1 32 多面体

均一多面体

3月21日		2 31		1 32
修正 3 21			3 21を2等分した
修正 2 31			修正1 32
E 7 コクセター平面における直交投影

7次元幾何学では、1 ₃₂はE7群から構築された均一多面体です。

コクセター記号は1 ₃₂で、 1 ノード シーケンスの 1 つの端に単一のリングを持つ、分岐コクセター-ディンキン図を表します。

修正された 1 ₃₂は、 1 ₃₂の中央のエッジにある点によって構成されます。

これらの多面体は、7次元の127（2 ⁷ −1）個の凸一様多面体族の一部であり、一様多面体の面と頂点図形で構成され、このコクセター・ディンキン図の環のすべての順列によって定義されます。。

1₃₂多面体

1 32
タイプ	一様7次元多面体
家族	1 k 2多面体
シュレーフリ記号	{3,3 3,2 }
コクセターシンボル	1 32
コクセター図
6面	182: 56 1 22 126 1 31
5面	4284: 756 1 21 1512 1 21 2016 {3 4 }
4面	23688: 4032 {3 3 } 7560 1 11 12096 {3 3 }
細胞	50400: 20160 {3 2 } 30240 {3 2 }
顔	40320 {3}
エッジ	10080
頂点	576
頂点図形	t 2 {3 5 }
ペトリー多角形	八角形
コクセターグループ	E 7、[3 3,2,1 ]、注文 2903040
プロパティ	凸状

この多面体は7次元空間をモザイク状に並べることができ、記号は1 ₃₃、コクセター・ディンキン図は、これは双対E ₇ ^*格子のボロノイセルである。^[1]

別名

• エマヌエル・ロデウェイク・エルテは1912年に半正多面体のリストの中で、この多面体をV _{576 （頂点数が576であることから）と名付けました。} ^[2]
• コクセターは、1 ノードの枝の端に単一のリングを持つ、分岐するコクセター・ディンキン図にちなんで、これを1 _{32と名付けました。}
• ペンタコンタヘキサ-ヘカトニコシヘキサ-エクソン（略称：lin） - 56-126ファセットポリエクソン（ジョナサン・バウアーズ）^[3]

画像

コクセター平面投影

E7	E6 / F4	B7 / A6
[18]	[12]	[7x2]
A5	D7 / B6	D6 / B5
[6]	[12/2]	[10]
D5 / B4 / A4	D4 / B3 / A2 / G2	D3 / B2 / A3
[8]	[6]	[4]

工事

これは、7 次元空間内の 7 つの超平面ミラーのセットに基づくWythoff 構成によって作成されます。

ファセット情報はコクセター・ディンキン図から抽出できる。

2長枝の端のノードを除去すると、6デミキューブ、1 ₃₁が残ります。

3長枝の端のノードを削除すると、1 ₂₂が残ります。

頂点図形は、環状ノードを除去し、隣接するノードを環状にすることで決定される。これにより、双平行化6単体、0 ₃₂、

配置行列で見ると、要素数はミラー除去とコクセター群の順序の比によって導くことができる。^[4]

E 7		k面	f k	f 0	f 1	f 2	f 3		f 4			f 5			f 6		k桁	注記
A6​		（）	f 0	576	35	210	140	210	35	105	105	21	42	21	7	7	2r{3,3,3,3,3}	E 7 / A 6 = 72*8!/7! = 576
A 3 A 2 A 1		{ }	f 1	2	10080	12	12	18	4	12	12	6	12	3	4	3	{3,3}x{3}	E 7 /A 3 A 2 A 1 = 72*8!/4!/3!/2 = 10080
A 2 A 2 A 1		{3}	f 2	3	3	40320	2	3	1	6	3	3	6	1	3	2	{ }∨{3}	E 7 /A 2 A 2 A 1 = 72*8!/3!/3!/2 = 40320
A 3 A 2		{3,3}	f 3	4	6	4	20160	*	1	3	0	3	3	0	3	1	{3}∨( )	E 7 /A 3 A 2 = 72*8!/4!/3! = 20160
A 3 A 1 A 1				4	6	4	*	30240	0	2	2	1	4	1	2	2	フィリック二蝶形骨	E 7 /A 3 A 1 A 1 = 72*8!/4!/2/2 = 30240
A 4 A 2		{3,3,3}	f 4	5	10	10	5	0	4032	*	*	3	0	0	3	0	{3}	E 7 /A 4 A 2 = 72*8!/5!/3! = 4032
D 4 A 1		{3,3,4}		8	24	32	8	8	*	7560	*	1	2	0	2	1	{ }∨( )	E 7 / D 4 A 1 = 72*8!/8/4!/2 = 7560
A 4 A 1		{3,3,3}		5	10	10	0	5	*	*	12096	0	2	1	1	2		E 7 /A 4 A 1 = 72*8!/5!/2 = 12096
D 5 A 1		h{4,3,3,3}	f 5	16	80	160	80	40	16	10	0	756	*	*	2	0	{ }	E 7 / D 5 A 1 = 72*8!/16/5!/2 = 756
D5​				16	80	160	40	80	0	10	16	*	1512	*	1	1		E 7 / D 5 = 72*8!/16/5! = 1512
A 5 A 1		{3,3,3,3,3}		6	15	20	0	15	0	0	6	*	*	2016	0	2		E 7 /A 5 A 1 = 72*8!/6!/2 = 2016
E 6		{3,3 2,2 }	f 6	72	720	2160	1080	1080	216	270	216	27	27	0	56	*	（）	E 7 / E 6 = 72*8!/72/6! = 56
D6​		h{4,3,3,3,3}		32	240	640	160	480	0	60	192	0	12	32	*	126		E 7 / D 6 = 72*8!/32/6! = 126

