3 31 ハニカム

3 31ハニカム
（画像なし）
タイプ	均一なテッセレーション
シュレーフリ記号	{3,3,3,3 3,1 }
コクセターシンボル	3月31日
コクセター・ディンキン図
7面タイプ	3月21日 {3 6 }
6面タイプ	2 21 {3 5 }
5面タイプ	2 11 {3 4 }
4面タイプ	{3 3 }
細胞の種類	{3 2 }
顔のタイプ	{3}
顔の形	0 31
エッジ図	1 31
頂点図形	2 31
コクセターグループ	${\displaystyle {\tilde {E}}_{7}}$, [3 3,3,1 ]
プロパティ	頂点推移

7次元幾何学において、3 ₃₁ハニカムは均一なハニカムであり、シュレーフリ記号{3,3,3,3 ^3,1 }でも表され、 3 ₂₁と7 単体の 面で構成され、各頂点の周りにはそれぞれ 56 と 576 の面があります。

工事

これは、7 次元空間内の 8 つの超平面ミラーのセットに基づくWythoff 構成によって作成されます。

ファセット情報は、Coxeter-Dynkin 図から抽出できます。

短い枝のノードを削除すると、6 単体ファセットが残ります。

長さ 3 のブランチの端にあるノードを削除すると、3 ₂₁ファセットが残ります。

頂点図形は、環状ノードを削除し、隣接するノードを環状にすることで決定されます。これにより、2 ₃₁多面体が作成されます。

エッジ図形は、環状ノードを削除し、隣接するノードを環状にすることで決定される。これにより6-デミキューブ（1 ₃₁）が生成される。

面図形は、環状ノードを除去し、隣接するノードを環状にすることで決定される。これにより、修正5単体( 0 ₃₁ )が得られる。

セル図形は、面図形の環状節点を除去し、隣接する節点を環状にすることで決定されます。これにより、 {}×{3,3}の四面体柱が形成されます。

キスナンバー

このモザイク状の各頂点は、7 次元で知られている最も稠密なパッキングにおける 6 球面の中心です。その接吻数は126 で、頂点図 2 ₃₁の頂点で表されます。

E7格子

3× ₃₁ハニカムの頂点配置はE7格子と呼ばれます。 [ ₁ ^]

${\displaystyle {\tilde {E}}_{7}}$は指数144の部分群として含む^。[2]とは異なるノードからのアフィン拡張として見ることができる。 ${\displaystyle {\tilde {A}}_{7}}$ ${\displaystyle {\tilde {E}}_{7}}$ ${\displaystyle {\tilde {A}}_{7}}$ ${\displaystyle A_{7}}$

E _{7格子は、2つの A 7}格子の頂点の和集合として表すことができ、A ₇ ²とも呼ばれます。

＝∪

E 7 ^*格子（E ₇ ²とも呼ばれる）^[3]_は、対称性が2倍あり、[[3,3 ^3,3 ]]で表される。E ₇ ^*格子のボロノイセルは1 ₃₂多面体であり、ボロノイ分割は1 33ハニカムである。^[4] E ₇ ^*格子は、コクセター図の各長枝から1つずつ、 E _{7格子の頂点の2つのコピーで構成され、4つのA 7} ^*格子_{（A 7 4}^とも呼ばれる）の和集合として構成することができる。

∪＝∪∪∪= の双対。

関連するハニカム

これは、コクセターによって_3k1級数として表現された、一様多面体とハニカムの次元級数である。退化した4次元の例としては、3球面タイリング、すなわち正四面体ホソヘドロンがある。

3k _1次元図形

空間	有限				ユークリッド	双曲線
n	4	5	6	7	8	9
コクセター グループ	A 3 A 1	A5​	D6​	E 7	${\displaystyle {\tilde {E}}_{7}}$=E 7 +	${\displaystyle {\bar {T}}_{8}}$=E 7 ++
コクセター 図
対称	[3 −1,3,1 ]	[3 0,3,1 ]	[[3 1,3,1 ]] = [4,3,3,3,3]	[3 2,3,1 ]	[3 3,3,1 ]	[3 4,3,1 ]
注文	48	720	46,080	2,903,040	∞
グラフ					-	-
名前	3 1,-1	3 10	3月11日	3月21日	331	341

参照

• 8次元多面体
• 1 ₃₃ハニカム

参考文献

1. 「ラティスE7」。
2. NWジョンソン：幾何学と変換、（2018）第12章：ユークリッド対称群、p 177
3. 「ラティスE7」。
4. E6*格子とE7*格子のボロノイセル Archived 2016-01-30 at the Wayback Machine、Edward Pervin

• HSM Coxeter著『Regular Polytopes』第3版、ドーバー、ニューヨーク、1973年
• コクセター 『幾何学の美：12のエッセイ』ドーバー出版、1999年、ISBN 978-0-486-40919-1（第3章：ワイトフの一様多面体の構築）
• 万華鏡：HSMコクセター選集、F・アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、アジア・アイビック・ワイス編、ワイリー・インターサイエンス出版、1995年、ISBN 978-0-471-01003-6[1] Googleブック
  • （論文24）HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
• RT Worley, E7*のボロノイ領域. SIAM J. Discrete Math., 1.1 (1988), 134-141.
• コンウェイ, ジョン・H. ;スローン, ニール・JA (1998). 『球面パッキング、格子、群』（第3版）. ニューヨーク: シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 0-387-98585-9。p124-125, 8.2 7次元格子：E7とE7*
• クリッツィング、リチャード。 「7D ヘプタコム x3o3o3o3o3o3o *d3o - naquoh」。

v t e 2～9次元の基本凸正則ハニカムと一様ハニカム
空間	家族	${\displaystyle {\tilde {A}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {C}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {B}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {D}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$/ / ${\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}$ ${\displaystyle {\tilde {E}}_{n-1}}$
E 2	均一なタイリング	0 [3]	δ 3	hδ 3	qδ 3	六角
E 3	均一な凸型ハニカム	0 [4]	δ 4	hδ 4	qδ 4
E4​	均一な4ハニカム	0 [5]	δ 5	hδ 5	qδ 5	24セルハニカム
E 5	均一な5ハニカム	0 [6]	δ 6	hδ 6	qδ 6
E 6	均一な6ハニカム	0 [7]	δ 7	hδ 7	qδ 7	2 22
E 7	均一な7ハニカム	0 [8]	δ 8	hδ 8	qδ 8	1 33 • 331
E8​	均一な8ハニカム	0 [9]	δ 9	hδ 9	qδ 9	1 52 • 2 51 • 5 21
E9​	均一な9ハニカム	0 [10]	δ 10	hδ 10	qδ 10
E 10	均一な10ハニカム	0 [11]	δ 11	hδ 11	qδ 11
E n −1	均一な（n −1）ハニカム	0 [ n ]	δ n	hδ n	qδ n	1 k 2 • 2 k 1 • k 21

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