2の平方根

Unique positive real number which when multiplied by itself gives 2

2の平方根

表現
小数
1.41421 35623 73095 0488...	連分数
連分数	${\displaystyle 1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots }}}}}}}}}$

2の平方根（約1.4142）は、自身を掛けるか2乗すると2になる正の実数です。またはと表記されます。代数的数であるため、超越数ではありません。技術的には、同じ性質を持つ負の数と区別するために、2の主平方根と呼ぶべきです。 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle 2^{1/2}}$

幾何学的には、2の平方根は、1単位の長さの辺を持つ正方形の対角線の長さです。これはピタゴラスの定理から導かれます。これはおそらく、無理数として知られている最初の数でした。^[1]分数⁠ 99/70 （≈1.4142 857）は、 分母が適度に小さい、適切な有理近似値として使用されることがあります

オンライン整数列百科事典の列A002193は、2の平方根の10進展開の数字で構成されており、ここでは小数点以下60桁に切り捨てられています。 ^[2]

1.41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679

歴史

紀元前7289年のバビロニア粘土板と注釈。2の平方根を60進法（1 24 51 10）で示すだけでなく、この粘土板には、正方形の一辺が30で対角線が42 25 35となる例も示されています。60進法の数字30は、 0 30 = ⁠を表すこともできます1/2 この場合、0 42 25 35は約0.7071065です。

バビロニアの粘土板YBC 7289（紀元前 1800～1600年頃）には、 1 24 51 10という4桁の60進法の近似値が示されており、これは約6桁の精度です[ 3 ^]。また、1 の3桁の60進法の表現としては最も近いもので、誤差はわずか-0.000042%です。 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

${\displaystyle 1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}={\frac {305470}{216000}}=1.41421{\overline {296}}.}$

別の初期の近似値は、古代インドの数学書であるスルバスートラ（紀元前 800～200年頃）に次のように示されています。 [辺の]長さをその3分の1増やし、さらにその3分の1からその4分の34を引いた値を増やす。^[4]つまり、

${\displaystyle 1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\times 4}}-{\frac {1}{3\times 4\times 34}}={\frac {577}{408}}=1.41421{\overline {56862745098039}}.}$

この近似値は、の連分数展開から導き出されるペル数列に基づく、精度が徐々に上がる近似値の7番目です。分母が小さいにもかかわらず、バビロニアの近似値よりもわずかに精度が低いだけです ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

ピタゴラス学派は、正方形の対角線がその辺と通約不可能であること、あるいは現代の言葉で言えば、2の平方根が無理数であることを発見しました。この発見の時期や状況については確かなことはほとんど分かっていませんが、メタポントゥムのヒッパソスの名前はしばしば言及されます。しばらくの間、ピタゴラス学派は2の平方根が無理数であるという発見を公式の秘密として扱い、伝説によると、ヒッパソスはそれを漏らしたために殺害されましたが、伝統的な歴史家の慣習では、これはほとんど、あるいは全く実質的な証拠がありません。^{[5] [6]} 2の平方根は、ピタゴラス数^[7]またはピタゴラス定数と呼ばれることもあります。

古代ローマ建築

古代ローマ建築において、ウィトルウィウスは2の平方根数列、またはad quadratum技法の使用について記述しています。これは基本的に算術的ではなく幾何学的な方法で正方形を2倍にする方法であり、元の正方形の対角線は結果として得られる正方形の辺と等しくなります。ウィトルウィウスはこのアイデアをプラトンに帰しています。このシステムは、元の正方形の角に45度の角度で接する正方形を作成することで舗装を建設するために採用されました。この比率は、意図するアトリウムの幅に等しい辺を持つ正方形から取った対角線に等しい長さを与えることで、アトリウムの設計にも使用されました。^[8]

小数値

計算アルゴリズム

整数の比または小数として近似するアルゴリズムは数多くあります。多くのコンピュータや計算機の基礎として使用されている最も一般的なアルゴリズムは、平方根を計算するバビロニア法^{[9]です。これは、任意関数の根を計算する}ニュートン法の一例です。手順は次のとおりです。 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

まず、推定値 を選びます。推定値の値は、特定の精度の近似値に達するために必要な反復回数にのみ影響します。次に、その推定値を使用して、次の再帰計算を繰り返します。 ${\displaystyle a_{0}>0}$

