ゼロ除算

逆関数y = ⁠1/×⁠ . x が右からゼロに近づくと、 y は正の無限大に近づきます。xが左からゼロに近づくと、 y は負の無限大に近づきます。

数学において、ゼロ除算、つまり分母（除数）がゼロとなる除算は、問題の多い特殊なケースです。分数表記を用いると、一般的な例は⁠ ⁠と表すことができます。ここで⁠ ⁠は被除数（分子）です。 ${\displaystyle {\tfrac {a}{0}}}$ ${\displaystyle a}$

初等算術における商の通常の定義は、除数を掛けたときに被除数をもたらす数です。つまり、⁠ ⁠は⁠ ⁠と同等です。この定義によれば、積⁠ ⁠は常に⁠ ⁠であり、他の何らかの数⁠ ⁠ではないため、商⁠ ⁠は無意味です。ゼロ除算を許容しながら初等代数の通常の規則に従うと、数学的な誤謬、つまり不合理な結果につながる微妙な誤りが生じる可能性があります。これを防ぐために、実数および体と呼ばれるより一般的な数値構造の算術では、ゼロ除算は未定義のままであり、ゼロ除算が発生する可能性のある状況は注意して扱わなければなりません。どの数にもゼロを掛けるとゼロになるため、式⁠ ⁠も未定義です。 ${\displaystyle c={\tfrac {a}{b}}}$ ${\displaystyle c\times b=a}$ ${\displaystyle q={\tfrac {a}{0}}}$ ${\displaystyle q\times 0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\tfrac {0}{0}}}$

微積分学では、関数の入力が極限値に向かうときの挙動を研究します。実関数が分母がゼロに向かう分数として表せる場合、関数の出力は任意に大きくなり、「無限大に向かう」と言われます。これは数学的な特異点の一種です。例えば、逆関数⁠ ⁠ ${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x}}}$は⁠ ⁠が ${\displaystyle x}$⁠ ⁠ ${\displaystyle 0}$に向かうのと同じように無限大に向かいます。分子と分母の両方が同じ入力でゼロに向かう場合、結果として得られる極限は分数を形成する特定の関数に依存し、それらの個別の極限からは決定できないため、式 は不定形になると言われます。

実数などの体を扱い、ゼロ除算を未定義のままにするという一般的な慣例の代わりとして、ゼロ除算の結果を他の方法で定義して、異なる数体系にすることが可能です。たとえば、商⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {a}{0}}}$はゼロに等しいと定義できます。また、無限大記号⁠ ⁠で表されることもある、新しい明示的な無限大点に等しいと定義できます。あるいは、被除数の符号に応じて正または負の符号を持つ符号付き無限大になるように定義することもできます。これらの数体系では、ゼロ除算自体はもはや特別な例外ではありませんが、無限大点には、独自の新しいタイプの例外的な動作が伴います。 ${\displaystyle \infty }$

計算において、ゼロ除算を試みるとエラーが発生する可能性があります。文脈や数値の種類によっては、ゼロ除算は正または負の無限大、特殊な非数、プログラムクラッシュなどを引き起こす可能性があります。

初等算数

分割の意味

この区分は概念的に ${\displaystyle N/D=Q}$いくつかの方法で解釈することができる。^{[ 1 ]}

商除算では、被除数が大き ${\displaystyle N}$さ( ${\displaystyle D}$除数)の部分に分割され、商が結果として生じる部分の数であると想定されます。 ${\displaystyle Q}$たとえば、10枚のパンでサンドイッチを作る場合、それぞれに2枚のパンが必要です。合計5個のサンドイッチを作ることができます ( ⁠ ⁠ ) 。今度は、1つのサンドイッチ (おそらく ${\displaystyle {\tfrac {10}{2}}=5}$レタスラップ)に必要なパンが0枚だと想像してください。パンは関係ないので、10枚のパンから任意の数のサンドイッチを作ることができます。^{[ 2 ]}

