逆ガンマ関数

Mathematical function

⁠のプロット1/Γ( x )⁠実軸に沿って

逆ガンマ関数⁠1/Γ( z )⁠複素平面上で、ドメインカラーリングを使用してプロットされます。

数学において、逆ガンマ関数（ていガンマかんすう） とは、 Γ( z )がガンマ関数を表す関数である。ガンマ関数は有理型であり、複素平面上のあらゆる点で非零であるため、その逆数は整関数となる。整関数として、逆ガンマ関数は1次（つまりlog log | ⁠となる）である。 $${\displaystyle f(z)={\frac {1}{\Gamma (z)}},}$$1/Γ( z )⁠ |log | z |より速く増加しませんが、無限型です（つまり、log | ⁠1/Γ( z )⁠ | は| z |の任意の倍数よりも速く増加します左半平面で| z | log | z |にほぼ比例するためです

逆数はガンマ関数の数値計算の開始点として使用されることもあり、通常のガンマ関数とは別に逆数を提供するソフトウェア ライブラリもいくつかあります。

カール・ワイエルシュトラスは逆ガンマ関数を「factorielle」と呼び、ワイエルシュトラスの因数分解定理の開発にそれを使用しました。

無限の製品拡張

オイラーとワイエルシュトラスによるガンマ関数の無限積の定義に従って、逆ガンマ関数の次の無限積展開が得られます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\Gamma (z)}}&=z\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+{\frac {z}{n}}}{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}}}\\{\frac {1}{\Gamma (z)}}&=ze^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)e^{-{\frac {z}{n}}}\end{aligned}}}$$

ここで、γ = 0.577216...はオイラー・マスケロニ定数です。これらの展開はすべての複素数 zに対して有効です。

テイラー級数

0の周りのテイラー級数展開は次式で表される：^[1]ここでγはオイラー・マスケローニ定数である。n > 2の場合、 z ⁿ項の係数a _nは再帰的に次のように計算できる：^{[2] [3]}ここでζはリーマンゼータ関数である。これらの係数の積分表現は、最近Fekih-Ahmed (2014) によって発見された：^[3] $${\displaystyle {\frac {1}{\ \Gamma (z)\ }}=z+\gamma \ z^{2}+\left({\frac {\gamma ^{2}}{2}}-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\right)\ z^{3}+\left({\frac {\gamma ^{3}}{6}}-{\frac {\gamma \pi ^{2}}{12}}+{\frac {\zeta (3)}{3}}\ \right)z^{4}+\cdots \ }$$ $${\displaystyle a_{n}={\frac {\ {a_{2}\ a_{n-1}+\sum _{j=2}^{n-1}(-1)^{j+1}\ \zeta (j)\ a_{n-j}}\ }{n-1}}={\frac {\ \gamma \ a_{n-1}-\zeta (2)\ a_{n-2}+\zeta (3)\ a_{n-3}-\cdots \ }{n-1}}}$$ $${\displaystyle a_{n}={\frac {(-1)^{n}}{\pi n!}}\int _{0}^{\infty }e^{-t}\ \operatorname {Im} {\Bigl [}\ {\bigl (}\log(t)-i\pi {\bigr )}^{n}\ {\Bigr ]}\ \mathrm {d} t~.}$$

値が小さい場合、次の値が得られます。

n	1つの
1	+1.0000000000000000000000000000000000000000
2	+0.5772156649015328606065120900824024310422
3	−0.6558780715202538810770195151453904812798
4	−0.0420026350340952355290039348754298187114
5	+0.1665386113822914895017007951021052357178
6	−0.0421977345555443367482083012891873913017
7	−0.0096219715278769735621149216723481989754
8	+0.0072189432466630995423950103404465727099
9	−0.0011651675918590651121139710840183886668
10	−0.0002152416741149509728157299630536478065
11	+0.0001280502823881161861531986263281643234
12	−0.0000201348547807882386556893914210218184
13	−0.0000012504934821426706573453594738330922
14	+0.0000011330272319816958823741296203307449
15	−0.0000002056338416977607103450154130020573
16	+0.0000000061160951044814158178624986828553
17	+0.0000000050020076444692229300556650480600
18	−0.0000000011812745704870201445881265654365
19	+0.0000000001043426711691100510491540332312
20	+0.0000000000077822634399050712540499373114
21	−0.0000000000036968056186422057081878158781
22	+0.0000000000005100370287454475979015481323
23	−0.0000000000000205832605356650678322242954
24	−0.0000000000000053481225394230179823700173
25	+0.0000000000000012267786282382607901588938
26	−0.0000000000000001181259301697458769513765
27	+0.0000000000000000011866922547516003325798
28	+0.0000000000000000014123806553180317815558
29	−0.0000000000000000002298745684435370206592
30	+0.00000000000000000000171440632192733743338

Fekih-Ahmed (2014) ^[3]もa _nの近似値を与えている。

$${\displaystyle a_{n}\approx {\frac {(-1)^{n}}{\ (n-1)!\ }}\ {\sqrt {{\frac {2}{\ \pi n\ }}\ }}\ \operatorname {Im} \left({\frac {\ z_{0}^{\left(1/2-n\right)}\ e^{-nz_{0}}\ }{\sqrt {1+z_{0}\ }}}\right)\ ,}$$ ここで、z ₀ = −1/ n exp( W ₋₁ (− n ))であり、W ₋₁はランバートW関数の負の第一枝である。

