ポインティングベクトル

Measure of directional electromagnetic energy flux

電気双極子（ここではZ軸に沿って振動）は双極子放射を生じ、その電界強度（色付き）とポインティング ベクトル（矢印）がxz平面に対して表示されます。

物理学において、ポインティング ベクトル(またはウモフ-ポインティング ベクトル) は、方向性エネルギー流(単位面積あたり、単位時間あたりのエネルギー転送) または電磁場の電力フローを表します。ポインティング ベクトルのSI単位系はワット毎平方メートル (W/m ^{2 )、} SI 基本単位ではkg/s ³です。これは1884 年に最初に導き出した発見者ジョン ヘンリー ポインティングにちなんで名付けられました^{。[1] : 132}ニコライ ウモフもこの概念を定式化したとされています。^[2]オリバー ヘヴィサイドも独自にこのベクトル場の回転を定義に追加できる自由を認めるより一般的な形式を発見しました。 ^[3] ポインティング ベクトルは、電磁エネルギーの保存を表す連続方程式であるポインティングの定理と組み合わせて電磁気学全体で使用され、電磁場の電力フローを計算します。

意味

ポインティングの原論文やほとんどの教科書では、ポインティングベクトルは外積として定義されている^{[4] [5] [6]。}太字はベクトルを表し、 ${\displaystyle \mathbf {S} }$ $${\displaystyle \mathbf {S} =\mathbf {E} \times \mathbf {H} ,}$$

• Eは電界ベクトルです。
• Hは磁場の補助磁場ベクトルまたは磁化磁場です。

この表現はアブラハム形式と呼ばれることが多く、最も広く使われています。^[7]ポインティングベクトルは通常SまたはNで表されます。

簡単に言えば、点 におけるポインティングベクトルSは、その点 における電磁場による表面電力密度の大きさと方向を表します。より厳密に言えば、これはポインティングの定理を成立させるために用いるべき量です。ポインティングの定理は、基本的に、ある領域に入る電磁エネルギーとある領域から出る電磁エネルギーの差は、その領域で変換または消散されるエネルギー、つまり別の形態のエネルギー（多くの場合熱）に変換されるエネルギーと等しくなければならない、というものです。ポインティングの定理は、単にエネルギーの局所的保存則を述べたものです。

ある領域において、電磁エネルギーが他の形態のエネルギー（例えば、力学的エネルギーや熱エネルギー）から得られず、また失われない場合、電磁エネルギーはその領域内で局所的に保存され、ポインティングの定理の特別なケースとして連続の式が得られます。 ここで、は電磁場のエネルギー密度です。このよく見られる条件は、ポインティングベクトルを計算し、電気回路における通常の電力計算と一致することを示す以下の簡単な例でも成立します。 $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {S} =-{\frac {\partial u}{\partial t}}}$$ ${\displaystyle u}$

例: 同軸ケーブル内の電力の流れ

添付図に示すように、円筒座標で解析された同軸ケーブル区間を介した電力伝送の場合、比較的単純な解が見つかります。モデルの対称性は、 θ（円対称性）にもZ（ケーブル上の位置）にも依存しないことを意味します。このモデル（および解）は、時間に依存しない単純なDC回路と見なすことができますが、以下の解は、電圧と電流が変化しない瞬間的な時間、および十分に短いケーブル区間（波長よりもはるかに短いため、これらの値はZに依存しません）を対象とする限り、無線周波数電力の伝送にも同様に適用されます。

同軸ケーブルは、半径R _1の内導体と、内半径R ₂の外導体を持つものと規定されています（ R ₂を超える導体の厚さは、以降の解析には影響しません）。ケーブルのR ₁とR _{2の間には、}比誘電率ε _rの理想的な誘電体が含まれ、導体は非磁性（つまりμ = μ ₀）かつ無損失（完全導体）であると仮定します。これらはすべて、一般的な状況において、現実世界の同軸ケーブルによく近似しています。

