ゼロ除数

Ring element that can be multiplied by a non-zero element to equal 0

抽象代数では、環Rの元 a が左零因子と呼ばれるのは、 Rに零でないxが存在してax = 0となる場合です^[1] 。あるいは、x をaxに写すRからRへの写像が単射でない場合と同値です^[a]。同様に、環の 元a が右零因子と呼ばれるのは、 Rに零でないy が存在してya = 0となる場合です。これは、環における割り切れる可能性の部分的なケースです。左零因子または右零因子である元は、単に零因子と呼ばれます^[2]。左零因子と右零因子の両方である元 a は、両側零因子と呼ばれます( ax = 0となる零でないx は、 ya = 0となる零でないyと異なる場合があります)。環が可換である場合、左零因子と右零因子は同じです。

環の元が左零因子でない（それぞれ、右零因子でない）場合、それを左正則あるいは左消尽可能（それぞれ、右正則あるいは右消尽可能）と呼ぶ。環の元が左と右が消尽可能で、したがって零因子でない場合、それを正則あるいは消尽可能^[3]あるいは非零因子と呼ぶ。（注：「非零因子」において、接頭辞「非」は単に「零」という単語ではなく、「零因子」全体を修飾するものと理解される。いくつかの文献では、明確にするために「零因子」を「零因子」、「非零因子」を「非零因子」^[4]あるいは「非零因子」^{[5]と書く。）零でない零因子は}非零零因子あるいは非自明零因子と呼ばれる。非自明な零因子を持たない非零環は、定義域と呼ばれます。

例

• 環 では、 であるため、剰余類は零因子です。 ${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {\overline {2}}}$ ${\displaystyle {\overline {2}}\times {\overline {2}}={\overline {4}}={\overline {0}}}$
• 整数環の唯一の零因子は です。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 0}$
• 非零環のべき零元は常に両側零因子です。
• 環の冪等元 は常に両側零因子である。 ${\displaystyle e\neq 1}$ ${\displaystyle e(1-e)=0=(1-e)e}$
• 体上のn  ×  n行列の環には、 n ≥ 2の場合、非零の零因子が存在します。2 × 2行列の環（任意の非零環上）における零因子の例を以下に示します。

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-2&1\\-2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}},}$$ $${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}.}$$

• 2つ以上の非零環の直積には、必ず非零の零因子が存在する。例えば、 において、各非零のが であるとき、 は零因子である。 ${\displaystyle R_{1}\times R_{2}}$ ${\displaystyle R_{i}}$ ${\displaystyle (1,0)(0,1)=(0,0)}$ ${\displaystyle (1,0)}$
• を体とし、を群とする。 が有限位数の元を持つと仮定する。すると、群環においてが存在し、どちらの因数もゼロではないので、は の非ゼロの零因子となる。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle K[G]}$ ${\displaystyle (1-g)(1+g+\cdots +g^{n-1})=1-g^{n}=0}$ ${\displaystyle 1-g}$ ${\displaystyle K[G]}$

片側零除数

• およびの（形式）行列環を考えます。するとおよび が成り立ちます。 の場合、 が偶数のときかつその場合に限り、は左零因子です。これは であるためです。また、 が偶数 のときかつその場合に限り、 は右零因子です。 のいずれかがの場合、それは両側零因子です。 ${\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle x,z\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle y\in \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}xa&xb+yc\\0&zc\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}xa&ya+zb\\0&zc\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle x\neq 0\neq z}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&x\\0&0\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x,z}$ ${\displaystyle 0}$
• これは、片側のみが零因子である元を持つ環の別の例です。 を整数列のすべての集合とします。 環 に対して、点ごとの加法と合成を環演算とする、から へのすべての加法写像を取ります。 （つまり、我々の環は、加法群 の自己準同型環です。）この環の元の 3 つの例は、右シフト、左シフト、および最初の因子 への射影写像です。これら 3 つの加法写像はすべて零でなく、合成写像と は両方とも零であるため、からへの加法写像の環において は左零因子であり、 は右零因子です。ただし、は右零因子ではなく、は左零因子ではありません。合成写像は恒等写像です。は両側零因子です。なぜなら であり、 はどの方向にも零因子ではないからです。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},...)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathrm {End} (S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R(a_{1},a_{2},a_{3},...)=(0,a_{1},a_{2},...)}$ ${\displaystyle L(a_{1},a_{2},a_{3},...)=(a_{2},a_{3},a_{4},...)}$ ${\displaystyle P(a_{1},a_{2},a_{3},...)=(a_{1},0,0,...)}$ ${\displaystyle LP}$ ${\displaystyle PR}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle LR}$ ${\displaystyle RL}$ ${\displaystyle RLP=0=PRL}$ ${\displaystyle LR=1}$