${\displaystyle a_{n+1}={\frac {1}{2}}\left(a_{n}+{\dfrac {2}{a_{n}}}\right)={\frac {a_{n}}{2}}+{\frac {1}{a_{n}}}.}$

各反復で近似値が向上し、正しい桁の数が約2倍になります。 から始めて、後続の反復では次のようになります。 ${\displaystyle a_{0}=1}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}a_{1}&={\tfrac {3}{2}}&&=\mathbf {1} .5,\\a_{2}&={\tfrac {17}{12}}&&=\mathbf {1.41} 6\ldots ,\\a_{3}&={\tfrac {577}{408}}&&=\mathbf {1.41421} 5\ldots ,\\a_{4}&={\tfrac {665857}{470832}}&&=\mathbf {1.41421356237} 46\ldots ,\\&\qquad \vdots \end{alignedat}}}$

有理近似

単純な有理近似⁠ 99/70 ⁠ (≈ 1.4142 857) が時々使用されます。分母がわずか70であるにもかかわらず、正しい値との差は⁠1/10,000⁠ (約+0.72 × 10 ⁻⁴ ) 未満です。

次に良い2つの有理近似値は⁠140/ 99⁠ (≈ 1.414 1414...) で、誤差はわずかに小さく (約−0.72 × 10 ⁻⁴ )、⁠239/169⁠ (≈ 1.4142 012)で、誤差は約−0.12 × 10 ⁻⁴です。

0 ₌ 1 ( ⁠665,857/470,832⁠）は約1.6 × 10 ⁻¹²ほど大きすぎます。その平方は ≈ 2.000 000 000 0045です。

計算中のレコード

1997年、金田康正氏のチームによって、の値は137,438,953,444小数点以下桁まで計算されました。2006年2月、家庭用コンピュータを用いて、の計算記録が破られました。近藤茂氏は2010年に、小数点以下1兆桁を計算しました。 ^[10]同様に高い精度で小数展開が計算されている他の数学定数には、 π、e、黄金比などがあります。^[11]このような計算は、これらの数が正規分布するかどうかの経験的証拠を提供します。 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

これは、の桁数の計算における最近の記録の表です。^[11] ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

日付	氏名	桁数
2025年4月4日	Teck Por Lim	24 000 000 000 000
2023年12月26日	Jordan Ranous	20 000 000 000 000
2022	ティツィアン・ハンゼルマン	10,000,000,001,000
2016	ロン・ワトキンス	10,000,000,000,000
2016	ロン・ワトキンス	5,000,000,000,000
2016年1月	ロン・ワトキンス	2,000,000,000,100
2012年2	アレクサンダー	2,000,000,000,050
2010年3月22日	近藤茂	1,000,000,000,000

無理数の証明

無限降下法による証明

数の無理数の証明の一つは、次の無限降下法による証明です。これは反駁による否定の証明でもあります。つまり、「 は有理数ではない」という命題を、それが有理数であると仮定し、それから偽を導くことによって証明します。 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

1. が有理数であると仮定します。つまり、比がちょうど である整数のペアが存在するということです。 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$
2. 2つの整数に共通因数がある場合、ユークリッドの互除法を使用してそれを除去できます
3. すると、aとb が互いに素な整数（共通因数を持たない）となるような既約分数として表すことができます。これはさらに、 aまたはbの少なくとも一方が奇数でなければならないことを意味します。 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$
4. したがって、およびとなります。（  （⁠ ${\displaystyle {\frac {a^{2}}{b^{2}}}=2}$ ${\displaystyle a^{2}=2b^{2}}$a/b⁠）ⁿ = ⁠a ⁿ/b ⁿ⁠  ）（ a ²とb ²は整数）
5. したがって、a ^{2 は}2 b ²に等しいので偶数です。（2 b ²は別の整数の2倍なので必然的に偶数です。）
6. したがって、a は偶数でなければなりません（奇数の2乗は決して偶数にならないため）。
7. aは偶数なので、を満たす整数kが存在します。 ${\displaystyle a=2k}$
8. ステップ4の2番目の式で、ステップ7の2 k をaに代入すると、となり、これは と等しくなります。 ${\displaystyle 2b^{2}=a^{2}=(2k)^{2}=4k^{2}}$ ${\displaystyle b^{2}=2k^{2}}$
9. 2 k ²は2で割り切れるので偶数であり、また なので、 b ^{2 も}偶数であり、つまりbが偶数であることを意味します。 ${\displaystyle 2k^{2}=b^{2}}$
10. ステップ5と8により、aとbはどちらも偶数であり、ステップ3（既約）と矛盾します。 ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$