除算の概念は、繰り返し減算による計算に適しています。除算とは、被除数が尽きるまでに、除数を何回減算できるかを数えることを意味します。ゼロを有限回数減算しても、非ゼロの被除数が尽きることはないため、この方法でゼロ除算を計算することは決して終わりません。^{[ 3 ]}このような終わりのないゼロ除算アルゴリズムは、一部の機械式計算機によって物理的に実証されています。^{[ 4 ]}

分割除算では、被除数が複数 ${\displaystyle N}$の部分 ${\displaystyle D}$に分割され、商が各部分 ${\displaystyle Q}$のサイズとなると想定します。例えば、10個のクッキーを2人の友人で分けるとします。各友人は5個のクッキーを受け取ります（⁠ ⁠ ） ${\displaystyle {\tfrac {10}{2}}=5}$。次に、10個のクッキーを0人の友人で分けるとします。各友人はいくつのクッキーを受け取るでしょうか？友人がいないので、これは不合理です。^{[ 5 ]}

平面上の直線の傾きは、垂直座標と水平座標の差の比です。垂直線の場合、これは1:0、つまりゼロ除算のようなものです。

別の解釈では、商⁠ ⁠は ${\displaystyle Q}$比率⁠ ⁠ ${\displaystyle N:D}$を表します。^{[ 6 ]}例えば、ケーキのレシピで小麦粉 10カップと砂糖 2 カップが必要な場合、比率は⁠ ⁠ ${\displaystyle 10:2}$、つまり比例して⁠ ⁠ ${\displaystyle 5:1}$です。このレシピをケーキの量に合わせて調整するには、小麦粉と砂糖の比率を⁠ ⁠ ${\displaystyle 5:1}$に比例させます。たとえば、小麦粉 1 カップと砂糖 1/5 カップ、または小麦粉 50 カップと砂糖 10 カップです。^{[ 7 ]}次に、砂糖なしのケーキのレシピで小麦粉 10 カップと砂糖 0 カップが必要だと想像してください。比率⁠ ⁠ ${\displaystyle 10:0}$、つまり比例して⁠ ⁠ ${\displaystyle 1:0}$は完全に理にかなっています。^{[ 8 ]}それはケーキに砂糖が含まれていないことを意味します。しかし、「砂糖 1 部に対して小麦粉は何部か」という質問には、まだ意味のある数値的な答えはありません。

除算を比として解釈する幾何学的な外観は、デカルト平面上の直線の傾きです。^{[ 9 ]}傾きは、直線に沿った「上昇」（垂直座標の変化）を「走行」（水平座標の変化）で割ったものとして定義されます。これを対称比表記法を使用して書くと、水平線の傾きは⁠ ⁠、垂直線の傾きは⁠ ⁠となります。しかし、傾きを単一の実数とすると、水平線の傾きは⁠ ⁠となり、垂直線の傾きは未定義となります。これは、実数演算では商⁠ ⁠が未定義であるためです。^{[ 10 ]}原点を通る直線の実数値の傾き⁠ ⁠は、図の黒い破線で示される、水平座標⁠ ⁠にある直線と垂直線との交点の垂直座標です。垂直の赤い線と黒い破線は平行であるため、平面内で交点はありません。時には、それらは無限遠点で交差するとされ、その比⁠ ⁠は新たな数⁠ ⁠で表される。^{[ 11 ]} § 射影的に延長された実数直線の項を参照。垂直線は「無限に急な」傾きを持つと言われることがある。 ${\displaystyle 0:1}$ ${\displaystyle 1:0}$ ${\displaystyle {\tfrac {0}{1}}=0}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{0}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {y}{x}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1:0}$ ${\displaystyle \infty }$

乗算の逆数

割り算は乗算の逆です。つまり、同じ非ゼロの量を掛けて割る（またはその逆）と、元の量は変化しません。たとえば、 ⁠ ⁠ ${\displaystyle (5\times 3)/3=(5/3)\times 3=5}$。^{[ 12 ]}したがって、「6 を 3 で割ると何になるか」などの除算問題は、それを乗算を含む同等の方程式「3 に何をかけると 6 になるか」として書き直し、次にステートメントが真となる値を見つけることで解決できます。記号的に、これらは⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {6}{3}}={?}}$と書き直され、同様に⁠ ⁠ ${\displaystyle {?}\times 3=6}$と書き直されます。ここで、⁠ ⁠ は ${\displaystyle ?}$各方程式の同じ未知数を表します。この場合、未知数は⁠ ⁠ ${\displaystyle 2}$です。なぜなら⁠ ⁠ ${\displaystyle 2\times 3=6}$なので、したがって⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {6}{3}}=2}$です。^{[ 13 ]}