非例

• 素数を法とする整数環には、非零の零因子は存在しない。すべての非零元は単位元であるため、この環は有限体である。
• より一般的には、除算環には非零の零因子は存在しません。
• 唯一の零因子が 0 である非零可換環は整域と呼ばれます。

プロパティ

• 体上のn  ×  n行列の環において、左零因子と右零因子は一致し、それらはまさに特異行列である。整域上のn  ×  n行列の環において、零因子はまさに行列式が零である行列である。
• 左または右の零因子が単位因子になることはありません。なぜなら、aが逆で、ゼロでない何らかのxに対してax = 0の場合、0 = a ⁻¹ 0 = a ⁻¹ ax = xとなり、矛盾が生じるからです。
• 要素は、それが正則な側ではキャンセル可能です。つまり、 aが左正則であれば、ax = ayはx = yを意味し、右正則でも同様です。

ゼロをゼロの除数として

a = 0 の場合、定義がこの場合にも適用されるため、 別の規則は必要ありません。

• R が零環以外の環である場合、任意の非零元x は0 x = 0 = x  0を満たすため、 0は（両側）零因子です。
• Rが0 = 1となる零環である場合、0を乗じて0になる非零元は存在しないため、 0 は零因子ではありません。

いくつかの参考文献では、慣例により、すべての環において0 を零因子として含めたり除外したりしていますが、その場合、次のようなステートメントで例外を導入する必要が生じます。

• 可換環Rにおいて、非零因子の集合はRの乗法集合である。（これは、全商環の定義において重要である。）可換環か否かに関わらず、任意の環における非左零因子の集合と非右零因子の集合についても同様である。
• 可換ネーター環 Rにおいて、零因子の集合はRの関連する素イデアルの和集合である。

モジュール上の零除数

R を可換環、M をR加群、a をRの元とする。aの「乗法」写像が単射であるとき、aはM正則であるといい、そうでないとき、 aはMの零因子であるという。^[6] M正則元 の集合はRの乗法集合である。^[6] ${\displaystyle M\,{\stackrel {a}{\to }}\,M}$

「 M正則」と「 M上の零因子」の定義をM = Rの場合に特化すると、この記事で前述した「正則」と「零因子」の定義が復元されます。

参照

• 零積性
• 可換代数の用語集（正確な零因子）
• 零因子グラフ
• セデニオン（約数がゼロ）

注記

1. 写像は単射ではないので、 ax = ayとなり、 x はyと異なるため、 a ( x − y ) = 0 となります。

参考文献

1. N. Bourbaki (1989)、代数学 I、第1章～第3章、Springer-Verlag、98ページ
2. チャールズ・ランスキー（2005年）、抽象代数の概念、アメリカ数学会、342ページ
3. ニコラ・ブルバキ (1998).代数I.シュプリンガー・サイエンス+ビジネス・メディア. p. 15.
4. “Non zero-divisors | Stacks Project Blog”. 2012年5月10日. 2025年7月20日閲覧。
5. Reid, Miles (1995). 『学部生向け可換代数』ロンドン数学会学生用テキスト. ケンブリッジ; ニューヨーク: ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-45255-7。
6. 松村秀之(1980)、『可換代数』第2版、ベンジャミン/カミングス出版社、p. 12

さらに読む

• 「零因子」数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• ミシェル・ヘイズウィンケル;ナディヤ・グバレーニ。ナデジダ・ミハイロヴナ・グバレニ。ウラジミール・V・キリチェンコ。 (2004)、代数、環およびモジュール、vol. 1、シュプリンガー、ISBN 1-4020-2690-0
• ワイスタイン、エリック・W.「ゼロ・ディバイザー」。マスワールド。

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