ミンコフスキー不等式

Triangle inequality in Lp spaces

数学解析において、ミンコフスキーの不等式は、空間がノルムベクトル空間の定義における三角不等式を満たすことを証明する。この不等式はドイツの数学者ヘルマン・ミンコフスキーにちなんで名付けられている。 ${\displaystyle L^{p}}$

を測度空間とし、を の元とし、を の元とすると、は となり、三角不等式が成り立つ。 ${\textstyle S}$ ${\textstyle 1\leq p\leq \infty }$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle g}$ ${\textstyle L^{p}(S).}$ ${\textstyle f+g}$ ${\textstyle L^{p}(S),}$

$${\displaystyle \|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}}$$

に対して等式となるのは、および が正の線形従属である場合に限ります。つまり、 または に対して等式となります。ここで、ノルムは次のように与えられます。 ${\textstyle 1<p<\infty }$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle g}$ ${\textstyle f=\lambda g}$ ${\textstyle \lambda \geq 0}$ ${\textstyle g=0.}$

$${\displaystyle \|f\|_{p}=\left(\int |f|^{p}d\mu \right)^{\frac {1}{p}}}$$

本質的な最高裁判所による場合 ${\textstyle p<\infty ,}$ ${\textstyle p=\infty }$

$${\displaystyle \|f\|_{\infty }=\operatorname {ess\ sup} _{x\in S}|f(x)|.}$$

ミンコフスキー不等式は、三角不等式である。実際、これはより一般的な事実の特別なケースである。 ${\textstyle L^{p}(S).}$

$${\displaystyle \|f\|_{p}=\sup _{\|g\|_{q}=1}\int |fg|d\mu ,\qquad {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1}$$

ここで、右辺が三角不等式を満たしていることは容易にわかります。

ヘルダーの不等式と同様に、ミンコフスキーの不等式は計数測度を使用してシーケンスとベクトルに特化できます。

$${\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}+y_{k}|^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{p}\right)^{1/p}}$$

すべての実数（または複素数）に対して、はの基数（ の要素数）です。 ${\textstyle x_{1},\dots ,x_{n},y_{1},\dots ,y_{n}}$ ${\textstyle n}$ ${\textstyle S}$ ${\textstyle S}$

確率論的に言えば、確率空間 が与えられ、すべての実数値または複素数値の確率変数に対する期待値演算子が与えられ、ミンコフスキーの不等式は次のように表される。 ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} ),}$ ${\displaystyle \mathbb {E} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \Omega ,}$

${\displaystyle \left(\mathbb {E} [|X+Y|^{p}]\right)^{\frac {1}{p}}\leqslant \left(\mathbb {E} [|X|^{p}]\right)^{\frac {1}{p}}+\left(\mathbb {E} [|Y|^{p}]\right)^{\frac {1}{p}}.}$

証拠

ヘルダーの不等式による証明

まず、 が有限 -ノルムを持つ場合、と が有限 -ノルムを持つことを証明します。これは次式によって示されます。 ${\textstyle f+g}$ ${\textstyle p}$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle g}$

$${\displaystyle |f+g|^{p}\leq 2^{p-1}(|f|^{p}+|g|^{p}).}$$

実際、ここでは が（ に対して）凸であるという事実を用いており、凸性の定義により、 ${\textstyle h(x)=|x|^{p}}$ ${\textstyle \mathbb {R} ^{+}}$ ${\textstyle p>1}$

$${\displaystyle \left|{\tfrac {1}{2}}f+{\tfrac {1}{2}}g\right|^{p}\leq \left|{\tfrac {1}{2}}|f|+{\tfrac {1}{2}}|g|\right|^{p}\leq {\tfrac {1}{2}}|f|^{p}+{\tfrac {1}{2}}|g|^{p}.}$$

これはつまり

$${\displaystyle |f+g|^{p}\leq {\tfrac {1}{2}}|2f|^{p}+{\tfrac {1}{2}}|2g|^{p}=2^{p-1}|f|^{p}+2^{p-1}|g|^{p}.}$$

さて、 について正当に議論できるようになりました。もし がゼロなら、ミンコフスキーの不等式が成り立ちます。ここで はゼロではないと仮定します。三角不等式とヘルダーの不等式を用いると、次の式が得られます 。 ${\textstyle \|f+g\|_{p}}$ ${\textstyle \|f+g\|_{p}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\|f+g\|_{p}^{p}&=\int |f+g|^{p}\,\mathrm {d} \mu \\&=\int |f+g|\cdot |f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu \\&\leq \int (|f|+|g|)|f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu \\&=\int |f||f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu +\int |g||f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu \\&\leq \left(\left(\int |f|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{\frac {1}{p}}+\left(\int |g|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{\frac {1}{p}}\right)\left(\int |f+g|^{(p-1)\left({\frac {p}{p-1}}\right)}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1-{\frac {1}{p}}}&&{\text{ Hölder's inequality}}\\&=\left(\|f\|_{p}+\|g\|_{p}\right){\frac {\|f+g\|_{p}^{p}}{\|f+g\|_{p}}}\end{aligned}}}$$