ゼロ除算を含む類似の問題⁠ ⁠は、 ${\displaystyle {\tfrac {6}{0}}={?}}$⁠ ⁠ ${\displaystyle {?}\times 0=6}$を満たす未知数を決定することを要求する。しかし、任意の数をゼロで乗じると6ではなく0になるため、 ⁠ ⁠ ${\displaystyle ?}$の代わりに真の命題を導く数は存在しない。 ^{[ 14 ]}

問題を⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {0}{0}}={?}}$に変更すると、同等の乗法ステートメントは⁠ ⁠ ${\displaystyle {?}\times 0=0}$です。この場合、未知の数量の代わりに任意の値を代入して真のステートメントを生成できるため、商⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {0}{0}}}$として割り当てることができる単一の数値はありません。

これらの困難さのため、除数がゼロである商は伝統的に未定義とみなされ、ゼロ除算は許可されていません。^{[ 15 ] [ 16 ]}

誤謬

ゼロ除算を許可しない説得力のある理由は、それを許可すると誤りが生じるからです。

数値を扱う場合、ゼロ除算の不正は簡単に見分けられます。例えば、

⁠ ⁠ ${\displaystyle 0\times 1=0}$と⁠ ⁠ ${\displaystyle 0\times 2=0}$から⁠ ⁠ ${\displaystyle 0\times 1=0\times 2}$が得られます。両辺から⁠ ⁠ を消去すると ${\displaystyle 0}$⁠ ⁠ ${\displaystyle 1=2}$となり、これは誤った記述です。

ここでの誤りは、他の数と同様に⁠ ⁠ ${\displaystyle 0}$をキャンセルすることが正当であるという仮定から生じますが、実際には、そうすることは⁠ ⁠ ${\displaystyle 0}$による割り算の一種です。

代数学を用いることで、ゼロ除算を偽装して無効な証明を得ることが可能である^{[ 17 ]}。例えば^{[ 18 ]}

⁠ ⁠ ${\displaystyle x=1}$とします。両辺に⁠ ⁠ ${\displaystyle x}$を掛けると⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle x=x^{2}}$になります。各辺から⁠ ⁠ ${\displaystyle 1}$を引くと ⁠ ⁠ になります。右辺は因数分解できます。両辺を⁠ ⁠で割ると ⁠ ⁠ になります。⁠ ⁠を代入すると $${\displaystyle x-1=x^{2}-1.}$$ $${\displaystyle x-1=(x+1)(x-1).}$$ ${\displaystyle x-1}$ $${\displaystyle 1=x+1.}$$ ${\displaystyle x=1}$ $${\displaystyle 1=2.}$$

これは本質的には前の数値バージョンと同じ誤った計算ですが、 ⁠ ⁠を ${\displaystyle 0}$⁠ ⁠ ${\displaystyle x-1}$と書いたため、ゼロ除算が難読化されました。

初期の試み

ブラフマグプタ（598年頃-668年）の『ブラフマスフタシッダーンタ』は、ゼロをそれ自体の数として扱い、ゼロを含む演算を定義した最も古い文献である。 ^{[ 17 ]}ブラフマグプタによれば、

正の数または負の数をゼロで割ると、ゼロを分母とする分数になります。ゼロを負の数または正の数で割ると、ゼロ、または分子がゼロで分母が有限量である分数として表されます。ゼロをゼロで割るとゼロになります。

830年、マハーヴィーラはブラフマグプタの著書『ガニタ・サーラ・サングラハ』で犯した「数はゼロで割っても変化しない」という誤りを正そうとしたが、失敗した。^{[ 17 ]}