電界E (電圧Vによる) と磁界H (電流 I による)を使用して計算された、ポインティング ベクトルSに従った同軸ケーブル内の電磁力の流れの図。

同軸ケーブルを介した直流電力伝送。同軸ケーブルの中心から半径rにおける電界（）と磁界（）の相対強度と、その結果生じるポインティングベクトル（ ）を示している。破線（マゼンタ）は半径r内の累積伝送電力を示しており、その半分はR ₁とR ₂の幾何平均の内側を流れている。 ${\displaystyle E_{r}}$ ${\displaystyle H_{\theta }}$ ${\displaystyle S_{z}=E_{r}\cdot H_{\theta }}$

中心導体の電圧はVで、右方向に電流Iが流れるため、電気の基本法則によれば、総電力フローはP = V · Iになると予想されます。しかし、ポインティング ベクトルを評価することで、同軸ケーブル内の電界と磁界の観点から電力フローのプロファイルを識別できます。各導体内の電界はゼロですが、導体間 ( ) では対称性により電界は放射状になり、ガウスの法則を使用して、次の形式に従うことが示されます。Wは、電界を から まで積分することで評価できます。これは電圧Vの負の値である必要があります。したがって、次のようになります。 ${\displaystyle R_{1}<r<R_{2}}$ $${\displaystyle E_{r}(r)={\frac {W}{r}}}$$ ${\displaystyle r=R_{2}}$ ${\displaystyle R_{1}}$ $${\displaystyle -V=\int _{R_{2}}^{R_{1}}{\frac {W}{r}}dr=-W\ln \left({\frac {R_{2}}{R_{1}}}\right)}$$ $${\displaystyle W={\frac {V}{\ln(R_{2}/R_{1})}}}$$

磁場は、やはり対称性により、θ方向、すなわちR ₁とR ₂の間のすべての半径において中心導体を囲むベクトル場においてのみ非ゼロとなり得る。導体内部では、磁場はゼロになることもゼロにならないこともあるが、これらの領域では電界がゼロであるためポインティングベクトルもゼロとなるため、これは問題とはならない。同軸ケーブル全体の外側では、この領域内の経路は正味電流ゼロ（中心導体では+ I 、外側導体では- I）を囲むため、磁場は完全にゼロであり、この場合も電界はいずれにせよゼロとなる。アンペールの法則をR ₁からR _{2 の}領域に適用すると、中心導体に電流 + Iが流れますが、外側の導体の電流は影響しません。半径rでは次の式が得られます。ここで、放射状方向の電界と接線方向の磁界から、これらの積で与えられるポインティング ベクトルは、予想どおり、同軸ケーブルの方向であるZ方向にのみ非ゼロとなります。これもrの関数としてのみ、 S ( r )を評価できます。ここで、 Wは中心導体の電圧Vで上記に与えられています。同軸ケーブルを流れる全電力は、導体間のケーブルの 断面積A全体にわたって積分することで計算できます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}I=\oint _{C}\mathbf {H} \cdot ds&=2\pi rH_{\theta }(r)\\H_{\theta }(r)&={\frac {I}{2\pi r}}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle S_{z}(r)=E_{r}(r)H_{\theta }(r)={\frac {W}{r}}{\frac {I}{2\pi r}}={\frac {W\,I}{2\pi r^{2}}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}P_{\text{tot}}&=\iint _{\mathbf {A} }S_{z}(r,\theta )\,dA=\int _{R_{1}}^{R_{2}}2\pi rdrS_{z}(r)\\&=\int _{R_{1}}^{R_{2}}{\frac {W\,I}{r}}dr=W\,I\,\ln \left({\frac {R_{2}}{R_{1}}}\right).\end{aligned}}}$$

定数Wに以前の解を代入すると、次の式が得られます。つまり、同軸ケーブルの断面にわたってポインティング ベクトルを積分することによって得られる電力は、電気の基本法則を使用して供給される電力を計算した電圧と電流の積と正確に等しくなります。 $${\displaystyle P_{\mathrm {tot} }=I\ln \left({\frac {R_{2}}{R_{1}}}\right){\frac {V}{\ln(R_{2}/R_{1})}}=V\,I}$$

P = V · Iの結果を解析的に計算できる他の同様の例としては、直交座標を使用した平行板伝送線路^[8]や、双極円筒座標を使用した2線式伝送線路^[9]などがある。

