ゾーン球面調和関数

回転対称性の数学的研究において、ゾーン球面調和関数は、特定の固定軸を中心とした回転に対して不変である特殊な球面調和関数です。ゾーン球面関数は、ゾーン球面調和関数の概念を広範に拡張したもので、より一般的な対称群を許容します。

二次元球面上では、北極を固定した回転に対して不変なℓ次の唯一の帯状球面調和関数は、球面座標で次のように表される。ここで、Pℓ_はℓ次の正規化されたルジャンドル多項式、である。ℓ次の一般的な帯状球面調和関数は、で表され、xは固定軸を表す球面上の点、yは関数の変数である。これは、基本帯状調和関数を回転させることによって得られる。 $${\displaystyle Z^{(\ell )}(\theta ,\phi )={\frac {2\ell +1}{4\pi }}P_{\ell }(\cos \theta )}$$ ${\displaystyle P_{\ell }(1)=1}$ ${\displaystyle Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}(\mathbf {y} )}$ ${\displaystyle Z^{(\ell )}(\theta ,\phi ).}$

n次元ユークリッド空間において、帯状球面調和関数は次のように定義される。xを( n −1) 球面上の点とする。 を、 次球面調和関数の有限次元ヒルベルト空間における線型汎関数の、球面上の一様測度に関する双対表現と定義する。言い換えれば、再生核 が存在する。ここでは 上の一様測度である。 ${\displaystyle Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}}$ $${\displaystyle P\mapsto P(\mathbf {x} )}$$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\ell }}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n-1}}$ $${\displaystyle Y(\mathbf {x} )=\int _{S^{n-1}}Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}(\mathbf {y} )Y(\mathbf {y} )\,d\Omega (y),\quad \forall Y\in {\mathcal {H}}_{\ell }}$$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n-1}}$

調和ポテンシャルとの関係

ゾーン調和関数は、 R ⁿの単位球体に対するポアソン核の係数として自然に現れます。xとyの単位ベクトルに対して、は(n-1)次元球の表面積です。また、ニュートン核とは、^{x、y∈R n}で、定数c n 、 kは次_のように与えられます。 $${\displaystyle {\frac {1}{\omega _{n-1}}}{\frac {1-r^{2}}{|\mathbf {x} -r\mathbf {y} |^{n}}}=\sum _{k=0}^{\infty }r^{k}Z_{\mathbf {x} }^{(k)}(\mathbf {y} ),}$$ ${\displaystyle \omega _{n-1}}$ $${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |^{n-2}}}=\sum _{k=0}^{\infty }c_{n,k}{\frac {|\mathbf {x} |^{k}}{|\mathbf {y} |^{n+k-2}}}Z_{\mathbf {x} /|\mathbf {x} |}^{(k)}(\mathbf {y} /|\mathbf {y} |)}$$ $${\displaystyle c_{n,k}={\frac {1}{\omega _{n-1}}}{\frac {2k+n-2}{(n-2)}}.}$$

ニュートン核のテイラー級数の係数（適切な正規化を施した場合）は、まさに超球面多項式である。したがって、帯状球面調和関数は次のように表される。α = ( n −2)/2 とすれば、は上記の定数であり、は次数 の超球面多項式である。2次元の場合はその特殊ケースであり、 のとき、ルジャンドル多項式は超球面多項式の特殊ケースとなる。 $${\displaystyle Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}(\mathbf {y} )={\frac {n+2\ell -2}{n-2}}C_{\ell }^{(\alpha )}(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )}$$ ${\displaystyle c_{n,\ell }}$ ${\displaystyle C_{\ell }^{(\alpha )}}$ ${\displaystyle \ell }$ $${\displaystyle Z^{(\ell )}(\theta ,\phi )={\frac {2\ell +1}{4\pi }}P_{\ell }(\cos \theta )}$$ ${\displaystyle \alpha =1/2}$

プロパティ

• ゾーン球面調和関数は回転不変であり、あらゆる直交変換Rに対して回転不変であることを意味する。逆に、任意のS ^{n −1} × S ^{n −1}上の関数f ( x , y )が、各固定xに対してyの球面調和関数であり、この不変性を満たす場合、それはℓ次ゾーン調和関数の定数倍となる。 $${\displaystyle Z_{R\mathbf {x} }^{(\ell )}(R\mathbf {y} )=Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}(\mathbf {y} )}$$
• Y ₁ , ..., Y _dがH _ℓの直交基底である場合、 $${\displaystyle Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}(\mathbf {y} )=\sum _{k=1}^{d}Y_{k}(\mathbf {x} ){\overline {Y_{k}(\mathbf {y} )}}.}$$
• x = yで評価すると $${\displaystyle Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}(\mathbf {x} )=\omega _{n-1}^{-1}\dim \mathbf {H} _{\ell }.}$$

参考文献

• スタイン、エリアス；ワイス、グイド（1971年）、ユークリッド空間におけるフーリエ解析入門、プリンストン、ニュージャージー：プリンストン大学出版局、ISBN 978-0-691-08078-9。

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