偽を導出したので、(1) が有理数であるという仮定は偽でなければなりません。これは、が有理数ではないことを意味します。つまり、は無理数です。 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

この証明は、アリストテレスが『解析学』第1章23節で示唆していました。^[12]ユークリッドの『原論』第10巻の命題117において、完全な証明として初めて登場しました。しかし、19世紀初頭以降、歴史家たちはこの証明は補間であり、ユークリッドに帰属するものではないことに同意しています。^[13]

逆数を用いた証明

矛盾点として、が有理数であると仮定します。すると、互いに素な正の整数 を用いて、 を最小の項で既約分数として表すことができます。 であるため、 は既約分数 として表すことができます。しかし、 と は整数だけ異なるため、それらの既約分数表現の分母は同じ、つまり でなければなりません。これは、望ましい矛盾を与えます。 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}+1={\frac {q}{p}}}$ ${\displaystyle q>p}$ ${\displaystyle ({\sqrt {2}}-1)({\sqrt {2}}+1)=2-1^{2}=1}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}-1}$ ${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}-1}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}+1}$ ${\displaystyle q=p}$

一意因数分解による証明

無限降下法による証明と同様に、 を得ます。 は同じ量であるため、算術の基本定理により、各辺は同じ素因数分解を持ち、特に、因数2は同じ回数出現する必要があります。しかし、因数2は右側では奇数回出現しますが、左側では偶数回出現します。これは矛盾です。 ${\displaystyle a^{2}=2b^{2}}$

有理根定理の応用

の無理数は、有理根定理からも導かれます。有理根定理は、多項式の有理根が存在する場合、定数項 の因数と主係数の因数の商でなければならないと述べています。 の場合、可能な有理根はとのみです。 がまたは と等しくないため、 は無理数となります。この応用では、が整数係数を持つ単項多項式である場合の有理根定理のより強力なバージョンである整数根定理も参照してください。このような多項式の場合、すべての根は必然的に整数（2 は完全平方ではないため、整数ではありません）または無理数です。 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle p(x)=x^{2}-2}$ ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle \pm 2}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle \pm 2}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

有理根定理（または整数根定理）は、完全平方ではない任意の自然数の平方根は無理数であることを示すために使用できます。任意の非平方自然数の平方根が無理数であるという他の証明については、「二次無理数」または「無限降下」を 参照してください

幾何学的証明

テネンバウムの証明

図1. スタンリー・テネンバウムによる√2の無理数の幾何学的証明

簡単な証明は、1950 年代初頭の学生だったスタンレー テネンバウムによるものとされています。 ^{[14] [15]}と が互いに素な正の整数であると仮定します。すると、と は、 となる最小の正の整数です。幾何学的には、これは、辺の長さが の正方形の面積が、（より短い）辺の長さ の正方形 2 つに等しいことを意味します。これらの正方形を A と B と呼びます。これらの正方形を描いて面積を比較することができます。最も簡単な方法は、2 つの B の正方形を A の正方形に当てはめることです。これを行おうとすると、図 1 のような配置になり、2 つの B の正方形が中央で重なり合い、左上と右下に覆われていない 2 つの領域が存在します。 を主張するためには、重なり合う面積が 2 つの欠けている領域の面積に等しい、すなわち= であることを示す必要があります。言い換えれば、重なり合う領域と欠けている領域の辺の長さをそれぞれ および と表すことができ、となります。しかし、図から および がわかるので、およびの定義からおよび は整数であることがわかっているため、および がとなる最小の正の整数であるという当初の仮定に反することになります。 ${\displaystyle {\sqrt {2}}=a/b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a^{2}=2b^{2}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a^{2}=2b^{2}}$ ${\displaystyle (2b-a)^{2}}$ ${\displaystyle 2(a-b)^{2}}$ ${\displaystyle p=2b-a}$ ${\displaystyle q=a-b}$ ${\displaystyle p^{2}=2q^{2}}$ ${\displaystyle p<a}$ ${\displaystyle q<b}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a^{2}=2b^{2}}$

したがって、とが となる最小の正の整数であると仮定したとしても、関係式を満たすより小さい整数のペアとが存在することを証明できます。との定義におけるこの矛盾は、それらが存在できないことを意味し、したがって無理数でなければならないことを意味します。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a^{2}=2b^{2}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