バースカラ2世の『リーラーヴァティー』（12世紀）は、ゼロ除算は無限量になると主張した。^{[ 19 ]}

量をゼロで割ると、分母がゼロとなる分数となる。この分数は無限量と呼ばれる。この量は、その除数がゼロである量であり、たとえ多くのものが挿入されたり抽出されたりしても、変化は起こらない。無限にして不変の神においては、たとえ世界が創造されたり破壊されたりしても、無数の生命体が吸収されたり放出されたりしても、何の変化も起こらないのと同様である。

歴史的に、 ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {a}{0}}}$に値を割り当てることが数学的に不可能であるという記述の最も古い記録の一つは、1734年にアイルランド系イギリス人哲学者ジョージ・バークリーが著書『アナリスト』（「消え去った量の亡霊」）の中で行った微積分学に対する批判である。^{[ 20 ]}

微積分

微積分学では、極限の概念を用いて関数の挙動を研究します。極限とは、関数の入力が特定の値に近づくにつれて、出力が向かう値です。表記法⁠ ⁠は、 ⁠ ⁠を⁠ ⁠に十分近い値に選ぶことで、関数⁠ ⁠の値を⁠ ⁠に任意に近づけることができることを意味します。 ${\displaystyle \textstyle \lim _{x\to c}f(x)=L}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c}$

実関数⁠ ⁠の極限が ${\displaystyle f}$⁠ ⁠ ${\displaystyle x}$に近づくにつれて際限なく増加する場合、その関数は⁠ ⁠（一種の数学的特異点）では定義されません。その代わりに、その関数は「 ${\displaystyle c}$無限大に向かう」と言われ、⁠ ⁠と表記され、そのグラフには垂直漸近線として直線⁠ ⁠を持ちます。このような関数は⁠ ⁠に対して正式に定義されておらず、この場合の無限大記号⁠ ⁠は特定の実数を表していませんが、このような極限は非公式には「等しい無限大」と呼ばれます。関数の値が際限なく減少する場合、その関数は「負の無限大に向かう」と言われます。場合によっては、⁠ ⁠ が上方 ( ⁠ ⁠ ) と下方 ( ⁠ ⁠ ) から⁠ ⁠に向かうときに、関数が2つの異なる値に向かうことがあります。このような関数には、2つの異なる^片側極限があります。^[ 21 ^] ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \textstyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty }$ ${\displaystyle x=c}$ ${\displaystyle x=c}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle x\to c^{+}}$ ${\displaystyle x\to c^{-}}$

無限特異点の基本的な例は、逆関数⁠ ⁠ ${\displaystyle f(x)=1/x}$です。 これは、 ⁠ ⁠が ⁠ ⁠に ${\displaystyle x}$近づくにつれて、正または負の無限大に近づきます。 ${\displaystyle 0}$ $${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1}{x}}=+\infty ,\qquad \lim _{x\to 0^{-}}{\frac {1}{x}}=-\infty .}$$

ほとんどの場合、関数の商の極限は、各関数の極限の商に等しい。 $${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)}{\displaystyle \lim _{x\to c}g(x)}}.}$$

しかし、2 つの関数を分割してその個別の極限が両方とも⁠ ⁠ ${\displaystyle 0}$に等しい関数を構築する場合、結果の極限は個別の極限から決定できないため、不定形式、非公式には⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {0}{0}}}$と表記される形式になると言われています。(もう 1 つの不定形式⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {\infty }{\infty }}}$は、両方の極限が無限大になる 2 つの関数を分割した場合に生じます。) このような極限は、特定の関数に応じて、任意の実数値に等しい場合もあれば、無限大になる場合もあり、まったく収束しない場合もあります。たとえば、 では 分子と分母の個別の極限は⁠ ⁠であるため、不定形式⁠ ⁠となりますが、まず商を簡略化すると、極限が存在することがわかります。 $${\displaystyle \lim _{x\to 1}{\dfrac {x^{2}-1}{x-1}},}$$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\tfrac {0}{0}}}$ $${\displaystyle \lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=\lim _{x\to 1}{\frac {(x-1)(x+1)}{x-1}}=\lim _{x\to 1}(x+1)=2.}$$