その他の形態

マクスウェル方程式の「ミクロ」バージョンでは、この定義は、電場Eと磁束密度 Bによる定義に置き換える必要があります(この記事の後半で説明)。

変位電場 Dと磁束Bを組み合わせてポインティングベクトルのミンコフスキー形式を得ることも可能であり、あるいはDとHを用いてさらに別のバージョンを構築することも可能です。この選択は議論を呼んでいます。Pfeiferら^[10]は、アブラハム形式とミンコフスキー形式の支持者間の1世紀にわたる論争を要約し、ある程度解決しました（アブラハム・ミンコフスキー論争を参照）。

ポインティングベクトルは、電磁エネルギーのエネルギー流束ベクトルの特殊なケースを表します。しかし、あらゆる種類のエネルギーは、その密度と同様に空間における運動方向を持つため、エネルギー流束ベクトルは他の種類のエネルギー、例えば力学的エネルギーについても定義できます。1874年にニコライ・ウモフによって発見されたウモフ・ポインティングベクトル^[11]は、液体および弾性媒体におけるエネルギー流束を完全に一般化した観点から記述します。

解釈

ポインティングベクトルは、エネルギー保存則であるポインティングの定理（導出についてはその記事を参照）に現れる。ここで、 J _fは自由電荷の電流密度、uは線形非分散材料の電磁エネルギー密度であり、次 のように与えられる。 $${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=-\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {S} -\mathbf {J_{\mathrm {f} }} \cdot \mathbf {E} ,}$$ $${\displaystyle u={\frac {1}{2}}\!\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} +\mathbf {B} \cdot \mathbf {H} \right)\!,}$$

• Eは電界です。
• Dは電界変位である。
• Bは磁束密度です。
• Hは磁化場である。^{[12] : 258–260}

右辺の最初の項は小さな体積への電磁エネルギーの流れを表し、2 番目の項は自由電流に対してフィールドによって行われた仕事を減算します。これにより、電磁エネルギーは散逸、熱などとして放出されます。この定義では、束縛電流はこの項に含まれず、代わりにSとuに寄与します。

自由空間における光の場合、線形運動量密度は ${\displaystyle {\frac {\langle S\rangle }{c^{2}}}.}$

線形、非分散（すべての周波数成分が同じ速度で伝わる）、等方性（単純化のため）の材料の場合、構成関係は次のように表すことができます。 $${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} ,\quad \mathbf {B} =\mu \mathbf {H} ,}$$

• εは材料の誘電率です。
• μは材料の透磁率である。 ^{[12] : 258–260}

ここで、εとμは、位置、方向、周波数に依存しないスカラーの実数値定数です。

原理的には、この形式のポインティングの定理は真空中および非分散性線形材料中の場に限定されます。分散性材料への一般化は、追加の項を犠牲にすれば、特定の状況下で可能です。^{[12] : 262–264}

ポインティングの公式から導かれる結論の一つは、電磁場が仕事をするためには磁場と電場の両方が存在しなければならないということである。磁場のみ、あるいは電場のみでは、何の仕事もできない。^[13]

平面波

等方性で損失のない媒体中を伝播する電磁平面波では、瞬間的なポインティング ベクトルは常に伝播方向を指し、大きさは急速に振動します。これは、平面波では磁場H ( r , t ) の大きさが電場ベクトルE ( r , t )の大きさを伝送媒体の固有インピーダンス η で割った値で与えられることから簡単にわかります。ここで、 | A | はAのベクトル ノルムを表します。EとH は互いに直角であるため、それらの外積の大きさはそれらの大きさの積です。一般性を失うことなく、X を電場の方向、Y を磁場の方向とします。 EとHの外積で与えられる瞬間的なポインティング ベクトルは、Z の正の方向になります。 $${\displaystyle |\mathbf {H} |={\frac {|\mathbf {E} |}{\eta }},}$$ $${\displaystyle \left|{\mathsf {S_{z}}}\right|=\left|{\mathsf {E_{x}}}{\mathsf {H_{y}}}\right|={\frac {\left|{\mathsf {E_{x}}}\right|^{2}}{\eta }}.}$$