アポストルの証明

図2. トム・アポストルによる√2の無理数の幾何学的証明

トム・M・アポストルは、が無理数であることを示す別の幾何学的背理法の議論を行いました。 ^{[16]これは無限降下による証明の例でもあります。古典的な}コンパスと定規の作図法を用いて、古代ギリシャの幾何学者が用いた方法と同様の方法で定理を証明しています。これは本質的に、別の幾何学的観点から見たテネバウムの証明と同じ代数的証明です ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

図2に示すように、△  ABCを斜辺の長さm、辺の長さnの直角二等辺三角形とします。ピタゴラスの定理により、mとnは整数と仮定します。m ：nをその最小項で与えられた比とします。 ${\displaystyle {\frac {m}{n}}={\sqrt {2}}}$

中心Aを中心として弧BDと弧CEを描きます。DEを結びます。AB = AD、AC = AEであり、 ∠BACと∠DAEが一致することがわかります。したがって、三角形ABCとADEはSASにより合同です

∠EBFは直角で、∠BEFは半直角なので、△ BEF も直角二等辺三角形です。したがって、BE = m − nはBF = m − nを意味します。対称性により、DF = m − nとなり、△  FDCも直角二等辺三角形です。また、FC = n − ( m − n ) = 2 n − mとなります

したがって、斜辺の長さが2 n − m 、辺がm − nである、さらに小さな直角二等辺三角形が存在します。これらの値はmとnよりもさらに小さい整数であり、同じ比であるため、 m : nが最小の項であるという仮説に反します。したがって、 mとnは両方とも整数にはなり得ないため、無理数です。 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

構成的証明

「無理数」を「有理数ではない」と定義した場合、無限降下法による証明は構成的に妥当ですが、「無理数」を「あらゆる有理数とは別に定量化できる」と肯定的に定義することで、より構成的に強い命題を得ることができます。a とbを1 < ⁠となる正の整数とします。a/b⁠ < 3/2です（ 1 < 2 < 9/4はこれらの境界を満たします）。ここで、 2 b ² とa ² は等しくなれません。なぜなら、前者は2の因数が奇数であるのに対し、後者は2の因数が偶数だからです。したがって、 | 2 b ² − a ² | ≥ 1です。絶対差| √2 − ⁠a/b⁠ |に分子と分母のb ² (√2 + ⁠ a/b⁠ )を掛けると、 ^{[17]が得られます。}

${\displaystyle \left|{\sqrt {2}}-{\frac {a}{b}}\right|={\frac {|2b^{2}-a^{2}|}{b^{2}\!\left({\sqrt {2}}+{\frac {a}{b}}\right)}}\geq {\frac {1}{b^{2}\!\left({\sqrt {2}}+{\frac {a}{b}}\right)}}\geq {\frac {1}{3b^{2}}},}$

後者の不等式が真であるのは、 1 < ⁠a/b⁠ < 3/2と仮定しているため、 ⁠a/b⁠ + √2 ≤ 3となります（そうでなければ、量的な隔たりは自明に証明できます）。これにより、差| √2 −の下限は⁠1/3 b ²⁠となりますa/b⁠ |排中律に依存せず、構成的に強い形で無理数の直接的な証明をもたらす。^[18]この証明は、と任意の有理数との間の明確な矛盾を構成的に示している。 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

ピタゴラス数列による証明

この証明は、 原始ピタゴラス数列の以下の性質を利用している

a、b、cが互いに素な正の整数でa2 + b2 = ^c2となる場合、cは^決して偶数^にならない。^[19]

この補題は、2つの同一の完全平方数を足し合わせても、別の完全平方数は決してできないことを示すために使用できます。

反対の有理数を仮定します。したがって、 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

${\displaystyle {\sqrt {2}}={a \over b}}$

ここで、 ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \gcd(a,b)=1}$

両辺を2乗すると、

${\displaystyle 2={a^{2} \over b^{2}}}$

${\displaystyle 2b^{2}=a^{2}}$

${\displaystyle b^{2}+b^{2}=a^{2}}$

ここで、( b , b , a )は原始ピタゴラス数列であり、補題からaは決して偶数になりません。しかし、これはaが偶数でなければならないことを意味する2 b ² = a ²という式と矛盾します。

逆数

2の平方根の逆数（逆数）は広く使用されている定数であり、10進値は次のとおりです。^[20]

0.70710 67811 86547 52440 08443 62104 84903 92848 35937 68847 ...