代替の記数法

拡張実数直線

アフィン拡張実数は、実数⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} }$に、それぞれ「正の無限大」と「負の無限大」と読み、無限遠点を表す2つの新しい数⁠ ⁠ ${\displaystyle +\infty }$と⁠ ⁠を加えることで得られます。 ${\displaystyle -\infty }$⁠ ⁠を追加することで、「無限遠点における極限」の概念を有限極限のように機能させることができます。正と負の両方の拡張実数を扱う場合、式⁠ ⁠は通常未定義のままです。ただし、非負の値のみを考慮するコンテキストでは、 ⁠ ⁠を定義すると便利な場合がよくあります。 ${\displaystyle \pm \infty }$ ${\displaystyle 1/0}$ ${\displaystyle 1/0=+\infty }$

射影的に拡張された実数直線

集合⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\infty \}}$は射影的に拡張された実数直線で、実数直線の1 点コンパクト化です。ここで⁠ ⁠ は ${\displaystyle \infty }$符号なし無限大または無限大点、つまり正でも負でもない無限量を意味します。この量は⁠ ⁠ ${\displaystyle -\infty =\infty }$を満たしており、これはこの文脈では必須です。この構造では、⁠ ⁠ は ${\displaystyle {\tfrac {a}{0}}=\infty }$⁠ ⁠が ${\displaystyle a}$⁠ ⁠でない場合に⁠ ⁠を定義でき、⁠ ⁠が ⁠ ⁠でない場合に⁠ ⁠ を定義できます。これは ${\displaystyle {\tfrac {a}{\infty }}=0}$三角法の正接関数と余接関数の値域を見る自然な方法です。⁠ ⁠が ⁠ ⁠または⁠ ⁠にどちらの方向からでも近づくと、 ⁠ ⁠ は無限大点に近づきます。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \tan x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle +{\tfrac {1}{2}}\pi }$ ${\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}\pi }$

この定義は多くの興味深い結果をもたらします。しかし、結果として得られる代数構造は体ではなく、体のように振る舞うとは期待できません。例えば、実数直線のこの拡張において、 ⁠ ⁠ ${\displaystyle \infty +\infty }$は未定義です。

リーマン球面

複素解析は、微積分の概念を複素数に適用する学問です。この学問において特に重要なのは、拡張複素数です。これは、 ${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$複素数に1つの追加の数を付加した集合で、通常は無限大記号⁠ ⁠ ${\displaystyle \infty }$で表され、無限遠点を表します。無限遠点はすべての外部領域に含まれると定義され、それらの外部領域は位相近傍となります。

これは直感的に、複素平面の無限の辺を ⁠ ⁠ でまとめて一点⁠ ⁠ ${\displaystyle \infty }$に固定する、つまり一点コンパクト化と考えることができ、拡張複素数は球面と位相的に同値になります。この同値性は、逆立体射影を介して各複素数を球面上の点にマッピングし、結果として得られる球面距離を複素数間の距離の新しい定義として適用することで、計量的な同値性に拡張できます。一般に、球面の幾何学は複素数演算を使用して研究でき、逆に複素数演算は球面幾何学の観点から解釈できます。結果として、拡張複素数の集合はしばしばリーマン球面と呼ばれます。集合は通常、アスタリスク、上線、チルダ、またはサーカムフレックスで装飾された複素数の記号で表されます (例⁠ ⁠ ) ${\displaystyle {\hat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}}$。

拡張複素数では、任意の非ゼロ複素数⁠ ⁠に対して、通常の複素演算に ${\displaystyle z}$⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {z}{0}}=\infty }$、⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {z}{\infty }}=0}$、⁠ ⁠ ${\displaystyle \infty +0=\infty }$、⁠ ⁠ ${\displaystyle \infty +z=\infty }$、⁠ ⁠ ${\displaystyle \infty \cdot z=\infty }$という追加規則が追加されます。ただし、⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {0}{0}}}$、⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {\infty }{\infty }}}$、および⁠ ⁠ ${\displaystyle 0\cdot \infty }$は未定義のままです。

