Linear transform from the time domain to the frequency domain
数学 と 信号処理 において 、 Z変換は 実数 または 複素数 の 列 である 離散時間信号 を複素数値の 周波数領域 （ Z領域 または Z平面 ）表現に変換する 。 [1] [2] [3]
これはラプラス変換 （ s領域 または s平面 ）の離散時間版と考えることができる 。 [4]この類似性は 時間スケール計算 理論で探求されている 。
連続時間フーリエ変換は s領域の垂直軸（虚軸）に沿って評価されます が、 離散時間フーリエ変換は z領域の 単位円 に沿って評価されます。s領域の左 半平面 はz領域の単位円の内側の領域にマッピングされ、s領域の右半平面はz領域の単位円の外側の領域にマッピングされます。
信号処理において、デジタルフィルタを 設計する手段の一つは、アナログ設計を 双一次変換 （s領域からz領域への写像）にかけ 、検査、操作、あるいは数値近似によってデジタルフィルタを作成することである。このような方法は、複素数1の近傍、すなわち低周波数を除いて、正確ではない傾向がある。
歴史 デジタル制御システムの解析と設計の礎石として現在認識されているZ変換の基礎概念は、20世紀半ばに登場した当時、全く新しいものではなかった。その萌芽的な原理は、密接に関連する数学的手法である ラプラス変換 でよく知られるフランスの数学者 ピエール＝シモン・ラプラス の研究に遡ることができる。しかし、現在Z変換として理解されているものの明示的な定式化と応用は、1947年に ヴィトルド・ヒューレヴィッツとその同僚によって大きく進歩した。彼らの研究は、当時 レーダー 技術の文脈で重要性を増していたサンプル値制御システムの課題に触発されたものであった 。Z変換は、離散時間信号およびシステムの解析で広く用いられる定数係数の線形差分方程式を解くための体系的かつ効果的な手法を提供した。 [5] [6]
この手法は、コロンビア大学のサンプルデータ制御グループに所属していたジョン・R・ラガッツィーニ と ロトフィ・A・ザデー の尽力により、1952年にさらに改良され、「Z変換」という正式な名称が付けられ ました。彼らの研究は、Z変換の数学的枠組みを確固たるものにしただけでなく、特に電気工学と制御システムの分野において、その応用範囲を拡大しました。 [7] [8]
改良Z変換または 高度Z変換として知られる注目すべき拡張は、後に エリアフ・I・ジュリー によって導入されました 。ジュリーの研究は、特に初期条件の取り扱いにおいてZ変換の適用性と堅牢性を拡張し、デジタル制御システムの解析のためのより包括的な枠組みを提供しました。この高度な定式化は、離散時間制御システムの設計と安定性解析において極めて重要な役割を果たし、デジタル信号処理分野に大きく貢献しました。 [9] [3]
興味深いことに、Z 変換の概念的基盤は、組合せ論と確率論における強力なツールである 生成関数法として知られるより広範な数学的概念と交差しています。 このつながりは、確率論発展の先駆者である アブラハム・ド・モアブル によって 1730 年にはすでに示唆されていました 。 ド・モアブルは生成関数を利用して確率の問題を解き、最終的に Z 変換へと発展するものの基礎を築きました。 数学的な観点からは、Z 変換は ローラン級数の特定の例と見なすことができます。ローラン級数 では、調査対象の数の シーケンスが 解析関数 の (ローラン) 展開における 係数 として解釈されます 。 この観点は、Z 変換の深い数学的ルーツを強調するだけでなく、数学と工学のさまざまな分野にわたるその汎用性と幅広い適用性を示しています。 [3]
意味 Z変換は 片側 変換または 両側変換として定義できます。（ 片側ラプラス変換 と 両側ラプラス変換 があるのと同じです 。） [10]
離散時間信号の両側 Z 変換は、 次 の よう に定義される 正式なべき級数 です 。 x [ n ] {\displaystyle x[n]} X ( z ) {\displaystyle X(z)}
X ( z ) = Z { x [ n ] } = ∑ n = − ∞ ∞ x [ n ] z − n {\displaystyle X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}}
ここで は整数であり、 は一般に 複素数 です。 極形式 では、 は次のように表されます。 n {\displaystyle n} z {\displaystyle z} z {\displaystyle z}
z = A e i ϕ = A ⋅ ( cos ϕ + i sin ϕ ) {\displaystyle z=Ae^{i\phi }=A\cdot (\cos {\phi }+i\sin {\phi })} ここで 、 は の大きさ 、 は 虚数単位 、 は ラジアン単位の 複素引数 （角度 または 位相 とも呼ばれる ） です 。 A {\displaystyle A} z {\displaystyle z} i {\displaystyle i} ϕ {\displaystyle \phi }
あるいは、が に対してのみ定義されている 場合 、 片側 Z 変換は次のように定義されます 。 x [ n ] {\displaystyle x[n]} n ≥ 0 {\displaystyle n\geq 0}
X ( z ) = Z { x [ n ] } = ∑ n = 0 ∞ x [ n ] z − n . {\displaystyle X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}.}
信号処理 では、この定義は 離散時間 因果システムの 単位インパルス応答 の Z 変換を評価するために使用できます 。
片側Z変換の重要な例として、 確率生成関数 が挙げられます。ここで、 は 離散確率変数が値をとる確率です。Z変換の性質（§ 性質に列挙されている）は、確率論の文脈において有用な解釈をもたらします。 x [ n ] {\displaystyle x[n]}
逆 Z 変換は次のとおりです 。
x [ n ] = Z − 1 { X ( z ) } = 1 2 π i ∮ C X ( z ) z n − 1 d z {\displaystyle x[n]={\mathcal {Z}}^{-1}\{X(z)\}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}X(z)z^{n-1}dz}
ここで 、 は原点を囲み、 収束領域 （ROC）内に完全に収束する反時計回りの閉経路です。ROCが因果関係にある場合（例2を参照）、これは経路 が のすべての極を囲む必要があることを意味します 。 C {\displaystyle C} C {\displaystyle C} X ( z ) {\displaystyle X(z)}
この路面積分 の特殊なケースは、 が単位円である ときに発生します。この路面積分は、ROCが単位円を含む場合に使用できます 。これは、 が安定しているとき、つまりすべての極が単位円の内側にあるとき、常に保証されます。この路面積分を用いると、逆Z変換は、単位円の周りのZ変換の周期値の 逆離散時間フーリエ変換 、または フーリエ級数 に簡略化されます。 C {\displaystyle C} X ( z ) {\displaystyle X(z)}
x [ n ] = 1 2 π ∫ − π π X ( e i ω ) e i ω n d ω . {\displaystyle x[n]={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }X(e^{i\omega })e^{i\omega n}d\omega .}
有限範囲のと有限個の均一間隔の値 を持つZ変換は、 ブルースタインのFFTアルゴリズム を用いて効率的に計算できます 。 離散時間フーリエ変換（DTFT）（ 離散フーリエ変換 （DFT）と混同しないでください）は 、 を単位円上に 制限することによって得られるZ変換の特殊なケースです。 n {\displaystyle n} z {\displaystyle z} z {\displaystyle z}
逆変換の評価には、以下の3つの方法がよく使用されます。
輪郭積分による直接評価 この手法では、コーシー留数定理 を用いて 逆Z変換を評価します。複素平面上の閉曲線の周りを積分することで、ROC内のZ変換関数の極における留数が合計されます。この手法は、複素変数で表される関数を扱う場合に特に有用です。
変数の項の列への展開 z そして z −1 この方法では、Z変換をべき級数に展開します。このアプローチは、Z変換関数が有理数の場合に有用であり、級数に展開して信号係数を項ごとに決定することで、逆変換の近似が可能になります。
部分分数展開と表参照 この手法では、Z変換をより単純な分数の和に分解します。各分数は既知のZ変換ペアに対応します。逆Z変換は、Z変換ペアの標準テーブルで各項を参照することで決定されます。この手法は、その効率性と簡便性から広く利用されており、特に元の関数が容易に認識可能な要素に分解できる場合に有効です。
例 [11]
A) 次の逆Z変換を級数展開法で決定します。 X ( z ) = 1 1 − 1.5 z − 1 + 0.5 z − 2 {\displaystyle X(z)={\frac {1}{1-1.5z^{-1}+0.5z^{-2}}}}
解決：
ケース1:
中華人民共和国: | Z | > 1 {\displaystyle \left\vert Z\right\vert >1}
ROCは円の外部であるため、 因果関係があります（ n ≥ 0に信号が存在します）。 したがって、 （矢印は x （0）= 1の 項を示します）。 x ( n ) {\displaystyle x(n)} X ( z ) = 1 1 − 3 2 z − 1 + 1 2 z − 2 = 1 + 3 2 z − 1 + 7 4 z − 2 + 15 8 z − 3 + 31 16 z − 4 + . . . . {\displaystyle X(z)={1 \over 1-{3 \over 2}z^{-1}+{1 \over 2}z^{-2}}=1+{{3 \over 2}z^{-1}}+{{7 \over 4}z^{-2}}+{{15 \over 8}z^{-3}}+{{31 \over 16}z^{-4}}+....} x ( n ) = { 1 , 3 2 , 7 4 , 15 8 , 31 16 … } ↑ {\displaystyle {\begin{aligned}x(n)&=\left\{1,{\frac {3}{2}},{\frac {7}{4}},{\frac {15}{8}},{\frac {31}{16}}\ldots \right\}\\&\qquad \!\uparrow \\\end{aligned}}}
長除算プロセスの各ステップで、 の最小のべき乗項を削除することに注意してください 。 z − 1 {\displaystyle z^{-1}}
ケース2:
中華人民共和国: | Z | < 0.5 {\displaystyle \left\vert Z\right\vert <0.5}
ROC は円の内部であるため、 反因果的です ( n < 0 の場合に信号が存在します)。 x ( n ) {\displaystyle x(n)}
長割り算をすると X ( z ) = 1 1 − 3 2 z − 1 + 1 2 z − 2 = 2 z 2 + 6 z 3 + 14 z 4 + 30 z 5 + … {\displaystyle X(z)={\frac {1}{1-{\frac {3}{2}}z^{-1}+{\frac {1}{2}}z^{-2}}}=2z^{2}+6z^{3}+14z^{4}+30z^{5}+\ldots }
x ( n ) = { 30 , 14 , 6 , 2 , 0 , 0 } ↑ {\displaystyle {\begin{aligned}x(n)&=\{30,14,6,2,0,0\}\\&\qquad \qquad \qquad \quad \ \ \,\uparrow \\\end{aligned}}} （矢印は x (0)=0の項を示す）。 長除算プロセスの各ステップで、 の最小のべき乗項を削除することに注意してください 。 z {\displaystyle z}
注記：