ミンコフスキーの不等式は両辺に

$${\displaystyle {\frac {\|f+g\|_{p}}{\|f+g\|_{p}^{p}}}.}$$

直接凸性論証による証明

が与えられれば、凸性（イェンセンの不等式）により、任意の ${\displaystyle t\in (0,1)}$ ${\displaystyle x\in S}$

${\displaystyle |f(x)+g(x)|^{p}={\Bigl |}(1-t){\frac {f(x)}{1-t}}+t{\frac {g(x)}{t}}{\Bigr |}^{p}\leq (1-t){\Bigl |}{\frac {f(x)}{1-t}}{\Bigr |}^{p}+t{\Bigl |}{\frac {g(x)}{t}}{\Bigr |}^{p}={\frac {|f(x)|^{p}}{(1-t)^{p-1}}}+{\frac {|g(x)|^{p}}{t^{p-1}}}.}$

これを統合すると、

${\displaystyle \int _{S}|f+g|^{p}\,\mathrm {d} \mu \leq {\frac {1}{(1-t)^{p-1}}}\int _{S}|f|^{p}\,\mathrm {d} \mu +{\frac {1}{t^{p-1}}}\int _{S}|g|^{p}\,\mathrm {d} \mu .}$

1つはそれから取る

${\displaystyle t={\frac {\Vert g\Vert _{p}}{\Vert f\Vert _{p}+\Vert g\Vert _{p}}}}$

結論に達する。

ミンコフスキーの積分不等式

とが2つの𝜎有限測度空間であり、が可測であるとする。このとき、ミンコフスキーの積分不等式は次式となる: ^{[1] [2]} ${\textstyle (S_{1},\mu _{1})}$ ${\textstyle (S_{2},\mu _{2})}$ ${\textstyle F:S_{1}\times S_{2}\to \mathbb {R} }$

$${\displaystyle \left[\int _{S_{2}}\left|\int _{S_{1}}F(x,y)\,\mu _{1}(\mathrm {d} x)\right|^{p}\mu _{2}(\mathrm {d} y)\right]^{\frac {1}{p}}~\leq ~\int _{S_{1}}\left(\int _{S_{2}}|F(x,y)|^{p}\,\mu _{2}(\mathrm {d} y)\right)^{\frac {1}{p}}\mu _{1}(\mathrm {d} x),\quad p\in [1,\infty )}$$

の場合に明らかな修正があり、両辺が有限で あれば、いくつかの非負測定可能な関数に対してaeが成り立ち、の場合にのみ等式が成り立ちます。 ${\textstyle p=\infty .}$ ${\textstyle p>1,}$ ${\textstyle |F(x,y)|=\varphi (x)\,\psi (y)}$ ${\textstyle \varphi }$ ${\textstyle \psi }$

が2点集合上の計数測度である場合、ミンコフスキーの不等式は特別な場合として通常のミンコフスキーの不等式を与える。すなわち、 を と置くと、不等式は次のように与えられる。 ${\textstyle \mu _{1}}$ ${\textstyle S_{1}=\{1,2\},}$ ${\textstyle f_{i}(y)=F(i,y)}$ ${\textstyle i=1,2,}$

$${\displaystyle \|f_{1}+f_{2}\|_{p}=\left(\int _{S_{2}}\left|\int _{S_{1}}F(x,y)\,\mu _{1}(\mathrm {d} x)\right|^{p}\mu _{2}(\mathrm {d} y)\right)^{\frac {1}{p}}\leq \int _{S_{1}}\left(\int _{S_{2}}|F(x,y)|^{p}\,\mu _{2}(\mathrm {d} y)\right)^{\frac {1}{p}}\mu _{1}(\mathrm {d} x)=\|f_{1}\|_{p}+\|f_{2}\|_{p}.}$$

測定可能な関数が非負であれば、すべての^[3] ${\textstyle F:S_{1}\times S_{2}\to \mathbb {R} }$ ${\textstyle 1\leq p\leq q\leq \infty ,}$

$${\displaystyle \left\|\left\|F(\,\cdot ,s_{2})\right\|_{L^{p}(S_{1},\mu _{1})}\right\|_{L^{q}(S_{2},\mu _{2})}~\leq ~\left\|\left\|F(s_{1},\cdot )\right\|_{L^{q}(S_{2},\mu _{2})}\right\|_{L^{p}(S_{1},\mu _{1})}\ .}$$