平面波における時間平均電力を求めるには、波の周期（波の周波数の逆数）にわたって平均化する必要があります。ここで、E _rmsは電界振幅の二乗平均平方根（RMS）です。E ( t )がピーク振幅E _peakを持つある周波数で正弦波的に変化する重要なケースでは、E _rmsは となり、平均ポインティングベクトルは次のように与えられます。これは、平面波のエネルギーフラックスを表す最も一般的な形式です。正弦波電界振幅はほとんどの場合ピーク値で表され、複雑な問題は通常、一度に1つの周波数のみを考慮して解かれるためです。しかし、E _rmsを用いた式は完全に汎用的であり、例えば、RMS振幅は測定できるものの「ピーク」振幅が意味を持たないノイズの場合にも適用できます。自由空間における固有インピーダンスη は、自由空間インピーダンスη ₀ ≈ 377 Ωで単純に表されます。指定された誘電率ε _rを持つ非磁性誘電体（光周波数で透明なすべての材料など）または屈折率 の材料を含む光学系では、固有インピーダンスは次のように求められます。 $${\displaystyle \left\langle {\mathsf {S_{z}}}\right\rangle ={\frac {\left\langle \left|{\mathsf {E_{x}}}\right|^{2}\right\rangle }{\eta }}={\frac {\mathsf {E_{\text{rms}}^{2}}}{\eta }},}$$ ${\displaystyle {\mathsf {E_{peak}}}/{\sqrt {2}}}$ $${\displaystyle \left\langle {\mathsf {S_{z}}}\right\rangle ={\frac {\mathsf {E_{peak}^{2}}}{2\eta }}.}$$    ${\displaystyle {\mathsf {n}}={\sqrt {\epsilon _{r}}}}$ $${\displaystyle \eta ={\frac {\eta _{0}}{\sqrt {\epsilon _{r}}}}.}$$

光学において、表面を横切る放射束の値、つまりその表面の法線方向における平均ポインティング ベクトル成分は、技術的には放射照度と呼ばれ、多くの場合は単に強度(やや曖昧な用語)と呼ばれます。

微視的視野による定式化

マクスウェル方程式の「微分的」版では、物質媒質の組み込みモデルを持たず、基本場EとB のみを許容する。真空の誘電率と透磁率のみが用いられ、 DやH は存在しない。このモデルを用いる場合、ポインティングベクトルは次の ように定義される。 $${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} ,}$$

• μ _0は真空透磁率である。
• Eは電界ベクトルです。
• Bは磁束です。

これは実際にはポインティングベクトルの一般的な表現である^{[疑わしい–議論の余地あり]}。^[14]ポインティングの定理の対応する形は、 Jが全電流密度、エネルギー密度uが で与えられる形で 、 ε _0が真空の誘電率である。これは、全電荷と電流、そしてローレンツ力の法則のみを用いてマクスウェル方程式から直接導くことができる。 $${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=-\nabla \cdot \mathbf {S} -\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} ,}$$ $${\displaystyle u={\frac {1}{2}}\!\left(\varepsilon _{0}|\mathbf {E} |^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}|\mathbf {B} |^{2}\right)\!,}$$

ポインティングベクトルの2つの代替定義は、真空中または非磁性体ではB = μ ₀ Hとすれば同じである。それ以外の場合、S = (1/ μ ₀ ) E × Bとそれに対応するuは純粋に放射性である点で異なる。これは、散逸項− J ⋅ E が全電流をカバーするのに対し、E × H定義では束縛電流の寄与があり、それが散逸項から除外されるためである。^[15]

S = (1/ μ ₀ ) E × Bとエネルギー密度の導出には微視的場EとBのみが含まれるため、存在する物質に関する仮定は不要となる。ポインティングベクトルと定理、そしてエネルギー密度の式は、真空中およびあらゆる物質において普遍的に成立する。^[15]

時間平均ポインティングベクトル

上記のポインティングベクトルの形は、瞬間的な電場と磁場による瞬間的な電力の流れを表しています。より一般的には、電磁気学の問題は、特定の周波数で正弦波状に変化する場を用いて解かれます。その結果は、例えば、非コヒーレント放射を、異なる周波数で振幅が変動する波の重ね合わせとして表すなど、より一般的に応用できます。