信号が因果関係にある場合、 の正の累乗が得られ 、信号が反因果関係にある場合、 の負の累乗が得られます 。 z {\displaystyle z} z {\displaystyle z} z k {\displaystyle z^{k}} は の期間を示し 、 は の期間を示します 。 x ( − k ) {\displaystyle x(-k)} z − k {\displaystyle z^{-k}} x ( k ) {\displaystyle x(k)} B) 次の逆Z変換を級数展開法で決定します。
を で割ると 負の累乗が消去され 、 z {\displaystyle z} z {\displaystyle z} X ( z ) z = z 2 z ( z 2 − 1.5 z + 0.5 ) = z z 2 − 1.5 z + 0.5 {\displaystyle {\frac {X(z)}{z}}={\frac {z^{2}}{z(z^{2}-1.5z+0.5)}}={\frac {z}{z^{2}-1.5z+0.5}}}
部分分数展開により、 X ( z ) z = z ( z − 1 ) ( z − 0.5 ) = A 1 z − 0.5 + A 2 z − 1 A 1 = ( z − 0.5 ) X ( z ) z | z = 0.5 = 0.5 ( 0.5 − 1 ) = − 1 A 2 = ( z − 1 ) X ( z ) z | z = 1 = 1 1 − 0.5 = 2 X ( z ) z = 2 z − 1 − 1 z − 0.5 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {X(z)}{z}}&={\frac {z}{(z-1)(z-0.5)}}={\frac {A_{1}}{z-0.5}}+{\frac {A_{2}}{z-1}}\\[4pt]&A_{1}=\left.{\frac {(z-0.5)X(z)}{z}}\right\vert _{z=0.5}={\frac {0.5}{(0.5-1)}}=-1\\[4pt]&A_{2}=\left.{\frac {(z-1)X(z)}{z}}\right\vert _{z=1}={\frac {1}{1-0.5}}={2}\\[4pt]{\frac {X(z)}{z}}&={\frac {2}{z-1}}-{\frac {1}{z-0.5}}\end{aligned}}}
ケース1:
中華人民共和国: | Z | > 1 {\displaystyle \left\vert Z\right\vert >1}
どちらの用語も因果関係があり、したがって 因果関係があります。 x ( n ) {\displaystyle x(n)}
x ( n ) = 2 ( 1 ) n u ( n ) − 1 ( 0.5 ) n u ( n ) = ( 2 − 0.5 n ) u ( n ) {\displaystyle {\begin{aligned}x(n)&=2{(1)^{n}}u(n)-1{(0.5)^{n}}u(n)\\&=(2-0.5^{n})u(n)\\\end{aligned}}}
ケース2:
中華人民共和国: | Z | < 0.5 {\displaystyle \left\vert Z\right\vert <0.5}
どちらの用語も反因果的であるため、 は 反因果的です。 x ( n ) {\displaystyle x(n)}
x ( n ) = − 2 ( 1 ) n u ( − n − 1 ) − ( − 1 ( 0.5 ) n u ( − n − 1 ) ) = ( 0.5 n − 2 ) u ( − n − 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}x(n)&=-2{(1)^{n}}u(-n-1)-(-1{(0.5)^{n}}u(-n-1))\\&=(0.5^{n}-2)u(-n-1)\\\end{aligned}}}
ケース3:
中華人民共和国: 0.5 < | Z | < 1 {\displaystyle 0.5<\left\vert Z\right\vert <1}
項の 1 つは因果関係があり (p=0.5 で因果関係の部分が示されます)、もう 1 つは反因果関係があり (p=1 で反因果関係の部分が示されます)、したがって 両側性があります。 x ( n ) {\displaystyle x(n)}
x ( n ) = − 2 ( 1 ) n u ( − n − 1 ) − 1 ( 0.5 ) n u ( n ) = − 2 u ( − n − 1 ) − 0.5 n u ( n ) {\displaystyle {\begin{aligned}x(n)&=-2{(1)^{n}}u(-n-1)-1{(0.5)^{n}}u(n)\\&=-2u(-n-1)-0.5^{n}u(n)\\\end{aligned}}}
収束領域 収束領域 （ ROC）は、Z変換の合計が 絶対収束する 複素平面上の点の集合である。
R O C = { z : ∑ n = − ∞ ∞ | x [ n ] z − n | < ∞ } {\displaystyle \mathrm {ROC} =\left\{z:\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|x[n]z^{-n}\right|<\infty \right\}}
例1（ROCなし） 間隔を 拡大する と 、 x [ n ] = ( 0.5 ) n . {\displaystyle x[n]=(0.5)^{n}\ .} x [ n ] {\displaystyle x[n]} ( − ∞ , ∞ ) {\displaystyle (-\infty ,\infty )}
x [ n ] = { … , ( 0.5 ) − 3 , ( 0.5 ) − 2 , ( 0.5 ) − 1 , 1 , ( 0.5 ) , ( 0.5 ) 2 , ( 0.5 ) 3 , … } = { … , 2 3 , 2 2 , 2 , 1 , ( 0.5 ) , ( 0.5 ) 2 , ( 0.5 ) 3 , … } . {\displaystyle x[n]=\left\{\dots ,(0.5)^{-3},(0.5)^{-2},(0.5)^{-1},1,(0.5),(0.5)^{2},(0.5)^{3},\dots \right\}=\left\{\dots ,2^{3},2^{2},2,1,(0.5),(0.5)^{2},(0.5)^{3},\dots \right\}.} 合計を見ると
∑ n = − ∞ ∞ x [ n ] z − n → ∞ . {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}\to \infty .} したがって、この条件を満たす の値は存在しません。 z {\displaystyle z}
例2（因果ROC） ROC (青)、| z | = 0.5 (破線の黒い円)、および単位円 (点線の灰色の円)。 （ここで は ヘヴィサイドの階段関数 ）とする。区間を展開 する と 、 x [ n ] = ( 0.5 ) n u [ n ] {\displaystyle x[n]=(0.5)^{n}\,u[n]} u {\displaystyle u} x [ n ] {\displaystyle x[n]} ( − ∞ , ∞ ) {\displaystyle (-\infty ,\infty )}
x [ n ] = { … , 0 , 0 , 0 , 1 , ( 0.5 ) , ( 0.5 ) 2 , ( 0.5 ) 3 , … } . {\displaystyle x[n]=\left\{\dots ,0,0,0,1,(0.5),(0.5)^{2},(0.5)^{3},\dots \right\}.} 合計を見ると
∑ n = − ∞ ∞ x [ n ] z − n = ∑ n = 0 ∞ ( 0.5 ) n z − n = ∑ n = 0 ∞ ( 0.5 z ) n = 1 1 − ( 0.5 ) z − 1 . {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}=\sum _{n=0}^{\infty }(0.5)^{n}z^{-n}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {0.5}{z}}\right)^{n}={\frac {1}{1-(0.5)z^{-1}}}.} 最後の等式は無限 等比級数 から生じ、等式が成り立つのは、 の場合のみであり、 は として 書き直すことができる。 したがって、 ROC は である。 この場合、 ROC は、原点に半径 0.5 の円盤が「打ち抜かれた」複素平面である。 | ( 0.5 ) z − 1 | < 1 , {\displaystyle |(0.5)z^{-1}|<1,} z {\displaystyle z} | z | > ( 0.5 ) . {\displaystyle |z|>(0.5).} | z | > ( 0.5 ) . {\displaystyle |z|>(0.5).}
例3（反因果的ROC） ROC (青)、| z | = 0.5 (破線の黒い円)、および単位円 (点線の灰色の円)。 （ここで は ヘヴィサイドの階段関数 ）とする。区間を展開 する と 、 x [ n ] = − ( 0.5 ) n u [ − n − 1 ] {\displaystyle x[n]=-(0.5)^{n}\,u[-n-1]} u {\displaystyle u} x [ n ] {\displaystyle x[n]} ( − ∞ , ∞ ) {\displaystyle (-\infty ,\infty )}
x [ n ] = { … , − ( 0.5 ) − 3 , − ( 0.5 ) − 2 , − ( 0.5 ) − 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , … } . {\displaystyle x[n]=\left\{\dots ,-(0.5)^{-3},-(0.5)^{-2},-(0.5)^{-1},0,0,0,0,\dots \right\}.} 合計を見ると
∑ n = − ∞ ∞ x [ n ] z − n = − ∑ n = − ∞ − 1 ( 0.5 ) n z − n = − ∑ m = 1 ∞ ( z 0.5 ) m = − ( 0.5 ) − 1 z 1 − ( 0.5 ) − 1 z = − 1 ( .5 ) z − 1 − 1 = 1 1 − ( 0.5 ) z − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\,z^{-n}&=-\sum _{n=-\infty }^{-1}(0.5)^{n}\,z^{-n}\\&=-\sum _{m=1}^{\infty }\left({\frac {z}{0.5}}\right)^{m}\\&=-{\frac {(0.5)^{-1}z}{1-(0.5)^{-1}z}}\\&=-{\frac {1}{(.5)z^{-1}-1}}\\&={\frac {1}{1-(0.5)z^{-1}}}\\\end{aligned}}} そして、再び無限 等比級数 を使用すると、等式は の場合にのみ成立し、は として 書き直すことができます 。したがって、ROC は です。 この場合、ROC は原点を中心とし、半径 0.5 の円盤です。 | ( 0.5 ) − 1 z | < 1 {\displaystyle |(0.5)^{-1}z|<1} z {\displaystyle z} | z | < ( 0.5 ) . {\displaystyle |z|<(0.5).} | z | < ( 0.5 ) . {\displaystyle |z|<(0.5).}
この例と前の例の違いはROC だけ です。これは、変換結果だけでは不十分であることを示すために意図的に加えられたものです。
例の結論 例2と例3は、ROCを指定した場合にのみ、 Z変換 が一意であることを明確に示しています。因果関係のあるケースと反因果関係のあるケースの 極零点プロット を作成すると、どちらのケースのROCにも0.5の極が含まれていないことがわかります。これは複数の極を持つケースにも当てはまります。つまり、ROCに極が含まれることは ありません 。 X ( z ) {\displaystyle X(z)} x [ n ] {\displaystyle x[n]}
例2では、因果関係のシステムではROCが生成され、 例3の反因果関係のシステムではROCが生成され、 | z | = ∞ {\displaystyle |z|=\infty } | z | = 0. {\displaystyle |z|=0.}