1付近のテイラー展開には同じ（ただしシフトした）係数があります。つまり、 （ガウスの π 関数の逆数）です。 $${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (1+z)}}={\frac {1}{z\Gamma (z)}}=1+\gamma \ z+\left({\frac {\gamma ^{2}}{2}}-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\right)\ z^{2}+\left({\frac {\gamma ^{3}}{6}}-{\frac {\gamma \pi ^{2}}{12}}+{\frac {\zeta (3)}{3}}\ \right)z^{3}+\cdots \ }$$

漸近展開

| z | が定数arg ( z )で無限大に近づくと、次の式が得られます。 $${\displaystyle \ln(1/\Gamma (z))\sim -z\ln(z)+z+{\tfrac {1}{2}}\ln \left({\frac {z}{2\pi }}\right)-{\frac {1}{12z}}+{\frac {1}{360z^{3}}}-{\frac {1}{1260z^{5}}}\qquad {\text{for}}~\left|\arg(z)\right|<\pi }$$

輪郭積分表現

ヘルマン・ハンケルによる積分表現は、 Hはハンケル積分路、すなわち、正の実軸に沿った分岐に関して、正の無限大から始まり正の無限大に戻る正の方向に 0 を囲む経路 である。シュメルツァーとトレフェテン^[4]によれば、ハンケル積分の数値評価は、ガンマ関数を計算するための最良の方法のいくつかの基礎となっている。 $${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}={\frac {i}{2\pi }}\oint _{H}(-t)^{-z}e^{-t}\,dt,}$$

正の整数における積分表現

正の整数n ≥ 1に対して、逆階乗関数の積分は^[5]で与えられる。 $${\displaystyle {\frac {1}{n!}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }e^{-nit}e^{e^{it}}\ dt.}$$

同様に、任意の実数c > 0およびz ∈ CでRe( z )>0となる場合、実軸に沿った逆ガンマ関数の次の積分は次のようになる：^{[6]ここで、} z = n + 1/2 の特定のケースは、逆二階乗関数の対応する関係を与える。 $${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }(c+it)^{-z}e^{c+it}dt,}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{(2n-1)!!}}={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{n}\cdot \Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)}}.}$$

実軸に沿った積分

逆ガンマ関数を正の実軸に沿って積分すると、フランセン・ロビンソン定数として知られる値が得られる。^[7] $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\Gamma (x)}}\,dx\approx 2.80777024,}$$

次の式があります^{[8] ：第9章、演習100} $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\dfrac {a^{x}}{\Gamma (x)}}\,dx=ae^{a}+a\int _{0}^{\infty }{\dfrac {e^{-ax}}{\log ^{2}(x)+\pi ^{2}}}\,dx}$$

参照

• ベッセル・クリフォード関数
• 逆ガンマ分布

参考文献

1. Weisstein, Eric W. 「ガンマ関数」. mathworld.wolfram.com . 2021年6月15日閲覧。
2. Wrench, JW (1968). 「ガンマ関数の2つの級数について」.計算数学. 22 (103): 617– 626. doi : 10.1090/S0025-5718-1968-0237078-4 . S2CID  121472614.およびWrench, JW (1973). 「訂正：ガンマ関数の2つの級数について」.計算数学. 27 (123): 681– 682. doi : 10.1090/S0025-5718-1973-0319344-9 .
   
3. Fekih-Ahmed, L. (2014). 「逆ガンマ関数のべき級数展開について」HALアーカイブ.
4. Schmelzer, Thomas; Trefethen, Lloyd N. (2007). 「等高線積分と有理近似を用いたガンマ関数の計算」 . SIAM Journal on Numerical Analysis . 45 (2). Society for Industrial and Applied Mathematics: 558– 571. doi :10.1137/050646342.; 「トレフェテンの学術ウェブサイトに掲載されているコピー」（PDF） .数学、オックスフォード、英国. 2020年8月3日閲覧。; 「他の2つのコピーへのリンク」。CiteSeerX 10.1.1.210.299。 
5. Graham, Knuth, Patashnik (1994).具体的な数学. Addison-Wesley. p. 566.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
6. Schmidt, Maxie D. (2019-05-19). 「数列生成関数の積分変換と変換式に関する短いメモ」. Axioms . 8 (2): 62. arXiv : 1809.03933 . doi : 10.3390/axioms8020062 .
7. Sloane, N. J. A. (編). 「数列A058655（曲線1/Gamma(x)の下の面積の0から無限大までの小数点展開）」.オンライン整数数列百科事典. OEIS財団.
8. Henri Cohen (2007). 数論 第2巻：解析的ツールと現代的ツール. 大学院数学テキスト. 第240巻. doi :10.1007/978-0-387-49894-2. ISBN 978-0-387-49893-5. ISSN  0072-5285.

• メッテ・ルンド「逆ガンマ関数の積分」2020年5月31日アーカイブ、Wayback Machine
• ミルトン・アブラモウィッツ＆アイリーン・A・ステガン著『数式、グラフ、数表付き数学関数ハンドブック』
• Eric W. Weisstein、ガンマ関数、MathWorld

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