定理は、J. Cuadra の定理で、分離可能なホップ・ガロア拡大R | Sには、有限生成の自然なS加群 Rがあるというものです。分離可能な拡大R | Sに関する基本的な事実は、それが左または右半単純拡大であるということです。つまり、 S加群に分割される左または右R加群の短い正確なシーケンスは、 R加群に分割されます。G. Hochschild の相対ホモロジー代数の用語で、すべてのR加群は相対的に( R , S )射影的であると言えます。通常、分離可能拡大の概念などの部分環または環拡大の相対的な性質は、過剰環が部分環の性質を共有するという定理を促進するのに役立ちます。たとえば、半単純代数Sの分離可能拡大Rは半単純Rを持ち、これは前述の議論からわかります。

有名なヤンスの定理によれば、特性pの体上の有限群代数Aは、そのシローp部分群が巡回的である場合に限り、有限表現型となります。最も明確な証明は、 p群についてこの事実に注目し、次に指数が特性と互いに素であるため、群代数はそのシローp部分群代数Bの分離拡張であることに注目することです。上記の分離条件は、すべての有限生成A加群M が、その制限誘導加群の直和項と同型であることを意味します。しかし、Bが有限表現型の場合、制限加群は、有限個の非分解可能値の倍数の直和として一意であり、これにより、 Mが直和である構成非分解可能加群の有限数が誘導されます。したがって、 Bが有限表現型の場合、 Aは有限表現型となります。逆は、すべての部分群代数Bが群代数AのB双加群直和であるということを指摘した同様の議論によって証明されます。

引用

1. フォード 2017、§4.2
2. ライナー 2003, p. 102
3. フォード 2017、定理4.4.1
4. Endo & Watanabe 1967, 定理4.2. Aが可換な場合、証明はより単純になります。Kadison 1999, 補題5.11を参照。
5. Ford 2017、系4.7.2、定理8.3.6
6. フォード 2017、補論 4.7.3

参考文献

• デマイヤー、F.イングラハム、E. (1971)。可換環上の分離可能な代数。数学の講義ノート。 Vol. 181. ベルリン-ハイデルベルク-ニューヨーク: Springer-Verlag。ISBN 978-3-540-05371-2. Zbl  0215.36602。
• サミュエル・アイレンバーグと中山正、加群と代数の次元について。 II.フロベニウス代数と準フロベニウス環、名古屋数学。 J. 第 9 巻 (1955)、1 ～ 16。
• 遠藤 静雄; 渡辺 豊 (1967)「可換環上の可分代数について」大阪数学ジャーナル、4 : 233–242、MR  0227211
• フォード、ティモシー J. (2017)、分離可能代数、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、ISBN 978-1-4704-3770-1、MR  3618889
• 平田 秀雄; 菅野 健一 (1966)「非可換環の半単純および可分拡大について」,日本数学会誌, 18 : 360– 373
• カディソン、ラース（1999）、フロベニウス拡大の新しい例、大学講義シリーズ、第14巻、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、doi：10.1090/ulect/014、ISBN 0-8218-1962-3、MR  1690111
• ライナー, I. (2003),最大順序, ロンドン数学会モノグラフ新シリーズ, 第28巻,オックスフォード大学出版局, ISBN 0-19-852673-3、Zbl  1024.16008
• ワイベル、チャールズ・A. (1994).ホモロジー代数入門. ケンブリッジ高等数学研究. 第38巻. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-55987-4MR  1269324. OCLC 36131259  .

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