ROCは青いリングで表示 0.5 < | z | < 0.75 複数の極を持つシステムでは、ROCがどちらの極も 含まない可能性がある 。ROCは円形の帯を形成する。例えば、 | z | = ∞ {\displaystyle |z|=\infty } | z | = 0. {\displaystyle |z|=0.}
x [ n ] = ( 0.5 ) n u [ n ] − ( 0.75 ) n u [ − n − 1 ] {\displaystyle x[n]=(0.5)^{n}\,u[n]-(0.75)^{n}\,u[-n-1]} 0.5と0.75に極を持つ。ROCは0.5 < | z | < 0.75となり 、原点も無限大も含まない。このような系は因果項 と反因果項を含むため、混合因果系と呼ばれる。 ( 0.5 ) n u [ n ] {\displaystyle (0.5)^{n}\,u[n]} − ( 0.75 ) n u [ − n − 1 ] . {\displaystyle -(0.75)^{n}\,u[-n-1].}
システムの安定性は、ROCのみを知ることでも判断できます。ROCが単位円（つまり| z | = 1）を含む場合 、 システム は安定です。上記のシステムでは、因果システム（例2）は| z | > 0.5が単位円を含む ため安定です。
ROCを持たない（つまり曖昧な）系のZ変換が与えられていると仮定しましょう。 以下の条件を満たす場合、 一意の を決定できます。 x [ n ] {\displaystyle x[n]} x [ n ] {\displaystyle x[n]}
安定性のためには、ROCは単位円を含まなければなりません。因果系が必要な場合は、ROCは無限大を含み、システム関数は右辺列になります。反因果系が必要な場合は、ROCは原点を含み、システム関数は左辺列になります。安定性と因果性の両方が必要な場合は、システム関数のすべての極が単位円内になければなりません。
そうすれば、ユニークなもの が見つかります。 x [ n ] {\displaystyle x[n]}
プロパティ Z変換の特性 財産
時間領域 Zドメイン 証拠 中華民国 Z変換の定義 x [ n ] {\displaystyle x[n]} X ( z ) {\displaystyle X(z)} X ( z ) = Z { x [ n ] } {\displaystyle X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}} （Z変換の定義） x [ n ] = Z − 1 { X ( z ) } {\displaystyle x[n]={\mathcal {Z}}^{-1}\{X(z)\}} （逆Z変換の定義）
r 2 < | z | < r 1 {\displaystyle r_{2}<|z|<r_{1}} 直線性 a 1 x 1 [ n ] + a 2 x 2 [ n ] {\displaystyle a_{1}x_{1}[n]+a_{2}x_{2}[n]} a 1 X 1 ( z ) + a 2 X 2 ( z ) {\displaystyle a_{1}X_{1}(z)+a_{2}X_{2}(z)} X ( z ) = ∑ n = − ∞ ∞ ( a 1 x 1 [ n ] + a 2 x 2 [ n ] ) z − n = a 1 ∑ n = − ∞ ∞ x 1 [ n ] z − n + a 2 ∑ n = − ∞ ∞ x 2 [ n ] z − n = a 1 X 1 ( z ) + a 2 X 2 ( z ) {\displaystyle {\begin{aligned}X(z)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(a_{1}x_{1}[n]+a_{2}x_{2}[n])z^{-n}\\&=a_{1}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{1}[n]\,z^{-n}+a_{2}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}[n]\,z^{-n}\\&=a_{1}X_{1}(z)+a_{2}X_{2}(z)\end{aligned}}} ROC 1 ∩ ROC 2を含む 時間拡張 x K [ n ] = { x [ r ] , n = K r 0 , n ∉ K Z {\displaystyle x_{K}[n]={\begin{cases}x[r],&n=Kr\\0,&n\notin K\mathbb {Z} \end{cases}}} と K Z := { K r : r ∈ Z } {\displaystyle K\mathbb {Z} :=\{Kr:r\in \mathbb {Z} \}}
X ( z K ) {\displaystyle X(z^{K})} X K ( z ) = ∑ n = − ∞ ∞ x K [ n ] z − n = ∑ r = − ∞ ∞ x [ r ] z − r K = ∑ r = − ∞ ∞ x [ r ] ( z K ) − r = X ( z K ) {\displaystyle {\begin{aligned}X_{K}(z)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{K}[n]z^{-n}\\&=\sum _{r=-\infty }^{\infty }x[r]z^{-rK}\\&=\sum _{r=-\infty }^{\infty }x[r](z^{K})^{-r}\\&=X(z^{K})\end{aligned}}} R 1 K {\displaystyle R^{\frac {1}{K}}} デシメーション x [ K n ] {\displaystyle x[Kn]} 1 K ∑ p = 0 K − 1 X ( z 1 K ⋅ e − i 2 π K p ) {\displaystyle {\frac {1}{K}}\sum _{p=0}^{K-1}X\left(z^{\tfrac {1}{K}}\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi }{K}}p}\right)} ohio-state.edu または ee.ic.ac.uk 時間遅延 x [ n − k ] {\displaystyle x[n-k]} と k > 0 {\displaystyle k>0} x : x [ n ] = 0 ∀ n < 0 {\displaystyle x:x[n]=0\ \forall \,n<0}
z − k X ( z ) {\displaystyle z^{-k}X(z)} Z { x [ n − k ] } = ∑ n = 0 ∞ x [ n − k ] z − n = ∑ m = − k ∞ x [ m ] z − ( m + k ) m = n − k = ∑ m = − k ∞ x [ m ] z − m z − k = z − k ∑ m = − k ∞ x [ m ] z − m = z − k ∑ m = 0 ∞ x [ m ] z − m x [ β ] = 0 , ∀ β < 0 = z − k X ( z ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{x[n-k]\}&=\sum _{n=0}^{\infty }x[n-k]z^{-n}\\&=\sum _{m=-k}^{\infty }x[m]z^{-(m+k)}&&m=n-k\\&=\sum _{m=-k}^{\infty }x[m]z^{-m}z^{-k}\\&=z^{-k}\sum _{m=-k}^{\infty }x[m]z^{-m}\\&=z^{-k}\sum _{m=0}^{\infty }x[m]z^{-m}&&x[\beta ]=0,\forall \beta <0\\&=z^{-k}X(z)\end{aligned}}} ROC 、 ただし 、 z = 0 {\displaystyle z{=}0} k > 0 {\displaystyle k>0} z = ∞ {\displaystyle z{=}\infty } k < 0 {\displaystyle k<0} 時間を進める x [ n + k ] {\displaystyle x[n+k]} と k > 0 {\displaystyle k>0}
双方向Z変換: z k X ( z ) {\displaystyle z^{k}X(z)} 片側Z変換: [12] z k X ( z ) − z k ∑ n = 0 k − 1 x [ n ] z − n {\displaystyle z^{k}\,X(z)-z^{k}\sum _{n=0}^{k-1}x[n]\,z^{-n}}
最初の違いは逆順 x [ n ] − x [ n − 1 ] {\displaystyle x[n]-x[n-1]} 〜のため に x [ n ] = 0 {\displaystyle x[n]{=}0} n < 0 {\displaystyle n<0}
( 1 − z − 1 ) X ( z ) {\displaystyle (1-z^{-1})\,X(z)} ROC と X 1 ( z ) {\displaystyle X_{1}(z)} z ≠ 0 {\displaystyle z\neq 0} 最初の違いは前進 x [ n + 1 ] − x [ n ] {\displaystyle x[n+1]-x[n]} ( z − 1 ) X ( z ) − z x [ 0 ] {\displaystyle (z-1)\,X(z)-z\,x[0]} 時間の逆転 x [ − n ] {\displaystyle x[-n]} X ( z − 1 ) {\displaystyle X(z^{-1})} Z { x ( − n ) } = ∑ n = − ∞ ∞ x [ − n ] z − n = ∑ m = − ∞ ∞ x [ m ] z m = ∑ m = − ∞ ∞ x [ m ] ( z − 1 ) − m = X ( z − 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{x(-n)\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[-n]z^{-n}\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x[m]z^{m}\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x[m]{(z^{-1})}^{-m}\\&=X(z^{-1})\\\end{aligned}}} 1 r 1 < | z | < 1 r 2 {\displaystyle {\tfrac {1}{r_{1}}}<|z|<{\tfrac {1}{r_{2}}}} Z領域でのスケーリング a n x [ n ] {\displaystyle a^{n}x[n]} X ( a − 1 z ) {\displaystyle X(a^{-1}z)} Z { a n x [ n ] } = ∑ n = − ∞ ∞ a n x [ n ] z − n = ∑ n = − ∞ ∞ x [ n ] ( a − 1 z ) − n = X ( a − 1 z ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\left\{a^{n}x[n]\right\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a^{n}x[n]z^{-n}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n](a^{-1}z)^{-n}\\&=X(a^{-1}z)\end{aligned}}} | a | r 2 < | z | < | a | r 1 {\displaystyle |a|r_{2}<|z|<|a|r_{1}} 複雑な活用 x ∗ [ n ] {\displaystyle x^{*}[n]} X ∗ ( z ∗ ) {\displaystyle X^{*}(z^{*})} Z { x ∗ ( n ) } = ∑ n = − ∞ ∞ x ∗ [ n ] z − n = ∑ n = − ∞ ∞ [ x [ n ] ( z ∗ ) − n ] ∗ = [ ∑ n = − ∞ ∞ x [ n ] ( z ∗ ) − n ] ∗ = X ∗ ( z ∗ ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{x^{*}(n)\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x^{*}[n]z^{-n}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[x[n](z^{*})^{-n}\right]^{*}\\&=\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n](z^{*})^{-n}\right]^{*}\\&=X^{*}(z^{*})\end{aligned}}} 実部 Re { x [ n ] } {\displaystyle \operatorname {Re} \{x[n]\}} 1 2 [ X ( z ) + X ∗ ( z ∗ ) ] {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left[X(z)+X^{*}(z^{*})\right]} 虚数部 Im { x [ n ] } {\displaystyle \operatorname {Im} \{x[n]\}} 1 2 i [ X ( z ) − X ∗ ( z ∗ ) ] {\displaystyle {\tfrac {1}{2i}}\left[X(z)-X^{*}(z^{*})\right]} Z領域における 分化 n x [ n ] {\displaystyle n\,x[n]} − z d X ( z ) d z {\displaystyle -z{\frac {dX(z)}{dz}}} Z { n x ( n ) } = ∑ n = − ∞ ∞ n x [ n ] z − n = z ∑ n = − ∞ ∞ n x [ n ] z − n − 1 = − z ∑ n = − ∞ ∞ x [ n ] ( − n z − n − 1 ) = − z ∑ n = − ∞ ∞ x [ n ] d d z ( z − n ) = − z d X ( z ) d z {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{n\,x(n)\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }n\,x[n]z^{-n}\\&=z\sum _{n=-\infty }^{\infty }n\,x[n]z^{-n-1}\\&=-z\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n](-n\,z^{-n-1})\\&=-z\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]{\frac {d}{dz}}(z^{-n})\\&=-z{\frac {dX(z)}{dz}}\end{aligned}}} ROC（ 有理数の場合） X ( z ) {\displaystyle X(z)} ROCは無理数の 場合、境界を除外する可能性がある [13] X ( z ) {\displaystyle X(z)}
畳み込み x 1 [ n ] ∗ x 2 [ n ] {\displaystyle x_{1}[n]*x_{2}[n]} X 1 ( z ) X 2 ( z ) {\displaystyle X_{1}(z)\,X_{2}(z)} Z { x 1 ( n ) ∗ x 2 ( n ) } = Z { ∑ l = − ∞ ∞ x 1 [ l ] x 2 [ n − l ] } = ∑ n = − ∞ ∞ [ ∑ l = − ∞ ∞ x 1 [ l ] x 2 [ n − l ] ] z − n = ∑ l = − ∞ ∞ x 1 [ l ] [ ∑ n = − ∞ ∞ x 2 [ n − l ] z − n ] = [ ∑ l = − ∞ ∞ x 1 ( l ) z − l ] [ ∑ n = − ∞ ∞ x 2 [ n ] z − n ] = X 1 ( z ) X 2 ( z ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{x_{1}(n)*x_{2}(n)\}&={\mathcal {Z}}\left\{\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}[l]x_{2}[n-l]\right\}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}[l]x_{2}[n-l]\right]z^{-n}\\&=\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}[l]\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}[n-l]z^{-n}\right]\\&=\left[\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)z^{-l}\right]\!\!\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}[n]z^{-n}\right]\\&=X_{1}(z)X_{2}(z)\end{aligned}}} ROC 1 ∩ ROC 2を含む 相互相関 r x 1 , x 2 = x 1 ∗ [ − n ] ∗ x 2 [ n ] {\displaystyle r_{x_{1},x_{2}}=x_{1}^{*}[-n]*x_{2}[n]} R x 1 , x 2 ( z ) = X 1 ∗ ( 1 z ∗ ) X 2 ( z ) {\displaystyle R_{x_{1},x_{2}}(z)=X_{1}^{*}({\tfrac {1}{z^{*}}})X_{2}(z)} ROC と X 1 ( 1 z ∗ ) {\displaystyle X_{1}({\tfrac {1}{z^{*}}})} X 2 ( z ) {\displaystyle X_{2}(z)} 蓄積 ∑ k = − ∞ n x [ k ] {\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{n}x[k]} 1 1 − z − 1 X ( z ) {\displaystyle {\frac {1}{1-z^{-1}}}X(z)} ∑ n = − ∞ ∞ ∑ k = − ∞ n x [ k ] z − n = ∑ n = − ∞ ∞ ( x [ n ] + ⋯ ) z − n = X ( z ) ( 1 + z − 1 + z − 2 + ⋯ ) = X ( z ) ∑ j = 0 ∞ z − j = X ( z ) 1 1 − z − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\sum _{k=-\infty }^{n}x[k]z^{-n}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(x[n]+\cdots )z^{-n}\\&=X(z)\left(1+z^{-1}+z^{-2}+\cdots \right)\\&=X(z)\sum _{j=0}^{\infty }z^{-j}\\&=X(z){\frac {1}{1-z^{-1}}}\end{aligned}}} 乗算 x 1 [ n ] x 2 [ n ] {\displaystyle x_{1}[n]\,x_{2}[n]} 1 2 π i ∮ C X 1 ( v ) X 2 ( z v ) v − 1 d v {\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}X_{1}(v)X_{2}({\tfrac {z}{v}})v^{-1}\mathrm {d} v} -
パーセバルの定理
∑ n = − ∞ ∞ x 1 [ n ] x 2 ∗ [ n ] = 1 2 π i ∮ C X 1 ( v ) X 2 ∗ ( 1 v ∗ ) v − 1 d v {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{1}[n]x_{2}^{*}[n]\quad =\quad {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}X_{1}(v)X_{2}^{*}({\tfrac {1}{v^{*}}})v^{-1}\mathrm {d} v} 初期値定理 ： が 因果関係にある場合、 x [ n ] {\displaystyle x[n]}
x [ 0 ] = lim z → ∞ X ( z ) . {\displaystyle x[0]=\lim _{z\to \infty }X(z).} 最終値定理 ： の極が 単位円の内側にある場合、 ( z − 1 ) X ( z ) {\displaystyle (z-1)X(z)}
x [ ∞ ] = lim z → 1 ( z − 1 ) X ( z ) . {\displaystyle x[\infty ]=\lim _{z\to 1}(z-1)X(z).}
ここ：
u : n ↦ u [ n ] = { 1 , n ≥ 0 0 , n < 0 {\displaystyle u:n\mapsto u[n]={\begin{cases}1,&n\geq 0\\0,&n<0\end{cases}}} は 単位（またはヘヴィサイド）ステップ関数 で
あり、
δ : n ↦ δ [ n ] = { 1 , n = 0 0 , n ≠ 0 {\displaystyle \delta :n\mapsto \delta [n]={\begin{cases}1,&n=0\\0,&n\neq 0\end{cases}}} は離散時間単位インパルス関数 である （連続時間版である ディラックのデルタ関数 を参照）。2つの関数は、単位ステップ関数が単位インパルス関数の累積（累積合計）となるように選択される。
信号、 x [ n ] {\displaystyle x[n]} Z変換、 X ( z ) {\displaystyle X(z)} 中華民国 1 δ [ n ] {\displaystyle \delta [n]} 1 すべての z 2 δ [ n − n 0 ] {\displaystyle \delta [n-n_{0}]} z − n 0 {\displaystyle z^{-n_{0}}} z ≠ 0 {\displaystyle z\neq 0} 3 u [ n ] {\displaystyle u[n]\,} 1 1 − z − 1 {\displaystyle {\frac {1}{1-z^{-1}}}} | z | > 1 {\displaystyle |z|>1} 4 − u [ − n − 1 ] {\displaystyle -u[-n-1]} 1 1 − z − 1 {\displaystyle {\frac {1}{1-z^{-1}}}} | z | < 1 {\displaystyle |z|<1} 5 n u [ n ] {\displaystyle nu[n]} z − 1 ( 1 − z − 1 ) 2 {\displaystyle {\frac {z^{-1}}{(1-z^{-1})^{2}}}} | z | > 1 {\displaystyle |z|>1} 6 − n u [ − n − 1 ] {\displaystyle -nu[-n-1]\,} z − 1 ( 1 − z − 1 ) 2 {\displaystyle {\frac {z^{-1}}{(1-z^{-1})^{2}}}} | z | < 1 {\displaystyle |z|<1} 7 n 2 u [ n ] {\displaystyle n^{2}u[n]} z − 1 ( 1 + z − 1 ) ( 1 − z − 1 ) 3 {\displaystyle {\frac {z^{-1}(1+z^{-1})}{(1-z^{-1})^{3}}}} | z | > 1 {\displaystyle |z|>1\,} 8 − n 2 u [ − n − 1 ] {\displaystyle -n^{2}u[-n-1]\,} z − 1 ( 1 + z − 1 ) ( 1 − z − 1 ) 3 {\displaystyle {\frac {z^{-1}(1+z^{-1})}{(1-z^{-1})^{3}}}} | z | < 1 {\displaystyle |z|<1\,} 9 n 3 u [ n ] {\displaystyle n^{3}u[n]} z − 1 ( 1 + 4 z − 1 + z − 2 ) ( 1 − z − 1 ) 4 {\displaystyle {\frac {z^{-1}(1+4z^{-1}+z^{-2})}{(1-z^{-1})^{4}}}} | z | > 1 {\displaystyle |z|>1\,} 10 − n 3 u [ − n − 1 ] {\displaystyle -n^{3}u[-n-1]} z − 1 ( 1 + 4 z − 1 + z − 2 ) ( 1 − z − 1 ) 4 {\displaystyle {\frac {z^{-1}(1+4z^{-1}+z^{-2})}{(1-z^{-1})^{4}}}} | z | < 1 {\displaystyle |z|<1\,} 11 a n u [ n ] {\displaystyle a^{n}u[n]} 1 1 − a z − 1 {\displaystyle {\frac {1}{1-az^{-1}}}} | z | > | a | {\displaystyle |z|>|a|} 12 − a n u [ − n − 1 ] {\displaystyle -a^{n}u[-n-1]} 1 1 − a z − 1 {\displaystyle {\frac {1}{1-az^{-1}}}} | z | < | a | {\displaystyle |z|<|a|} 13 n a n u [ n ] {\displaystyle na^{n}u[n]} a z − 1 ( 1 − a z − 1 ) 2 {\displaystyle {\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}} | z | > | a | {\displaystyle |z|>|a|} 14 − n a n u [ − n − 1 ] {\displaystyle -na^{n}u[-n-1]} a z − 1 ( 1 − a z − 1 ) 2 {\displaystyle {\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}} | z | < | a | {\displaystyle |z|<|a|} 15 n 2 a n u [ n ] {\displaystyle n^{2}a^{n}u[n]} a z − 1 ( 1 + a z − 1 ) ( 1 − a z − 1 ) 3 {\displaystyle {\frac {az^{-1}(1+az^{-1})}{(1-az^{-1})^{3}}}} | z | > | a | {\displaystyle |z|>|a|} 16 − n 2 a n u [ − n − 1 ] {\displaystyle -n^{2}a^{n}u[-n-1]} a z − 1 ( 1 + a z − 1 ) ( 1 − a z − 1 ) 3 {\displaystyle {\frac {az^{-1}(1+az^{-1})}{(1-az^{-1})^{3}}}} | z | < | a | {\displaystyle |z|<|a|} 17 ( n + m − 1 m − 1 ) a n u [ n ] {\displaystyle \left({\begin{array}{c}n+m-1\\m-1\end{array}}\right)a^{n}u[n]} [14] 1 ( 1 − a z − 1 ) m {\displaystyle {\frac {1}{(1-az^{-1})^{m}}}} 、正の整数の場合 [13] m {\displaystyle m} | z | > | a | {\displaystyle |z|>|a|} 18 ( − 1 ) m ( − n − 1 m − 1 ) a n u [ − n − m ] {\displaystyle (-1)^{m}\left({\begin{array}{c}-n-1\\m-1\end{array}}\right)a^{n}u[-n-m]} 1 ( 1 − a z − 1 ) m {\displaystyle {\frac {1}{(1-az^{-1})^{m}}}} 、正の整数の場合 [13] m {\displaystyle m} | z | < | a | {\displaystyle |z|<|a|} 19 cos ( ω 0 n ) u [ n ] {\displaystyle \cos(\omega _{0}n)u[n]} 1 − z − 1 cos ( ω 0 ) 1 − 2 z − 1 cos ( ω 0 ) + z − 2 {\displaystyle {\frac {1-z^{-1}\cos(\omega _{0})}{1-2z^{-1}\cos(\omega _{0})+z^{-2}}}} | z | > 1 {\displaystyle |z|>1} 20 sin ( ω 0 n ) u [ n ] {\displaystyle \sin(\omega _{0}n)u[n]} z − 1 sin ( ω 0 ) 1 − 2 z − 1 cos ( ω 0 ) + z − 2 {\displaystyle {\frac {z^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2z^{-1}\cos(\omega _{0})+z^{-2}}}} | z | > 1 {\displaystyle |z|>1} 21 a n cos ( ω 0 n ) u [ n ] {\displaystyle a^{n}\cos(\omega _{0}n)u[n]} 1 − a z − 1 cos ( ω 0 ) 1 − 2 a z − 1 cos ( ω 0 ) + a 2 z − 2 {\displaystyle {\frac {1-az^{-1}\cos(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z^{-2}}}} | z | > | a | {\displaystyle |z|>|a|} 22 a n sin ( ω 0 n ) u [ n ] {\displaystyle a^{n}\sin(\omega _{0}n)u[n]} a z − 1 sin ( ω 0 ) 1 − 2 a z − 1 cos ( ω 0 ) + a 2 z − 2 {\displaystyle {\frac {az^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z^{-2}}}} | z | > | a | {\displaystyle |z|>|a|}
単位円 として知られる 領域 内 の の値については 、変換を 1 つの実変数の関数として 定義して表すことができます 。また、この双対変換は フーリエ級数 に簡約されます。 z {\displaystyle z} | z | = 1 {\displaystyle |z|{=}1} ω {\displaystyle \omega } z = e i ω . {\displaystyle z{=}e^{i\omega }.}
∑ n = − ∞ ∞ x [ n ] z − n = ∑ n = − ∞ ∞ x [ n ] e − i ω n , {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\ z^{-n}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\ e^{-i\omega n},}
式1
これは、シーケンスの離散時間フーリエ変換 （DTFT） としても知られています 。この 周期関数は、 フーリエ変換 の 周期的な和 であるため、広く用いられている解析ツールとなっています。これを理解するために、を任意 の関数 のフーリエ変換とします。この関数の 、ある区間におけるサンプル数がシーケンス に等しいとします 。すると、シーケンスの DTFT は 次のように表すことができます。 x [ n ] {\displaystyle x[n]} 2 π {\displaystyle 2\pi } X ( f ) {\displaystyle X(f)} x ( t ) {\displaystyle x(t)} T {\displaystyle T} x [ n ] {\displaystyle x[n]} x [ n ] {\displaystyle x[n]}
∑ n = − ∞ ∞ x ( n T ) ⏞ x [ n ] e − 2 i π f n T ⏟ DTFT = 1 T ∑ k = − ∞ ∞ X ( f − k / T ) , {\displaystyle \underbrace {\sum _{n=-\infty }^{\infty }\overbrace {x(nT)} ^{x[n]}\ e^{-2i\pi fnT}} _{\text{DTFT}}={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }X(f-k/T),}
式2
ここで は秒単位、は ヘルツ 単位です 。2つの級数を比較すると、 は サンプルあたりラジアン 単位の 正規化周波数 であることがわかります 。この値 は に対応します 。そして、 を代入することで、 式1は （フーリエ変換） で表すことができます。 T {\displaystyle T} f {\displaystyle f} ω = 2 π f T {\displaystyle \omega {=}2\pi fT} ω = 2 π {\displaystyle \omega {=}2\pi } f = 1 T {\textstyle f{=}{\frac {1}{T}}} f = ω 2 π T , {\textstyle f{=}{\frac {\omega }{2\pi T}},} X ( ω − 2 π k 2 π T ) {\displaystyle X({\tfrac {\omega -2\pi k}{2\pi T}})}
∑ n = − ∞ ∞ x [ n ] e − i ω n = 1 T ∑ k = − ∞ ∞ X ( ω 2 π T − k T ) ⏟ X ( ω − 2 π k 2 π T ) . {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\ e^{-i\omega n}={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\underbrace {X\left({\tfrac {\omega }{2\pi T}}-{\tfrac {k}{T}}\right)} _{X\left({\frac {\omega -2\pi k}{2\pi T}}\right)}.}
式3
パラメータ Tが変化すると、 式 2 の各項は f 軸に沿って離れたり近づいたりします 。ただし、 式 3 では、中心は 2 π 離れたままですが、幅は拡大または縮小します。シーケンスが LTI システム の インパルス応答 を表す場合、これらの関数はその 周波数応答 とも呼ばれます 。 シーケンスが周期的である場合、その DTFT は 1 つ以上の高調波周波数で発散し、他のすべての周波数では 0 になります。これは、高調波周波数で振幅可変の ディラックのデルタ関数を使用することでよく表されます。周期性のため、一意の振幅は有限個しか存在せず、それらははるかに単純な 離散フーリエ変換 (DFT)によって簡単に計算できます。( 「離散時間フーリエ変換」の「§ 周期データ」 を参照してください 。) x ( n T ) {\displaystyle x(nT)} x ( n T ) {\displaystyle x(nT)}
双 一次変換は 、連続時間フィルタ（ラプラス領域で表現）を離散時間フィルタ（Z領域で表現）に変換するために、またその逆の変換に使用できます。以下の置換が用いられます。
s = 2 T ( z − 1 ) ( z + 1 ) {\displaystyle s={\frac {2}{T}}{\frac {(z-1)}{(z+1)}}} ラプラス領域の関数を Z領域の 関数に変換する（ タスティン変換 ）、または H ( s ) {\displaystyle H(s)} H ( z ) {\displaystyle H(z)}