関連する多面体とハニカム

1 _{32 は、}コクセターによって1 _3k級数として表された、一様多面体とハニカムの次元級数の3番目の図です。次の図はユークリッドハニカム1 ₃₃、最後の図は非コンパクト双曲型ハニカム1 ₃₄です。

1 _3k次元図形

空間	有限				ユークリッド	双曲線
n	4	5	6	7	8	9
コクセター グループ	A 3 A 1	A5​	D6​	E 7	${\displaystyle {\tilde {E}}_{7}}$=E 7 +	${\displaystyle {\bar {T}}_{8}}$=E 7 ++
コクセター 図
対称	[3 −1,3,1 ]	[3 0,3,1 ]	[3 1,3,1 ]	[3 2,3,1 ]	[[3 3,3,1 ]]	[3 4,3,1 ]
注文	48	720	23,040	2,903,040	∞
グラフ					-	-
名前	1 3,-1	1 30	1 31	132	1 33	134

n次元の1k2図形​​
空間	有限						ユークリッド	双曲線
n	3	4	5	6	7	8	9	10
コクセター グループ	E 3 =A 2 A 1	E 4 =A 4	E 5 =D 5	E 6	E 7	E8​	E 9 = = E 8 + ${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$	E 10 = = E 8 ++ ${\displaystyle {\bar {T}}_{8}}$
コクセター 図
対称性 （秩序）	[3 −1,2,1 ]	[3 0,2,1 ]	[3 1,2,1 ]	[[3 2,2,1 ]]	[3 3,2,1 ]	[3 4,2,1 ]	[3 5,2,1 ]	[3 6,2,1 ]
注文	12	120	1,920	103,680	2,903,040	6億9672万9600	∞
グラフ							-	-
名前	1 −1,2	1 02	1 12	1 22	132	1 42	1 52	1 62

修正1₃₂多面体

修正1 32
タイプ	一様7次元多面体
シュレーフリ記号	t 1 {3,3 3,2 }
コクセターシンボル	0 321
コクセター・ディンキン図
6面	758
5面	12348
4面	72072
細胞	191520
顔	241920
エッジ	120960
頂点	10080
頂点図形	{3,3}×{3}×{}
コクセターグループ	E 7、[3 3,2,1 ]、注文 2903040
プロパティ	凸状

平行化された 1 ₃₂（0 ₃₂₁とも呼ばれる）は、 1 _{32多面体の}平行化であり、 1 ₃₂の辺の中心に新しい頂点を作成します。その頂点図形は、正四面体と三角形の積である二重プリズムプリズムであり、プリズムは二重プリズムです：{3,3}×{3}×{}。

別名

• 整流された56-126面体ポリエクソン（略称：ロリン）（ジョナサン・バウアーズ）^[5]

工事

これは、7次元空間における7つの超平面鏡の集合に基づくウィトフ構成によって生成される。これらの鏡は、コクセター・ディンキン図で表される。リングはアクティブなミラーの位置を表します。