高等数学

基礎算術において、整数（正の整数）に適用される四則演算（加算、減算、乗算、除算）は、一定の制約の下で、それらが適用される数の領域の拡張を支える枠組みとして用いられます。例えば、任意の整数から別の整数を減算できるようにするには、負の整数も含め、数の領域を整数の集合全体に拡張する必要があります。同様に、任意の整数を任意の整数で除算できるようにするには、数の領域を有理数まで拡張する必要があります。この数体系の段階的な拡張においては、「拡張された演算」を古い数に適用した場合に異なる結果が生じないように注意が払われます。大まかに言えば、整数の設定ではゼロ除算は意味を持たない（未定義である）ため、設定が実数や複素数に拡張されても、このことは変わりません。^{[ 22 ]}

これらの演算を適用できる数の範囲が広がるにつれて、演算の見方も変化します。例えば、整数の範囲では、減算はもはや基本的な演算とはみなされません。なぜなら、符号付き数の加算に置き換えられるからです。^{[ 23 ]}同様に、数の範囲が有理数を含むように拡大すると、除算は特定の有理数による乗算に置き換えられます。この視点の変化に伴い、「なぜゼロで割ってはいけないのか？」という問いは、「なぜ有理数は分母がゼロであってはいけないのか？」という問いに変わります。この問いに正確に答えるには、有理数の定義を綿密に検討する必要があります。

実数体を構築する現代的なアプローチにおいて、有理数は集合論に基づく発展の中間段階として登場する。まず、自然数（ゼロを含む）がペアノの公理系などの公理に基づいて確立され、次にこれが整数環に拡張される。次のステップは、既に確立されている集合と演算、すなわち加算、乗算、および整数のみを使用して行う必要があることを念頭に置きながら、有理数を定義することである。整数の順序付きペアの集合、 ⁠ ⁠ ${\displaystyle \{(a,\,b)\}}$と⁠ ⁠ ${\displaystyle b\neq 0}$から始めて、この集合上に、 ⁠ ⁠が⁠ ⁠である必要最低限​​の二項関係を定義する。この関係は同値関係であることが示され、その同値類は有理数として定義される。この関係が同値関係であることの正式な証明において、2番目の座標がゼロでないという要件が必要になる（推移性を検証するため）。^{[ 24 ] [ 25 ] [ 26 ]} ${\displaystyle (a,b)\simeq (c,d)}$ ${\displaystyle ad=bc}$

ゼロ除算は実数や整数では明確に定義できませんが、他の数学的構造ではゼロ除算や同様の演算を一貫して定義できます。

非標準分析

超実数ではゼロ除算は依然として不可能であるが、ゼロでない無限小数による除算は可能である。^{[ 27 ]}超実数でも同様である。^{[ 28 ]}

分配理論

超関数論では、関数⁠ ⁠ を ${\displaystyle {\tfrac {1}{x}}}$実数空間全体の超関数に拡張することができます（実際にはコーシー主値を用いることで）。しかし、この超関数の⁠ ⁠ ${\displaystyle x=0}$における「値」を求めるのは意味がありません。洗練された答えは、超関数の特異台を参照することです。

線形代数

行列代数では、正方形または長方形の数のブロックを、あたかもそれ自体が数であるかのように操作します。行列は加算や乗算が可能で、場合によっては除算も可能です。行列で割るということは、より正確には、その逆行列で乗算することを意味します。すべての行列に逆行列があるわけではありません。^{[ 29 ]}例えば、ゼロのみを含む行列は逆行列ではありません。

⁠ ⁠ を ${\displaystyle \textstyle a/b=ab^{+}}$設定することで擬似除算を定義できます。ここで、⁠ ⁠ は ${\displaystyle \textstyle b^{+}}$⁠ ⁠の擬似逆を表します。 ⁠ ⁠ が存在する場合、⁠ ⁠が成り立つことが証明できます。 ⁠ ⁠ が存在する場合、⁠ ⁠ が成り立ちます。 ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \textstyle b^{-1}}$ ${\displaystyle \textstyle b^{+}=b^{-1}}$ ${\displaystyle b=0}$ ${\displaystyle \textstyle b^{+}=0}$