z = e s T ≈ 1 + s T / 2 1 − s T / 2 {\displaystyle z=e^{sT}\approx {\frac {1+sT/2}{1-sT/2}}} Z領域からラプラス領域へ。双線形変換により、複素 s 平面（ラプラス変換）は複素z平面（z変換）に写像されます。この写像は（必然的に）非線形ですが、 s 平面の軸全体をz平面の 単位円 に写像するという点で有用です 。したがって、フーリエ変換（ 軸上で評価されるラプラス変換）は離散時間フーリエ変換になります。これは、フーリエ変換が存在すること、すなわち 軸がラプラス変換の収束領域にあることを前提としています。 i ω {\displaystyle i\omega } i ω {\displaystyle i\omega } i ω {\displaystyle i\omega }
時間サンプリングされた関数の 片側 Z 変換が与えられると、対応する 星印の付いた変換 によってラプラス変換が生成され、 (サンプリング パラメータ) への依存性が復元されます。 X ( z ) {\displaystyle X(z)} T {\displaystyle T}
X ∗ ( s ) = X ( z ) | z = e s T {\displaystyle {\bigg .}X^{*}(s)=X(z){\bigg |}_{\displaystyle z=e^{sT}}} 逆ラプラス変換は、 インパルスサンプリング 関数として知られる数学的な抽象化です。
線形定数係数差分方程式 線形定係数差 (LCCD) 方程式は、自己回帰移動平均 方程式に基づく線形システムの表現です 。
∑ p = 0 N y [ n − p ] α p = ∑ q = 0 M x [ n − q ] β q . {\displaystyle \sum _{p=0}^{N}y[n-p]\alpha _{p}=\sum _{q=0}^{M}x[n-q]\beta _{q}.} 上式の両辺は、ゼロでなけれ ば割ることができる。LCCDで正規化すると、 次の式が書ける。 α 0 {\displaystyle \alpha _{0}} α 0 = 1 , {\displaystyle \alpha _{0}{=}1,}
y [ n ] = ∑ q = 0 M x [ n − q ] β q − ∑ p = 1 N y [ n − p ] α p . {\displaystyle y[n]=\sum _{q=0}^{M}x[n-q]\beta _{q}-\sum _{p=1}^{N}y[n-p]\alpha _{p}.} このLCCD方程式の形は、「現在の」出力が過去の出力、 現在の入力 、および以前の入力の 関数であることをより明確にするのに有利である。 y [ n ] {\displaystyle y[n]} y [ n − p ] , {\displaystyle y[n-p],} x [ n ] , {\displaystyle x[n],} x [ n − q ] . {\displaystyle x[n-q].}
伝達関数 上記の式を Z 変換すると（線形性と時間シフトの法則を使用）、次のようになります。
Y ( z ) ∑ p = 0 N z − p α p = X ( z ) ∑ q = 0 M z − q β q {\displaystyle Y(z)\sum _{p=0}^{N}z^{-p}\alpha _{p}=X(z)\sum _{q=0}^{M}z^{-q}\beta _{q}} ここで 、およびはそれぞれ 、および の Z 変換です 。(表記規則では通常、大文字を使用して、対応する小文字で表された信号の Z 変換を参照します。これは、ラプラス変換の表記規則に似ています。) X ( z ) {\displaystyle X(z)} Y ( z ) {\displaystyle Y(z)} x [ n ] {\displaystyle x[n]} y [ n ] , {\displaystyle y[n],}
システムの 伝達関数 を整理すると次のようになります。
H ( z ) = Y ( z ) X ( z ) = ∑ q = 0 M z − q β q ∑ p = 0 N z − p α p = β 0 + z − 1 β 1 + z − 2 β 2 + ⋯ + z − M β M α 0 + z − 1 α 1 + z − 2 α 2 + ⋯ + z − N α N . {\displaystyle H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {\sum _{q=0}^{M}z^{-q}\beta _{q}}{\sum _{p=0}^{N}z^{-p}\alpha _{p}}}={\frac {\beta _{0}+z^{-1}\beta _{1}+z^{-2}\beta _{2}+\cdots +z^{-M}\beta _{M}}{\alpha _{0}+z^{-1}\alpha _{1}+z^{-2}\alpha _{2}+\cdots +z^{-N}\alpha _{N}}}.}
零点と極点 代数学の基本定理 より、 分子 は 根 （の零点に対応 ） を持ち、 分母は 根（極に対応） を持つ。 伝達関数を 零点と極を 用いて書き直すと、 M {\displaystyle M} H {\displaystyle H} N {\displaystyle N}
H ( z ) = ( 1 − q 1 z − 1 ) ( 1 − q 2 z − 1 ) ⋯ ( 1 − q M z − 1 ) ( 1 − p 1 z − 1 ) ( 1 − p 2 z − 1 ) ⋯ ( 1 − p N z − 1 ) , {\displaystyle H(z)={\frac {(1-q_{1}z^{-1})(1-q_{2}z^{-1})\cdots (1-q_{M}z^{-1})}{(1-p_{1}z^{-1})(1-p_{2}z^{-1})\cdots (1-p_{N}z^{-1})}},} ここで 、 は 番目の零点、 は 番目の極です 。零点と極は一般に複素数であり、複素平面（z平面）上にプロットすると 極零点プロット と呼ばれます。 q k {\displaystyle q_{k}} k {\displaystyle k} p k {\displaystyle p_{k}} k {\displaystyle k}
さらに、 および にも零点と極が存在する可能性があります。 これら の極と零点、および多次の零点と極を考慮すると、零点と極の数は常に等しくなります。 z = 0 {\displaystyle z=0} z = ∞ . {\displaystyle z=\infty .}
分母を因数分解することで 部分分数 分解が可能になり、これを時間領域に戻すことができます。これにより、 システムの インパルス応答と線形定数係数差分方程式が得られます。
出力応答 このようなシステム が信号によって駆動される場合 、出力は の部分分数 分解を 行い 、逆Z変換を行うことで求めることができます。実際には、 を乗算する前に分数分解を行うことで、 容易に計算可能な逆Z変換を持つ項を持つ の形式を生成することが しばしば有用です。 H ( z ) {\displaystyle H(z)} X ( z ) {\displaystyle X(z)} Y ( z ) = H ( z ) X ( z ) . {\displaystyle Y(z)=H(z)X(z).} Y ( z ) {\displaystyle Y(z)} y [ n ] {\displaystyle y[n]} Y ( z ) z {\displaystyle \textstyle {\frac {Y(z)}{z}}} z {\displaystyle z} Y ( z ) {\displaystyle Y(z)}
参照
参考文献 ^ Mandal, Jyotsna Kumar (2020). 「 Z 変換ベースの可逆符号化」. 可逆ステガノグラフィーと変換符号化による認証 . 計算知能研究. 第901巻. シンガポール: Springer Singapore. pp. 157– 195. doi :10.1007/978-981-15-4397-5_7. ISBN 978-981-15-4396-8 . ISSN 1860-949X. S2CID 226413693. Zは複素変数です。Z変換は、離散空間領域信号を複素周波数領域表現に変換します。Z変換はラプラス変換から派生します。 ^ Lynn, Paul A. (1986). 「ラプラス変換と Z 変換」. 『電子信号とシステム』 . ロンドン: Macmillan Education UK. pp. 225– 272. doi :10.1007/978-1-349-18461-3_6. ISBN 978-0-333-39164-8 ラプラス変換と Z 変換はフーリエ変換と密接に関連しています。Z 変換 は 特に離散信号や離散システムを扱うのに適しています。離散時間フーリエ変換よりも簡潔で便利な表記法を提供します。 ^ abc Jury, Eliahu Ibrahim (1964). Z変換法の理論と応用 . ニューヨーク: John Wiley & Sons. pp. XIII, 330 s. ^ Palani, S. (2021-08-26). 「 離散時間信号とシステムの Z変換解析」. Signals and Systems . Cham: Springer International Publishing. pp. 921– 1055. doi :10.1007/978-3-030-75742-7_9. ISBN 978-3-030-75741-0 S2CID 238692483。z 変換 はラプラス変換の離散版です。z変換 は 離散時間システムの差分方程式を代数方程式に変換し、離散時間システム解析を簡素化します。ラプラス変換と z 変換は共通していますが、 ラプラス変換は連続時間信号とシステムを扱う点が異なります。 ^ ER カナセウィッチ (1981).地球物理学における時系列解析。アルバータ大学。 186、249ページ 。ISBN 978-0-88864-074-1 。 ^ ER Kanasewich (1981). 地球物理学における時系列解析（第3版）. アルバータ大学. pp. 185– 186. ISBN 978-0-88864-074-1 。 ^ Ragazzini, JR; Zadeh, LA (1952). 「サンプル値システムの解析」. アメリカ電気学会誌, 第2部: 応用と産業 . 71 (5): 225– 234. doi :10.1109/TAI.1952.6371274. S2CID 51674188. ^ コーネリアス・T・レオンズ (1996). デジタル制御システムの実装と計算技術. アカデミック・プレス. p. 123. ISBN 978-0-12-012779-5 。 ^ Eliahu Ibrahim Jury (1958). サンプルデータ制御システム . John Wiley & Sons. ^ Jackson, Leland B. (1996). 「Z変換」. デジタルフィルタと信号処理 . ボストン, マサチューセッツ州: Springer US. pp. 29– 54. doi :10.1007/978-1-4757-2458-5_3. ISBN 978-1-4419-5153-3 離散時間システムにおけるz変換は、 連続時間システムにおけるラプラス変換に相当します。z は 複素変数です。これは両側 z 変換と呼ばれることもあり、片側z変換は n = 0から無限大までの総和を除いて同じです。片側変換の主な用途は因果シーケンスであり、この場合、2つの変換はいずれにせよ同じです。したがって、ここではこの区別は行わず、...を単に x ( n )のz変換と呼ぶことにします 。 ^ Proakis, John; Manolakis, Dimitris. デジタル信号処理の原理、アルゴリズム、およびアプリケーション （第3版）. PRENTICE-HALL INTERNATIONAL, INC. ^ パオロ・ボルツェルン;スカトリーニ、リッカルド。スキアヴォーニ、ニコラ (2015)。 Fondamenti di Controlli Automatici (イタリア語)。 MCグラウヒル教育。 ISBN 978-88-386-6882-1 。 ^ abc AR Forouzan (2016). 「Z変換の微分の収束領域」. Electronics Letters . 52 (8): 617– 619. Bibcode :2016ElL....52..617F. doi :10.1049/el.2016.0189. S2CID 124802942.