3長枝の端のノードを除去すると、修正された1 ₂₂多面体が残ります。

長さ2の枝の端の節点を除去すると、デミヘキセラクト、1 ₃₁が残る。

長さ1の枝の端のノードを削除すると、6次元の双対単体が残ります。

頂点図形は、環状ノードを除去し、隣接するノードを環状にすることで決定される。これにより、正四面体三角形の双角柱プリズム、{3,3}×{3}×{}が得られる。

配置行列で見ると、要素数はミラー除去とコクセター群の順序の比によって導くことができる。^[4]

E 7		k面	f k	f 0	f 1	f 2			f 3					f 4						f 5					f 6			k桁	注記
A 3 A 2 A 1		（）	f 0	10080	24	24	12	36	8	12	36	18	24	4	12	18	24	12	6	6	8	12	6	3	4	2	3	{3,3}x{3}x{ }	E 7 /A 3 A 2 A 1 = 72*8!/4!/3!/2 = 10080
A 2 A 1 A 1		{ }	f 1	2	120960	2	1	3	1	2	6	3	3	1	3	6	6	3	1	3	3	6	2	1	3	1	2	（ ）v{3}v{ }	E 7 /A 2 A 1 A 1 = 72*8!/3!/2/2 = 120960
A 2 A 2		0 1	f 2	3	3	80640	*	*	1	1	3	0	0	1	3	3	3	0	0	3	3	3	1	0	3	1	1	{3}v( )v( )	E 7 /A 2 A 2 = 72*8!/3!/3! = 80640
A 2 A 2 A 1				3	3	*	40320	*	0	2	0	3	0	1	0	6	0	3	0	3	0	6	0	1	3	0	2	{3}v{ }	E 7 /A 2 A 2 A 1 = 72*8!/3!/3!/2 = 40320
A 2 A 1 A 1				3	3	*	*	120960	0	0	2	1	2	0	1	2	4	2	1	1	2	4	2	1	2	1	2	{ }v{ }v( )	E 7 /A 2 A 1 A 1 = 72*8!/3!/2/2 = 120960
A 3 A 2		0 2	f 3	4	6	4	0	0	20160	*	*	*	*	1	3	0	0	0	0	3	3	0	0	0	3	1	0	{3}v( )	E 7 /A 3 A 2 = 72*8!/4!/3! = 20160
		0 11		6	12	4	4	0	*	20160	*	*	*	1	0	3	0	0	0	3	0	3	0	0	3	0	1
A 3 A 1				6	12	4	0	4	*	*	60480	*	*	0	1	1	2	0	0	1	2	2	1	0	2	1	1	蝶形骨	E 7 /A 3 A 1 = 72*8!/4!/2 = 60480
A 3 A 1 A 1				6	12	0	4	4	*	*	*	30240	*	0	0	2	0	2	0	1	0	4	0	1	2	0	2	{ }v{ }	E 7 /A 3 A 1 A 1 = 72*8!/4!/2/2 = 30240
A 3 A 1		0 2		4	6	0	0	4	*	*	*	*	60480	0	0	0	2	1	1	0	1	2	2	1	1	1	2	蝶形骨	E 7 /A 3 A 1 = 72*8!/4!/2 = 60480
A 4 A 2		0 21	f 4	10	30	20	10	0	5	5	0	0	0	4032	*	*	*	*	*	3	0	0	0	0	3	0	0	{3}	E 7 /A 4 A 2 = 72*8!/5!/3! = 4032
A 4 A 1				10	30	20	0	10	5	0	5	0	0	*	12096	*	*	*	*	1	2	0	0	0	2	1	0	{ }v()	E 7 /A 4 A 1 = 72*8!/5!/2 = 12096
D 4 A 1		0 111		24	96	32	32	32	0	8	8	8	0	*	*	7560	*	*	*	1	0	2	0	0	2	0	1		E 7 / D 4 A 1 = 72*8!/8/4!/2 = 7560
A4​		0 21		10	30	10	0	20	0	0	5	0	5	*	*	*	24192	*	*	0	1	1	1	0	1	1	1	( )v( )v( )	E 7 / A 4 = 72*8!/5! = 34192
A 4 A 1				10	30	0	10	20	0	0	0	5	5	*	*	*	*	12096	*	0	0	2	0	1	1	0	2	{ }v()	E 7 /A 4 A 1 = 72*8!/5!/2 = 12096
		0 3		5	10	0	0	10	0	0	0	0	5	*	*	*	*	*	12096	0	0	0	2	1	0	1	2
D 5 A 1		0 211	f 5	80	480	320	160	160	80	80	80	40	0	16	16	10	0	0	0	756	*	*	*	*	2	0	0	{ }	E 7 / D 5 A 1 = 72*8!/16/5!/2 = 756
A5​		0 22		20	90	60	0	60	15	0	30	0	15	0	6	0	6	0	0	*	4032	*	*	*	1	1	0		E 7 / A 5 = 72*8!/6! = 4032
D5​		0 211		80	480	160	160	320	0	40	80	80	80	0	0	10	16	16	0	*	*	1512	*	*	1	0	1		E 7 / D 5 = 72*8!/16/5! = 1512
A5​		0 31		15	60	20	0	60	0	0	15	0	30	0	0	0	6	0	6	*	*	*	4032	*	0	1	1		E 7 / A 5 = 72*8!/6! = 4032
A 5 A 1				15	60	0	20	60	0	0	0	15	30	0	0	0	0	6	6	*	*	*	*	2016	0	0	2		E 7 /A 5 A 1 = 72*8!/6!/2 = 2016
E 6		0 221	f 6	720	6480	4320	2160	4320	1080	1080	2160	1080	1080	216	432	270	432	216	0	27	72	27	0	0	56	*	*	（）	E 7 / E 6 = 72*8!/72/6! = 56
A6​		0 32		35	210	140	0	210	35	0	105	0	105	0	21	0	42	0	21	0	7	0	7	0	*	576	*		E 7 / A 6 = 72*8!/7! = 576
D6​		0 311		240	1920	640	640	1920	0	160	480	480	960	0	0	60	192	192	192	0	0	12	32	32	*	*	126		E 7 / D 6 = 72*8!/32/6! = 126