抽象代数

抽象代数では、整数、有理数、実数、複素数は、可換環 などのより一般的な代数構造に抽象化できます。可換環は、加算、減算、乗算がより一般的な数体系と同じように動作しますが、除算が定義されていない可能性がある数学的構造です。可換環に乗法逆数を接続することを局所化といいます。ただし、すべての可換環のゼロでの局所化は自明環（ここで⁠ ⁠ ） ${\displaystyle 0=1}$であるため、非自明な可換環にはゼロでの逆数が存在せず、したがって非自明な可換環ではゼロ除算は定義されていません。

それでもなお、可換環を形成する任意の数体系は、常にゼロ除算が可能なホイールと呼ばれる構造に拡張することができる。 ^{[ 30 ]}しかし、結果として得られる数学的構造はもはや可換環ではなく、乗算が加算に対して分配されなくなるためである。さらに、ホイールにおいては、元を自身で除算してももはや乗法単位元⁠ ⁠ ${\displaystyle 1}$をもたらさず、元の系が整域であった場合、ホイールにおける乗算はもはや相殺半群 ⁠をもたらさない。

標準的な算術に適用される概念は、環や体などのより一般的な代数構造の概念に似ています。体では、すべての非ゼロ元は乗算に対して可逆です。上記のように、除算で問題が発生するのは、ゼロで割ろうとした場合のみです。これは、歪体でも同様です(このため、除算環と呼ばれます)。ただし、他の環では、非ゼロ元による除算でも問題が発生する可能性があります。たとえば、 6を法とする整数の環⁠ ⁠です。式 ${\displaystyle \mathbf {Z} /6\mathbf {Z} }$⁠ ⁠の意味は、方程式⁠ ⁠の解⁠ ⁠であるはずです。しかし、環⁠ ⁠では、⁠ ⁠はゼロの因子です。この方程式には、 ⁠ ⁠と⁠ ⁠という 2 つの異なる解があるため、式⁠ ⁠は未定義です。 ${\displaystyle {\tfrac {2}{2}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 2x=2}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} /6\mathbf {Z} }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle x=1}$ ${\displaystyle x=4}$ ${\displaystyle {\tfrac {2}{2}}}$

体論において、表現⁠ ⁠は形式表現 ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle ab^{-1}}$の省略形に過ぎず、ここで⁠ ⁠は ${\displaystyle \textstyle b^{-1}}$⁠ ⁠ ${\displaystyle b}$の逆数です。体の公理は非零元に対してのみそのような逆数の存在を保証するため、この表現は⁠ ⁠ ${\displaystyle b}$が零の場合には意味を持ちません。体を特別な種類の環として定義する現代のテキストには、体に対する公理⁠ ⁠ ${\displaystyle 0\neq 1}$ (またはそれと同等のもの)が含まれており、零環は体であることから除外されます。零環では零除算が可能であり、これは体を定義する際に他の体の公理だけでは零除算を排除するのに十分ではないことを示しています。

コンピュータ演算

浮動小数点演算

コンピューティングにおいて、ほとんどの数値計算は浮動小数点演算によって行われ、これは1980年代以降、IEEE 754仕様によって標準化されています。IEEE浮動小数点演算では、数値は符号（正または負）、固定精度の仮数部、および整数指数を用いて表されます。指数が大きすぎて表現できない数値は、正または負の無限大（+∞または-∞）に「オーバーフロー」し、指数が小さすぎて表現できない数値は、正または負のゼロ（+0または-0）に「アンダーフロー」します。NaN （非数）値は未定義の結果を表します。

In IEEE arithmetic, division of 0/0 or ∞/∞ results in NaN, but otherwise division always produces a well-defined result. Dividing any non-zero number by positive zero (+0) results in an infinity of the same sign as the dividend. Dividing any non-zero number by negative zero (−0) results in an infinity of the opposite sign as the dividend. This definition preserves the sign of the result in case of arithmetic underflow.^[31]

For example, using single-precision IEEE arithmetic, if ⁠ ${\displaystyle \textstyle x=-2^{-149}}$⁠, then ⁠ ${\displaystyle x/2}$⁠ underflows to ⁠ ${\displaystyle -0}$⁠, and dividing ⁠ ${\displaystyle 1}$⁠ by this result produces ⁠ ${\displaystyle 1/(x/2)=-\infty }$⁠. The exact result ⁠ ${\displaystyle \textstyle -2^{150}}$⁠ is too large to represent as a single-precision number, so an infinity of the same sign is used instead to indicate overflow.