したがって、ここで考慮するのは上記で用いた瞬間的なE ( t )とH ( t )ではなく、位相器表記を用いてコヒーレント波の位相（および振幅）を記述する、それぞれの複素（ベクトル）振幅です。これらの複素振幅ベクトルは時間の関数ではなく、全時間にわたる振動を表すものと理解されています。E mのような位相器は、_{瞬間的な振幅}E ( t )がE _m  e ^jωtの実部に従う正弦波的に変化する場を表すものと理解されています。ここで、ωは対象とする正弦波の（ラジアン）周波数です。

時間領域では、瞬時電力潮流が周波数2 ωで変動していることがわかります。しかし、通常重要なのは、これらの変動が考慮されていない平均電力潮流です。以下の数式では、これはT = 2 π / ωという1周期にわたって積分することで実現されます。「ポインティングベクトル」と呼ばれる以下の量は、位相ベクトルを用いて直接次のように表されます。ここで、^{∗ は}複素共役を表します。時間平均電力潮流（例えば、1周期にわたって平均化された瞬時ポインティングベクトルに基づく）は、S _mの実部で表されます。虚部は通常無視されますが^{[12] [明確化が必要] 、これは}定在波やアンテナ近傍場による干渉などの「無効電力」を表します。単一の電磁平面波（反対方向に伝わる 2 つの波として説明できる定在波ではなく）では、EとH は正確に同位相であるため、上記の定義によれば、 S _mは単なる実数になります。 $${\displaystyle \mathbf {S} _{\mathrm {m} }={\tfrac {1}{2}}\mathbf {E} _{\mathrm {m} }\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*},}$$

Re( S _m )と瞬間ポインティングベクトルSの時間平均の等価性は次のように示される。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {S} (t)&=\mathbf {E} (t)\times \mathbf {H} (t)\\&=\operatorname {Re} \!\left(\mathbf {E} _{\mathrm {m} }e^{j\omega t}\right)\times \operatorname {Re} \!\left(\mathbf {H} _{\mathrm {m} }e^{j\omega t}\right)\\&={\tfrac {1}{2}}\!\left(\mathbf {E} _{\mathrm {m} }e^{j\omega t}+\mathbf {E} _{\mathrm {m} }^{*}e^{-j\omega t}\right)\times {\tfrac {1}{2}}\!\left(\mathbf {H} _{\mathrm {m} }e^{j\omega t}+\mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*}e^{-j\omega t}\right)\\&={\tfrac {1}{4}}\!\left(\mathbf {E} _{\mathrm {m} }\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*}+\mathbf {E} _{\mathrm {m} }^{*}\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }+\mathbf {E} _{\mathrm {m} }\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }e^{2j\omega t}+\mathbf {E} _{\mathrm {m} }^{*}\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*}e^{-2j\omega t}\right)\\&={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left(\mathbf {E} _{\mathrm {m} }\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*}\right)+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left(\mathbf {E} _{\mathrm {m} }\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }e^{2j\omega t}\right)\!.\end{aligned}}}$$

瞬間ポインティングベクトルSの 時間平均は次のように表されます。 $${\displaystyle \langle \mathbf {S} \rangle ={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\mathbf {S} (t)\,dt={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\!\left[{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left(\mathbf {E} _{\mathrm {m} }\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*}\right)+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left({\mathbf {E} _{\mathrm {m} }}\times {\mathbf {H} _{\mathrm {m} }}e^{2j\omega t}\right)\right]dt.}$$

2番目の項は平均値がゼロの2倍周波数成分なので、次の式が得られます。 $${\displaystyle \langle \mathbf {S} \rangle ={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left({\mathbf {E} _{\mathrm {m} }}\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*}\right)=\operatorname {Re} \!\left(\mathbf {S} _{\mathrm {m} }\right)}$$