画像

コクセター平面投影

E7	E6 / F4	B7 / A6
[18]	[12]	[14]
A5	D7 / B6	D6 / B5
[6]	[12/2]	[10]
D5 / B4 / A4	D4 / B3 / A2 / G2	D3 / B2 / A3
[8]	[6]	[4]

参照

• E7多面体のリスト

注記

1. E6*格子とE7*格子のボロノイセル Archived 2016-01-30 at the Wayback Machine、Edward Pervin
2. エルテ、1912年
3. クリッツィング、(o3o3o3x *c3o3o3o - lin)
4. Coxeter, Regular Polytopes, 11.8 6次元、7次元、8次元のゴセット図形、p. 202–203
5. クリッツィング、(o3o3x3o *c3o3o3o - ロリン)

参考文献

• Elte, EL (1912), The Semiregular Polytopes of the Hyperspaces , Groningen: University of Groningen
• HSM Coxeter著『Regular Polytopes』第3版、ドーバー、ニューヨーク、1973年
• 万華鏡：HSMコクセター選集、F・アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、アジア・アイビック・ワイス編、Wiley-Interscience Publication、1995年、wiley.com、ISBN 978-0-471-01003-6
  • （論文24）HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
• Klitzing, Richard. 「7D 均一多面体 (ポリエクサ)」o3o3o3x *c3o3o3o - リン、o3o3x3o *c3o3o3o - ロリン

v t e 2～10次元の基本凸正則多面体と一様多面体
家族	アン​	B n	I 2 ( p ) / D n	E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2	H n
正多角形	三角形	四角	p角形	六角形	五角形
均一な多面体	四面体	八面体•立方体	デミキューブ		十二面体•二十面体
均一ポリクロロン	ペンタコロン	16セル• Tesseract	デミテッセラクト	24セル	120セル• 600セル
一様5次元多面体	5単体	5-オルソプレックス• 5-キューブ	5デミキューブ
一様6次元多面体	6単体	6-オルソプレックス• 6-キューブ	6デミキューブ	1 22 • 2 21
一様7次元多面体	7単体	7-オルソプレックス• 7-キューブ	7デミキューブ	132 • 2 31 • 3 21
一様8次元多面体	8単体	8-オルソプレックス• 8-キューブ	8デミキューブ	1 42 • 2 41 • 4 21
一様9次元多面体	9単体	9-オルソプレックス• 9-キューブ	9デミキューブ
一様10次元多面体	10単体	10-オルソプレックス• 10-キューブ	10デミキューブ
一様n多面体	n -単体	n -オルソプレックス• n -キューブ	n -デミキューブ	1 k2 • 2 k1 • k 21	n -五角形多面体
トピック:多面体族•正多面体•正多面体と複合多面体の一覧•多面体の演算

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