平面上の軸と45°の角度をなす単位ベクトルの座標が

${\displaystyle \left({\frac {\sqrt {2}}{2}},{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)\!.}$

となる

${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}={\sqrt {\tfrac {1}{2}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}=\sin 45^{\circ }=\cos 45^{\circ }.}$

各座標は

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One interesting property of ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ is

${\displaystyle \!\ {1 \over {{\sqrt {2}}-1}}={\sqrt {2}}+1}$

since

${\displaystyle \left({\sqrt {2}}+1\right)\!\left({\sqrt {2}}-1\right)=2-1=1.}$

This is related to the property of silver ratios.

${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ can also be expressed in terms of copies of the imaginary unit i using only the square root and arithmetic operations, if the square root symbol is interpreted suitably for the complex numbers i and −i:

${\displaystyle {\frac {{\sqrt {i}}+i{\sqrt {i}}}{i}}{\text{ and }}{\frac {{\sqrt {-i}}-i{\sqrt {-i}}}{-i}}}$

${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ is also the only real number other than 1 whose infinite tetrate (i.e., infinite exponential tower) is equal to its square. In other words: if for c > 1, x₁ = c and x_n+1 = c^x_n for n > 1, the limit of x_n as n → ∞ will be called (if this limit exists) f(c). Then ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ is the only number c > 1 for which f(c) = c². Or symbolically:

${\displaystyle {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{~\cdot ^{~\cdot ^{~\cdot }}}}}=2.}$

${\displaystyle {\sqrt {2}}}$πのヴィエトの公式に現れます。

${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\sqrt {\frac {1}{2}}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}}}\cdots ,}$

これは公式^{[21]と関連しています。}

${\displaystyle \pi =\lim _{m\to \infty }2^{m}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots +{\sqrt {2}}}}}}}}}} _{m{\text{ square roots}}}\,.}$

見た目は似ていますが、項の数が有限で、さまざまな三角定数に現れます。^[22] ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin {\frac {\pi }{32}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}&\quad \sin {\frac {3\pi }{16}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}&\quad \sin {\frac {11\pi }{32}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2-{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}}}\\[6pt]\sin {\frac {\pi }{16}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}&\quad \sin {\frac {7\pi }{32}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}&\quad \sin {\frac {3\pi }{8}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\\[6pt]\sin {\frac {3\pi }{32}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}}}&\quad \sin {\frac {\pi }{4}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}&\quad \sin {\frac {13\pi }{32}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}}}\\[6pt]\sin {\frac {\pi }{8}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}&\quad \sin {\frac {9\pi }{32}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}&\quad \sin {\frac {7\pi }{16}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}\\[6pt]\sin {\frac {5\pi }{32}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2-{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}}}&\quad \sin {\frac {5\pi }{16}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}&\quad \sin {\frac {15\pi }{32}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}\end{aligned}}}$

が無理数よりも強い性質である正規数であるかどうかは不明ですが、その2進展開の統計的分析は、 2を底とする正規数であるという仮説と一致しています。^[23] ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

小数

級数と積

恒等式cos  ⁠π/4⁠ = sin  ⁠π/4⁠ = ⁠1/√2⁠は、正弦と余弦の無限積表現とともに、次のような積につながります。

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}=\prod _{k=0}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{(4k+2)^{2}}}\right)=\left(1-{\frac {1}{4}}\right)\!\left(1-{\frac {1}{36}}\right)\!\left(1-{\frac {1}{100}}\right)\cdots }$

と

${\displaystyle {\sqrt {2}}=\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k+2)^{2}}{(4k+1)(4k+3)}}=\left({\frac {2\cdot 2}{1\cdot 3}}\right)\!\left({\frac {6\cdot 6}{5\cdot 7}}\right)\!\left({\frac {10\cdot 10}{9\cdot 11}}\right)\!\left({\frac {14\cdot 14}{13\cdot 15}}\right)\cdots }$

または同等に、

${\displaystyle {\sqrt {2}}=\prod _{k=0}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{4k+1}}\right)\left(1-{\frac {1}{4k+3}}\right)=\left(1+{\frac {1}{1}}\right)\!\left(1-{\frac {1}{3}}\right)\!\left(1+{\frac {1}{5}}\right)\!\left(1-{\frac {1}{7}}\right)\cdots .}$