いくつかの慣例によれば、上記の定義における係数1/2は省略可能です。E _mとH _{mの大きさは振動量の}ピーク磁場を表すため、電力潮流を正しく記述するには1/2を乗じる必要があります。もしこれらの磁場をその二乗平均平方根（RMS）値（それぞれ係数 だけ小さい値）で記述すれば、1/2を乗じなくても正しい平均電力潮流が得られます。 ${\displaystyle {\sqrt {2}}/2}$

抵抗損失

導体が大きな抵抗を持つ場合、その導体の表面付近では、ポインティングベクトルは導体に向かって傾き、導体に衝突する。^{[9] : 図7,8}ポインティングベクトルが導体に入ると、表面に対してほぼ垂直な方向に曲げられる。^{[16] : 61}これはスネルの法則と導体内の光速度が非常に遅いことによる結果である。導体内の光速度の定義と計算方法を示すことができる。^{[17] : 402}導体内部では、ポインティングベクトルは電磁場から電線へのエネルギーの流れを表し、電線に抵抗性ジュール熱を発生させる。スネルの法則から始まる導出については、ライツの454ページを参照のこと。^{[18] : 454}

放射圧

電磁場の線状運動量の密度はS / c ²で、 Sはポインティングベクトルの大きさ、cは自由空間における光速である。電磁波が対象物表面に及ぼす放射圧は次式​​で与えられる。 $${\displaystyle P_{\mathrm {rad} }={\frac {\langle S\rangle }{\mathrm {c} }}.}$$

ポインティングベクトルの一意性

ポインティングベクトルは、ポインティングの定理において、その発散 ∇ ⋅ Sを通じてのみ出現します。つまり、閉じた面の周りのポインティングベクトルの面積分が、囲まれた体積への電磁エネルギーの正味の流れ、または囲まれた体積からの電磁エネルギーの正味の流れを記述することのみが要求されます。これは、ソレノイドベクトル場（発散がゼロのベクトル場）をSに追加すると、ポインティングの定理に従ってポインティングベクトル場のこの必須特性を満たす別の場が得られることを意味します。 任意の回転の発散はゼロであるため、任意のベクトル場の回転をポインティングベクトルに追加しても、結果として得られるベクトル場S ′ は依然としてポインティングの定理を満たします。

しかし、ポインティングベクトルは元々その発散のみが現れるポインティングの定理のためだけに定式化されたにもかかわらず、その形式の上記の選択は一意であることが判明しました。^{[12] ：258〜260、605〜612}次のセクションでは、 E × Hに任意のソレノイドフィールドを追加することが受け入れられない理由を示す例を示します。

静的フィールド

静電場におけるポインティング ベクトル。ここで、Eは電場、H は磁場、S はポインティング ベクトルです。

静磁場におけるポインティングベクトルの考察は、マクスウェル方程式の相対論的性質を示し、ローレンツ力の磁気成分q ( v × B )をより深く理解することを可能にする。説明のために、永久磁石によって生成される磁界（紙面内向き）内に配置された円筒形コンデンサにおけるポインティングベクトルを表す図を考える。静電気と静磁場のみが存在するにもかかわらず、ポインティングベクトルの計算は、始まりも終わりもない時計回りの円状の電磁エネルギーの流れを生成する。

循環するエネルギー流は非物理的に思えるかもしれないが、その存在は角運動量保存則を維持するために必要不可欠である。自由空間における電磁波の運動量は、その電力を光速cで割った値に等しい。したがって、電磁エネルギーの循環流は角運動量を意味する。^[19]充電されたコンデンサの2つのプレート間に導線を接続すると、コンデンサが放電している間、放電電流と交差磁場によってその導線にはローレンツ力が働く。この力は中心軸の円周方向に作用し、系に角運動量を加える。この角運動量は、コンデンサが放電される前に循環していた、ポインティングベクトルによって明らかになる「隠れた」角運動量と一致する。

参照

• 波数ベクトル

参考文献

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さらに読む

• ベッカー、リチャード（1982年）『電磁場と相互作用』（第1版）ミネオラ、ニューヨーク：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-64290-1。
• 行政長官、ジョセフ。ナハヴィ、マフムード (2013)。電磁気学 (第 4 版)。ニューヨーク：マグロウヒル。ISBN 978-0-07-183149-9。

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