Integer arithmetic

Handheld calculators, such as this TI-86, typically halt and display an error message after an attempt to divide by zero.

Integer division by zero is usually handled differently from floating point since there is no integer representation for the result. CPUs differ in behavior: for instance x86 processors trigger a hardware exception, while PowerPC processors silently generate an incorrect result for the division and continue, and ARM processors can either cause a hardware exception or return zero.^[32] Because of this inconsistency between platforms, the C and C++programming languages consider the result of dividing by zero undefined behavior.^[33] In typical higher-level programming languages, such as Python,^[34] an exception is raised for attempted division by zero, which can be handled in another part of the program.

In proof assistants

Many proof assistants, such as Rocq and Lean, define 1/0 = 0. This is due to the requirement that all functions are total. Such a definition does not create contradictions, as further manipulations (such as cancelling out) still require that the divisor is non-zero.^[35][36]

Historical accidents

• 1997年9月21日、 USSヨークタウン（CG-48）の「リモートデータベースマネージャ」でゼロ除算エラーが発生し、ネットワーク上のすべてのマシンがダウンし、艦の推進システムが故障した。^{[ 37 ] [ 38 ]}

参照

• ゼロ除数
• ゼロのゼロ乗
• ロピタルの法則

注記

1. チェン2023、75–83頁。
2. Zazkis & Liljedahl 2009、p. 52-53。
3. Zazkis & Liljedahl 2009、p. 55-56。
4. Kochenburger, Ralph J.; Turcio, Carolyn J. (1974), Computers in Modern Society , Santa Barbara: Hamilton,除算を含むその他の演算も電卓で実行できます (ただし、ゼロ除算はしないでください。手動で停止するまで、電卓は除算を止めません)。
   ビデオデモについては、「機械式計算機でゼロで割るとどうなるか？」（2021年3月7日、 2024年1月6日取得）をご覧ください。YouTube経由
5. Zazkis & Liljedahl 2009、pp. 53-54では、王の相続人が12個のダイヤモンドの相続財産を平等に分割する例が示され、王の遺言が執行される前に相続人全員が死亡した場合には何が起こるかが問われています。
6. 中国、台湾、日本の教科書では、比率⁠ ⁠ ${\displaystyle N:D}$と比率の値⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {N}{D}}}$を区別して表記するのが一般的です。一方、アメリカの教科書では、これらを同じものを表す2つの表記として扱うのが一般的です。
   ロー、ジェーン・ジェーン、渡辺、タッド、蔡、金発（2004）「比概念の発達：アジアの視点」中学校数学教育、9（7）：362-367、doi：10.5951/MTMS.9.7.0362、JSTOR  41181943
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出典

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• ハミルトン、AG（1982）、数、集合、公理、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0521287616
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• シューマッハー、キャロル（1996）、第0章：抽象数学の基本概念、アディソン・ウェスレー、ISBN 978-0-201-82653-1
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さらに読む

• ノースロップ、ユージン・P.（1944年）『数学の謎：パラドックス集』ニューヨーク：D.ヴァン・ノストランド、第5章「ゼロで割ってはならない」、77～96ページ
• セイフェ、チャールズ（2000年）『ゼロ：危険なアイデアの伝記』ニューヨーク：ペンギン社、ISBN 0-14-029647-6
• サッペス、パトリック（1957）、論理学入門、プリンストン：D.ヴァン・ノストランド、§8.5「ゼロ除算の問題」および§8.7「ゼロ除算への5つのアプローチ」（ドーバー再版、1999年）
• タルスキ、アルフレッド（1941）『論理学と演繹科学の方法論入門』オックスフォード大学出版局、§53「定義に同一性記号を含む定義」

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