さらに読む Refaat El Attar, Lecture notes on Z-Transform , Lulu Press, Morrisville NC, 2005. ISBN 1-4116-1979-X 。 緒方勝彦著『 離散時間制御システム 第2版 』Prentice-Hall Inc, 1995年、1987年 。ISBN 0-13-034281-5 。 Alan V. Oppenheim、Ronald W. Schafer (1999). 離散時間信号処理 第2版、Prentice Hall信号処理シリーズ. ISBN 0-13-754920-2 。
外部リンク
![{\displaystyle x[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/864cbbefbdcb55af4d9390911de1bf70167c4a3d)
![{\displaystyle X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12f6e27003f8c3271124b8af3ea0092c2906ae3e)
![{\displaystyle X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3e560ddcffcbab6fa176f4d2dd8e3fe60905b55)
![{\displaystyle x[n]={\mathcal {Z}}^{-1}\{X(z)\}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}X(z)z^{n-1}dz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4847f4c62386ec4a5ae39a5051b2e49d1a544ffb)
![{\displaystyle x[n]={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }X(e^{i\omega })e^{i\omega n}d\omega .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7abd1e49840a65aaf87198484575e78a29896399)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {X(z)}{z}}&={\frac {z}{(z-1)(z-0.5)}}={\frac {A_{1}}{z-0.5}}+{\frac {A_{2}}{z-1}}\\[4pt]&A_{1}=\left.{\frac {(z-0.5)X(z)}{z}}\right\vert _{z=0.5}={\frac {0.5}{(0.5-1)}}=-1\\[4pt]&A_{2}=\left.{\frac {(z-1)X(z)}{z}}\right\vert _{z=1}={\frac {1}{1-0.5}}={2}\\[4pt]{\frac {X(z)}{z}}&={\frac {2}{z-1}}-{\frac {1}{z-0.5}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5ee536743fdef894c85efc14cf363dac587177f)
![{\displaystyle \mathrm {ROC} =\left\{z:\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|x[n]z^{-n}\right|<\infty \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be526fbdde2155d84128328df2240b5e403794ab)
![{\displaystyle x[n]=(0.5)^{n}\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af8ef6e5a0960b8f1802d30ef5241e0891ebf3cd)
![{\displaystyle x[n]=\left\{\dots ,(0.5)^{-3},(0.5)^{-2},(0.5)^{-1},1,(0.5),(0.5)^{2},(0.5)^{3},\dots \right\}=\left\{\dots ,2^{3},2^{2},2,1,(0.5),(0.5)^{2},(0.5)^{3},\dots \right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57024415c8d9d5e0e360ea4e218d1159557ee95d)
![{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}\to \infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e39c1521fe62d231dfb0fae8a8583d4fad0882b0)
![{\displaystyle x[n]=(0.5)^{n}\,u[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41ff31d880e271cd92f8a0de8fca2a884a470f6f)
![{\displaystyle x[n]=\left\{\dots ,0,0,0,1,(0.5),(0.5)^{2},(0.5)^{3},\dots \right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d33943cab10384ee7dfe0e1eb83e59ab5b86b4a4)
![{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}=\sum _{n=0}^{\infty }(0.5)^{n}z^{-n}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {0.5}{z}}\right)^{n}={\frac {1}{1-(0.5)z^{-1}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d647f8bad291e3860bef0356ed2e1e7d7fd8496d)
![{\displaystyle x[n]=-(0.5)^{n}\,u[-n-1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b754e901bda5d976fb912b88593f8318f03298f9)
![{\displaystyle x[n]=\left\{\dots ,-(0.5)^{-3},-(0.5)^{-2},-(0.5)^{-1},0,0,0,0,\dots \right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a16fbdf6dcdf10cb142e151b02dabc1df3e32ad2)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\,z^{-n}&=-\sum _{n=-\infty }^{-1}(0.5)^{n}\,z^{-n}\\&=-\sum _{m=1}^{\infty }\left({\frac {z}{0.5}}\right)^{m}\\&=-{\frac {(0.5)^{-1}z}{1-(0.5)^{-1}z}}\\&=-{\frac {1}{(.5)z^{-1}-1}}\\&={\frac {1}{1-(0.5)z^{-1}}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5be3e7c697e7644dec2cabb412a952ea13b29f0)
![{\displaystyle x[n]=(0.5)^{n}\,u[n]-(0.75)^{n}\,u[-n-1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24757e0ebe39ff24fbadb18b584dd3e4844c47dc)
![{\displaystyle (0.5)^{n}\,u[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40d19ef089110f0eece4b4a90c5e0642f045feba)
![{\displaystyle -(0.75)^{n}\,u[-n-1].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5539203328aaac61b66a88967be2b592fbeeedfd)
![{\displaystyle X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3aefa942e18926dd24f0a75ca1f495002704e35f)
![{\displaystyle x[n]={\mathcal {Z}}^{-1}\{X(z)\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05e642979d4bbea30a164bd3c3c0478dd4f42c2d)
![{\displaystyle a_{1}x_{1}[n]+a_{2}x_{2}[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b97ce6ff93cf3ccb0258ad080057561fe1defb16)
![{\displaystyle {\begin{aligned}X(z)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(a_{1}x_{1}[n]+a_{2}x_{2}[n])z^{-n}\\&=a_{1}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{1}[n]\,z^{-n}+a_{2}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}[n]\,z^{-n}\\&=a_{1}X_{1}(z)+a_{2}X_{2}(z)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c7aeec5e88968d7e2a6449f7e6157e693d11ae9)
![{\displaystyle x_{K}[n]={\begin{cases}x[r],&n=Kr\\0,&n\notin K\mathbb {Z} \end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e274e1002f0d604eb381b0e63477d10a32ed9a2)
![{\displaystyle {\begin{aligned}X_{K}(z)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{K}[n]z^{-n}\\&=\sum _{r=-\infty }^{\infty }x[r]z^{-rK}\\&=\sum _{r=-\infty }^{\infty }x[r](z^{K})^{-r}\\&=X(z^{K})\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54126c8971372f4d493ed8cfd04ea0d2da3abc5f)
![{\displaystyle x[Kn]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6a6e62f39dd3b33afd36dbe216281373a3fe73e)
![{\displaystyle x[nk]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fd4fa5b96ade59fee1aa33657f28a6ed743fee0)
![{\displaystyle x:x[n]=0\ \forall \,n<0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/064feb21adc94de59859e741259cafeb7aec6690)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{x[nk]\}&=\sum _{n=0}^{\infty }x[nk]z^{-n}\\&=\sum _{m=-k}^{\infty }x[m]z^{-(m+k)}&&m=nk\\&=\sum _{m=-k}^{\infty }x[m]z^{-m}z^{-k}\\&=z^{-k}\sum _{m=-k}^{\infty }x[m]z^{-m}\\&=z^{-k}\sum _{m=0}^{\infty }x[m]z^{-m}&&x[\beta ]=0、\forall \beta <0\\&=z^{-k}X(z)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b951632d9efed5d05950384520be8f0f53b19536)
![{\displaystyle x[n+k]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e3d26f01fb22189383e95aaaeff42f772b2b7c0)
![{\displaystyle z^{k}\,X(z)-z^{k}\sum _{n=0}^{k-1}x[n]\,z^{-n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ec84d09f2b9b43ce06449d5e31ce6ef022b0e89)
![{\displaystyle x[n]-x[n-1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2294625d3fa83bdd70d50e99c19cc0ad4f103ac7)
![{\displaystyle x[n]{=}0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37285d4c0c4175b42c56d48e38e71ab9385bb921)
![{\displaystyle x[n+1]-x[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/701e3120035bdb76413d2e128ea822b548430a7e)
![{\displaystyle (z-1)\,X(z)-z\,x[0]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0c49f55cc47ccb7fa8d6b1bb04abfa23c3a03a4)
![{\displaystyle x[-n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2958bd31d147e297b9544bac8ecb293bc64c54e2)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{x(-n)\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[-n]z^{-n}\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x[m]z^{m}\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x[m]{(z^{-1})}^{-m}\\&=X(z^{-1})\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2bb25fd03c320dd9783ab673b8b6b2ba2494402)
![{\displaystyle a^{n}x[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd6e6317bd81d87cfd18bb11f24d33e311654f66)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\left\{a^{n}x[n]\right\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a^{n}x[n]z^{-n}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n](a^{-1}z)^{-n}\\&=X(a^{-1}z)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d16469924d1a23da012414c8f9aa68ab5ce2dc62)
![{\displaystyle x^{*}[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ebfe6cd83983535242e2e7090ec8afd92fda490)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{x^{*}(n)\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x^{*}[n]z^{-n}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[x[n](z^{*})^{-n}\right]^{*}\\&=\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n](z^{*})^{-n}\right]^{*}\\&=X^{*}(z^{*})\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcf53fd6250895e56658b9470231684bd8283c8b)