この数は、三角関数のテイラー級数を取ることによっても表すことができます。たとえば、cos  ⁠の級数はπ/4⁠となり

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}{\bigl (}{\frac {\pi }{4}}{\bigr )}^{2k}}{(2k)!}}.}$

x = 1のテイラー級数と二重階乗n !!を使用すると、次のようになります ${\displaystyle {\sqrt {1+x}}}$

${\displaystyle {\sqrt {2}}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {(2k-3)!!}{(2k)!!}}=1+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2\cdot 4}}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}}-{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}}+\cdots =1+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}-{\frac {5}{128}}+{\frac {7}{256}}+\cdots .}$

この級数の収束はオイラー変換によって加速され、

${\displaystyle {\sqrt {2}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(2k+1)!}{2^{3k+1}{(k!)}^{2}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {3}{8}}+{\frac {15}{64}}+{\frac {35}{256}}+{\frac {315}{4096}}+{\frac {693}{16384}}+\cdots .}$

がBBP型式で表せるかどうかは不明です。ただし、 BBP型式は と で知られています。 [ ^24] ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle \pi {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}\ln \left(1+{\sqrt {2}}~\!\right)}$

この数は、分母がフィボナッチのような漸化式 a (n) = 34 a (n −1) − a (n −2), a (0) = 0, a (1) = 6 の2n乗項で定義されるエジプト分数の無限級数で表すことができます。 [ 25 ]

${\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {3}{2}}-{\frac {1}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{a(2^{n})}}={\frac {3}{2}}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{6}}+{\frac {1}{204}}+{\frac {1}{235416}}+\dots \right).}$

連分数

平方根連分数の収束による近似

2の平方根は、次の連分数表現を 持ちます

${\displaystyle {\sqrt {2}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}.}$

この表現を切り捨てることによって形成される収束関数 ⁠ p/q⁠ は、 2の平方根を精度が増すにつれて近似する分数の列を形成し、ペル数（すなわち、 p ² − 2 q ² = ±1）で記述されます。最初の収束関数は次のとおりです。 ⁠1/1⁠、⁠3/2 ⁠、⁠7/5⁠、⁠17/12⁠、⁠41/29⁠、⁠ 99/70 ⁠、⁠239/169⁠、⁠577/408⁠そして、次の収束関数は⁠p/q⁠は⁠p + 2 q/p + q⁠。収束する⁠p/q⁠は⁠ とほぼ だけ異なり、これは次式から導かれます。 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2{\sqrt {2}}q^{2}}}}$

${\displaystyle \left|{\sqrt {2}}-{\frac {p}{q}}\right|={\frac {|2q^{2}-p^{2}|}{q^{2}\!\left({\sqrt {2}}+{\frac {p}{q}}\right)}}={\frac {1}{q^{2}\!\left({\sqrt {2}}+{\frac {p}{q}}\right)}}\thickapprox {\frac {1}{2{\sqrt {2}}q^{2}}}}$

入れ子式

次の入れ子式は に収束します。 ${\textstyle {\sqrt {2}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {2}}&={\tfrac {3}{2}}-2\left({\tfrac {1}{4}}-\left({\tfrac {1}{4}}-{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}-\cdots {\bigr )}^{2}\right)^{2}\right)^{2}\\[10mu]&={\tfrac {3}{2}}-4\left({\tfrac {1}{8}}+\left({\tfrac {1}{8}}+{\bigl (}{\tfrac {1}{8}}+\cdots {\bigr )}^{2}\right)^{2}\right)^{2}.\end{aligned}}}$^[要出典]

用途

用紙サイズ

Aシリーズの用紙サイズ

1786年、ドイツの物理学教授ゲオルク・クリストフ・リヒテンベルク^[26]は、長辺が短辺の何倍も長い紙を半分に折り、短辺と合わせると、元の紙と全く同じ比率の紙を作ることができることを発見しました。長辺と短辺の長さのこの比率は、紙を線に沿って半分に切ると、小さい方の紙が元の紙と同じ（おおよその）比率になることを保証します。20世紀初頭にドイツが用紙サイズを標準化した際、リヒテンベルクの比率を用いて「A」シリーズの用紙サイズを作成しました。^[26]今日、ISO 216（A4、A0など）に基づく用紙サイズの（おおよその）アスペクト比は1：です。 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