この表記法は次のように一般化されている。

$${\displaystyle \|f\|_{p,q}=\left(\int _{\mathbb {R} ^{m}}\left[\int _{\mathbb {R} ^{n}}|f(x,y)|^{q}\mathrm {d} y\right]^{\frac {p}{q}}\mathrm {d} x\right)^{\frac {1}{p}}}$$

の場合、の場合、 この表記法を使用すると 、指数を操作すると、 の場合、 であることが分かります。 ${\textstyle f:\mathbb {R} ^{m+n}\to E,}$ ${\textstyle {\mathcal {L}}_{p,q}(\mathbb {R} ^{m+n},E)=\{f\in E^{\mathbb {R} ^{m+n}}:\|f\|_{p,q}<\infty \}.}$ ${\textstyle p<q,}$ ${\textstyle \|f\|_{q,p}\leq \|f\|_{p,q}}$

逆不平等

逆不等式が成り立つ場合: ${\textstyle p<1}$

$${\displaystyle \|f+g\|_{p}\geq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}.}$$

さらに、例からわかるように、とが両方とも非負であるという制約も必要になります。 ${\textstyle f}$ ${\textstyle g}$ ${\textstyle f=-1,g=1}$ ${\textstyle p=1}$

${\textstyle \|f+g\|_{1}=0<2=\|f\|_{1}+\|g\|_{1}.}$

逆不等式は標準的なミンコフスキーの議論と同じ議論から導かれますが、ホルダーの不等式もこの範囲で逆になることを使用します。

逆ミンコフスキー法を使用すると、調和平均や幾何平均などのべき乗平均が凹であることを証明できます。 ${\textstyle p\leq 1,}$

他の機能への一般化

ミンコフスキー不等式は、べき乗関数以外 の関数にも一般化できる。一般化された不等式は次のようになる。 ${\textstyle \phi (x)}$ ${\textstyle x^{p}}$

$${\displaystyle \phi ^{-1}\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}\phi (x_{i}+y_{i})\right)\leq \phi ^{-1}\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}\phi (x_{i})\right)+\phi ^{-1}\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}\phi (y_{i})\right).}$$

^{マルホランド[4]}らは、様々な十分条件を発見している。例えば、マルホランドの十分条件の1つは、 ${\textstyle \phi }$ ${\textstyle x\geq 0}$

1. ${\textstyle \phi (x)}$連続的かつ厳密に増加する ${\textstyle \phi (0)=0.}$
2. ${\textstyle \phi (x)}$は凸関数である ${\textstyle x.}$
3. ${\textstyle \log \phi (x)}$は凸関数である ${\textstyle \log(x).}$

参照

• コーシー・シュワルツの不等式 – 内積とノルムを関係付ける数学的不等式
• ヘルダーの不等式 – Lp空間における積分間の不等式
• マーラーの不等式
• ヤングの畳み込み不等式 – 2つの関数の畳み込みに関する数学的な不等式
• ヤングの積の不等式 – 数学的概念

参考文献

1. スタイン 1970、§A.1。
2. Hardy、Littlewood、Pólya 1988、定理 202.
3. Bahouri、Chemin & Danchin 2011、p. 4.
4. Mulholland, HP (1949). 「ミンコフスキー不等式の三角形不等式への一般化について」.ロンドン数学会報. s2-51 (1): 294– 307. doi :10.1112/plms/s2-51.4.294.

• Bahouri, ハジェル州;ジャン・イヴ・シュマン;ダンチン、ラファエル (2011)。フーリエ解析と非線形偏微分方程式。 Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol. 343. ベルリン、ハイデルベルク：シュプリンガー。ISBN 978-3-642-16830-7. OCLC  704397128。
• ハーディ, GH ;リトルウッド, JE ;ポリア, G. (1988).不等式. ケンブリッジ数学図書館（第2版）. ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-35880-9。
• ミンコフスキー、H. (1953)。ザーレンの幾何学模様。チェルシー。。
• スタイン、エリアス（1970）『特異積分と関数の微分可能性』プリンストン大学出版局。。
• MI Voitsekhovskii (2001) [1994]、「ミンコフスキー不等式」、数学百科事典、EMS Press
• ローウォーター、アーサー・J.（1982）「不等式入門」

さらに読む

• Bullen, PS (2003). 「The Power Means」. 手段とその不等式ハンドブック. ドルドレヒト: Springer Netherlands. pp.  175– 265. doi :10.1007/978-94-017-0399-4_3. ISBN 978-90-481-6383-0. 2022年6月23日閲覧。

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