![{\displaystyle \operatorname {Re} \{x[n]\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e937c065ea014ea1a800b7d65e8598dd53b04fe)
![{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left[X(z)+X^{*}(z^{*})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52189e67c3e7a9197f1fef536da483dd8298f088)
![{\displaystyle \operatorname {Im} \{x[n]\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/448ba3d404961701358a86f290f7ed4c584331b1)
![{\displaystyle {\tfrac {1}{2i}}\left[X(z)-X^{*}(z^{*})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17ac6a179c7f288509364ab2974ec58ea47923d9)
![{\displaystyle n\,x[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11abb0a55b0d618b8e0abb36827542f17a8a302f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{n\,x(n)\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }n\,x[n]z^{-n}\\&=z\sum _{n=-\infty }^{\infty }n\,x[n]z^{-n-1}\\&=-z\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n](-n\,z^{-n-1})\\&=-z\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]{\frac {d}{dz}}(z^{-n})\\&=-z{\frac {dX(z)}{dz}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94bd7320d54e685f66c8c758849979e72a9e5359)
![{\displaystyle x_{1}[n]*x_{2}[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c729fc738effd3f2e021a0aafd5b601e5636866e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{x_{1}(n)*x_{2}(n)\}&={\mathcal {Z}}\left\{\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}[l]x_{2}[nl]\right\}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}[l]x_{2}[nl]\right]z^{-n}\\&=\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}[l]\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}[nl]z^{-n}\right]\\&=\left[\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)z^{-l}\right]\!\!\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}[n]z^{-n}\right]\\&=X_{1}(z)X_{2}(z)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/599558cc44ecc8e79ac2fdbae7c34b8f40481b21)
![{\displaystyle r_{x_{1},x_{2}}=x_{1}^{*}[-n]*x_{2}[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5c75f9bd7c335ef723987776fe4b720fdd74ce7)
![{\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{n}x[k]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74d6540c00220987b9e9b320d050bcbba37c4b4b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\sum _{k=-\infty }^{n}x[k]z^{-n}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(x[n]+\cdots )z^{-n}\\&=X(z)\left(1+z^{-1}+z^{-2}+\cdots \right)\\&=X(z)\sum _{j=0}^{\infty }z^{-j}\\&=X(z){\frac {1}{1-z^{-1}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/836a11341c46f4d84c4baf2d2d5f87600fef799a)
![{\displaystyle x_{1}[n]\,x_{2}[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99cbe54bcc58ffe7b1ae760c47a66fba44112360)
![{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{1}[n]x_{2}^{*}[n]\quad =\quad {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}X_{1}(v)X_{2}^{*}({\tfrac {1}{v^{*}}})v^{-1}\mathrm {d} v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8228bef5537755f4f34be5407aa5546904bec4f)
![{\displaystyle x[0]=\lim _{z\to \infty }X(z).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/815494d8476445adef605f74b5b5a6765fb203c4)
![{\displaystyle x[\infty ]=\lim _{z\to 1}(z-1)X(z).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1462160ef0f0d8de8000f78372f2a1b21c2a6031)
![{\displaystyle u:n\mapsto u[n]={\begin{cases}1,&n\geq 0\\0,&n<0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08c15373dbd58410ab17d3c2c7ebe2123e276298)
![{\displaystyle \delta :n\mapsto \delta [n]={\begin{cases}1,&n=0\\0,&n\neq 0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37c07b1365b8d2566271e4752535678f92aedafa)
![{\displaystyle \delta [n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2a6caf535cb44fa3526b2f320330a805edfdfaa)
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![{\displaystyle u[n]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e693a2911b29e6c8d440d97e46d27760559af7c5)
![{\displaystyle -u[-n-1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34dd7dba0f892e5bcad792136d96cd5f5548a327)
![{\displaystyle nu[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8a28e84b105a96db578fb6e6b047465468b77ec)
![{\displaystyle -nu[-n-1]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9c7bfd00539cf805ba91e15a60b73576194dbd1)
![{\displaystyle n^{2}u[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea874c2bd6b83f29b93caf0cbe50ee9131eaebc2)
![{\displaystyle -n^{2}u[-n-1]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcc9d247970a92c7c6a69da9b5a272190dadcd24)
![{\displaystyle n^{3}u[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9e2a53a00fc122eed75716c0c58cf9e58a0f38d)
![{\displaystyle -n^{3}u[-n-1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bd111768ef860fc18a2c93e5dc2fb4b03dfab8c)
![{\displaystyle a^{n}u[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bef62e50254aa3175939a01611766c01f9bf7b39)
![{\displaystyle -a^{n}u[-n-1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4718b1c4477718ebeb49ac1fc41415cadeadf1e7)
![{\displaystyle na^{n}u[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5885cf352282908bc931ed56ad572fa84f6235c)
![{\displaystyle -na^{n}u[-n-1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34d2fae6bc70beb0ec9d5881b38a29d427823fad)
![{\displaystyle n^{2}a^{n}u[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b68eda406d1e088553723c0395d4ce2cdeff46e)
![{\displaystyle -n^{2}a^{n}u[-n-1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97bf891898f79a3cd0cf05030244592b6aaad421)
![{\displaystyle \left({\begin{array}{c}n+m-1\\m-1\end{array}}\right)a^{n}u[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/265fbdad814ad5edba19df01afe0a1599970523d)
![{\displaystyle (-1)^{m}\left({\begin{array}{c}-n-1\\m-1\end{array}}\right)a^{n}u[-nm]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9f894d3f5dec20ad275029a35dcef5edc7c6193)
![{\displaystyle \cos(\omega _{0}n)u[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6911a3c468c99d1dc042b3b5015b48108d9476aa)
![{\displaystyle \sin(\omega _{0}n)u[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f59eccb10aa95ef5ba0a1ed904aee27526fe377d)
![{\displaystyle a^{n}\cos(\omega _{0}n)u[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b90c4e4b46e7725d99960e3f99a846c65a5d5da)
![{\displaystyle a^{n}\sin(\omega _{0}n)u[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4663af1f68929f4e26833381893076c001dfbebb)
![{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\ z^{-n}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\ e^{-i\omega n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e86b731d15a6912fa7093c25d4fea6a0edeb640)
![{\displaystyle \underbrace {\sum _{n=-\infty }^{\infty }\overbrace {x(nT)} ^{x[n]}\ e^{-2i\pi fnT}} _{\text{DTFT}}={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }X(fk/T),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdb93488567f135f8d10e7fe06273b2df9401636)
![{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\ e^{-i\omega n}={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\underbrace {X\left({\tfrac {\omega }{2\pi T}}-{\tfrac {k}{T}}\right)} _{X\left({\frac {\omega -2\pi k}{2\pi T}}\right)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79f6c1e6e3cfe42e876ef2f0480a3778caa96a1b)
![{\displaystyle \sum _{p=0}^{N}y[np]\alpha _{p}=\sum _{q=0}^{M}x[nq]\beta _{q}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5fb60ed165f7ce5a60a48d0451fd542cc95f468)
![{\displaystyle y[n]=\sum _{q=0}^{M}x[nq]\beta _{q}-\sum _{p=1}^{N}y[np]\alpha _{p}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fea05d580f1b1fecb9f9aa3ec3d80a9e0d8b02b1)
![{\displaystyle y[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/305428e6d1fb59cd0163a7a96ace52292a262afa)
![{\displaystyle y[np],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d224fa438c7aab68c6b38ab5de42587a72ab55b)
![{\displaystyle x[n],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e286f372d35a48fc88332f573f2902beb862047)
![{\displaystyle x[nq].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/221d482c89fbc60c5364597d575eaa157517e61e)
![{\displaystyle y[n],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74c8579afa836b8b67d735951c952e23e114a5bb)