証明：

紙の辺の短い方の長さと長い方の長さを、 ${\displaystyle S=}$ ${\displaystyle L=}$

${\displaystyle R={\frac {L}{S}}={\sqrt {2}}}$ISO 216で要求されているように。

半分に切った紙の相似比をとれば、 ${\displaystyle R'={\frac {L'}{S'}}}$

${\displaystyle R'={\frac {S}{L/2}}={\frac {2S}{L}}={\frac {2}{(L/S)}}={\frac {2}{\sqrt {2}}}={\sqrt {2}}=R.}$

物理科学

2倍単位立方体の頂点間の距離は、最初の6つの自然数の平方根です。（ルジャンドルの三平方定理により、 √7は不可能です。）

物理科学において、2の平方根に関する興味深い性質がいくつかあります。

• 2の平方根は、十二音平均律音楽における三全音程の周波数比です。
• 2の平方根は、写真レンズのF値の関係を形成し、これは連続する2つの開口部間の面積の比が2であることを意味します
• 惑星の天文交差四半期日点における太陽の天体緯度（赤緯）は、惑星の軸の傾きを で割った値に等しくなります。 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$
• 脳には格子細胞があり、2005年にメイブリットとエドヴァルド・モーザー率いるグループによって発見されました。「格子細胞は海馬のすぐ隣にある皮質領域で発見されました。[…] この皮質領域の一方の端ではメッシュサイズが小さく、もう一方の端では非常に大きくなっています。しかし、メッシュサイズの増加は偶然ではなく、領域ごとに2の平方根で増加します。」^[27]

参照

• 数学定数一覧
• 3の平方根
• 5の平方根
• ゲルフォンド・シュナイダー定数, 2√2
• Silver ratio, 1 + √2

Notes

1. Fowler, David H. (1994). "The Story of the Discovery of Incommensurability, Revisited". In Gavroglu, Kostas; Christianidis, Jean; Nicolaidis, Efthymios (eds.). Trends in the Historiography of Science. Boston Studies in the Philosophy of Science. Vol. 151. Dortrecht: Springer. pp. 221–236. doi:10.1007/978-94-017-3596-4. ISBN 978-9048142644。
2. Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A002193 (Decimal expansion of square root of 2)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2020-08-10.
3. Fowler, David; Robson, Eleanor (1998). "Square root approximations in old Babylonian mathematics: YBC 7289 in context". Historia Mathematica. 25 (4): 366–378. doi:10.1006/hmat.1998.2209. MR 1662496. See p. 368.
   Photograph, illustration, and description of the root(2) tablet from the Yale Babylonian Collection Archived 2012-08-13 at the Wayback Machine
   High resolution photographs, descriptions, and analysis of the root(2) tablet (YBC 7289) from the Yale Babylonian Collection
4. Henderson, David W. (2000). "Square roots in the Śulba Sūtras". In Gorini, Catherine A. (ed.). Geometry At Work: Papers in Applied Geometry. Mathematical Association of America Notes. Vol. 53. Washington, D.C.: The Mathematical Association of America. pp. 39–45. ISBN 978-0883851647.
5. "The Dangerous Ratio". nrich.maths.org. Retrieved 2023-09-18.
6. Von Fritz, Kurt (1945). "The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum". Annals of Mathematics. 46 (2): 242–264. doi:10.2307/1969021. ISSN 0003-486X. JSTOR 1969021.
7. コンウェイ、ジョン・H .；ガイ、リチャード・K. (1996). 『数の書』 ニューヨーク：コペルニクス. p. 25. ISBN 978-1461240723。
8. ウィリアムズ、キム、オストワルド、マイケル（2015年）。『古代から未来への建築と数学：第1巻：古代から1500年代まで』ビルクハウザー社、204ページ。ISBN   9783319001371。
9. 「バビロニア式」という用語は現代では一般的に使用されていますが、バビロニア人がYBC 7289の粘土板に見られる近似値をどのように計算したかを示す直接的な証拠はありません。ファウラーとロブソンは情報に基づいた詳細な推測を示しています。ファウラーとロブソン、376ページ。フラナリー、32ページ、158ページ。 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$
   
10. 定数と計算の記録。Numbers.computation.free.fr。2010年8月12日。2012年3月1日にオリジナルからアーカイブ。2012年9月7日に閲覧。
11. y-cruncherによる記録。2022年4月7日にオリジナルからアーカイブ。2022年4月7日に閲覧。
12. アリストテレスは背理法による証明について書いている際に、「正方形の対角線は辺と不整合である。なぜなら、奇数は偶数と整合しているはずであれば、偶数と等しいからである」と述べているに過ぎない。
13. 1826年から1829年にかけてベルリンでEFアウグストによって出版された『原論』のギリシャ語版では、すでにこの証明は付録に追いやられている。JLハイベルク版（1883年から1888年）でも同様である
14. ミラー、スティーブン・J.；モンタギュー、デイヴィッド（2012年4月）「非合理性の描写」『数学マガジン』第85巻第2号、pp.110–114.  doi : 10.4169 /math.mag.85.2.110. JSTOR  10.4169/math.mag.85.2.110
15. Yanofsky, Noson S. (2016年5～6月). 「パラドックス、矛盾、そして科学の限界」. American Scientist . 第103巻第3号. pp.  166-173 . JSTOR  44808923.
16. Apostol, Tom M. (2000). 「2の平方根の無理数 ― 幾何学的証明」. The American Mathematical Monthly . 107 (9): 841-842 . doi :10.2307/2695741. JSTOR  2695741
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18. ビショップ、エレット(1985). 「現代数学における統合失調症」.ローゼンブラット、マレー(編).エレット・ビショップ：彼と彼の研究についての考察. 現代数学. 第39巻. プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会. pp.  1– 32. doi :10.1090/conm/039/788163. ISBN 0821850407. ISSN  0271-4132.
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20. Sloane, N. J. A. (編). 「数列 A010503 (1/sqrt(2) の小数展開)」.オンライン整数数列百科事典. OEIS Foundation . 2024年11月3日閲覧.
21. Courant, Richard; Robbins, Herbert (1941).数学とは何か？ アイデアと方法への初等的アプローチ. ロンドン：オックスフォード大学出版局. 124ページ.
22. Wayback Machineにて
23. Good, IJ ; Gover, TN (1967). 「一般化シリアルテストと2進展開」. Journal of the Royal Statistical Society, Series A. 130 ( 1): 102–107 . doi :10.2307/2344040. JSTOR  2344040. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$
24. Bailey, David H. (2011年2月13日). 数学定数のBBP型公式集(PDF) . 2011年6月10日時点のオリジナルからアーカイブ(PDF) . 2010年4月30日閲覧
25. Sloane, N. J. A. (編). 「数列 A082405 (a(n) = 34*a(n-1) - a(n-2); a(0)=0, a(1)=6)」.オンライン整数列百科事典. OEIS Foundation . 2016年9月5日閲覧.
26. Houston, Keith (2016). The Book: A Cover-to-Cover Exploration of the Most Powerful Object of Our Time . WW Norton & Company. p. 324. ISBN 978-0393244809。
27. Nordengen, Kaja (2016). The Book: Hjernen er sternen . 2016 Kagge Forlag AS. p. 81. ISBN 978-82-489-2018-2。

参考文献

• アリストテレス（1938年）[紀元前350年頃]。カテゴリー；解釈について；先験的分析論。ギリシャ語本文と翻訳。ローブ古典文庫。第325巻。H・P・クック、ヒュー・トレデニック訳。マサチューセッツ州ケンブリッジ：ハーバード大学出版局。先験的分析論§ I.23。ISBN   9780674993594。 {{citation}}: ISBN / Date incompatibility (help)
• フラナリー、デイヴィッド（2006年）。『2の平方根：数と数列に関する対話』。ニューヨーク：コペルニクス・ブックス。ISBN   978-0387202204。
• ファウラー、デイビッド、ロブソン、エレノア(1998). 「古バビロニア数学における平方根近似：YBC 7289の文脈」. Historia Mathematica . 25 (4): 366– 378. doi : 10.1006/hmat.1998.2209 .

外部リンク

• ゴードン、X.；セバー、P.（2001年）「ピタゴラスの定数：数、定数、計算 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$。
• ジェリー・ボーネルとロバート・J・ネミロフ著『2の平方根 500万桁まで』。1994年5月。
• 2の平方根は無理数である。証明集
• ハラン、ブレイディ（2012年1月27日）。『Root 2』（ビデオ）。Numberphile。ジェームズ・グライム、ロジャー・ボウリー出演。
• ⁠ 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ⁠ 検索エンジン √2、π、eの20億桁の検索可能数

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